Kiểm tra 45 phút Hình học Dành cho lớp chuyên Toán 1029283

KIỂM TRA 45 PHÚT HÌNH HỌC DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TỐN 10 Bài I: (6 điểm) Cho góc nhọn BAx, điểm C di động tia Ax ( C khác A) Gọi tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC M,N,P Gọi E giao điểm MN AB Chứng minh PA EA  PB EB Chứng minh : MN qua điểm cố định C di động (Trích đê 30 – – 2014 THPT Gia Định) Bài II: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD điểm M, N, P, Q ; số m,n,p,q khác không thỏa điều kiện sau:          m.MA  n.MB  m.ND  n.NC  p.PA  q.PD  p.QB  q.QC  Gọi I giao điểm MN PQ      Chứng minh p.IM  q.IN  m.IP  n.IQ  DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 Bài I : (4 điểm) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB E, F Gọi K giao điểm BI ฀  900 EF Chứng minh BKC Bài II : (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với BC cạnh nhỏ Đường tròn nội tiếp (I) tam giác tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự X, Y, Z Gọi G trọng tâm tam giác XYZ Trên tia BA, CA lấy điêm E, F cho BE = CF = BC Chứng minh IG  EF Trích SGK chun tốn Hình 10 ThuVienDeThi.com LUYỆN TẬP THÊM TỈ SỐ KÉP VÀ HÀNG ĐIỀU HÒA ThuVienDeThi.com BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ HƯỚNG DẪN DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 Đề THPT Thực Hành SP An Giang 2012 Cho tam giác ABC điểm M Gọi Ga ; Gb ; Gc ; Gm ; G theo thứ tự trọng tâm tam giác MCB; MCA; MAB , Ga GbGc ABC Chứng minh M thay đổi, đường thẳng MGm quay quanh điểm cố định HD: Dùng phương pháp vectơ THPT Thượng Hiền 2012 Cho hai đường tròn O; R ; O '; R '  cắt hai điểm A B Một cát tuyến CBD quay quanh B nhìn từ A góc 900.C  O ; D  O '  Đường kính CE (O) cắt (O’) F G Gọi I giao điểm BG AD Chứng minh CI; FD; BE đồng quy HD: Dùng hàng điểm điều hòa ( Hệ thức Newton) áp dụng Ceva + Menelaus Chuyên Thăng Long 2012 Cho hình bình hành ABCD điểm M AC Gọi E điểm đối xứng B qua M Trên CD AD lấy điểm P Q cho EP//AD; EQ//CD Chứng minh M,P,Q thẳng hàng HD Dùng Menelaus Cho tam giác ABC điểm M nằm tam AM , BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB A1 ; B1 ; C1 BA; CA; AB theo thứ tự cắt B1C1 ; C1 A1 ; A1 B1 A2 , B2 , C2 A3 , B3 , C3 theo thứ tự trung điểm A1 A2 ; B1 B2 ;C1 C2 Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng HD : dùng định lí Menelaus Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác BO, CO theo thứ tự cắt AC, AB E, F I  AO  EF H ฀ AHE  OHF hình chiếu I BC Chứng minh ฀ HD : dùng định lí 16 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D,E,F H hình chiếu D EF ฀ ฀  CHD Chứng minh BHD HD : dùng định lí Ceva Cho hai đường thẳng a,b cắt O Điểm M không thuộc a, b không thuộc đường phân giác ฀ ฀  OMB góc tạo a,b Hai điểm A,B theo thứ tự thay đổi a,b cho OMA Chứng minh AB qua điểm cố định HD: Dùng định lí chùm điều hòa ThuVienDeThi.com Một số ứng dụng định lý Menelaus, Ceva toán THCS: - Chứng minh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích - Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy - Áp dụng để giải tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,… I Bài tập minh họa: Bài Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC P Chứng minh rằng: PA = 2PC Bài Cho ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường trịn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB  AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp b) PB DB  D trung điểm QS PC DC c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE  DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F AED a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc ฀ ฀ ฀  CED b) Chứng minh BFE Bài Cho tam giác ABC, gọi M chân đường vng góc kẻ từ A xuống đường phân giác góc BCA, N L chân đường vng góc kẻ từ A C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao MN AC, E giao BF CL, D giao BL AC Chứng minh DE song song với MN Bài Cho ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy ThuVienDeThi.com Bài Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy Bài 11 Cho ABC vuông A, đường cao AK Dựng bên tam giác hình vng ABEF ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy II Bài tập đề nghị: Bài Cho tứ giác ABCD có M, N giao cặp cạnh đối AB CD, AD BC Đường thẳng AC cắt BD, MN I, J Chứng minh JA IA  JC IC Bài Cho tam giác ABC A’B’C’ cho AA’, BB’, CC’ đồng quy O Gọi A1, B1, C1 giao điểm cặp cạnh BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’ Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối AB Cd, AD BC cắt M, N Chứng minh trung điểm I, J, K AC, BD, MN thẳng hàng Bài Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ giao điểm cặp AB DE, BC EF, CD AF Chứng minh điểm A’, B’, C’ thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Điểm M nằm tam giác ABC điểm A1, B1, C1 giao điểm MA, MB, MC với B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh A’A1, B’B1, C’C1 đồng quy Bài Cho tam giác ABC Một đường thẳng cắt cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng A1, B1, C1 qua điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh điểm A2, B2, C2 thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác AM, BM, CM cắt cạnh đối diện A1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt cạnh BC, CA, AB điểm thứ hai A2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy Bài Cho (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Các tiếp tuyến A B (O1) cắt K Lấy điểm M nằm (O1) không trùng A B Đường thẳng AM cắt (O2) điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) điểm thứ hai C đường thẳng AC cắt (O2) điểm thứ hai Q Gọi H giao điểm PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H trung điểm PQ Bài Cho góc xOy, tia Ox lấy hai điểm C A, tia Oy lấy hai điểm D B cho AD cắt BC E Các đường thẳng AB CD cắt K; tia OE cắt AB I Chứng minh rằng: ThuVienDeThi.com IA KA  IB KB II Bài tập minh họa: Bài Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC P Chứng minh rằng: PA = 2PC Lời giải Áp dụng định lí Menelaus cho AMC với cát tuyến BIP ta có: A PC IA BM 1 PA IM BC P Suy ra: PC IM BC   nên PA = 2PC PA IA BM I C B M Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho toán dẫn đến lời giải hay ngắn gọn Bài Cho ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Lời giải Áp dụng định lí Ceva cho ABC với đường đồng quy AD, BF CE ta có Vì BD = CD nên A AE BD CF 1 EB DC FA E F O EA FA AE CF   suy EB FC EB FA B D Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC C Nhận xét: Trong tập dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thơng thường dùng khó khăn chứng minh Ở ta dùng định lí Ceva dẫn đến tỉ số có lợi EA FA  áp dụng định lí Ta-let để thu EB FC kết hay ngắn gọn Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy ThuVienDeThi.com Lời giải Gọi I giao QM BD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với điểm Q, M, I thẳng hàng ta có MA = QA nên suy QA ID MB  mà QD IB MA MB ID  QD IB Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC nên NB ID PC ID NB 1  , theo định lý DP IB PD IB NC Menelaus I, N, P thẳng hàng Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường trịn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng (Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011) Lời giải Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng B, I, M ta có: AB OI CM OI MA 1   BO IC MA IC 2CM (1) Tương tự với tam giác BCO ba điểm thẳng hàng A, I, F ta có: OI FB  IC 2CF Từ (1) (2) ta có (2) MA FB = Do MF // AB (định lí Ta lét đảo) mà CM CF AB  BC  MF  BC  Ta có ฀ MFC  900 ฀  EBA ฀ EFB (cùng phụ với góc EAB); ฀ ฀ EBA  EMC (tứ giác AMEB nội tiếp) ThuVienDeThi.com ฀  EMC ฀  EFB  Tứ giác MEFC nội tiếp ฀ ฀  MFC  900 Do đó: ME  EC  MEC (3) ฀  900 (chắn nửa đtròn)  ME  EN Lại có MEN (4) Từ (3) (4) suy C, E, N thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB  AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp b) PB DB  D trung điểm QS PC DC c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC (Trích Đề thi vào lớp Chun Tốn, Vĩnh Phúc 2013-2014) Lời giải A a) Do AB  AC nên Q nằm tia đối tia BA R nằm đoạn CA, E từ Q, C nằm phía F đường thẳng BR D Q ฀ AFE  BQR Do QR song song với EF nên ฀ ฀ ฀  BQR Từ suy BCA hay tứ giác BQCR nội tiếp b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên S B P ฀ , AFE  BCA Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ฀ Từ hai tỷ số ta R H DB HB  AE HA DC HC  AF HA DB AE HB AE FB   1 DC AF HC AF EC ThuVienDeThi.com M C Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB 1  2  PC EA FB PC AF EC Từ (1) (2) ta PB DB  3 PC DC Do QR song song với EF nên theo định lí Thales DQ BD DS CD   , PF BP PF CP Kết hợp với (3) ta DQ  DS hay D trung điểm QS c) Gọi M trung điểm BC Ta chứng minh DP.DM  DQ.DR Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ.DR  DB.DC (4)  DC  DB    DB.DC   Tiếp theo ta chứng minh DP.DM  DB.DC  DP  DP DC  DB   DB.DC  DB DP  DC   DC DP  DB   DB.PC  DC.PB  PB DB (đúng theo phần b) Do DP.DM  DB.DC 5   PC DC Từ (4) (5) ta DP.DM  DQ.DR suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE  DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F AED a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc ฀ ฀ ฀  CED b) Chứng minh BFE (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012) Lời giải a) Gọi M trung điểm BE , G giao điểm đường thẳng EF , AC ThuVienDeThi.com Ta chứng minh GA EA   GD ED A Áp dụng định lý Ménélaus cho ADM với cát tuyến G , E , F ta có: GA FD EM GA FM EA   1   GD FM EA GD FD EM G Lấy I  BC cho DI ฀ AB  D  E   Khi hai tam giác FMB, FDI đồng dạng nên M  FM BM  FD DI C Do ABC cân, DI ฀ AB nên DCI cân, hay DI  DC  DE suy ra: Do M trung điểm BE nên EM  MB Vậy   B F FM BM BM   FD DI DE EA EA  EM MB GA FM EA BM EA EA điều phải chứng minh      GD FD EM DE BM ED ฀ ฀ ฀ ฀ b) Đặt ฀  DEC   ; DEG  GEA   Ta chứng minh      Thật ABC  ฀ACB   ; DCE vậy: ฀ ฀ Trong tam giác BEC có CBE   , BCE     suy ฀  1800         1800     CEB (1) ฀ Do G , E , F thẳng hàng nên FEB   ฀  1800  CEG ฀ ฀ CEB  BEF  1800        (2) Từ (1) (2) suy      , điều phải chứng minh Bài Cho tam giác ABC, gọi M chân đường vng góc kẻ từ A xuống đường phân giác góc BCA, N L chân đường vng góc kẻ từ A C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao MN AC, E giao BF CL, D giao BL AC Chứng minh DE song song với MN ThuVienDeThi.com Lời giải Kéo dài AM cắt BC G, kéo dài AN cắt BC I, kéo dài CL cắt AB J Khi AM = MG AN = NI suy MN BC song song với (1) Vì AM = MG nên AF = FC Gọi H giao LF BC, ta có BH = CH Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt F, theo định lý Ceva ta có Vì BH = CH nên BH CE LD  HC EL DB CE DB  , suy DE BC song song với EL LD (2) Từ (1) (2) suy MM song song với DE Bài Cho ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi AM  EF = K Theo định lý Talét ta có: AF AK CE KM   ; ; BF KM AE AK BM 1 CM Suy A AF BM CE =1 BF CM AE K F E Áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có CF, BE , AM đồng quy B C M Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE N, AM  BE = I A ThuVienDeThi.com N Ta có Suy AF AN BC MI BM = ; =2; = BF BC MC AI AN AF BC MI AN BM = =1 BF MC AI BC AN Áp dụng định lý Menelaus cho ABM F, I, C thẳng hàng Từ suy CF, BE , AM đồng quy Bài Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) A Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: F E AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy AF BD CE AE BD CE = =1 BF CD AE BD CE AE D B C Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AD, BE, CF đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) N Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF N A F E AD  CF = I Ta có : I AE CB DI AF CB CD AF CB = = = CE DB AI CD BF AN BF AN AN CB =1 CB AN D B C Áp dụng định lí Menelaus cho ACD AD, BE, CF đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy Lời giải M A N E ThuVienDeThi.com D Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD M N Vì HA phân giác góc A, HA đường cao nên AM = AN AD MA CE CH   ;  BD BH AE AN AD BH CE MA BH CH   BD CH AE BH CH AN Ta có: M A Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AH, BE, CD đồng N K E quy D I Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) B H C Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE M, N, K Gọi AH  BE = I Ta có:  AD MA AN HI BH  = = BD BH BH AI AK AD BH HI AN BC BH AN BC AE CE = = = BD CH AI BH HC AK HC AK CE AE =1 Áp dụng định lí Menelaus cho ABH D, I, C thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy Bài 11 Cho ABC vuông A, đường cao AK Dựng bên ngồi tam giác hình vng ABEF ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy Lời giải H Cách 1: (Chứng minh đồng quy) G F Gọi D = AB  CE, I = AC  BG A Đặt AB = c, AC = b I Ta có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC E D B ThuVienDeThi.com K C  BK c AD b CI b = = ; = CK b BD c AI c (do AIB  CIG)  AD BK CI b c b = =1 BD CK AI c b c Áp dụng định lý Ceva cho ABC AK, BG, CE đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BG H M AK  BG O AD b KO BK AD BC = ; = suy BD c AO AM BD CK KO b BC BK = AO c CK AM Ta có G F A E b BC BK b CI c b b c = = = =1 c AM CK c AI b c c b Áp dụng định lý Menelaus cho ABK D, O, C thẳng hàng Vậy AK, BG, CE đồng quy ThuVienDeThi.com M I D B O K C ... VÀ HÀNG ĐIỀU HÒA ThuVienDeThi.com BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ HƯỚNG DẪN DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 Đề THPT Thực Hành SP An Giang 2012 Cho tam giác ABC điểm M Gọi Ga ; Gb ; Gc ; Gm ; G theo thứ tự trọng... Menelaus Chuyên Thăng Long 2012 Cho hình bình hành ABCD điểm M AC Gọi E điểm đối xứng B qua M Trên CD AD lấy điểm P Q cho EP//AD; EQ//CD Chứng minh M,P,Q thẳng hàng HD Dùng Menelaus Cho tam giác... lí Menelaus cho toán dẫn đến lời giải hay ngắn gọn Bài Cho ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Lời giải Áp dụng định lí Ceva cho ABC với