SỞ GD&ĐT Trương Quang An Trung tâm luyện thi học KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN - THPT Thời gian: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC sinh giỏi cấp tỉnh ,cấp quốc gia hàng đầu Quảng Ngãi Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x3 m 1 x m 3 x 8m đồng biến khoảng 0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x3 3mx 3m có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x y Câu (2,0 điểm) cos x cos3 x cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Câu (1,5 điểm) x 1 x 1 x ¡ Giải phương trình: x x x x Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD b a, b , SA a) Giải phương trình: cos x tan x vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM x với x 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D 1; 1 , đường thẳng IG có phương trình x y điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9 x y, x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y 1 y z 10 y x y z z x ThuVienDeThi.com -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… SỞ GD&ĐT Trương KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017 quang an_nghĩa thắng _tư HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) nghĩa _quảng ngãi I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x3 m 1 x m 3 x 8m đồng biến khoảng 0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số 2,5 y x3 3mx 3m có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x y a TXĐ: ¡ y ' x m 1 x m 3 Do phương trình y ' có nhiều hai nghiệm ¡ , nên để hàm số 0,5 cho đồng biến khoảng 0;3 y ' 0, x 0;3 x2 2x m, x 0;3 2x x2 2x Xét hàm số g x khoảng 0;3 2x x 2x2 2x ; g ' x g ' x x 1 x 2 loai ThuVienDeThi.com 0,5 BBT x g ' x g x 18 0,5 Từ BBT, g x m, x 0;3 m Vậy, m hàm số cho đồng biến khoảng 0;3 b TXĐ: ¡ x Hàm số cho có cực đại cực tiểu y ' 3 x 6mx; y ' x m phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt m uuur Tọa độ hai điểm cực trị A 0; 3m 1 , B 2m;4m3 3m 1 AB 2m;4m3 0,5 trung điểm AB I m;2m3 3m 1 I d A, B đối xứng với qua đường thẳng d : x y AB d 0,5 4m3 5m m 1 (thỏa mãn) Vậy, m 1 4m 4m cos x cos3 x a) Giải phương trình: cos x tan x cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Điều kiện: x l l ¢ a Suy (1) cos x tan x cos x (1 tan x) 2,0 0,25 cos x 1 cos x cos x 2cos x cos x cos x 0,25 +) cos x 1 x k 2 k ¢ 0,25 x k 2 k ¢ Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x k 2 , 0,25 +) cos x x b k 2 k ¢ Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153 455 tam giác Số phần tử tập M là: M 455 ThuVienDeThi.com 0,25 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15 Số tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân ba đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy ra, số tam giác giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15 3.5 90 Vậy, xác suất để chọn tam giác cân tam giác 90 18 từ tập M: P 455 91 x 1 x 1 Giải phương trình: x x x x Điều kiện: x 1 x x x2 4 x 2 x x x 1 x 1 0,25 0,25 0,25 1,5 0,5 x x x 1 x 1 Xét hàm số: f t t 2t , t Có f ' t 2t 0t hàm số đồng biến 0; Suy phương trình (1) có dạng f x 1 x x x 1 11 Nghiệm tìm thỏa mãn 11 Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD b a, b , SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) 2 x2 4 x f 0,5 x x x x 3; x SA 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM x với x 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích ThuVienDeThi.com 0,5 2,0 S N M H A D B a C Do BC / / AD mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN ( N SD ) MN / / AD AD SAB MN SAB MN BM Suy thiết diện hình chóp 0,5 S.ABCD cắt mặt phẳng (MBC) hình thang BCNM vng B M b 2a x MN SM MN 2a AD SA Diện tích thiết diện BCNM: BM x a , S BCNM b 0,5 b 2a x 2 b a x a b 4a x a x 4a Kẻ AH BM H, suy AH BCNM , AH Do BCNM SAB d S , BCNM d S , BCNM d A, BCNM ax a2 x2 MS MA a 2a x 0,5 a2 x2 Thể tích khối chóp S.BCNM: b 2a x 4a x VS BCNM d S , BCNM S BCNM 12 Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích nhau: VS ABCD 2VSBCNM 2a 2b b 2a x 4a x x a (lo¹i) 2 x ax a Vậy x a x a Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D 1; 1 , đường thẳng IG có phương trình x y điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ ThuVienDeThi.com 0,5 1,0 đỉnh tam giác ABC B H E G K A C F I D Gọi K trung điểm BI, suy HK / / CD A trung điểm KI, HK DI IC ; AK BK GK / / AC GK AB GB GI GC hay G tâm đường · · 90o , ID IC DE / / IG tròn qua ba điểm C, I, B CGI IBC Phương trình đường thẳng DE: x y E 1;3 0,5 CE IG , suy phương trình CE : x y Tọa độ G nghiệm x x y 7 7 G ; C 5;1 hệ phương trình 3 3 6 x y y uuur uuur DG AG A 1;1 B 1;5 Vậy, A 1;1 , B 1;5 C 5;1 0,25 0,25 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9 x y, x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y 1 y z 10 y x y z z x Với a, b dương thỏa mãn ab ta có bất đẳng thức 1,0 1 a b ab 1 a b ab ab a b ab Dấu xảy a b ab Thật vậy: ThuVienDeThi.com 0,25 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức trên: P x 2 z x x x 10 1 10 1 y y z y y Đặt 0,25 x 1 t 1;3 Xét hàm số f t đoạn 1;3 y 10 t t 2t f 't ; f ' t t 2t 24t 2t 100 10 t 1 t t t 24t 50 t t 2 3 24t 50 t 1;3 BBT 0,25 t f 't f t + 11 18 Suy Pmin x y z x x y y z z y x y -Hết ThuVienDeThi.com 0,25 ... -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… SỞ GD& ĐT Trương KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017 quang. .. trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương... có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Điều kiện: x l l ¢ a Suy