Tuyển tập 50 bài toán điển hình về min Max trong các đề thi thử THPT quốc gia 201526872

Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác CẨM NANG CHO MÙA THI TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH MIN MAX (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com ThuVienDeThi.com Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ của: P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Hướng dẫn Ta có x + y + z = ⇒ x + y = − z , ta có: x+ y 1− z 1− z = = xy + z xy + − x − y (1 − x )(1 − y ) y+z 1− x 1− x = = yz + x yz + − y − z (1 − y )(1 − z ) z+x 1− y 1− y = = zx + y zx + − x − z (1 − x )(1 − z ) 1− x 1− y x+ y y+z z+x 1− z + = + Khi P = + + (1 − y )(1 − z ) (1 − x )(1 − z ) xy + z yz + x zx + y (1 − x)(1 − y ) ≥ 33 1− z 1− x 1− y =3 (1 − x)(1 − y ) (1 − y )(1 − z ) (1 − x)(1 − z ) Vậy MinP = đạt x = y = z = Bài 2: Cho x, y, z ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = Chứng minh với ∀a ≥ ta ln có : x y z 1 + y+ z ≥ x+ y+ z x a a a a a a Hướng dẫn * Với a = ta thấy BĐT * Ta xét a > t 1 Hàm số y = y = t =   nghịch biến với ∀t ∈ R , a > a a Khi ta có Ta có : ( x − y )( 1 x y x y − y ) ≤ 0, ∀x, y ∈ R Suy x + y ≤ y + x (1) x a a a a a a Chứng minh tương tự y z z y + z ≤ y + z (2) y a a a a Cộng vế với vế (1) ,(2) (3) ta 2( Cộng vế (4) với biểu thức 3( z x x z + x ≤ z + x (3) z a a a a x y z y+ z z+ x x+ y + y + z ) ≤ x + y + z (4) x a a a a a a x y z + y + z ta x a a a x y z x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z 1 + y + z)≤ + + = ( x + y + z )( x + y + z ) x x y z a a a a a a a a a NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Suy 1 x y z + y + z ≥ x + y + z ( x + y + z = ) x a a a a a a Dấu xảy khi x = y = z = (đpcm) Bài 3: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 2 + a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) abc Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: = ab + bc + ca ≥ 3 (abc)2 ⇒ abc ≤ Suy ra: + a (b + c) ≥ abc + a (b + c) = a(ab + bc + ca) = 3a ⇒ Tương tự ta có: 1 ≤ (1) + a (b + c) 3a 1 1 (2), (3) ≤ ≤ + b (c + a ) 3b + c (a + b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab + bc + ca + + ≤ ( + + )= = □ 2 abc + a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) c b c 3abc Dấu “=” xảy abc = 1, ab + bc + ca = ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0) Bài 4: Cho x, y, z số thực thỏa mãn − − 2 < x < −1 + 2 , y > 0, z > x + y + z = −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + 2 ( x + y) ( x + z) − ( y + z)2 Hướng dẫn 1 1 1 + + = + + 2 2 (−1 − z ) (−1 − y ) − (−1 − x) (1 + y ) (1 + z ) − (1 + x) 1 + ≥ Ta chứng minh 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz 1 Thật vậy: + ≥ ⇔ (1 + yz)[(1 + z ) + (1 + y ) ] ≥ [(1 + z )(1 + y )]2 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz ⇔ (1 + yz )( + z + y + z + y ) ≥ (1 + zy + z + y ) Ta có P = ⇔ 2( z + y )(1 + zy ) + 2(1 + yz ) + (1 + zy )( y − z ) + zy (1 + yz ) ≥ (1 + zy ) + 2( z + y )(1 + zy ) + ( z + y ) ⇔ (1 + zy )( y − z ) + + yz + y z − (1 + yz ) − ( y − z ) − yz ≥ ⇔ yz ( y − z ) + (1 − yz ) ≥ (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy y = z = Ta lại có y+z ≥ 2 ( −1 − x ) (1 + x)  y+z yz ⇒ yz ≤  =  = 4   NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Do ⇒P≥ 1 + ≥ ≥ 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz = (1 + x) + (1 + x) 1+ 4 + + (1 + x) − ( x + 1) Do − − 2 < x < −1 + 2 nên ( x + 1) ∈ [0;8) Đặt t = (1 + x) ⇒ t ∈ [0;8) P ≥ + 4+t 8−t − 3t + 72t − 240 + = + Xét f (t ) = với t ∈ [0;8) f ' (t ) = − 4+t 8−t (4 + t ) (8 − t ) (4 + t ) (8 − t ) f ' (t ) = ⇔ −3t + 72t − 240 = ⇔ t = 4; t = 20 (loại) Bảng biến thiên t - f’(t) f(t) + +∞ (1 + x) =  x = −3 3  Do P ≥ f (t ) ≥ P =  y = z = ⇔ 4  x + y + z = −1  y = z =  Vậy P = x = −3, y = z = (x Bài 5: Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ P= t2 t2 t − t − xy (3t − 2) Do 3t - > − xy ≥ − nên ta có xy − t + t (3t − 2) t2 P≥ = t2 t−2 − t +1 t2 t − 4t ; f '(t ) = ; f’(t) = ⇔ t = v t = Xét hàm số f (t ) = (t − 2) t−2 t3 − t − NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 t f’(t) - +∞ + +∞ +∞ f(t) x + y = x = ⇔  xy = y = Do P = f (t ) = f(4) = đạt  (2;+∞ ) Bài : Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = + Chứng minh rằng: + + + + + + + ≥3 Hướng dẫn 1− + (1 − )(1 − ) 1− 1− 1− = + + (1 − )(1 − ) (1 − )(1 − ) (1 − )(1 − ) + * Biến đổi * Từ = 1− +1− − = Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương * Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta ≥ 3 1− 1− 1− =3 (đpcm) (1 − )(1 − ) (1 − )(1 − ) (1 − )(1 − ) Đẳng thức xảy = = = yz zx xy + + = x y z 1 + + Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 1− x 1− y 1− z Bài 7: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: Hướng dẫn yz zx xy Ta có a, b, c > a + b + c = Ta có: ,b = ,c = x y z bc ca ab 1 A= + + = 3+ + + Dễ có: − bc − ca − ab − bc − ca − ab ( b + c )2 + b c bc c2  ( )  b2 ≤ = ≤  +  − bc b2 + c 2 b2 + a + c + a 2  b2 + a c + a  1− Đặt a = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 ca  c2 a2  ab  a2 b2  Tương tự có: ≤  + ≤  +   − ca  c + b a + b  − ab  a + c b + c  từ đó: A ≤ + = Dấu xảy x = y = z =1/3 2 Bài 8: Cho a, b, c số thực dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = abc +3 + ab + bc + ca (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức: ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) , ∀x, y , z ∈ ℜ ta có: (ab + bc + ca )2 ≥ 3abc(a + b + c) = 9abc > ⇒ ab + bc + ca ≥ abc Ta có: (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ≥ (1 + abc )3 , ∀a, b, c > Thật vậy: (1+ a)(1+ b)(1+ c) = 1+ (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc ≥1+ 33 abc + 33 (abc)2 + abc = (1+ abc)3 Khi đó: P ≤ abc = Q (1) 3(1 + abc ) + abc +  a+b+c Đặt abc = t ; a, b, c > nên < abc ≤   =1   2t ( t − 1) ( t − 1) t2 + , t ∈ ( 0;1] ⇒ Q′(t ) = Xét hàm số Q = ≥ 0, ∀t ∈ ( 0;1] 2 3(1 + t ) + t + + t t ( )( ) Do hàm số đồng biến ( 0;1] ⇒ Q = Q ( t ) ≤ Q (1) = Vậy maxP = 1 (2) Từ (1) (2): P ≤ 6 , đạt và chi : a = b = c = Bài 9: Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = bc 3a + bc + ca 3b + ca + ab 3c + ab Hướng dẫn bc bc bc bc  1  = = ≤  +   a+b a+c  3a + bc a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 1 + ≥ , dấu đẳng thức xảy ⇔ b = c Vì theo BĐT Cơ-Si: a+b a+c (a + b)(a + c) Vì a + b + c = ta có  ab ab  ca ca  1  ≤  + ≤ +    b+a b+c  c+a c+b  3c + ab 3b + ca bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c Suy P ≤ + + = = , 2(a + b) 2(c + a ) 2(b + c) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = a = b = c = Tương tự NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 10: Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P= bc ca ab + + 3a + bc 3b + ca 3c + ab Hướng dẫn bc bc bc  bc  = = ≤  +   a+b a+c  a(a + b + c) + bc 3a + bc (a + b)(a + c) 1 + ≥ , dấu đẳng thức xảy ⇔ b = c Vì theo BĐT Cơ-Si: a+b a+c (a + b)(a + c) Vì a + b + c = ta có ca ca  1  ≤  +  b+a b+c 3b + ca Tương tự Suy P ≤  ab ab  ≤ +    c+a c+b  3c + ab bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c + + = = , 2(a + b) 2(c + a) 2(b + c) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = a = b = c = Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số số a2009 ta có: + + + + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ≥ 2009.2009 a 2009 a 2009 a 2009 a 2009 = 2009.a (1) 2005 Tương tự: + + + + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ≥ 2009.2009 b 2009 b 2009 b 2009 b 2009 = 2009.b (2) 2005 + + + + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ≥ 2009.2009 c 2009 c 2009 c 2009 c 2009 = 2009.c (3) 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 + 4(a 2009 + b2009 + c 2009 ) ≥ 2009(a + b + c ) ⇔ 6027 ≥ 2009(a + b4 + c ) Từ suy P = a + b4 + c ≤ Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn P = Bài 12: Cho x, y, z ≥ thoả mãn x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y + 16 z (x + y + z) Hướng dẫn Trước hết ta có: x + y 3 ( x + y ) (biến đổi tương đương) ≥ 3 a a ⇔ ⇔ ( x − y ) ( x + y ) ≥ x + y ) + 64 z ( a − z ) + 64 z ( Đặt x + y + z = a Khi P ≥ = = (1 − t ) + 64t 3 (với t = z , ≤ t ≤1) a NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t ∈ [ 0;1] Có f '(t ) = 64t − (1 − t )  , f '(t ) = ⇔ t = ∈ [ 0;1]   Lập bảng biến thiên ⇒ Minf ( t ) = t∈[ 0;1] 64 16 ⇒ GTNN P đạt x = y = 4z > 81 81 Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = xyz = Tìm GTNN biểu thức: P = x4 + y4 + z4 Hướng dẫn i P = ( x + y + z ) − 2( x y + y z + z x ) 2 = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx )  − ( xy + yz + zx ) − xyz ( x + y + z )      = 16 − ( xy + yz + zx )  − ( xy + yz + zx ) − 16  i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz 2 + Từ gt ⇒ y + z = − x, yz = ⇒ t = x ( − x ) + = − x + x + x x x + Ta có: ( y + z ) ≥ yz ⇒ ( − x ) ≥ ⇔ x − x + 16 x − ≥ x ⇔ ( x − ) x − x + ≥ (*) ( ) Giải BĐT (*) giao với điều kiện < x < ta đươc: − ≤ x ≤ + Khảo sát hàm số t theo biến x với − ≤ x ≤ ta tìm được: ≤ t ≤ 5 −1 2 i P = (16 − 2t ) − 2(t − 16) = 2t − 64t + 288 Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với ≤ t ≤ M inf(t ) = 383 − 165 t = 5 −1 ta được: 5 −1 , Maxf (t ) = 18 t = Suy ra: Pmin = 383 − 165 đạt chẳng hạn x = − 5, y = z = 1+ Pmax = 18 đạt chẳng hạn x = 2, y = z = Bài 14: Cho số thực x; y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + x + + x + y − x + + y − Hướng dẫn P = x2 + y + x + + x2 + y2 − 2x + + y − Xét điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y) Ta có OM + ON ≥ MN ⇔ ( x − 1)2 + y + ( x + 1)2 + y ≥ + y ⇒ P ≥ + y + y − = f ( y) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 TH1: y ≤ 2: f ( y ) = + y + − y ⇒ f '( y ) = y ≥ ⇔y= f '( y ) = ⇔ y = + y ⇔  3 y =  Lập bảng biến thiên f(y) ⇒ f ( y ) = f  x∈( −∞.2]  2y + y2 −1 3 3  = 2+ 3  TH2: y ≥ 2: f ( y ) = + y + y − ≥ > + Vậy P ≥ + ∀x; y Do MinP = + x = ; y = 3 Bài 15: Cho số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3 Tính góc giá trị nhỏ biểu a + bc b + ca c + ab thức P = + + b + ca c + ab a + bc Hướng dẫn a + bc b + ca c2 + ab Xét P = + + 3b + 3ca 3c + 3ab 3a + 3bc Ta có 3b + 3ca = b(a + b + c) + 3ca = b(a + b + c) + ca + 2ca mà a + c2 ≥ 2ac nên 3b + 3ca ≤ ab + b + bc + ca + a + c Chứng minh tương tự ta có: 3c + 3ab ≤ ac + c + bc + ab + a + b 3a + 3bc ≤ a + ab + ac + bc + c + b a + bc + b + ca + c + ab P≥ =1 ⇔ P ≥ 3 ab + b + bc + ca + a + c2 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy MinP = a = b = c = Bài 16: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz Khi Chứng minh : xy yz zx + + ≤ 2 2 2 x +y +x z+y z y +z +y x+z x z +x +z y+x y 3 Hướng dẫn Ta có : xy + yz + zx = 3xyz ⇔ 1 + + =3 x y z Với x >0; y > 0; z > ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 2 ≤ ( + ) ;x + y ≥ 2xy x+ y x y  xy xy xy  1 ≤ ≤ +   2 2 x + y + x z + y z xy(x + y) + (x + y )z  xy(x + y) (x + y )z   1 xy 1 xy  ⇒ ≤  + + ≤   2 x + y + x z + y z  (x + y) (x + y )z   (x + y) 2z  3 NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 ≤ 1  1    1  (1)   + +  =  + +   x y  2z  16  x y  8z Chứng minh tương tự : 1 1 yz ≤ (2)  + + y + z3 + y x + z x 16  y z  8x 1 1 zx ≤  + + (3) 3 2 z + x + z y + x y 16  z x  8y Công (1) ; (2); (3) theo vế ta đpcm Đẳng thức xảy x = y = z = Bài 17: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức = + + = + + − + + + Hướng dẫn Theo giả thiết ta có + + ⇔ + = +  ⇔   + + =  + ≤  Mặt khác ta có Vì + + + ≤ + Đặt Vậ y = + > = + ⇒ ⇔ + + + ⇔ ≤ − ≤ + + ( ≤ + + + − + = + + ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≥ + ) = − =−   = +  ; dấu đạt  =   + =  + + + + + + + + − + + +   = ⇔  =  Bài 18: Cho số thực dương x, y thỏa mãn + ln Tìm giá trị lớn biểu thức: M = + ≤ = x + y +1 = xy − x − y xy 3x 3y 1 + + − 2− 2⋅ y ( x + 1) x( y + 1) x + y x y Hướng dẫn Từ giả thiết ta suy ln( x + y + 1) + 3( x + y + 1) = ln(3 xy ) + 3.3 xy NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 t đồng biến (0; +∞) , từ g ( x + y + 1) = g (3 xy ) ⇔ x + y + = 3xy (*) Xét hàm số g (t ) = ln t + 3t (0; +∞) , ta có g '(t ) = + > với ∀t > , suy g (t ) Theo (*) ta có xy − = x + y ≥ xy Đặt t = xy ⇒ 3t − t − ≥ ⇒ t ≥ 3x 3y 3x ( y + 1) + y ( x + 1) 36t − 27t + + = = (2) y ( x + 1) x ( y + 1) xy ( xy + x + y + 1) 4t − 1 x2 + y (3t − 1) − 2t −36t + 32t − − = − = − = (3) x2 y2 x2 y t2 4t Theo Cô si 1 5t − 1 ≤ ≤ (4) Từ (2), (3), (4) ta có M ≤ + x + y xy 4t 2 Xét hàm số f (t ) = 5t − [1;+∞) , ta có 4t 5.4t − (5t − 1)8t − 5t = < 0∀t ≥ , suy f (t ) nghịch biến [1;+∞ ) , 16t 4t 3 = max f (t ) = f (1) = ⇔ t = ⇔ x = y = [1; +∞ ) f '(t ) = M max Bài 19: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: z ( z − x − y ) = x + y + Chứng minh : x4 y4 36 ≤ ( x + yz ).( y + zx ).( z + xy ) Hướng dẫn Vì z ( z − x − y ) = x + y + ⇒ (z + 1)( x + y) = z2 - z > nên ta có: x + y + = z Khi T = x4 y4 x4 y4 = ( x + y ) [( x + 1)( y + 1)] ( x + y ).(1 + y ).( x + y ).(1 + x ) [( x + 1)( y + 1)] Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x, y ta có : 4 3   (x + 1) =  x + x + x + 1 ≥  4 x  = 4 x ; 27  27  3 3  4 3   ( y + 1) =  y + y + y + 1 ≥  4 y  = 4 y ; 27  27 3 3   Do ( x + y ) [( x + 1)( y + 1)]4 ≥ xy (x + y )2 ≥ xy x y 49 4 36 = suy T ≤ (*) x y 36 36 49 x y = =1 Dấu “=” ( * ) xảy ⇔  3 ⇔ x = 3, y = 3, z =  z = x + y + Vậy bất đẳng thức chứng minh NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 10 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 20: Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x + y ) + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biếu thức P = 3( x + y ) − 2( x + y ) − xy (3xy − 4) + 2015 Hướng dẫn Với số thực x, y ta ln có (x + y)2 ≥ 4xy , nên từ điều kiện suy ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y )2 − ≥ ⇒ x + y ≥ 3 Ta biến đổi P sau P = (x + y ) + (x + y ) − 2(x + y + 2xy) − xy(3xy − 4) + 2015 3 (x + y ) + (x + y ) − 2(x + y ) + 2015 (3) 2 (x + y ) 4 Do x + y ≥ nên từ (3) suy P ≥ (x + y ) − 2(x + y ) + 2015 Đặt x + y = t t ≥ (do x + y ≥ 1) 9 Xét hàm số f (t) = t − 2t + 2015 với t ≥ , có f '(t) = t − > , với t ≥ nên hàm số 2 1    32233 f(t) đồng biến  ; +∞  Suy f (t) = f   = 1  16 2  2 t∈ ; +∞  = 2 Do GTNN P  32233 , đạt x = y = 16 Bài 21: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a 2a b c + + + + < 3a + b 3a + c 2a + b + c 3a + c 3a + b Hướng dẫn +) Vì a, b, c cạnh tam giác nên ta có: a + b > c; b + c > a; c + a > b +) Đặt x = a+b c+a ;y= ; z = a ( x, y, z > 0) Ta có: x + y > z; y + z > x; z + x > y 2 2a 2x 2y 2z x y z (1) = + + = + + 3a + b 3a + c 2a + b + c y + z z + x x + y y + z z + x x + y VT = a + c + a + b + 2z z > x+ y+z x+ y CM tương tự ta có: x < x (2); y < y (3) y+z x+ y+z z+x x+ y+z Lại có: x + y > z ⇔ z ( x + y + z ) < 2z( x + y ) ⇔ Từ (1),(2) (3) ta có x y z 2x + y + 2z + + < =2 y+z z+x x+ y x+ y+z ⇒ (đpcm) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 11 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = + + + + + Hướng dẫn NX: dạng có dạng a + b + m + n áp dụng phương pháp BĐT vec - tơ = = - Trong mp(Oxy), gọi = , = + + ⇒ = - Ta có: + + ≥ ⇒ + + + + + + , dấu = xảy ba vecto x = y = z = x = y = z = Vậy minP = ⇒ Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa: ∈ [ Hướng dẫn Ta có: ∈ [ ( − ⇒ ( − )( )( ( ⇒ ] ∈[ ] )≥  ⇔ + )≥  + ) ( ≤ + + + Mặt khác + ≥ ( + + + + + + + ≥ + + + ( ] ] ∈[ − ( + + ⇒ + + )+ + + + + + ∈[ ≥ + + ]) )+ ( + + + ) − ≤ )+ + ] ∈[ )+ ] ) ( + − ⇒ + + ≥ + ( + ∈[ + + ( = + hướng kết hợp điều kiện đề ta ≥ Tìm giá trị lớn + ≥ )+ + − = + + + Với số thực x, y, z, ta có ( ) +( − ⇔ ( − ) +( + )≥( + ⇒ + + − ) + + = => + + + + + + + )≥ + + ) ) (  ) ≤ + ( ≥ ⇔ + + +( + + ) ≥  ( + + + + + = + + ≥ + + + Suy ≤ ⇒ ( + ≤ Đặt t = ( + + + + + )+ + + − + )+ ⇒ ∈[ + + + + + + ] NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 12 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Xét hàm số ( )= ( + ( )= Do đó: ( )= ) − ( + = = ] ⇔ = ⇒ ( )= Khi ∈[ + ( )= ) + ( )= ≤ + ( )≤ = ∀ ∈[ = ] Vậy giá trị lớn P Bài 24: Cho x số thực thuộc đoạn [ − 1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = − 4x − + x − 4x + + x + Hướng dẫn Đặt a = − x , b = + x a + 4b2 = 9, với a, b ≥ π Do đặt α ∈ [0, ] với a=3sinα ,2b=3cosα Khi đó: 3sin α − cosα sin α − cosα a−b = = P= a + 2b + 3sin α + 3cos α + sin α + cos α + π sin x − cos x với x ∈ [0, ] Xét hàm số f ( x ) = 2sin x + cos x + + + π sin x 8cos x > 0, ∀x ∈ [0, ] Ta có f / ( x ) = (2 sin x + cos x + 4) 2 π Suy hàm số f(x) luôn đồng biến [0, ] π Do đó: f ( x ) = f (0) = − ; max f ( x ) = f ( ) = π x∈[0,π ] x∈[0, ] 2 −1 Vậy P = x = Max P = x = −1 Bài 25: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2+b a 2+c b 2+a c Hướng dẫn Ta có a a a , + a ≥ a = ≥ + b a a + ba + a + ba Tương tự: c c b b ≥ ≥ ; + c b + b + bc + a c + c + ac Cộng vế BĐT ta có: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 13 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 a b c a b c + + ≥ + + + b a + c b + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + + bc + bca + babc + b + cb b + bc + bac b cb + + = (điều phải chứng minh) = bc + + b + b + cb b + bc + Dấu xảy a = b = c = Bài 26: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn + + = Tìm giá trị lớn biểu thức P = abc +3 + ab + bc + ca (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) , ∀x, y, z ∈ ℝ ta có: ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) = 9abc > ⇒ ab + bc + ca ≥ abc ( ) Ta có: (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ + abc , ∀a, b, c > Thật vậy: (1 + a )(1 + b )(1 + c ) = + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + abc ≥ ( + 3 abc + 3 ( abc ) + abc = + abc Khi P ≤ ( 3 + abc ) ) + abc =Q + abc (1) a+b+c Đặt abc = t Vì a, b, c > nên < abc ≤   =1   t2 , t ∈ ( 0;1] + Xét hàm số Q = (1 + t ) + t ⇒ Q '(t ) = 2t ( t − 1) ( t − 1) 2 (1 + t ) (1 + t ) ≥ 0, ∀t ∈ ( 0;1] Do hàm số đồng biến ( 0;1] nên Q = Q ( t ) ≤ Q (1) = Từ (1) (2) suy P ≤ ( 2) , đạt khi: a = b = c = Bài 27: Cho số thực x, y, z khác thỏa mãn: x + y + z = x y.z = Tìm giá trị lớn 1 biểu thức: P = + + x y z Vậy max P = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 14 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Hướng dẫn 1 1 y+z P= + + = + = + x (5 − x) x y z x yz x ⇔ x < 0∨ 3− 2 ≤ x ≤ 4∨ x ≥ 3+ 2 x 1 Xét hàm số: f ( x ) = + x ( − x ) ⇒ f ' ( x ) = − + − x x Với: x < ∨ − 2 ≤ x ≤ ∨ x ≥ + 2 f ' ( x) = ⇔ x = ∨ x = − ∨ x = + 2 2 Ta có: ( y + z ) ≥ yz ⇔ ( − x ) ≥ Lập bảng biến thiên Tính được: ( ) ( ) f (1 + ) = f ( − 2 ) = + f 1− = f + 2 = 1− 2 Vậy giá trị lớn P + Dấu “=” : x = y = + 2, z = − 2 hay x = z = + 2, y = − 2 x = y = − 2, z = + hay x = z = − 2, y = + Bài 28: Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − x + xy + xyz x+ y+z Hướng dẫn 1 x.8 y + x.8 y.32 z x + y x + y + 32 z 32 ≤ x+ + = (x + y + z) = (x + y + z) 24 24 3 Đặt t = x + y + z ; t ≥ ⇒ P ≥ f ( t ) = − 2t 3t f ′ (t ) = − + ; f ′ (t ) = ⇔ t = t t Lập bảng biến thiên hàm f(t) ta Pmin = − t=1 16   x = 21 x + y + z =    ⇒ y = Dấu “=” xảy 2 x = y 21 2 x = 32 z     z = 21  Ta có x + xy + xyz = x + Bài 29: Cho a, b, c không âm a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + Hướng dẫn NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 15 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Ta có ≤ ( a + b + c ) ≤ ( a + b2 + c ) ⇔ ≤ (a + b + c) ≤ ⇔ ≤ a+b+c ≤3 Đặt t = a + b + c với t ∈  3; 3 Mà ab + bc + ca = (a + b + c) − ( a + b2 + c2 ) = t2 − Nên P ( t ) = t + 5t + P ' ( t ) = t + > 0, ∀t ∈  3; 3 Lập BBT ta có kết 2 Vậy Pmax = 22 với t = ⇔ a = b = c = Bài 30: Cho số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c a + b + c = Chứng minh rằng: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4 Hướng dẫn Ta có: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4 ⇔ P = (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca ) ≤ Do a ≥ b ≥ c nên N ếu + + < P ≤ < (đúng) N ếu + + ≥ đặt + + = ≥0 (a − c) Áp dụng BĐT Côsi : (a − b)(b − c) ≤ ⇒ (a − b)(b − c)(a − c) ≤ (a − c) (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2[(a − b) + (b − c) ] ≥ (a − c) 4(a + b + c − ab − bc − ca) = 2(a − b) + 2(b − c) + 2(a − c) ⇒ 4(a + b + c − ab − bc − ca ) ≥ (a − c) + 2(a − c) ⇔ 4(5 − x) ≥ 3(a − c) ≥ ⇒ x ≤ va ɳ a − c ≤ 5− x ( 2) Từ (1) (2) ta có: (a − c) 3 P≤ x (5 − x) x ≤ Xét hàm số f ( x) = x (5 − x) ; x ∈ [0;5] f ' ( x) = − x (5 − Ta có: f (0) = x) ; ; x = f ' ( x) = ⇔  x = f ( 2) = ; f (5) = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 16 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Max f ( x) = ⇒ f ( x) = x (5 − x) ≤ ; ∀x ∈ [0;5] [0;5 ] ⇒P≤ ⇔ P ≤ ab + bc + ca = x = a = b = a − a − b = b − c    ⇔ b = Dấu "=" xảy ⇔  ⇔ = − − = 2 a c c a c =    a + b + c = a + b + c = Bài 31:Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức = + +2 +2 + +2 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có yz x x (1) = 1− ≤ 1− x+ y+z x + yz x + yz Tương tự ta có y y zx = 1− ≤ 1− (2) x+ y+z y + zx y + zx xy z z ≤ 1− (3) x+ y+z z + xy z + xy Cộng bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) ta P ≤ ⇔ P ≤ Dấu xảy x = y = z Vậy Max P = x = y = z = 1− Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = Chứng minh rằng: + + + + + + ≥ + Hướng dẫn NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 17 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: = − ≥ − = − + ≥ − = − − + Dấu = xảy b = c = = − ≥ − = − ≥ − ≥ − = − ≥ − ≥ − = − ≥ − ( + )= − − ( + )= − − + = − + = − ( )= + − − + Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: + + + + + + ≥ − + + + − + + +  +     ( + Mặt khác: • + + + =( + )( +  + + +   =   )≤ Dấu "=" xảy ⇔ a+c = b+d • + + + = (  +   ( +    + +  + ) + =( +   )+ ( + )≤ )+ ) + + + ≤( + ⇔ + + +  + + +  ≤  = Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c = d =   + + ⇔ + + + + + + + + ≥ − )( + ⇔ Vậy ta có: )( + + ) − + + + ≥ ⇒ đpcm + Dấu "=" xảy a = b = c = d = Bài 33: Cho a,b hai số thực dương thỏa 2a + b = a Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = + 4b Hướng dẫn 2 + = + 8a + + 4b − (8a + 4b) = + 8a + + 4b − a 4b a 4b a 4b + 4b ≥ Bất đẳng thức Côsi cho : + 8a ≥ a 4b Ta có : F = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 18 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 2  a = 8a    = 4b a = ⇔ Suy F ≥ MinF = đạt  4b  b =  2a + b = 4  a, b > (x Bài 34: Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ P= t2 t2 t − t − xy (3t − 2) Do 3t - > − xy ≥ − nên ta có xy − t + t (3t − 2) t2 P≥ = t2 t−2 − t +1 t2 t − 4t ; f '(t ) = ; f’(t) = ⇔ t = v t = Xét hàm số f (t ) = (t − 2) t−2 t3 − t − t f’(t) - +∞ + +∞ +∞ f(t) x + y = x = ⇔  xy = y = Do P = f (t ) = f(4) = đạt  (2;+∞ ) Bài 35: Cho số thực dương a,b,c đôi khác thỏa mãn 2a ≤ c ab + bc = 2c Tìm giá trị lớn biểu thức P = a b c + + a−b b−c c−a Hướng dẫn a a b b a 2c ≤ ; ab + bc = 2c ⇔ + = ⇔ = −1 c c c c c b a b c Vì ≤ nên ≥ Đặt t = < t ≤ c c b a b 2t − t 1 = + + = 1− + P= c + c + a b b a 2t − t − 1 − t 2(1 − t ) 2t + 6(1 − t ) − −1 1− c c c c Theo giả thiết: 2a ≤ c nên NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 19 ... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Xét hàm số... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 TH1: y ≤... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 11 Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 22 : Cho