(SKKN mới NHẤT) SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách hình học không gian 11

PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hình học khơng gian phần kiến thức quan trọng chương trình mơn tốn THPT nói chung chương trình mơn tốn lớp 11 nói riêng Trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng năm ln có mặt tốn hình học khơng gian Đặc biệt tốn quan hệ vng góc ln chủ đề quen thuộc khơng thể thiếu tốn hình học khơng gian có mặt kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng (hiện THPT Quốc Gia) kì thi chọn học sinh giỏi Đối với học sinh đa số em thường gặp nhiều khó khăn giải tốn hình học khơng gian Các em thường chưa có kĩ giải chưa hình thành phương pháp giải tốn hình học khơng gian Hiện bối cảnh mơn tốn thi hình thức trắc nghiệm tốn tính khoảng cách lại xuất nhiều Làm để nâng cao kĩ giải tốn hình học khơng gian đặc biệt tốn tính khoảng cách cho học sinh ? Với suy nghĩ tơi ln cố gắng dạy cho em học sinh biết nắm vững phương pháp chứng minh quan hệ vng góc (đường thẳng vng góc với đường thẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc) từ hình thành nên phương pháp tìm khoảng cách (khoảng cách điểm với đường thẳng, khoảng cách điểm với mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau) 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mong muốn giúp em học sinh có nhìn tổng qt tốn tính khoảng cách Tạo cho em tự tin tốn tính tốn hình học khơng gian Đây tài liệu để đồng nghiệp tham khảo Đặc biệt với cách kiểm tra thi tốn tính tốn xuất chủ yếu kì thi trường, sở Năm thi Trung Học Phổ Thơng Quốc Gia có thêm chương trình lớp 11 đề thi Vì tài liệu giúp ích cho em phần Tính khoảng cách tốt cịn giúp em giải tốt tốn tính thể tích, dạng tốn chủ yếu xuất chương trình hình học lớp 12 1.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hình thành rèn luyện kĩ tính khoảng cách cho học sinh Cụ thể: +Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng +Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng +Khoảng cách hai đường thẳng chéo download by : skknchat@gmail.com 1.4 Các phương pháp nghiên cứu đề tài: +Phương pháp nghiên cứu, xây dựng sở lý thuyết +Phương pháp điều tra thực tế +Phương pháp thống kê, thu thập số liệu PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Trong nhà trường trung học phổ thơng nhiệm vụ trọng tâm hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung kiến thức mơn tốn nói riêng việc làm cần thiết Người giáo viên cần phải dạy cho em nắm vững phương pháp kĩ cần thiết để giải tốt tốn đặt Đối với hoạt động học trò muốn học tốt mơn tốn học sinh cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, phải biết vận dụng lí thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic, suy nghĩ linh hoạt Vì trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào toán cụ thể Mục đích giúp học sinh đứng trước tốn em cần biết phân tích nhận dạng, biết áp dụng phương pháp học để giải toán biết cách chuyển toán dạng quen thuộc để từ có phương pháp giải thích hợp Đối với tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian việc phải cung cấp cho em kiến thức cần thiết phương pháp giải dạng toán cụ thể cần dạy cho em cách phân tích tốn, xét mối quan hệ qua lại đối tượng: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng… Để từ em đưa cách giải toán phương pháp phù hợp 2.2 Thực trạng vấn đề Xuất phát từ việc dạy phân mơn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể tốn tính khoảng cách Đối với dạng tốn mục tiêu học sinh biết cách tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Đây toán thường gặp kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (trung học phổ thơng quốc gia) gần Vì dạy dạng tốn giáo viên cần hình thành cho học sinh kĩ phương pháp tìm khoảng cách 2.3 Giải pháp cách thức thực Trước giải tốn tính khoảng cách em học sinh cần phải nắm vững định nghĩa, định lí, hệ định lí, tính chất Tiếp đến em cần nắm vững số phương pháp chứng minh dạng toán thường gặp Sau em phải rèn luyện kĩ vận dụng phần lí thuyết nắm vững vào tốn cụ thể Vì người giáo viên download by : skknchat@gmail.com trình dạy học cần hệ thống lí thuyết, đưa số dạng toán thường gặp cách giải dạng tốn 2.3.1 Cơ sở lí thuyết: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ) khoảng cách hai điểm , hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (hoặc lên đường thẳng d) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm từ tới Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Định nghĩa 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2.3.2 Các dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng) Phương pháp giải: Xác định chân đường vng góc điểm lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng lượng giác để tính khoảng cách cần tìm Lưu ý: Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta xác định mặt phẳng chứa điểm vng góc với sau xác định giao tuyến dựng đường thẳng qua A vng góc với giao tuyến cắt giao tuyến Khi đó, khoảng cách từ đến đoạn Dạng 2: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Để tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách cần tìm Để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng tới mặt phẳng khoảng cách cần tìm Nhận xét: download by : skknchat@gmail.com Thực tế toán dạng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng việc quan trọng phải xác định điểm cho thuận lợi để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Dạng 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải: Để tính khoảng cách hai đường thẳng ta dùng cách giải sau: Cách 1: Xác định đường vng góc chung và tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa song song với , khoảng cách khoảng cách Cách 3: Dựng mặt phẳng chứa mặt phẳng chứa cho song song với , khoảng cách khoảng cách 2.3.3 Một số ví dụ 2.3.3.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Bài 1: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , vng góc với mặt phẳng Gọi trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Lời giải Gọi trung điểm , gọi giao điểm Ta chứng minh Lại có Tính S ; A D E H B F C Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , tâm , , Gọi trung điểm trung điểm Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Lời giải Kẻ đường thẳng qua vng góc với , cắt Ta có: download by : skknchat@gmail.com S Vì I Tính D A H N M B Mà Bài 3: C K Cho hình chóp Gọi có đáy trung tam giác vng điểm cạnh Tính khoảng cách từ đến cạnh Lời giải S nên hình chiếu lên tâm đường trịn ngoại tiếp Từ kẻ đường thẳng vng Vì mặt phẳng tam giác góc taị Vì nên M B C A Vì Vì H K 2.3.3.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Bài 4: Cho hình chóp đáy hình thang, , Cạnh bên vng góc với đáy Gọi hình chiếu lên Tính (theo ) khoảng cách từ đến mặt phẳng Lời giải download by : skknchat@gmail.com Gọi giao điểm Laị có Ta có với S H D A Vì B C M Từ Bài 5: phẳng Cho hình chóp có đáy tam giác vng trung điểm , hình chiếu vng góc lên mặt trung điểm , mặt phẳng tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải Gọi trung điểm hình chếu lên theo S Ta xác định K nên từ B Ta có: Bài 6: C H M A Cho hình chóp có đáy tam giác vng Hình chiếu vng góc mặt phẳng trung điểm cạnh Góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh đến mặt phẳng Lời giải S Ta có: Dựng Khi B Do K M E C H A download by : skknchat@gmail.com Suy Dựng Khi đó: Do Bài 7: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , Hình chiếu vng góc mặt phẳng điểm thuộc đoạn cho Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc với giao điểm Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo Lời giải S Dễ thấy tam giác trọng tâm tam giác Khi Mặt khác F B Do C H O E A Dựng D Vậy Bài 8: Cho hình chóp Gọi phẳng đáy tam giác phẳng có đáy hình chữ nhật tâm , có trung điểm Biết vng góc với mặt vng Tính khoảng cách từ đến mặt Lời giải Khi đó: Ta có S Do F A Dựng D H Khi đó: I B E C download by : skknchat@gmail.com Mặt khác Do đó: Bài 9: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật có , Hình chiếu lên mặt phẳng đáy trọng tâm tam giác Góc đường thẳng mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải Ta có suy Do Dựng , Do Mặt khác Bài 10: Cho hình chóp có , , Gọi trung điểm cạnh Hình chiếu vng góc đỉnh mặt phẳng đáy trung điểm , góc đường thẳng mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải Đặt Mà Dựng , Khi Mặt khác download by : skknchat@gmail.com Mặt khác Do đó: Do Bài 11: Cho hình chóp có đáy hình thang vng Hình chiếu vng góc lên trùng với giao điểm Mặt bên hợp với đáy góc Biết Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo Lời giải Dựng Theo Talet ta có: , Khi đó: Ta có: Lại có  Bài 12:(HSG Vĩnh Phúc 2018) Cho hình chóp có đáy hình thoi tâm , , ; hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Biết khoảng cách từ điểm phẳng Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng đến mặt Lời giải Ta có diện tích hình thoi là: Theo giả thiết: Trong kẻ kẻ , kẻ download by : skknchat@gmail.com Khi ta có: Bài 13:(HSG Sơn La 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải Gọi giao điểm Suy Ta có Gọi hình chiếu lên Trong tam giác vng có Vậy Bài 14: (HSG Cần Thơ 2017-2018) Cho hình chóp có đáy Gọi điểm thuộc cạnh phẳng hình thoi cạnh trọng tâm tam giác cho biết Tính khoảng cách từ điểm Gọi đến mặt Lời giải 10 download by : skknchat@gmail.com Tam giác nên tam giác có , tam giác Suy Xét tam giác nên tam giác Tương tự tam giác có vng vng Vậy hay có cạnh Xét hai tam giác vuông chung nên chúng Suy Trong tam giác vuông , có thuộc cạnh (1) Mặt khác Mà (2) Từ (1) (2) suy Ta có 2.3.3.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài 15: Cho hình chóp có đáy hình vng, gọi trung điểm Tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy , biết , tạo với mặt đáy góc Tính theo khoảng cách hai đường thẳng Lời giải 11 download by : skknchat@gmail.com Đặt Ta có: Cạnh Cạnh Từ Dựng hình bình hành hình vẽ Tứ diện tứ diện vuông Bài 16: Cho lăng trụ có mặt bên hình vng cạnh Gọi trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách hai đường thẳng Lời giải Ta có Kẻ Mặt khác , kẻ Ta có Bài 17: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vng , Gọi trung điểm đoạn thẳng , giao điểm Tính theo a khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải 12 download by : skknchat@gmail.com Lăng trụ đứng Ta có: Bài 18: Cho hình chóp có tam giác cạnh , tam giác cân Hình chiếu mặt phẳng trung điểm cạnh , góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng theo Lời giải Gọi trung điểm cạnh Nên Vẽ hình bình hành Khi đó: Kẻ Vì Ta có: Bài 19: Cho hình chóp có đáy hình thang cân, hai đáy Biết , , Hình chiếu vng góc lên trung điểm đoạn Tính khoảng cách hai đường thẳng theo Lời giải 13 download by : skknchat@gmail.com Vì S mà Gọi mà trung điểm , suy , K A D H Kẻ Ta có : B C M hay Bài 20: (HSG Bình Phước 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình thang với , Biết hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt đáy Tính theo thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng Lời giải Gọi giao điểm Khi Mặt khác, hai mặt phẳng vng góc với mặt đáy nên Gọi trung điểm hình vng cạnh S H D Mặt khác vuông cân Do đó, O F Ta có: C E B A Ta có Gọi điểm đối xứng với qua hình bình hành 14 download by : skknchat@gmail.com Do Trong mặt phẳng dựng Khi ta có: Ta có Chú ý: Kẻ Xét đoạn vng góc chung ta có Bài 21: (HSG Đà Nẵng 2017-2018) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , cạnh bên vng góc với đáy có độ dài Gọi , trung điểm Tìm số đo góc tính khoảng cách hai đường thẳng Lời giải Đặt , , Suy ; Tìm góc , ta có: 15 download by : skknchat@gmail.com Tìm khoảng cách hai đường thẳng Suy : gọi , đoạn vng góc chung và Suy Bài 22: (HSG Đồng Nai 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác có mặt đáy hình chữ nhật Mặt bên tam giác cân mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng góc tạo cạnh bên mặt đáy hai đường thẳng , Lời giải Gọi trung điểm Trong qua kẻ song song với Gọi hình chiếu lên Gọi hình chiếu lên Biết , Tính khoảng cách S F E Vậy H tâm hình chữ nhật ta có: Do Mà , O A Gọi C B nên , D , , vuông cân đồng dạng nên: Xét vng ta có: Vậy 16 download by : skknchat@gmail.com Bài 23: (HSG Hà nam 2016-2017) Cho hình hộp có đáy ABCD hình thoi cạnh a, , Cạnh bên hợp với mặt phẳng ( ) góc Tính theo thể tích khối hộp khoảng cách hai đường thẳng Lời giải Gọi G trọng tâm tâm A' B' đường tròn ngoại tiếp (vì đều) Theo giả thiết D' C' H B cạnh a O C G 600 A N D vng G Ta có Gọi (N trung điểm AD) Vì Ta có Trong mp dựng suy Có Bài 24: (HSG Hà Nam 2017-2018) Cho hình chóp có đáy hình thang vng Biết , , đường chéo vng góc với mặt phẳng Tính theo thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng 17 download by : skknchat@gmail.com Lời giải Ta có: Kẻ Tam giác vuông nên: Gọi giao điểm Ta có Kẻ đường thẳng qua (SHE) (SA,d); Kẻ vng góc với song song với Kẻ , vng góc với nên Trong tam giác ta có 2.3.3.4 Bài tập tự luyện Một số toán trắc nghiệm khoảng cách Bài 25: Cho hình chóp có đáy , hình chiếu vng góc đoạn Gọi đường thẳng A hình vng cạnh lên trung điểm trung điểm đoạn theo B , Tính khoảng cách hai C D Đáp án đúng : đáp án D Bài 26: Cho hình chóp , đoạn A có , đáy hình chiếu vng góc lên Tính khoảng cách hai đường thẳng B C vuông , trung điểm theo D Đáp án đúng : đáp án B 18 download by : skknchat@gmail.com Bài 27: Cho hình chóp , với , vng góc với đáy Góc giữa A B có đáy hình thang vng Các mặt bên và Tính khoảng cách C D Đáp án đúng : đáp án A Bài 28: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , , Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng điểm thuộc đoạn thỏa mãn Gọi trung điểm cạnh Tính khoảng cách A B C D Đáp án đúng : đáp án B Bài 29: Cho hình lăng trụ tam giác có độ dài cạnh đáy ,góc mặt phẳng mặt phẳng đáy Gọi trung điểm cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng theo A B C D Đáp án đúng : đáp án A Bài 30: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật tâm , , Tam giác cân , , góc Tính khoảng cách hai đường thẳng A B C D Đáp án đúng : đáp án D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đối với học sinh: Trong q trình dạy học tơi ln nhắc nhở em phải nắm định nghĩa, phải biết cách sử dụng có hiệu định lí Khi giải toán khoảng cách cần trọng đến khâu vẽ hình, cần quan tâm đến tốn đặc biệt để từ có nhìn tổng thể tốn tính khoảng cách Do em biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo 19 download by : skknchat@gmail.com toán Các em học sinh có học lực giải tốn khó Trong kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 20162017, lớp 11A2 có 93 % em đạt kết trung bình có 80% đạt kết giỏi, lớp 11A8 có 90 % em đạt kết trung bình có 78% đạt kết giỏi Trong kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 2017-2018, lớp 11A6 có 95% em đạt kết trung bình có 82% đạt kết giỏi Bên cạnh kì thi học sinh giỏi cấp trường kì thi bồi dưỡng phần đa em tính tốn khoảng cách từ có kết cao kì thi - Đối với thân: Đã có tích lũy kiến thức phương pháp dạy học Tùy đối tượng học sinh, đối tượng có phương pháp khác Qua có phương pháp giảng dạy đạt hiệu rõ rệt - Đối với đồng nghiệp: Đề tài nguồn tham khảo hữu ích, nội dung, ý tưởng số ý kiến phân tích, lập luận tác giả q trình trình bày ví dụ để hoàn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận: Hình học khơng gian vấn đề quan trọng thiếu đề thi đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp Đặc biệt đề thi ln có phần quan hệ vng góc ứng dụng để giải tốn liên quan Vì giúp học sinh có kĩ giải tốn hình học khơng gian nhiệm vụ quan trọng Các em học sinh muốn có kĩ giải tốt tốn quan hệ vng góc em phải nắm vững lí thuyết, dạng tốn phương pháp giải dạng tốn Trên số kinh nghiệm thân rút trình dạy học tốn tính khoảng cách Bài tập hình học khơng gian tương đối khó phức tạp Thơng qua dạng tốn, phương pháp giải ví dụ hi vọng phần giúp em học sinh có kĩ giải tốn tính khoảng cách tiền đề để sau em giải tốt tốn tính thể tích Kiến nghị: Nhằm giúp học sinh học tốt phần quan hệ vng góc khơng gian tơi kiến nghị: -Trong phân phối chương trình lớp 11 số tiết học đặc biệt số tiết luyện tập tơi kiến nghị tăng số tiết cho chương học - Trong trình dạy học phần đề nghị giáo viên nêu dạng toán phương giải dạng tốn đó, đặc biệt phải rèn luyện kĩ dựng hình cho học sinh Trong khn khổ hạn hẹp đề tài, với năng lực có hạn thân khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý, chia sẻ đồng nghiệp học sinh 20 download by : skknchat@gmail.com Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1, Hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết từ kinh nghiệm giảng dạy thân, không chép từ tài liệu Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm với lời cam đoan Trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Phạm Tiến Hùng 21 download by : skknchat@gmail.com ... trình dạy học tốn tính khoảng cách Bài tập hình học khơng gian tương đối khó phức tạp Thơng qua dạng tốn, phương pháp giải ví dụ hi vọng phần giúp em học sinh có kĩ giải tốn tính khoảng cách tiền... thể tốn tính khoảng cách Do em biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo 19 download by : skknchat@gmail.com tốn Các em học sinh... đưa cách giải toán phương pháp phù hợp 2.2 Thực trạng vấn đề Xuất phát từ việc dạy phân mơn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể tốn tính khoảng cách Đối với dạng toán mục tiêu học sinh biết cách