(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy(Luận văn thạc sĩ file word) Đa thức thuận nghịch bất khả quy
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐÀO ĐÌNH ĐÌNH ĐA THỨC THUẬN NGHỊCH BẤT KHẢ QUY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGƠ VĂN ĐỊNH THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Mở đầu Kiến thfíc chuẩn bị 1.1 Vành đa thức 1.2 Đa thức bất khả quy Q 1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 1.4 Đa thức chia đường tròn 1.5 Đa thức Chebyshev Đa thfíc thuận nghịch bất khả quy 10 2.1 Định nghĩa đa thức thuận nghịch .10 2.2 Tính chất đa thức thuận nghịch 11 2.3 Phương pháp .16 2.4 Tính chất số học ánh xạ thuận nghịch 22 Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thfíc thuận nghịch 25 3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy Q 25 3.2 Tiêu chuẩn đa thức thuận nghịch bất khả quy .29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI MỞ ĐẦU Trong lý thuyết đa thức, đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống vai trò số nguyên tố tập số nguyên Đa thức thuận nghịch bất khả quy chủ đề hay nói đa thức Việc nghiên cứu tính bất khả quy đa thức Q lĩnh vực nghiên cứu thành lập địi hỏi khái niệm cơng cụ khác từ nhiều lĩnh vực Đa thức f (x) ∈ F (x) gọi bất khả quy deg[f (x)] > f (x) không phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Cho f ∈ Q[t] đa thức bậc n Đa thức f gọi thuận nghịch f (t) = tnf t Mục đích đề tài nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết kết tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thức thuận nghịch mối liên hệ đa thức thuận nghịch đa thức bất khả quy Q Nội dung luận văn viết dựa theo báo hai tác giả Antonio Cafure Eda Cesaratto cơng bố tạp chí The Mathematical Association of America vào tháng năm 2017 Luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức sở vành đa thức, đa thức bất khả quy Q, tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức chia đường trịn, đa thức Chebyshev Chương trình bày đa thức thuận nghịch bất khả quy, có định nghĩa, tính chất đa thức thuận nghịch bất khả quy, phương pháp sử dụng đa thức thuận nghịch bất khả quy, tính chất số học ánh xạ thuận nghịch Trong Chương trình bày số tiêu chuẩn bất khả quy Q, tiêu chuẩn đa thức thuận nghịch bất khả quy Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Văn Định, người định hướng cho đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phịng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cám ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho tơi để tơi học tập, nghiên cứu thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2021, Tác giả luận văn Đào Đình Đình Chương Kiến thfíc chuẩn bị Mục đích phần trình bày lại khái niệm vành đa thức, đa thức bất khả quy Q, tiêu chuẩn Eisenstein đa thức bất khả quy Ngoài tác giả trình bày lại định nghĩa đa thức chia đường trịn, đa thức Chebyshev tính chất đa thức Chebyshev 1.1 Vành đa thfíc Nhắc lại tập V ̸= ∅ với phép cộng gọi nhóm điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép cộng có tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c với a, b, c ∈ V (ii) Tồn phần tử ∈ V cho a + = + a = a với a ∈ V (iii) Mỗi a ∈ V, tồn phần tử đối −a ∈ V cho a +(−a) = (−a)+a = Nếu thêm điều kiện a + b = b + a với a, b ∈ V V gọi nhóm giao hốn Nhóm cộng V trang bị thêm phép toán nhân gọi vành điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép nhân có tính kết hợp: (ab)c = a(bc) với a, b, c ∈ V (ii) Tồn phần tử đơn vị ∈ V cho a1 = 1a = a với a ∈ V (iii) a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca với a, b, c ∈ V Nếu thêm điều kiện ab = ba với a, b ∈ V V vành giao hốn Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến x với hệ số V tổng hữu hạn f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0, a0, a1, , an ∈ V Ta viết đa thức dạng f (x) = Σ ∞ a xi, a = với i > n Hai đa thức Σ ∞ i=0 i aix Σ ∞ i=0 i=0 i i bixi = bi với i Ký hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Cho f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 ∈ V [x] Ta gọi a0 hệ số tự f (x) Nếu an n gọi bậc f (x) ký hiệu degf (x) Trong tường hợp này, an gọi hệ số cao f (x) Nếu an = f (x) gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức Nếu f (x) = a ∈ V f (x) gọi đa thức Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = V [x], định nghĩa ∞ Σ i=0 i aix g(x) = ∞ Σ i=0 bixi ∞ Σ f (x) + g(x) = (ai + bi)x i=0 i f (x)g(x) = ∞Σ ckxk, ck = Σ i+j= bj với k k k=0 Khi V [x] vành giao hoán với phép cộng phép nhân đa thức Vành V [x] gọi vành đa thức biến x với hệ số V Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị vành đa thức 1.2 Đa thfíc bất khả quy Q Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức f (x) ∈ F [x] gọi bất khả quy Q degf (x) > f (x) khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Nếu degf (x) > f (x) tích hai đa thức có bậc bé ta nói f (x) khả quy Bổ đề 1.2.1 Các hát biểu sau (i) Đa thức bậc bất khả quy (ii) Nếu f (x) bậc lớn có nghiệm F f (x) khả quy (iii) Đa thức bậc bậc bất khả quy khơng có nghiệm F (iv) Đa thức f (x) có bậc dương bất khả quy f (x + a) bất khả quy với a ∈ F Đa thức bất khả quy có tính chất tương tự tính chất số nguyên tố Trước hết, biết, Bổ đề Euclid phát biểu số tự nhiên p > số nguyên tố p|ab kéo theo p|a p|b với số tự nhiên a, b Mệnh đề sau điều tương tự cho đa thức bất khả quy Mệnh đề 1.2.1 Nếu p(x) ∈ F [x] bất khả quy p(x)|a(x)b(x) p(x)|a(x) p(x)|b(x) với a(x), b(x) ∈ F [x] Đặc biệt, đa thức bất khả quy ước tích hữu hạn đa thức phải ước đa thức Định lý 1.2.1 Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dương phân tích thành tích đa thức bất khả quy dạng chuẩn phân tích khơng kể đến thứ tự nhân tử Định nghĩa 1.2.2 Đa thức p(x) ∈ F [x] bất khả quy dạng chuẩn xác định mệnh đề gọi đa thức bất khả quy a Ví dụ 1.2.1 Đa thức x3 − ∈ Q[x] đa thức bất khả quy thức x2 + ∈ R[x] đa thức bất khả quy i ∈ C 1.3 √3 ∈ R; đa Tiêu chuẩn Eisenstein Tiêu chuẩn 1.3.1 Cho f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a0, an ̸= 0, đa thức với hệ số nguyên p số nguyên tố cho an không chia hết cho p ai, i < n chia hết cho p a0 khơng chia hết cho p2 Khi f (x) đa thức bất khả quy Z Tiêu chuẩn 1.3.2 [Tiêu chuẩn Eisenstein suy rộng] Cho f (x) = a0xn + a1xn−1 + + an, a0 ̸= 0, n > đa thức với hệ số nguyên p số nguyên tố cho a0 không chia hết cho p chia hết cho p với i = k + 1, k + 2, , an an không chia hết cho cho p2 Nếu f (x) biểu diễn thành tích hai đa thức với hệ số nguyên, f (x) = g(x)h(X), bậc hai đa thức g(x) h(x) không nhỏ n − k Ví dụ 1.3.1 Với số ngun tố p đa thức f (x) = + x + + xp−1 bất khả quy Z Chứng minh Theo Tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức f (x+1) = xp−1+ bất khả quy Z Do f bất khả quy Z p + p−1 Ví dụ 1.3.2 Với số nguyên dương n đa thức f (x) = 1+x+ bất khả quy Q Chứng minh Ta phải chứng minh n!f (x) = n! + n!x + p xp−2+ x2 + .+ xn 2! n! x2 + + n x 2! bất khả quy Z Ta chọn số nguyên tố p với p ≤ n < 2p với n chia hết cho p, n! không chia hết cho p2 Theo tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức n!f bất khả quy Z 1.4 Đa thfíc chia đường trịn Định nghĩa 1.4.1 Cho n số nguyên dương Đa thức chia đường tròn thứ n đa thức dạng chuẩn (tức có hệ số cao 1) có φ(n) nghiệm nguyên thủy bậc n đơn vị Ta kí hiệu đa thức chia đường trịn thứ n Φn(x) Như Φn(x) có bậc φ(n) Y Φn(x) = (x − ϵ) e =1 ord(e)= n n Số nguyên dương n gọi có nguyên thuỷ tồn số nguyên a cho a n nguyên tố ordn(a) = φ(n) Ví dụ 1.4.1 Các bậc đơn vị ϵk = cos 2kπ +i sin 2kπ , k = 0, 1, √3 √3 ; ϵ2 = − − i Các nguyên thủy bậc đơn vị ϵ1 = − + 2 i Do đa thức chia đường trịn thứ ba √ ))(x + ( √ + i 3 )) = x + x + — i Φ3(x) = (x + ( 2 Căn bậc đơn vị ϵk = cos 2kπ +i sin 2kπ , k = 0, 1, 2, Các nguyên thủy bậc đơn vị ϵ1 = i ϵ3 = −i Đa thức chia đường tròn thứ tư Φ4(x) = (x − i)(x + i) = x2 + 1.5 Đa thfíc Chebyshev Đa thfíc Chebyshev loại Với n ∈ N tồn đa thức Tn(x) thỏa mãn: Tn (cos x) = cos nx ∀x ∈ R gọi đa thức Chebyshev loại Dễ thấy T0(x) = 1, T1(x) = x cos(n + 1)x = cos x cos nx − cos(n − 1)x nên ta có Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x) Công thức chứng tỏ Tn Chữ T tên đa thức viết tắt tên nhà toán học Nga Chebyshev, Toán tử Rn toán tử số ∥Rn ∥∞ = max n+1 Σ ≤i≤n+1 |aij | i=1 Biểu diễn ma trận cho phép tính R(f ) cách tính Rn[f ]t thấy ∥R(f )∥∞ ≤ ∥Rn∥∞∥f ∥∞ Giới hạn định mức tối đa Rn theo Mệnh đề 2.4.1 Bất đẳng thức với n ∈ N ∥Rn∥∞ = max n+1 n+1 n+1 n n Σ ΣΣ Σ Σ ≤i≤n+1 j=1 |aij | ≤ j=1 |aij | = + i=1 ∥fj ∥1 = + j=1 Lj j=1 Đây hệ iên quan đến dãy số Lucas khẳng định rằng: n Σ Lj = Ln+2 − j=0 Chúng ta kết luận ∥R(f )∥∞ ≤ ∥Rn∥∞∥f ∥∞ ≤ Ln+2B Bằng cách trình bày kết sau Mệnh đề 2.4.2 Cho f ∈ R có bậc 2n ∥f ∥∞ = B Thì ∥R(f )∥∞ ≤ Ln+2B Mệnh đề 2.4.3 Cho f ∈ R2 với hệ số nguyên có bậc 2n chuẩn vơ ∥f ∥∞ ≤ B Khi cho đa thức bất khả quy g ∈ Z[t] bậc n với f = aggrev a ∈ Z có chuẩn vơ ∥g∥∞ có giá trị lớn √ B Chứng minh Cho g = antn + + a1t + a0 (với an 0) Giả sử ∥g∥∞ = |ai | với ≤ i ≤ n Hệ số f a(a + a1 + + an2 ) Và ta có: ∥g∥∞ 2 = |ai | ≤ n Σ i=0 |ai | ≤ ∥f ∥∞ ≤ B Chương Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thfíc thuận nghịch Trong Chương có khái niệm đa thức thuận nghịch, nối tiếp nội dung đa thức thuận nghịch Chương chúng tơi trình bày mối liên hệ đa thức thuận nghịch đa thức bất khả quy Như biết Chương 2: Một đa thức f R gọi bất khả quy R khơng thể phân tích thành tích hai đa thức thuận nghịch khác Dựa vào tính chất mà Chương chúng tơi đề cập tới tiêu chuẩn bất khả quy Q đa thức thuận nghịch, tiêu chuẩn đa thức thuận nghịch bất khả quy tính chất số học ánh xạ thuận nghịch sử dụng ma trận nghịch đảo dựa theo tài liệu tham khảo số [1],[2],[3] 3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy Q Mệnh đề sau cho thấy tính bất khả quy đa thức thuận nghịch Q[x] thông qua ánh xạ R(f ) Trong ánh xạ R(f ) định nghĩa sau: R : R −→ Q[x] f −→ a0 + a1f1 + + anfn Trong f1, f2, , fn ∈ R Mệnh đề 3.1.1 Cho f ∈ R Khi f bất khả quy R R(f ) bất khả quy Q[x] Chứng minh Cho f = f1f2 phân tích nhân tử R Khi ta có ≤ deg fi ≤ deg f (với i = 1, 2) Do R(f ) = R(f1).R(f2) phân tích nhân tử Q[x] Khi ta có ≤ deg R(fi) < deg f/2 Ngược lại, R(f ) phân tích Q[x] theo tính chất R f phải phân tích R Mệnh đề 3.1.1 cho ta thấy mối liên hệ tính bất khả quy R Q[x] Chúng ta thấy rằng: R(Irred(R)) = Irred(Q) R(Red(R)) = Red(Q) (3.1) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.1.1 Cho f ∈ Z[t] đa thức thuận nghịch chuẩn bậc với R(f ) khơng có nghiệm hữu tỷ Áp dụng Mệnh đề 3.1.1 Hệ 2.2.1 Suy f bất khả quy Q Trừ trường hợp f = t4 − (b2 + 2)t2 + với b ∈ Z Trong trường hợp ta phân tích f = −ggrev với g = t2 + bt − Ví dụ rằng, cách tổng qt khơng thể kết luận tính bất khả quy f Q[t] f bất khả quy R Ví dụ 3.1.2 Cho f = t6 − 3t5 − 3t4 + 11t3 − 3t2 − 3t + Khi tk + f = t3 Σk= + =t 3 tk t − 3t − 3t + 11 3 = t3 t3 + − t − t2 + t t3 — 3(t + t2 ) − 3(t + ) + 11 t Ở t + t2 + t3 = = t+ t −3 t+ t t+ − t2 t Đặt t + = x Ta có R(f ) = x3 − 3x2 − 6x + 17 t Ta thấy R(f ) bất khả quy Q f bất khả quy R Tuy nhiên f không bất khả quy Q f phân tích thành: f = (t3 − 3t + 1)(t3 − 3t2 + 1) Theo Mệnh đề 2.2.1 thấy f = g.grev Với g = t3 − 3t2 + (g bất khả quy Q[t]), grev = t3 − 3t2 + Định lj 3.1.1 Cho f ∈ R đa thức thuận nghịch nguyên thủy bậc chẵn giả sử R(f ) bất khả quy Q[x] Nếu |f (1)| |f (−1)| không số phương f bất khả quy Q[x] Nếu f (1) hệ số f khác dấu f bất khả quy Q[t] Nếu hệ số f ±1 f bất khả quy Q[t] Chứng minh Khẳng định Vì R(f ) bất khả quy Q[x] Do f bất khả quy R (theo mệnh đề 3.3.1) Theo bổ đề 3.2.1 ta có f bất khả quy Q f = ±ggrev với g ∈ Z[t] g bất khả quy Q Giả sử f không bất khả quy Q Chúng ta rằng: g(1) = grev(1) |f (1)| = |g(1)| Tương tự từ g(−1) = ±grev(−1) có |f (−1)| = |g(−1)| Điều mâu thuẫn với |f (1)| |f (−1)| khơng số phương Vậy giả sử sai, suy Khẳng định Trong Khẳng định Nếu f (1) > f = ggrev Ta giả sử g = antn + an−1tn−1 + + a1t + a0 Chúng ta thấy hệ số f là: a2 + a2 + + a2 + a2 n−1 n Điều khơng thể xảy hệ số phải âm Tương tự với trường hợp f (1) < ta kết luận Khẳng định hệ trực tiếp biểu thức cho hệ số đưa chứng minh khẳng định Ví dụ 3.1.3 Xét đa thức f = t8 + 6t7 + 2t6 + 22t5 − 8t4 + 22t3 + 2t2 + 6t + Chúng ta có R(f ) = x4 + 6x3 − 2x2 − 4x − 10 Theo tiêu chuẩn Eisentein, R(f ) bất khả quy Q[x] Theo Định lý 3.1.1 kết luận f bất khả quy Q Ví dụ 3.1.4 Cho f ∈ R với hệ số Nếu R(f ) bất khả quy Q[x] kết luận f bất khả quy Q[t] Ví dụ 3.1.5 Xét đa thức sau Q[t] với n ≥ (t + 1)n − tn − Đầu tiên đưa vài nhận xét chung đa thức gn Mỗi gn có bậc n − viết gn dạng: !t + n ! n n n g (t) = !tn−2 + !tn−3 + + n n−2 n−1 Ta kết luận gn đa thức thuận nghịch Khi n chẵn, đa thức gn phụ thuộc R Đặt m := (n − 2)/2, ta có )= R(gn + f1, fm n !f n!f n m−1 m + + n −1 !f1 + n ! n/2 Cho n = 2p với p số nguyên tố Khi có:! 2p + 2p!f 2p + + f1 + p−2 ) = !f p−1 p−1 R(g2p Ở 2p !≡ 0(mod p), 2p! p j = 1, , p − mod p j2p ! ̸≡ (mod p) Theo tiêu chuẩn Eisenstein thấy R(g2p)rev bất khả quy Q R(g2p) bất khả quy Q Khi g2p(1) = 22p − khơng phải số phương Chúng ta g2p bất khả quy Q Ví dụ 3.1.6 Mệnh đề 3.1.1 Mệnh đề 2.2.2 mang đến nhiều thú vị thực tế Cho f ∈ Q[t] đa thức bất khả quy phân biệt với t Khi frev bất khả quy frev ∈ R (có bậc gấp đơi bậc f ) Khi đa thức R(frev) đa thức bất khả quy Q có bậc bậc f Tiếp tục q trình này, chúng tơi nhận chuỗi đa thức bất khả quy Q[t] bậc bậc f với hệ số lớn tùy ý 3.2 Tiêu chuẩn đa thfíc thuận nghịch bất khả quy Trong phần này, đề cập đến số yếu tố liên quan đến tiêu chuẩn đa thức bất khả quy khả quy Cho n số tự nhiên Mọi đa thức bậc n với hệ số nguyên biểu diễn dạng điểm (an, an−1, , a1, a0) (n + 1)− chiều Zn+1 Cho số dương B, coi điểm nằm (n + 1)−cube [−B, B]n+1 cho: Sn(B) := {f ∈ Z[t] : deg f = n, ∥f ∥ ≤ B} Do Sn(B) đa thức bậc n với hệ số nguyên khoảng [−B; B] Ta số |Sn(B)| 2B(2B + 1)n với B số nguyên Đây kết liên quan đến số đa thức rút gọn Sn(B) Trên thực tế ràng buộc đây: |Red(Q) ∩ Sn(B)| ≪n B nlog B (3.2) Trong kí hiệu ≪n nghĩa có số phụ thuộc vào n liên quan đến giới hạn Giới hạn đưa cho (3.1) cung cấp giới hạn cho tỉ thức sau: |Red(Q) ∩ Sn(B)| Bn log2 B |Sn(B)| ≪n Mục đích chúng tơi sử dụng kết để có số ước tính số đa thức khả quy đa thức nghịch đảo bất khả quy, Chúng ta coi tập Red(R) ∩ S2n(B) tập đa thức nghịch đảo với hệ số nguyên chuẩn vô B Kết chúng tơi thu |Red(R) ∩ S2n(B)| Định lj 3.2.1 Cho B số nguyên dương Khi |Red(R) ∩ S2n(B)| ≪n B nlog B Chứng minh Từ Mệnh đề 2.4.2 thấy rằng: R(Red(R) ∩ S2n(B)) ⊂ Red(Q) ∩ Sn(B′) B′ = Ln+2B |Red(R) ∩ S2n(B)| ≤ |Red(Q) ∩ Sn(B′)| Ta |Red(Q) ∩ Sn(B)| ≤n Bn log2 B vào vế phải bất đẳng thức trước ta suy ra: |Red(R) ∩ S2n(B)| ≪ n(Ln+2B)n(log(Ln+2B))2 Điều cho ta thấy phát biểu mệnh đề liên quan đến số Nhắc lại với f ∈ R bậc 2n cho vectơ hệ số [f ] = (an, an−1, , a1, a0) ∈ Qn+1 với an Chúng ta có |R ∩ Sn(B)| = 2B(2B + 1)n với B ∈ N Bn(log B)2 từ Định lý 3.2.1 ta có mệnh đề |Red(R) ∩ S2n(B)| |R ∩ S2n(B)|