Đề thi học kì II môn Toán học 930278

ĐỀ SỐ 1: QUẬN 1, NĂM 2014-2015 Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 3x  15  b) x   x   7x  5y  33 c) 3x  10x   d)  3x  2y  15   Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: x  3x  m   (x ẩn) a) Định m để phương trình có hai nghiệm x , x Tính x  x x x theo m     b) Định m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: x x 14   x 32x 42   Bài 3: (1,5 điểm) x2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y   b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm (P) với đường thẳng d : x  2y  Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Các tiếp tuyến B, C đường tròn (O) cắt M a) Chứng minh tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn xác định tâm K đường tròn b) Gọi D giao điểm MA đường tròn (O) (D khác A), H giao điểm OM BC Chứng minh MB2 = MD.MA ˆ O  MH ˆD c) Chứng minh tứ giác OADH nội tiếp AH ˆ D  CA ˆH d) Chứng minh rằng: BA ThuVienDeThi.com BÀI GIẢI Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 3x  15  (1) Giải: '   3.15  45  Do ' nên phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình (1) vơ nghiệm b) x   x   (2) Giải: Ta có a  b  c        nên phương trình (2) có hai nghiệm:       c 2 x  1; x     2 a Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S   1;   c) 3x  10x   (3) Giải: Đặt t  x t   Phương trình (3) trở thành: 3t  10 t   (*) Δ'   5  3. 8  25  24  49  0; '  49  Do ∆’ > nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt: 57 2 57   (nhận); t  t1  (loại) 3 Với t  x   x  2 Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S   2; 2 7x  5y  33 d)  (4) 3x  2y  15 Giải: 14x  10y  66  x  9 x  x  4      15x  10y  75 3x  2y  15 27  2y  15  y  Vậy hệ phương trình (4) có nghiệm x; y   9;  Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: x  3x  m   (x ẩn) a) Định m để phương trình có hai nghiệm x , x Tính x  x x x theo m Giải: Ta có Δ  32  4.1.m  1   4m   13  4m Để phương trình có hai nghiệm x1, x2  Δ   13  4m   4m  13  m  Vậy phương trình có nghiệm x1, x2 m  13 13 13 phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: c m 1 b  m 1 S  x  x      3; P  x x   a a b) Định m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: x x 14  1 x 32x 42  1 Giải: Với m  ThuVienDeThi.com     Ta có x x 14   x 32x 42    x  x  32x  x  5  x  32x 52  x  x    x 15  32x 52   3   x 15  32x 52   x 15  32x 52  x    2x  5  x  2x  x  2x   x  x  x   3  x   x2  Thay x2 = vào S P ta được: x   3 x  6    x  m     x m 1   m 1   6  m   18  m  17 (thỏa) Vậy m  17 giá trị cần tìm Bài 3: (1,5 điểm) x2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y   Giải: Bảng giá trị x 4 2 x y  1 1  4 Vẽ đồ thị ThuVienDeThi.com (P) b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm (P) với đường thẳng d : x  2y  Giải: Ta có d : x  2y  hay d : y  x  2 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x2   x2   x  2x   x  2x   5 Ta có '  12  1. 8     0; '   Do ' nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt: 1 1  2; x   4 x1  1 22 Với x  , ta có y1    1   4 Với x  4 , ta có y    4 Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) A2;  1, B 4;   Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Các tiếp tuyến B, C đường tròn (O) cắt M a) Chứng minh tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn xác định tâm K đường tròn Giải: ThuVienDeThi.com B A M O K C ˆ O  90 (tính chất tiếp tuyến) Ta có MB  B thuộc đường trịn đường kính MO (1) ˆ O  90 (tính chất tiếp tuyến) Ta có MC  C thuộc đường trịn đường kính MO (2) Từ (1) (2)  điểm O, B, M, C thuộc đường trịn đường kính MO Vậy tứ giác OBMC nội tiếp đường trịn đường kính MO tâm K trung điểm MO b) Gọi D giao điểm MA đường tròn (O) (D khác A), H giao điểm OM BC Chứng minh MB2 = MD.MA Giải: B 1 D H M K C Xét ∆MBD ∆MAB có: ˆ : chung M ˆ (hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung) ˆB  A 1 ThuVienDeThi.com O A  ∆MBD ∽ ∆MAB (g.g) MB MD    MB  MD.MA MA MB ˆ O  MH ˆD c) Chứng minh tứ giác OADH nội tiếp AH Giải: B 1 D 1 M 2 H K C Ta có MB = MC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) OB = OC = R  MO đường trung trực đoạn thẳng BC  MO  BC H (với H trung điểm BC) Ta có ∆MBO vng B có BH đường cao  MB2 = MH.MO (hệ thức lượng) Và MB2 = MD.MA (do trên)  MH.MO = MD.MA Xét ∆MHD ∆MAO có: ˆ : chung M MH MD  (vì MH.MO = MD.MA) MA MO  ∆MHD ∽ ∆MAO (c.g.c) ˆ (3) (2 góc tương ứng) ˆ A H ˆ (do trên) ˆ A Xét tứ giác OADH có: H  Tứ giác OADH nội tiếp (góc góc đối ngoài) ˆ D ˆ (4) (cùng chắn cung OA)  H Vì OA = OD = R nên ∆OAD cân O ˆ (5) ˆ A D ˆ H ˆ Từ (3), (4) (5)  H ˆ O  MH ˆD Hay AH ˆ D  CA ˆH d) Chứng minh rằng: BA Giải: ThuVienDeThi.com O A B 1 D 1 M 2 H K O C ˆ H  180  CH ˆ H (tổng góc ∆ACH) ˆ A  AC Ta có CA ˆ H (vì CH ˆ A góc kề bù) ˆ A BH ˆ A  AC  BH ˆ H (vì BH ˆ A H ˆ góc phụ nhau) ˆ  AC  90  H 2 ˆ 180  2H ˆH   AC ˆ H ˆ 180  H ˆ H (vì H ˆ H ˆ )   AC 2 ˆA DH ˆ H (vì H ˆ  DH ˆAH ˆ  MH ˆ O  180 )   AC 2 ˆA DO ˆ H (cùng chắn cung AD tứ giác OADH nội tiếp)   AC ˆ A  AC ˆ H (hệ góc nội tiếp)  DC ˆB  DC ˆ D (cùng chắn cung BD)  BA ˆ D  CA ˆH Vậy BA ThuVienDeThi.com A ... phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: x x 14  1 x 32x 42  1 Giải: Với m  ThuVienDeThi.com     Ta có x x 14   x 32x 42    x  x  32x  x  5  x  32x 52  x  x   ... x2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y   Giải: Bảng giá trị x 4 2 x y  1 1  4 Vẽ đồ thị ThuVienDeThi.com (P) b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm (P) với đường thẳng d : x  2y  Giải: Ta có... (O) cắt M a) Chứng minh tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn xác định tâm K đường tròn Giải: ThuVienDeThi.com B A M O K C ˆ O  90 (tính chất tiếp tuyến) Ta có MB  B thuộc đường trịn đường kính MO