(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THIỆU HĨA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………… ……… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………… ………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………….…… ……… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… … …… II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… … ………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………… …… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………… …………….… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường …………………… III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………….…… …… 19 3.1 Kết luận ……………………………………………….…… … 20 3.2 Kiến nghị …………………………………………….….…… … 20 20 Tài liệu tham khảo: …………………………………………….………… download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, dạng tích phân tính tính chất tích phân tính chất hàm số (ở tạm gọi hàm ẩn) xuất ít, khả thực hành tính tốn học sinh cịn nhiều hạn chế hay chưa nói đến gặp nhiều khó khăn Trước đây, kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến kỳ thi Đại học, Cao đẳng khơng xuất dạng tích phân hàm ẩn, quan tâm giáo viên học sinh vấn đề khơng có Từ Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm (ngay năm năm 2017) dạng tích phân có đề thi xuất khơng câu tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm ngùi sau kì thi Từ lý cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi định chọn đề tài với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng kiến thức bản, kết hợp phương pháp tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo thói quen mới, phương pháp cho dạng tốn Tích phân hàm ẩn 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục tiêu nêu trên, sau hoàn thành đề tài tơi sử dụng đề này, vận dụng kiến thức nghiên cứu, đúc kết đặt có hệ thống vào giảng dạy cho học sinh Ngồi chia sẻ với đồng nghiệp để khai thác nội dung đề tại, truyền thụ kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu Xuất phát từ phương pháp tính tích phân học sinh học sách giáo khoa tốn tích phân sưu tầm từ đề thi THPT QG năm 2017 để thi thử trường THPT, Sở GD & ĐT nước tơi phân chia thành dạng để có phương pháp riêng giải cho dạng, dạng xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong dạng tốn tích phân trình bày sách giáo khoa tốn tích phân học sinh tiếp cận, chủ yếu với hàm số biểu thức cho trước ( hàm tường ) download by : skknchat@gmail.com Trong dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm dựa vào biểu thức hàm số cho để định phương hướng lựa chọn phương pháp Tuy nhiên với tích phân hàm ẩn khơng có hàm số tường minh để dựa vào Và vấn đề đặt học sinh làm để nhận dạng áp dụng phương phán giải hợp lý cho toán Vấn đề tơi xin trình bày phần nội dung đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước SKKN áp dụng, thấy đa số em học sinh giải tốn theo kiểu “ tù mù” Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng phần! Và học sinh đánh phương hướng, nhiều thời gian cho hướng giải mù mịt (khơng biết có hay khơng) dẫn đến niền tin khả từ cảm thấy khơng cịn hứng thú việc học Toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trên sở kiến thức tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích Tơi chia thành dạng tốn sau sở để thực mục đích nhận biết dạng tốn để chọn phương pháp phù hợp Nội dung đề tài trình bày cụ thể sau: I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số liên tục trên số Hiệu số nguyên hàm gọi tích phân từ (hay tích phân xác định Ta cịn dùng kí hiệu ), kí hiệu để hiệu số Vậy Ta gọi Giả sử đến hàm dấu tích phân, dấu tích phân cận dưới, cận trên, biểu thức hàm số dấu tích phân 1.2 Tính chất tích phân download by : skknchat@gmail.com Tính chất 1: ( số) Tính chất 2: Tính chất 3: , 1.3 Các phương pháp tính tích phân 1.3.1 Phương pháp đổi biến Để tính tích phân ta thực phép đổi biến sau: Bước 1: Đặt Đổi cận: , Bước 2: 1.3.2 Phương pháp tích phân phần Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục Khi II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Dùng tính chất tích phân Phương pháp giải: - Khi đề cho kết tích phân có cận (trên dưới) hay nhiều hàm số u cầu tính tích phân (cận khơng thay đổi) tổng, hiệu hàm số ta dùng tính chất tích phân để giải download by : skknchat@gmail.com - Khi đề cho kết tích phân hàm số yêu cầu tính tích phân (chỉ khác tích phân cho cận) hàm số ta dùng tính chất tích phân Ví dụ 1: Cho , Tính (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần năm học 2017-2018) Lời giải Ta có Ví dụ 2: Biết Tính tích phân (THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018) Lời giải Ta có 2.2 Dùng phương pháp đổi biến Phương pháp giải: - Khi gặp tích phân dạng ta dùng phương pháp đổi biến: download by : skknchat@gmail.com đặt - Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm biết hàm số cho trước) ta đổi biến Ví dụ 1: Cho Tính (với theo (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần năm học 2017-2018) Nhận xét: Ta thấy có hàm hợp hàm số với nên ta dùng phương pháp đổi biến , để tính I theo biến , sau dùng tính chất tích phân khơng phụ thuộc vào biến ta tính I heo Lời giải Đặt Đổi cận: , Khi đó: Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số tục Tính liên download by : skknchat@gmail.com Nhận xét: Ta thấy hàm số dấu tích phân biến đổi cách đặt hàm hợp nên ta Lời giải Đặt Đổi cận : , Khi Vậy Ví dụ 3: (THPT chuyên Phan Bội Châu – lần năm học 2017-2018) Cho hàm số liên tục đoạn phân thỏa mãn Tính tích Nhận xét: Bằng cách đặt , ta có Do lấy tích phân từ đến hai vế ta tính Lời giải Đặt Đổi cận : , Suy download by : skknchat@gmail.com Từ giả thiết ta có 2.3 Dùng phương pháp phần Phương pháp giải: Khi đề cho yêu cầu tính (với biểu thức cho trước) ngược lại ta biến đổi cách dùng phương pháp phần, đặt Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Tính Nhận xét: Đề cho theo yêu cầu tính nên ta biến đổi cách dùng phương pháp phần download by : skknchat@gmail.com Lời giải Đặt Ta có Ví dụ 2: (THPT chun Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số đạo hàm liên tục đoạn , thỏa mãn có Tính Nhận xét: Đề cho làm xuất yêu cầu tính nên ta biến đổi cách dùng phương pháp phần Lời giải Đặt Ta có 10 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1: Cho hàm số Tính liên tục , Nhận xét: Đây toán dạng Lời giải Đặt Khi , với Đặt Khi Vậy Ví dụ 2: (Chun Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn , Tính Nhận xét: Đây toán dạng Lời giải - Đặt Đổi cận: ; 12 download by : skknchat@gmail.com Ta có Do - Đặt , Vậy 2.5 Tính tích phân hàm số cách xác định hàm số dựa vào điều kiện cho trước 2.5.1 Xác định hàm số biết đẳng thức liên hệ Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ ta thay và ngược lại ta đẳng thức thứ hai Từ đẳng thức ban đầu đẳng thức thứ hai ta tìm hàm Ví dụ 1: Xét hàm số Tính tích phân liên tục thỏa mãn Lời giải Thay ngược lại vào ta có (1) , (2) Từ (1) (2) ta có 13 download by : skknchat@gmail.com Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có Suy Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục Tính Lời giải Thay ngược lại vào , ta có Từ (1) (2) ta có Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có Khi 2.5.2 Xác định hàm số biết đẳng thức liên hệ Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ và ta biến đổi theo hai hướng sau: 14 download by : skknchat@gmail.com - Hướng 1: Cô lập hàm vế sau lấy nguyên hàm hai vế để tìm - Hướng 2: Nếu khơng cô lập đẳng thức liện hệ và vế ta biến đổi cho vế đạo hàm có dạng tích, thương hàm chứa , sau lấy ngun hàm hai vế để tìm hàm Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục đồng biến , thỏa mãn Tính tích phân Nhận xét: Vế trái đẳng thức ta đặt có nhân tử chung làm thừa số chung lập nên Ta có Lời giải Vì hàm số liên tục đồng biến , nên ta có , Do 15 download by : skknchat@gmail.com Mà nên Do Vậy Ví dụ 2: Cho hàm số Tính thỏa mãn , Nhận xét: Ta khơng lập từ đẳng thức vế trái khơng có thừa số chung Do ta tìm cách giải theo hướng thứ hai: Ta có (*), ta thấy vế trái (*) có dạng Lời giải Ta có Mà nên Do Vậy 2.5.3 Xác định hàm số cách tạo hàm số dấu tích phân có dạng bình phương tổng (hoặc hiệu) cho tích phân có kết (gọi tắt tạo bình phương cho hàm dấu tích phân) 16 download by : skknchat@gmail.com Phương pháp giải: Đối với toán ta thường gặp ba dạng sau: Dạng 1: Cho , Tính (với cho trước) Với dạng ta xác định hàm số cách tạo bình phương cho hàm dấu tích phân dạng (với ) theo bước sau: Bước 1: Tính Bước 3: Tìm số thực cho Từ suy Dạng 2: Cho , (với cho trước) Tính Với dạng ta xác định hàm số dấu tích phân dạng cách tạo bình phương cho hàm (với ) theo bước sau: 17 download by : skknchat@gmail.com Bước 1: Biến đổi làm xuất cách dùng phương pháp phần: đặt Bước 2: Tính Bước 3: Tìm số thực cho Từ suy Dạng 3: Cho ba tích phân thức cho trước) , chứa , (với yêu cầu tính tích phân từ đến biểu hàm số có Với dạng ta xác định hàm số cách tạo bình phương cho hàm dấu tích phân dạng ) Ta tìm hai số thực (với , cho Từ suy Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa 18 download by : skknchat@gmail.com mãn Biết Tính Nhận xét: Đây tốn dạng Bài tốn để tính ta tìm hàm số cách tạo bình phương cho hàm dấu tích phân dạng Lời giải Ta có Do hay Vậy Suy 19 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 2: ( Đề minh họa Bộ giáo dục đào tạo năm 2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tính tích phân Nhận xét: Đây toán dạng nên ta giải theo bước nêu Lời giải - Đặt , Ta có Ta có - Ta tìm số cho Thay vào (1) ta có 20 download by : skknchat@gmail.com Mà nên Do Vậy Ví dụ 3: Cho hàm số Biết liên tục đoạn thỏa mãn Tính tích phân Nhận xét: Đây tốn dạng 3: đề cho ba tích phân nên ta tìm hàm số , cách tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân dạng 21 download by : skknchat@gmail.com Để có Từ ta có lời giải: Lời giải Ta có Vậy 2.6 Dùng kỹ thuật chọn hàm Phương pháp giải: Ta chọn hàm toán theo hướng sau: Đề cho thỏa mãn đẳng thức kiện đẳng thức kiện chọn hàm số có tham số tương ứng Chẳng hạn: Đề cho đẳng thức ta chọn , Đề cho hai đẳng thức ta chọn , Đề cho đẳng thức hàm chẵn ta chọn , Đề cho hai đẳng thức hàm chẵn ta chọn Đề cho đẳng thức hàm lẻ ta chọn , , Đề cho hai đẳng thức hàm lẻ ta chọn , Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số Tính liên tục 22 download by : skknchat@gmail.com Nhận xét: Đề cho đẳng thức Sau ta tìm nên ta chọn thỏa mãn , Lời giải Chọn , Suy Vậy Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số có đạo hàm liên tục , Tính Nhận xét: Đề cho hai đẳng thức : , Sau ta tìm nên ta chọn thỏa mãn , Lời giải Chọn Ta có (1) 23 download by : skknchat@gmail.com (2) Từ (1) (2) ta có Do Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với nội dung ý tưởng đề tài hy vọng SKKN phổ biến rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho học sinh cách tiếp cận kiến thức mơn Tốn dựa tảng kiến thức biết Kết đạt được : Sau đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh mùa thi THPT Quốc Gia năm 2018 có nhiều em giải câu tích phân hàm ẩn Và mùa thi tới (năm 2019) em làm nhiều từ để thi thử trường THPT, trường chuyên Sở GD & ĐT, em sẵn sàng cho kì thi cuối em III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm thực tiễn trình giảng dạy, tìm tòi đúc rút kinh nghiệm thân, với đề tài hy vọng giúp em học sinh tự tin việc giải tốn tích phân hàm ẩn 3.2 Kiến nghị Với nội dung có hạn đề tài tơi nghiên cứu, xin kiến nghị đến Sở GD & ĐT, nhà trường đồng nghiệp đưa vào ứng dụng tiếp tục mở rộng thêm nội dung đề tài cho rất nhiều nội dung khác mơn Tốn như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ tạo niền đam mê học Toán cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 24 download by : skknchat@gmail.com ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Tuấn Ngọc TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008; 2) Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi tập trắc nghiệm toán 12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội; 3) Các đề minh họa đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 Bộ giáo dục đào tạo; 4)Các đề thi thử THPT quốc gia trường, Sở giáo dục đào tạo toàn quốc 25 download by : skknchat@gmail.com 26 download by : skknchat@gmail.com ... II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Dùng tính chất tích phân Phương pháp giải: - Khi đề cho kết tích phân có cận (trên dưới) hay nhiều hàm số yêu cầu tính tích phân (cận không thay... hiệu hàm số ta dùng tính chất tích phân để giải download by : skknchat@gmail.com - Khi đề cho kết tích phân hàm số yêu cầu tính tích phân (chỉ khác tích phân cho cận) hàm số ta dùng tính chất tích. .. dạy cho học sinh mùa thi THPT Quốc Gia năm 2018 có nhiều em giải câu tích phân hàm ẩn Và mùa thi tới (năm 2019) em làm nhiều từ để thi thử trường THPT, trường chuyên Sở GD & ĐT, em sẵn sàng cho