Toán Ôn tập về tổ hợp và xác suất28990

ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT §1 Hai quy tắc đếm Quy tắc cộng Quy tắc nhân * Giả sử để hoàn thành cộng việc ta thực theo phương án A  phương án B liên tiếp phương án , phương án A phương án B Trong đó:  có n cách thực phương án A  m cách thực phương án B Giả sử để hoàn thành cơng việc ta thực Trong đó:  n + m (cách chọn) để hồn thành cơng việc  có n cách thực phương án A  m cách thực phương án B  n m ( cách chọn) để hồn thành cơng việc * Mở rộng: * Mở rộng: Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, , Ak Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak Trong đó: Trong đó:  có n1 cách thực phương án A1  có n1 cách thực phương án A1  n2 cách thực phương án A2  n2 cách thực phương án A2    nk cách thực phương án Ak  nk cách thực phương án Ak  n1 + n2 + + nk cách  n1 n2 nk cách Dấu hiệu nhận biết: Dấu hiệu nhận biết: Trong cơng việc có từ: “ hoặc” , “trường hợp” , “ hai” Trong cơng việc có từ: “ và” *Ví dụ áp dụng : a,VD : Lớp 11C cỳ 40 HS có 25 nam 15 nữ Hỏi có cách chọn HS để tham dự Đại hội Đoàn trường ? HD : Nếu HS chọ HS nam có 25 cách chọn, HS chọn HS nữ có 15 cách chọn có 25 + 15 cách chọn b, VD2:Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Hỏi có cách từ thành phố A đến thành phố D qua B C ? HD: Đi từ thành phố A đến thành phố B có đường Với cách chọn đường từ A đến B có cách chọn đường từ B đến C Mỗi cách chọn đường từ A đến B đường từ B đến C có đường từ C đến D Vậy có 7.5.2 đường từ A đến D Ví dụ 3: Có cách xếp bạn HS ngồi vào bàn học gồm chỗ ngồi HD: Gọi vị trí bàn học 1, 2, 3, Có cách xếp bạn HS ngồi vào vị trí thứ ThuVienDeThi.com Với cách xếp HS vào vị trí có cách xếp HS ngồi vào vị trí Với cách xếp HS vào vị trí 1,2 có cách xếp HS ngồi vào vị trí Với cách xếp HS vào vị trí 1,2,3 có cách xếp HS ngồi vào vị trí Vậy có 4.3.2.1 cách xếp HS ngồi vào bàn học gồm chỗ ngồi Bài tập: Bài tập 1: Trường THPT X có 500 HS lớp 10, 450 HS lớp 11 400 HS lớp 12 cần chọn HS đại diện cho trường tham gia Ban chấp hành hội HS SV thành phố Hỏi có cách chọn ? Bài tập 2: Người ta định đánh số ghế giảng đường cách ghi chữ số nguyên dương có hai chữ số Hỏi đánh số ghế Bài tập 3: Từ chữ só 1, 2, 3, 4, 5, có cách chọn: a Số chẵn có sáu chữ số b Số lẻ có sáu chữ số đơi khác BÀI TẬP VỀ HAI QUY PHÉP ĐẾM Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số b) Số gồm chữ số chia hết cho c) Số lẻ gồm chữ số d) Số chẵn gồm chữ số e) Số lẻ gồm chữ số khác chia hết cho 5? f) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? g) Số lẻ gồm chữ số khác chia hết cho 5? h) Số chẵn gồm chữ số khác chia hết cho ? Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , , , } Hỏi lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số b) Số gồm 5chữ số chia hết cho c) Số lẻ gồm chữ số d) Số chẵn gồm chữ số e) Số lẻ gồm chữ số khác chia hết cho 5? f) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? g) Số lẻ gồm chữ số khác chia hết cho 5? h) Số chẵn gồm chữ số khác chia hết cho ? Có số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 2, 3, 4, 5, nếu: a) Các chữ số không thiết khác nhau? b) Các chữ số khác nhau? c) Các chữ số hồn tồn nhau? Có số tự nhiên có chữ số tạo thành từ chữ số 1, 3, 5, lớn 4000 : a) Các chữ số khơng thiết khác nhau? b) Các chữ số khác nhau? Bài 5: Có số tự nhiên có chữ số đôi khác (Chữ số phải khác 0), có mặt chữ số 0, khơng có mặt chữ số Kết quả: 33600 ThuVienDeThi.com §2 Hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Chỉnh hợp Tổ hợp Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử * Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên dương  k  n Mỗi cách xếp n phần tử Đ Ị N H * Cho tập hợp A gồm n phần tử  k  n theo thứ tự ta hoán vị tập A Khi lấy tập gồm k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Mỗi tập A gồm k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A) * Số hốn vị tập hợp có n phần tử ký hiệu Pn n! * Số chỉnh hợp chập k tập hợp n phần tử ký hiệu A kn * Số tổ hợp chập k tập hợp n phần tử ký hiệu C kn pn  n! = n(n - 1)(n - 2) 2.1 A n(n - 1)(n - 2) (n - k  1) n! n!  C kn  n  A  n(n - 1)(n - 2) (n - k  1)  k! k! k!(n - k)! (n - k)! N G H Ĩ A KÍ HIỆU CƠNG THỨC k k n (Với  k  n) Với quy ước A 0n  0! = 1, với  k  n  Các tính chất C kn : C kn = C nn -k ; C nk 1  C kn  C kn -1 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT Có n phần tử xếp n phần tử Có n phần tử xếp k phần tử ( Quan tâm thứ tự phần tử) “ Kể thứ tự” Có n phần tử xếp k phần tử ( Không quan tâm thứ tự phần tử) “ Kể thứ tự” *Dạng 1: Hoán vị *Phương pháp: +, Dùng xếp n phần tử vào n vị trí có thứ tự +, Dùng cơng thức Pn  n ! Dùng quy tắc đếm *Ví dụ áp dụng: a, VD1: Có cách xếp bốn bạn A, B, C, D vào bốn ghế kê thành hàng? HD: Mỗi cách xếp cho ta hoán vị bốn bạn ngược lại Vậy số cách xếp là: P4 = 4! = 24 (cách) b,VD2: HS có 12 sách đơi khác có sách Tốn, sách văn, sách Anh văn Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài sách muốn xếp kề *Dạng 2: Chỉnh hợp * Phương pháp: +, Dùng chọn k phần tử từ n phần tử có thứ tự ( tốn số, chọn người có chức danh, có nhiệm vụ khác nhau) n! +, Dùng công thức Ank  n(n  1) (n  k  1)  n  k ! +, Dùng quy tắc đếm ThuVienDeThi.com *Ví dụ áp dụng: a,VD: Có số nguyên dương gồm năm chữ số khác không đôi khác ? HD: Mỗi số cần tìm có dạng a1a2 a3 a4 a5  a j với i  j  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, i  1, ,5 Như coi mõi số dạng chỉnh hợp chập (chữ số) Do đó, số số cần tìm là: 9! A95   9.8.7.6.5  15120 (số) 4! b,VD2:Một lớp học có 30 học sinh gồm 18 nữ 12 nam Ta muốn lập ban chấp hành lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể mĩ thư kí Hỏi có cách chọn ban chấp hành khác nhau, nếu: a,Chọn tuỳ ý(Không phân biệt nam, nữ) b, Lớp trưởng nam sinh, lớp phó nữ sinh c, Lớp trưởng nữ sinh thư kí nam *Dạng 3: Tổ hợp *Phương phỏp: +, Dùng chọn k phần tử từ n phần tử không ý đến thứ tự n(n  1) (n  k  1) n!  +, Dùng công thức Cnk  k! k !n  k ! +, Dùng quy tắc đếm *Ví dụ áp dụng: a,VD1: Cần phân công ba bạn từ tổ có 10 bạn để làm trực nhật Hỏi có cách phân cơng khác ? HD: Kết phân cơng nhóm gồm ba bạn, tức tổ hợp chập 10 bạn Vậy số cách phân 10! công là: C103   120 (cách) 3!(10  3)! b,VD2: Có cách chia 10 người thành ba nhóm: nhóm người, nhóm người nhóm người? BÀI TẬP VỀ HAI QUY PHÉP ĐẾM Một nhóm học sinh có 10 nam nữ Chọn học sinh để trực nhật lớp Hỏi có cách chọn a) Chọn học sinh được? b) Trong học sinh chọn có nữ? c) Trong học sinh chọn có một nữ? Bài 18 Một lớp học có 25 nam 15 nữ Cần chọn ban cán gồm người Hỏi coa cách chọn ban cán có nam Bài 19 Có cách chia lớp 50 học sinh (30 nam, 20 nữ) thành tổ tổ nam, nữ Bài 20 Có hành khách toa tàu có chỗ trống Có cách xếp khách lên toa tàu để toa có khách Bài 21 Một đội văn nghệ có 20 người 10 nam, 10 nữ Có cách chọn người cho: a Có nam b Có nam c có nam nữ Bài 22 Có bi xanh, bi đỏ bi vàng có kích thước khác đơi Có cách chọn bi cho a có hai viên bi đỏ b Số bi xanh số bi đỏ Bài 23 Một đội văn nghệ có 10 hs (6 nam, nữ), a có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm cho:số người số nữ b Có cách chọn nhóm người có khơng q nam Bài 24 Trên mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác tạo điểm Bài 25 Trên mp cho 10 đường thẳng 10 đường trịn Tính số giao điểm tối đa có đường ThuVienDeThi.com Bài 26 Cho thập giác lồi Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh cạnh đa giác Bài 27 Cho đa giác 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O) a Cho n = Tính số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác tính số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác b Giả sử n≥2 ta thấy số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác Tìm n? Bài 28 Có 30 câu hỏi khác nhau, có câu khó, 10 câu trung bình 15 câu dễ Có cách tạo đề kiểm tra, đề gồm câu khác cho có đủ loại câu hỏi số câu dễ khơng Bài 29 Đội niên xung kích trường có 12 học sinh gồm hs khối 12, hs khối 11 hs khối 10.Cần chọn hs làm nhiệm vụ cho hs thuộc không hai khối Phương trình, BPT tổ hợp Bài 30 Gải phương trình a 2C7n  C7n 1  C7n 1 b An6  An5  An4 c Cn1  Cn2  Cn3  n d Ax2  50  A22x A4 24 e Px 3  360 Ax5 x  ! f n n   An 1  Cn 23 g C1x  6Cx2  xCx3  x  14 x i Cxx83  Ax3 Bài 31 Giải hệ phương trình 2 Axy  5Cxy  90 a  y y 5 Ax  2Cx  80  Ayx 1  C yy  x 1  126  c  Px  P  720  x2 h Px Ax2  72  Ax2  Px  k 14.3!.Cxx  Ax4 7 A5yx3  A5yx b  y  y 3 4C5 x  7C5 x  Px  y 3  720 Ax5 y Px  y 5 d   Px  y  120  Cx  y 1  Cx  y 1  Ax  y  f   x  y  y y 1 y 1  Ax  yAx  Ax 1 e  y 1 y 1  Ax 1  2Cx 1 Bài 32 Giải BPT, hệ PT a A22x  Ax2  Cx3  10 x c A21n  A22n  A23n  n C nn1 e A 4n1  b Ax45  15( x  3)( x  2)( x  1)  Ax3 y  24  d  Px  y  120  0  x  14P3 ThuVienDeThi.com ... §2 Hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Chỉnh hợp Tổ hợp Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử * Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên dương  k  n Mỗi cách xếp n phần tử Đ Ị N H * Cho tập hợp A gồm n phần... vị tập A Khi lấy tập gồm k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Mỗi tập A gồm k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp. .. ( gọi tắt tổ hợp chập k A) * Số hoán vị tập hợp có n phần tử ký hiệu Pn n! * Số chỉnh hợp chập k tập hợp n phần tử ký hiệu A kn * Số tổ hợp chập k tập hợp n phần tử ký hiệu C kn pn  n! = n(n