CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Các công thức thường dùng để giải toán lượng giác: sin x tanx = ( cosx ≠ hay x ≠ k ) cos x cos x cotx = (sinx ≠ hay x ≠ k ) sin x sin2x + cos2x = tanx.cotx = 1 cot x 2x cos2 x = = + tan = cos x tan x cot x 1 tan x 2x sin2x = = + cot tan sin x cot x tan x sin Công thức nhân đôi: cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – = – 2sin2x sin2x = 2sinx.cosx cot an tan x tan2x = tan x Công thức nhân 3: sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = - 3cosx + 4cos3x tan x tan x cos in tan3x = tan x Công thức hạ bậc: cos x sin2x = cos 2x cos2x = cos x cos x cos3x = sin x sin x sin3x = x 10 Công thức tính theo hàm : t = tan Định lí hàm số Cosin: 2t sinx = a2 = b2 + c2 – 2bccosA 1 t A 1 t b cosx = b2 = a2 + c2 – 2accosB c 1 t C 2t tgx = c = a2 + b2 – 2abcosC B a 1 t abc a b c 11 Công thức cộng: p Định lí sin: 2R sin A sin B sin C 1 sin( x + y ) = sinx.cosy + cosx.siny Diện tích: S b.c sin A = acsinB = absinC 2 abc sin( x – y ) = sinx.cosy – cosx.siny S= pr p p a p b p c = aha … 4R ThuVienDeThi.com cos(x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny - cosx sin( x - ) - cosx cos( - x) cos(x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny tan x tan y tan( x + y ) = tan x tan y tan x tan y tan(x – y ) = tan x tan y - sinx sin(-x) - sinx cos(x sinx cos( 12 Công thức biến đổi tích thành tổng: [cos( x – y ) + cos(x + y)] sinx.siny = [cos( x – y ) – cos(x + y)] sinx.cosy = [sin( x – y ) + sin(x + y)] cosx.cosy = cosx sin( ) - x) - x) sinx x k2 sinx x k cox x 13 Công thức biến đổi tổng thành tích: x y x y cos 2 x y x y cosx – cosy = - sin sin 2 x y x y sinx + siny = sin cos 2 x y x y sinx – siny = cos sin 2 cosx + cosy = 2cos k cosx x k2 cosx = -1 x = + k2 tanx x k tanx x cotx = x = 14 Caùc phương trình lượng giác bản: k k cotx x x = y + k2 k sin2x sin x cos x x = - y + k2 – sin2x sin x cos x sinx = sin y cosx = cosy x = ± y + k2 tanx = tany x = y + k (nhớ điều kiện cosx 0) cotx coty x y k (nhớ điều kiện sinx 0) Dạng phương trình Phương trình bậc bậc hai f(x), f(x) biểu thức lượng giác Phương trình bậc sinx cosx: Asinx + Bcosx = C ( đk: A2+ B2 C2 ) Phương trình bậc hai sinx cosx có dạng nhö sau: Asin2x + Bsinx.cosx + Ccos2x = cos2x cos x – cos2x sin x Cách giải Đặt ẩn phụ t = f(x) Đặt z = A B , chia vế cho z, đưa dạng sin ( x ± ) = sinu hoaëc cos(x ) cos u Có cách giải: Cách 1: Hạ bậc đưa dạng Asinx + Bcosx = C Cách 2: B1: Thử xem cosx = có phải nghiệm ThuVienDeThi.com phương trình không B2: Chia hai vế cho cos2x, giải bình thường Đặt t = sinx ± cosx để giûải, đk t ; Phương trình đối xứng sinx cosx có dạng: Nếu t = sinx + cosx sinxcosx = t 1 2 A(sinx ± cosx) + Bsinx.cosx + C = Neáu t = sinx – cosx 1 t Phương trình khác, không thuộc dạng Lưu ý: 1/ sinx + cosx = sin( x + 2/ sinx – cosx = sin( x - 3/ sin4x + cos4x = - sinxcosx = Bằng phương pháp biến đổi để đưa dạng )= cos(x - )=- cos( x ) ) cos x sin 2x = (công thức giải nhanh) 2 2 cos 2 x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 1 - sin22x = 2 2 cos x 4/ sin6x + cos6x = - sin22x = (coâng thức giải nhanh) 3 3 3cos 2 x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 1- sin22x = 2 4 B Bài tập: Bài 1: Phương trình bậc bậc hai f(x) a/ sin(3x - ) b/ sin(3x – ) = -1 c/ cos(2 x e/ tan(2x + ) =1 )= d/ cos(3x – 150 ) = - tan f/ cot( 450 – x) = g/ sin3x – cos2x = i/ sin(3x - h/ sin(x + 5 ) cos(3 x ) k/ cos2x = - sin (x tan 2 ) cos x x cos(2 x 30 ) m/ 3sin22x + 7cos2x – = 0/ cos2x – 5sinx – = q/ 6sin23x + cos12x = l/ sin ( x) sin(2 x ) 4 n/ 6cos2x + 5sinx – = p/ cos2x + cosx +1 = r/ 4sin4x + 12cos2x = s/ 3cot2(x + t/ tan2(2x - ) 1 u/ 7tanx – 4cotx = 12 ) j/ cos cos1350 v/ cot2x + ( - 1)cotx - )3 =0 ThuVienDeThi.com y/ 3sin2x + 2cos2x = 3 w/ 4sinx – 3cosx = x/ 3cosx + sinx = `2 z/ 2sin2x + 3cos2x = 13 sin14x Bài 2: Phương trình bậc hai sinx cosx có dạng sau: Asin2x + Bsinx.cosx + Ccos2x = (ñk: A2 + B2 + C2 ≠ 0) a/ 2sin2x + ( - )sinx.cosx + ( - )cos2x = b/ 4sin2x + 3 sin2x – 2cos2x = c/ sin3x cos3x 2cosx d/ 3cos x 4sin x.cos x sin x e/ tan x.sin x 2sin x 3(cos2x sinx.cosx) f/ 2sin x cos3 x 3sinx (2sinx – 1)(2cos2x 2sinx m) - cos x Tìm m để phương trình có nghiệm thoả điều kiện x Bài 3: Phương trình đối xứng sinx cosx có dạng: A(sinx ± cosx) + Bsinx.cosx + C = a/ 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = b/ sinx – cosx + 4sinx.cosx + = c/ sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = d/ sin3x + cos3x = e/ sinx.cosx - (sinx + cosx) + = f/ sin3x + cos3x = Bài 4: Phương trình đưa dạng tích: a/ sin5x + sinx – sin3x = b/ cos2x – cos6x = sin3x + sin5x c/ (sinx – cosx)2 – ( + )(sinx – cosx) + = x d/ tan + sinx = 2 e/ sinx + sin2x + sin3x = (cosx + cos2x + cos3x) x 3x f/ sinx + sin2x + sin3x = 4cos cos x cos 2 g/ tanx + tan2x= tan3x Bài 5: Dùng công thức hạ bậc a/ sin4x + cos4x = b/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x c/ sin4x – sin2x – = d/ sin4x + cos4x – cos2x = - sin 2 x 2 e/ tan x + cot x – = Bài 6: Các dạng phương trình khác a/ sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = b/ 6sin2x + sinx.cosx – cos2x = c/ sin2x – 2sin2x = 2cos2x d/ 2sin22x – 3sin2x.cos2x + cos22x = e/ 4sinx.cos(x – ) + 4sin( + x).cosx + 2sin( 3 x ).cos( + x) = ThuVienDeThi.com f/ 2sin3x + 4cos3x = 3sinx x x x x x x x 3 x g/ sin cos( ) + sin cos sin cos sin ( ) cos 2 2 2 2 2 h/ sinx.sin7x = sin3x.sin5x i/ sin5x.cos3x = sin9x.cos7x j/ cosx.cos3x – sin2x.sin6x – sin4x.sin6x = k/ sin4x.sin5x + sin4x.sin3x – sin2x.sinx = l/ sin5x + sin3x = sin4x m/ sinx + sin2x + sin3x = n/ cosx + cos3x + 2cos5x = o/ cos22x + 3cos18x + 3cos14x + cos10x = p/ sin2x + sin22x + sin23x = 2 2 q/ sin 3x + sin 4x = sin 5x + sin26x r/ sin22x + sin24x = sin26x s/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = t/ cos23x + cos24x + cos25x = u/ 8cos4x = + cos4x v/ sin4x + cos4x = cos4x w/ 3cos22x – 3sin2x + cos2x = x/ tan(x + ) + cot( 3x) 3 7 y/ tan (2 x ) cot(4 x )0 x z/ tan (2 x ), tan( ) z1/ sin2x + 2cotx = z2/ tanx = – cos2x z3/ tan( x – 150).cot(x + 150) = z4/ sin2x + 2cos2x = + sinx – 4cosx z5/ 3sin4x + 5cos4x – = z6/ (2sinx – cosx).(1 + cosx) = sin2x z7/ + sinx.cos2x = sinx + cos2x z8/ sin2x.tanx + cos2x.cotx – sin2x = + tanx + cotx x z9/ tan cosx – sinx.cos3x = z10/ sin2x + sinx.cos4x + cos24x = z11/ (2sinx – 1).(2sin2x + 1) = – 4cos2x z12/ cos ( x) z13/ 6tan (2 x ) 2 3 z14/ 3cos2x + 2(1 + sin x) sin x ThuVienDeThi.com z15/ 2 (sinx + cosx).cosx = + cos2x z16/ cos2x - sin2x = + sin2x z17/ sinx.cosx + 4cos2x – 2sin2x = z18/ sin( x )cot3x + sin( + 2x) - cos5x = z19/ tan2x + cos4x = z20/ 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = z21/ sin4(x + ) = + cos2x – cos4x 4 z22/ (2sinx + 1).(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = z23/ sin3(x + ) = 2sinx z24/ 2sinx + cotx = 2sin2x + z25/ tan2x(1 – sin3x) + cos3x – = cos x z26/ + cot2x = sin x sin x cos x z27/ 6sinx – 2cos2x = cos x ThuVienDeThi.com ... (công thức giải nhanh) 2 2 cos 2 x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 1 - sin22x = 2 2 cos x 4/ sin6x + cos6x = - sin22x = (công thức. .. y k (nhớ điều kiện sinx 0) Dạng phương trình Phương trình bậc bậc hai f(x), f(x) biểu thức lượng giác Phương trình bậc sinx cosx: Asinx + Bcosx = C ( ñk: A2+ B2 C2 ) Phương trình bậc hai... k2 cosx = -1 x = + k2 tanx x k tanx x cotx = x = 14 Các phương trình lượng giác bản: k k cotx x x = y + k2 k sin2x sin x cos x x =