Đề khảo sát HSG cấp tỉnh năm học 2014 2015 môn: Toán 828381

ĐỀ KHẢO SÁT HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013 x  2012 x  2013  x2  x   x2  1   Rút gọn biểu thức sau: A   2   2x  8  4x  2x  x   x x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x  x  2013)  4( x  x  2012)  4(2 x  x  2013)( x  x  2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  2x  3x   y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 24, f(x) chia cho x  thương 5x dư Chứng minh rằng: a (b  c)(b  c  a )  c(a  b)(a  b  c)  b(a  c)(a  c  b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc  Chứng minh : 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang (4.0 điểm) 0,5 Hướng dẫn giải Câu Ta có x  2013x  2012 x  2013  x  x  2013 x  2013 x  2013  x x  1x  x  1 2013 x  x  1 (2.0 điểm) 0.5  x  x  1x  x  2013 0.5 Kết luận x  2013x  2012 x  2013  x  x  1x  x  2013 x  x  0.5 ĐK:  0.25  x2  x   x2 Ta có A    1     2x  8  4x  2x  x   x x  0.25  x2  x   x2  x   x2     2 x2  2( x  4) 4(2  x)  x (2  x)    0.25 (2.0 điểm)  x2  2x   ( x  1)( x  2)   x( x  2)  x   ( x  1)( x  2)  x2        2 x2 x2   2( x  2)( x  4)     2( x  4) ( x  4)(2  x)   x3  x  x  x x  x( x  4)( x  1) x    2( x  4) x x ( x  4) 2x x  x 1 Vậy A  với  2x x   0.5 0.25 (4.0 điểm) Câu a  x  x  2013 Đặt:  b  x  x  2012 0.25 Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 a  4b  4ab  (a  2b)   a  2b   a  2b Khi đó, ta có: x  x  2013  2( x  x  2012)  x  x  2013  x  10 x  4024 2011  11x  2011  x  11 2011 Vậy phương trình có nghiệm x  11  (2.0 điểm) 0.5 3 Ta có y3  x  2x  3x    x      x  y 4  0.5 0.5 0.25 (1) 0.5 (2) 0.5  15  (x  2)  y  4x  9x    2x      16  3 ThuVienDeThi.com  y x2 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL 0.5 Câu Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Theo đề bài, ta có: 0.25 (4 điểm) (2.0 điểm)   f (2)  24 2a  b  24 a      f (2)  10 2a  b  10 b  17 Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x3  0.5 0.5 0.5 47 x  17 0.5 Ta có: a(b  c)(b  c  a)  c(a  b)(a  b  c)  b(a  c)(a  c  b)  (1)  a  a  b  c  x    Đặt: b  c  a  y  b  a  c  b  z    c   xz x y yz 0.25 Khi đó, ta có: (2.0 điểm) VT(1)  xz x y yz yz xz x y 2    .y    x  ( x  y )( x  y ).z  2   2  xz xz yz z y 2 y  x  ( x  y ) z 2 2 1  ( x  z ) y  ( z  y ).x  ( x  y ).z 4 1 (đpcm)  ( x  y ).z  ( x  y ).z   VP(1) 4  KL:… 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 (6 điểm) Câu ThuVienDeThi.com E A B H F D C M N (2.0 điểm) Ta có DAM ฀ ฀ ฀ = ABF (cùng phụ BAH ) AB = AD ( gt) ฀ ฀ BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng)  ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành ฀ Mặt khác DAE = 900 (gt) 0.75 0.5 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH ฀ ΔFAH (g.g)  (2.0 điểm) 0.5 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH ฀ ฀ ฀ Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) 0.5  ΔCBH ฀ ΔEAH (c.g.c) 2 SΔCBH S  BC   BC  2 = (gt)    ΔCBH =   = nên BC = (2AE)  , mà SΔEAH SΔEAH  AE   AE   BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.5 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:  AD AM AD CN =  = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm)  MN MC AB MC AD MC hay =  = = AN AB AN MN AN MN 2 0.5 CN + CM MN  AD   AD   CN   CM    + = + = = =1        MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) 2 1  AD   AD       +  =  2 AM AN AD  AM   AN  Câu 2.0 điểm (đpcm) Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có ThuVienDeThi.com 0.5 điểm 0.75 a b c a  b  c     x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có (*) a b a  b    x y x y  a (**) y  b x x  y   xy a  b   bx  ay   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b c a  b  c a  b  c       x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z 1 2 1 Ta có:    a  b  c a (b  c) b (c  a ) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 2 1  b  c  Mà    nên a a b c ab  ac bc  ab ac  bc Vậy 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) (đpcm) Điểm toàn ThuVienDeThi.com 0.5 1 1 1 1 1         2 a b c a b c  a b c     ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ac) 1 1 2    a b c 1 2 11 1 a  b  c      Hay ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  (Vì abc  ) 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang (4.0 điểm) 0,5 Hướng dẫn giải Câu... -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL 0.5 Câu Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Theo đề bài, ta có: 0.25 (4 điểm) (2.0 điểm)