Toán 10 Giá trị lượng giác của một cung28911

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I Gía trị lượng giác cung  A Lý thuyết ví dụ Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung Ð Ð y B M K  A' Ð AM có số đo AM =  (cịn viết AM =  ) H O A Tung độ y  OK điểm M gọi sin  kí hiệu sin  sin   OK B' Hoành độ x  OH điểm M gọi cơsin  kí hiệu cos  cos   OH sin  Nếu cos   , tỉ số gọi tang  kí hiệu tan  (người ta cịn dùng cos  kí hiệu tg  ) sin  tan   cos  cos  Nếu sin   , tỉ số gọi côtang  kí hiệu cot  (người ta cịn sin  dùng kí hiệu cotg  ) cos  cot   sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi gía trị lượng giác cung  Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin CHÚ Ý Các định nghĩa áp dụng cho góc lượng giác Nếu 00    1800 giá trị lượng giác góc  giá trị lượng giác góc học chương II, Hình học lớp 10 3   Ví dụ 1: Tính cos 3600 ;sin  900 ;cos ; tan ;cos 3 ;sin Giải: (vẽ hình) Cách 1: - Điểm cuối cung 3600 A  cos 3600  - Điểm cuối cung-90 B  sin  900  1 ThuVienDeThi.com 4 x 3  3  C  cos      - Điểm cuối cung - Điểm cuối cung 3 D  cos 3   1 - Điểm cuối cung    sin    E     ;cos          tan       2  2 :           Hệ 1) sin  cos  xác định với   ฀ Hơn nữa, ta có sin   k 2   sin  , k  ฀ ; cos   k 2   cos  , k  ฀ ; tan   k 2   tan  , cos  0; cot   k 2   cot  ,sin  Ví dụ 1: sin   4   sin  cos   6   cos  2) Vì 1  OK  1; 1  OH  nên ta có: 1  sin   1  cos   3) Với m  ฀ mà 1  m  tồn   cho sin   m cos   m Ví dụ 2: Có tồn  hay khơng để  b) cos   a) sin   Giải: a) Vì b)  1;1  tồn    1;1  không tồn  4) tan  xác định với     k k  ฀  ThuVienDeThi.com Thật vậy, tan  không xác định cos   tức điểm cuối M cung 5) cot  xác định với   k (k  ฀ ) 6) Dấu giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM =  đường trịn lượng giác (vẽ hình 49/SGK/142) Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư Giá trị lượng giác cos  sin  tan  cot  Ví dụ 3: Cho  <  <   a) sin     2    b) cos     I II III IV + + + + + - + + + - 3 Xác định dấu giá trị lượng giác sau: 2  c) tan     3   d) cot       3 ta xác định điểm cuối cung:   3 thuộc cung phần tư nào, từ xác định dấu nhờ   ;  ;   ;  2 Giải: Với  <  < bảng xác định dấu 3            sin      2 2  3 3    b)          2  cos      2 2  3  c)            tan      2 a)     ThuVienDeThi.com d)     3  3        cot      2 2  Giá trị lượng giác cung đặc biệt      sin 2 cos  2 2 tan  cot  1 Không xác định 1 3 Khơng xác định Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG Từ định nghĩa sin  cos  , phát biểu ý nghĩa hình học chúng Ý nghĩa hình học tan  Từ A vẽ tiếp tuyến t ' At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến   trục số cách chọn gốc A vecto đơn vị i  OB Ð    Cho cung lượng giác AM có sơ đo      k  Gọi T giao điểm OM II  với trục t ' At (vẽ hình 50/144) Giả sử T khơng trùng với A Vì MH / / AT , ta có  AT OA Từ suy ra:  HM OH AT OA  (1) HM OH Vì HM  sin  , OH  cos  OA  nên từ (1) suy ra: tan   sin  HM AT    AT cos  OH OA Khi T trùng A   k tan   Vậy tan   AT ThuVienDeThi.com  tan  biểu diễn độ dài đại số vecto AT trục t ' At Trục t ' At gọi trục tang Ý nghĩa hình học cot  Từ B vẽ tiếp tuyến s ' Bs với đường tròn lượng giác xác định tiếp tuyến  trục có gốc B vecto đơn vị OA Ð Cho cung lượng giác AM có số đo    k  Gọi S giao điểm OM trục s ' Bs (vẽ hình 51/144) Lí luận tương tự mục trên, ta có cot   BS  cot  biểu diễn độ dài đại số vecto BS trục s ' Bs Trục s ' Bs gọi trục côtang ?1 Cho     Xác định dấu giá trị lượng giác sau:   a) sin     2  b) cos     3   c) tan       d) cot     III QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÙNG MỘT CUNG 1) sin   cos   sin     2) tan       k ; k  ฀  cos    cos  3) cot     k ; k  ฀  sin     4)  tan       k ; k  ฀  2 cos      k ; k  ฀  sin    6) tan  cot   1   k  2  5)  cot   Chứng minh công thức 4,5,6: - Công thức 6, suy công thức ThuVienDeThi.com  sin  sin   cos     VP 2 cos  cos  cos  - Công thức 4: VT   tan    - cos  cos   sin    VP Công thức 5: VP   cot     sin  sin  sin  Bài tập minh họa: Dạng 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại biết giá trị lượng giác     Tính sin  ;cot  ; tan  Cho cos   ; 3 16 Giải: sin    cos        sin    25 5 Ð  Vì     điểm cuối cung  thuộc cung phần tư thứ IV (vẽ hình minh họa) sin     tan     :   cos    3  cot   tan  4 Vậy sin    ; tan    ;cot    Cho tan    ;0     Tính giá trị lượng giác cịn lại 4 Giải: cot    tan  Vì      điểm cuối cung  thuộc góc phần tư thứ I thứ II Ở hai cung phần dư ta có sin    sin    sin    Vì:  cot   1  sin    sin  cot    4 1    3 cos   4  cos   cot   sin        cot   sin   3 5 Vậy sin   ;cos    ;cot    ThuVienDeThi.com  sin   25 5      Tính giá trị lại 12 12  Giải: tan     ;      sin   cot  Cho cot   Vì:  cot   1  sin    sin   cot 2  144 12  sin   169 13  5 1    12  cos    12  cos   cot  sin        cot   sin  13  12  13 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức biết giả thiết cho trước Cho sin   cos   Tính: a) b) c) d) A  sin  cos  B  sin   cos  C  sin   cos  D  sin  cos  e) E  sin   cos3  Giải: 1  sin   cos    a)  sin   cos   2sin  cos   3   2sin  cos    sin  cos     A   8 2 b) Áp dụng đẳng thức: a  b  a  b   2ab Ta có: sin   cos   B  sin   cos   sin    cos   2  sin   cos    2sin  cos   12  sin  cos   2 23  3       32  8 c) Vì: a  b   a  3ab  3a b  b3 ThuVienDeThi.com  a  b   a  b3  3ab a  b   a  b3  a  b   3ab a  b  Áp dụng đẳng thức ta có: sin   cos   sin    cos   3  sin   cos    3sin  cos  sin   cos    13  sin  cos   2 37  3       64  8 d) Ta có:  3 D  sin   cos    sin   cos   2sin  cos         8 D vìD   e) F  sin   cos3   sin   cos   sin   cos   sin  cos    sin   cos   sin  cos   3 1  16 Cho tan   cot   Tính: a) A  tan   cot  b) B  tan   cot  c) C  tan   cot  d) D  tan   cot  Giải: a) A  tan   cot   tan   cot    tan  cot   32  2.3  b) Áp dụng đẳng thức: a  b3  a  b a  b  ab  ta có: B  tan   cot   tan   cot  tan   cot   tan  cot    3  1  c) C  tan   cot   tan   cot    tan  cot   32  tan  cot    32  2.12  C 7 ThuVienDeThi.com D  tan   cot    tan   cot   tan  cot    2.1  d)  D  1 Cho tan   Tính giá trị biểu thức sin   cos  a) A  sin   cos  5sin  b) B  sin   cos  sin   cos  c) C  3sin   5sin  cos  3sin   2sin  cos   cos  d) D  3sin  cos   cos  Giải: Vì tan   nên cos   a) Vì tử mẫu biểu thức bậc nên ta chia tử mẫu cho cos  : sin  2 tan    cos  A    sin  tan    1 cos  b) Chia tử mẫu cho cos  sin  5 cos   tan   5.3  B sin  tan    2 cos  c) Chia tử mẫu cho cos  sin  2 tan   32  11 cos  C    2 sin  sin  tan   tan  3.3  5.3 12  cos  cos  d) Chia tử mẫu cho cos  : sin  sin  2 1 tan   tan   3.32  2.3  32 16 cos  cos  D     sin  tan   3.3  10 1 cos  Cho cot   Tính giá trị biểu thức: sin   cos  a) A  3sin   cos  ThuVienDeThi.com b) B  sin   cos  3sin  cos   cos  2 Giải: Vì cot    sin   a) Chia tử mẫu cho sin  cos  1 2 sin    cot    2.2  A cos   cot  3 3 sin  b) Chia tử mẫu cho sin  : cos  1 2  cot   2.22 sin     B 2 10 cos  cos  3cot   cot  3.2   sin  sin  Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Chứng minh đẳng thức sau sin   cos    sin  cos  a) sin   cos   2sin  cos   cot  b)  sin   cos   cot  c) sin   cos   sin   cos   sin  cos   cot   sin  cos   cot  d) sin   cos    Giải: a) Biến đổi vế trái: sin   cos3   sin   sin  cos   cos  (sin   cos  )  sin  cos  VT  sin   cos    sin  cos   VP b) Biến đổi vế trái: ThuVienDeThi.com  2sin  cos  sin   cos   2sin  cos   VT  sin   cos  sin   cos  sin   cos   sin   cos   sin   cos    sin   cos  sin   cos   sin   cos    cot   VP  cot  cos  sin   cos  1 sin  1 c) Biến đổi vế trái: VT  sin   cos   sin   cos   sin  cos   sin   cos  sin   cos   sin  cos   sin   cos   sin  cos   sin   cos   sin  cos   sin   cos   sin  cos    VP d) Biến đổi vế trái: cos   sin  cos  cot   sin  cos   sin  2 sin   cos    sin   cos   2sin  cos   cos   sin  cos  cos  1  sin   cos   sin     cot   VP 2sin  cos  sin  2sin  cos  Chứng minh đẳng thức sau:  sin  cos  a)  cos   sin  sin   cos   cos  b)  sin   cos   1  sin  Giải: a)  sin  cos    1  sin  1  sin    cos  cos   sin    sin   cos   sin   cos   1đúng   ĐPCM b) ThuVienDeThi.com sin   cos   cos   sin   cos   1  sin   sin   1  cos   1  sin    sin   1  cos   cos   sin   1sin   1  cos  sin   1  cos  sin   1  cos   sin     cos   sin   cos   1đúng   ĐPCM Dạng 4: Rút gọn biểu thức  Nhận xét: Các rút gọn biểu thức thường khó chứng minh ta chưa biết đích đến Khi làm này, thường ta sử dụng công thức: sin   cos   ta gặp tan  , cot  ,sin  , cos  ta xử lý sau: sin  cos  tan   ;cot   cos  sin  Còn có tan  cot  ta chuyển: tan   1 ;cot   tan  tan  Rút gọn biểu thức sau: a) A  1  tan  cos   1  cot  sin  b) B  2sin   cos   tan  c) C  cot   cos  tan   sin  Giải: a) sin     cos   2 2 A  1   cos   1   sin   cos   sin  cos   sin   sin  cos   sin    cos     cos   sin   2sin  cos   sin   cos   b) B  2 2 2sin   cos   2sin   cos   sin   cos   sin   sin         cos  2 tan  tan  tan   tan   c) Cách 1: Sử dụng công thức: cos   cot  sin  ;sin   tan  cos  ThuVienDeThi.com cot   cot  sin   C ( Vì tan   (tan  cos  )  cot  1  sin   tan  1  cos    cot  cos   cot  cot  cot   cot  2 tan  sin  cos   cot  ;  cot  ) tan  sin  Cách 2:   cos  cos    1 cos   sin  cos    sin   sin  C  sin   sin   cos    2  1 sin   sin  sin   cos  cos   cos    sin  cos  2 cos  cos  sin   sin   cos    cos  sin  sin  sin  sin  cos  cos   cot  Rút gọn biểu thức: cot    D tan   cot   cot   cot   cot  cot   cot   1 cot          1 cot   1  cot  cot   1  cot   cot   cot  1 cot  cot Rút gọn biểu thức sau: a) A  2sin   cos   sin  cos   3cos  sin   cos   b) B  sin   cos   ThuVienDeThi.com ... ) 6) Dấu giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM =  đường trịn lượng giác (vẽ hình 49/SGK/142) Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư Giá trị lượng giác cos...   Xác định dấu giá trị lượng giác sau:   a) sin     2  b) cos     3   c) tan       d) cot     III QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÙNG MỘT CUNG 1) sin ... thức 5: VP   cot     sin  sin  sin  Bài tập minh họa: Dạng 1: Tính giá trị lượng giác lại biết giá trị lượng giác     Tính sin  ;cot  ; tan  Cho cos   ; 3 16 Giải: sin  