(SKKN CHẤT 2020) áp dụng tính liên tục của hàm số, định lí lagrange, định lí rolle để giải toán

Sáng kiến kinh nghiệm TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2008-2009 Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I ÁP DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐỂ GIẢI TỐN I.1.Các tính chất I.2 Các tốn I.2.1 Áp dụng tính liên tục hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm I.2.2 Áp dụng tính liên tục hàm số để giải tốn hàm số dãy số I.2.3.Dựa vào tính liên tục hàm số để chứng minh hàm số hàm I.2.4 Phương trình hàm liên tục Chương II ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE, ĐỊNH LÍ ROLLE ĐỂ GIẢI TỐN II.1CÁC ĐỊNH LÍ II.1.1 Áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để chứng minh phương trình có nghiệm II.2.2 Áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức II.2.3 Áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để giải phương trình,hệ phương trình II.2.4 Áp dụng định lí Lagrange để giải bất phương trình II.2.5 Áp dụng định lí Lagrange để tìm giới hạn dãy số Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập chuyên đề giảng viên , chuyên gia Toán Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chun viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hoàn chỉnh , cụ thể hoá chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng phân chia hai bảng A,B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó số lượng giải gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chuyên đề việc cần thiết tình hình nay.Được ủng hộ thầy tổ Tốn Tin trường THPT Chuyên Tiền Giang thực viết chuyên đề :” Áp dụng tính liên tục hàm số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải tốn” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng tính liên tục định lí Lagrange , định lí Rolle đồng thời đưa nhận xét cách giải Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng vào việc giải tốn giải tích , đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư toán học khả vận dụng sáng tạo tốn Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày lời giải hướng dẫn giải tốn có sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm, để giải tốn hàm số dãy số , trình bày phương pháp chứng minh hàm số hàm số lớp phương trình hàm liên tục Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Tiếp theo áp dụng tính liên tục hàm số tập áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để chứng minh phương trình có nghiệm, để chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức, để giải phương trình,hệ phương trình,bất phương trình áp dụng để tìm giới hạn dãy số Rèn luyện tư tốn thơng qua tập hàm số giới hạn dãy số đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu -Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống áp dụng hàm số liên tục , định lí Lagrange, định lí Rolle nhận xét -Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại tập,nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để HS trao đổi nghiên cứu -Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có lời giải cụ thể -Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán Một số kết đạt Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải toán hàm số dãy số Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức hàm số liên tục giới hạn dãy số Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Các tính chất hàm số liên tục đoạn áp dụng nhiều phong phú đa dạng toán hàm số dãy số định lí Lagrange, định lí Rolle sử dụng đề thi HS giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chun đề tương đối hồn chỉnh các dạng tập nên viết chuyên đề :” Áp dụng tính liên tục hàm số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải toán” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm -Chương I: Trình bày áp dụng tính chất hàm số liên tục, chương chủ yếu áp dụng tính chất hàm số liên tục đoạn đồng thời sử dụng nhiều đến tồn giới hạn hữu hạn dãy số mối liên hệ giới hạn dãy giới hạn hàm - Chương II: Trình bày áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để chứng minh phương trình có nghiệm, để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, để giải phương trình,hệ phương trình,bất phương trình áp dụng để tìm giới hạn dãy số Dù cố gắng nhiều đề tài không tránh khỏi sai sót , mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài Chương I ÁP DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐỂ GIẢI TỐN I.1.CÁC TÍNH CHẤT: 1.Nếu hàm số f liên tục x0 dãy (xn) có limxn = x0 limf(xn) = f(x0) = f(limxn) 2.Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó,đồng thời nhận giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn nhất,nghĩa : ∀x ∈ [ a ; b] , a/Tồn x1 ∈ [ a ; b] cho f(x1) ≤ f(x) với kí hiệu m=f(x1)= f ( x ) [a;b] ∀x ∈ [ a ; b] , b/ Tồn x2 ∈ [ a ; b] cho f(x) ≤ f(x2) với kí hiệu M = f(x2) = max f ( x) [ a ;b ] c/Với c ∈ [ m ; M ], ∃ x ∈ [ a ; b] cho f(x0) = c Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn x0 ∈ ( a ; b) cho f(x0) = 0,nghĩa phương trình f(x) = có nghiệm.Nếu có thêm giả thiết hàm số f đơn điệu khoảng (a;b) nghiệm x0 I.2.CÁC BÀI TỐN: I.2.1 Áp dụng tính liên tục hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm: Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Biến đổi phương trình dạng f(x) = sau chứng minh f liên tục [a;b] f(a).f(b) ≤ Bài 1: Cho a,b,c khác p,q tùy ý.CMR phương trình nghiệm Giải :* Với p = q ta có * Với p ≠ q điều kiện xác định x ≠ p x ≠ q Với điều kiện phương trình tương đương với a2(x-q)+b2(x-p)=c(x-p)(x-q) ⇔ c(x-p)(x-q)- a2(x-q)-b2(x-p) = Đặt vế trái phương trình f(x) Ta có f liên tục R f(p)f(q) = -a2b2(p-q)2 ≤ 0.Do tồn số x0 p q cho f(x0) = 0,tức phương trình có nghiệm Bài 2: Cho hàm f :[a;b] → [a;b] liên tục CMR phương trình f(x) = x có nghiệm [a;b] HD:Đặt g(x) = f(x) –x liên tục [a;b] g(a).g(b) ≤ Bài 3:CMR phương trình cos 1 x − sin x = m ln có nghiệm HD: Điều kiện x ≠ k Đặt f(x) = sinx – cosx –msinxcosx liên tục [0; Bài 4:CMR với a,b,c PT sau ln có nghiệm: ab(x-a)(x-b)+ bc(x-b)(x-c)+ ac(x-a)(x-c) = HD: Đặt f(x)= ab(x-a)(x-b)+ bc(x-b)(x-c)+ ac(x-a)(x-c) liên tục R f (a) f (b) f (c) f (0) ≤ ⇒ f (a) f (b) ≤ f (c) f (0) ≤ I.2.2 Áp dụng tính liên tục hàm số để giải toán hàm số dãy số: -Áp dụng định lí giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn hàm liên tục -Dãy số đơn điệu bị chặn tồn giới hạn hữu hạn Bài 5: Cho f hàm số liên tục R thỏa mãn điều kiện f(f(x))f(x) =1 với x f(2a)=2a-1( với a>1).Hãy tính f(a) Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Ta có f(f(2a)).f(2a) =1 f(2a) = 2a-1 nên [f(2a-1)].(2a-1) =1 suy f(2a-1)= a −1 Vì f liên tục R a −1 < a < 2a − nên tồn x0 ∈(2a-1;2a) cho f(x0) = a Vì f(f(x)).f(x)=1 với x nên f(f(x0)).f(x0)=1 suy f (a) = a Bài 6: Cho hai hàm số liên tục f,g:[0;1] → [0;1] thỏa mãn điều kiện f(g(x)) = g(f(x)) , ∀x ∈ [0; 1] Biết f hàm số tăng.CMR tồn a ∈ [0; 1] cho f(a) = g(a) = a Giải: Đặt h(x) = g(x)-x với ∀x ∈ [0; 1] , h hàm số liên tục [0;1] h(0).h(1) = [g(0)-0] [g(1)-1] ≤ nên tồn x0 ∈ [0; 1] cho h(x0) = hay g(x0) = x0 Nếu f(x0) = x0 ta có đpcm Nếu f(x0) ≠ x0 ta xét dãy (xn) xác định x1 = f(x0),xn+1 = f (xn) với n ≥ 1.Rõ ràng xn ∈ [0;1] Do f hàm số tăng nên dãy (x n) dãy tăng x0 < x1 dãy giảm x0 > x1 Suy tồn limxn =a ∈ [0; 1] Bằng quy nạp ta chứng minh g(xn) = xn với n ≥ 1.Thật với n =1 ta có x1 = f(x0) ⇒ g(x1) = g(f(x0)) = f(g(x0)) = f(x0) = x1 Giả sử g(xk) = xk Khi xk+1 = f(xk) = f(g(xk)) = g(f(xk)) = g(xk+1) Vậy g(xn) = xn với n ≥ 1.Do f g liên tục nên ta có : f(a) = f(limxn) = limf(xn) = limxn+1 = a g(a) = g(limxn) = limg(xn) = limxn = a Vậy f(a) = g(a) = a Bài 7: Cho f hàm số liên tục đoạn [0;1] thỏa điều kiện f(0) kì số tự nhiên n tồn số c thuộc đoạn [0;1] cho f (c ) = f (c + Giải : Xét hàm số g(0) + g( = f (1) − f (0) = Từ suy tồn i,j cho n ) + g( Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm i , ∃c ∈ n Bài 8: Ký hiệu xn nghiệm phương trình 1 x + x −1 + + x − n = thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy (xn) hội tụ; b) Hãy tìm giới hạn Giải (0, 1) x→0 + f n ( x) = lim Rõ ràng xn xác định với < xn < Ta có f n +1 (x) = + x f x (x ) = f n+1 n (x n ) + 1/(x n hàm liên tục, khoảng (0, xn) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm xn+1 Vậy ta chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số (xn) giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn b/Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Thật ta có ln(1+1/n) < 1/n suy + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln2+ln3-ln2+…+ln(n+1)lnn=ln(n+1) > lnn) Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có xn ≥ a với n Do + 1/2 + 1/3 + … + 1/n Ỉ +∞ n Ỉ +∞ nên tồn N cho với n ≥ N ta có + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a Khi với n ≥ N ta có Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm CMR: HD: Ta chứng minh quy nạp Với n=2 BĐT Giả sử BĐT với n-1 0 lim n a (xn − xn+1 ) = +∞ n→∞ Với a < lim n a (xn − xn+1 ) = 0.Vậy a=2 đáp số toán n→∞ Bài 48: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực (xn) xác định bởi: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh r ằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vơ Giải Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 f '(x) = Ta có: | cos x − sin x |≤ 2, | sin x + cos x |≤ ta suy | f '(x) |≤ − 2 = q < Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có f(x) – f(y) = f /(z)(x-y) Từ suy |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| với x, y thuộc R Áp dụng tính chất với m > n ≥ N, ta có |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)| ≤ q|xm-1-xn-1| ≤ …≤ qn-1|xm-n+1 – x1| ≤ qN-1|xm-n+1 – x1| Do dãy (xn) bị chặn q < nên với ε > tồn N đủ lớn để qN-1|xm-n+1 – x1| < ε Như dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy hội tụ NX : Tiêu chuẩn Cơ-si: Dãy (xn) có giới hạn hữu hạn với ε > 0, tồn số tự nhiên N cho với m, n ≥ N ta có |xm – xn| < ε Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 25 download by : skknchat@gmail.com ... Áp dụng tính liên tục hàm số để giải toán hàm số dãy số I.2.3.Dựa vào tính liên tục hàm số để chứng minh hàm số hàm I.2.4 Phương trình hàm liên tục Chương II ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE, ĐỊNH LÍ... :” Áp dụng tính liên tục hàm số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải toán? ?? Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng tính liên tục định lí Lagrange , định lí Rolle. .. LAGRANGE, ĐỊNH LÍ ROLLE ĐỂ GIẢI TỐN II.1CÁC ĐỊNH LÍ II.1.1 Áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle để chứng minh phương trình có nghiệm II.2.2 Áp dụng định lí Lagrange, định lí Rolle chứng minh