Tiêu chuẩn bất khả quy trên Q - (Luận văn thạc sĩ- 123docz.net

t k=1 Ta suy ra n p = a0 + akfk ∈ Q[x]. k=1

là đa thức duy nhất thỏa mãn phương trình hàm:

f (t) = tdeg f/2p(x(t)) với x(t) = t + 1 . (2.10)

Điều này cung cấp một cách hiệu quả để tính toán đa thức p ∈ Q[x] với mọi

f ∈ R. Do đó chúng ta có một ánh xạ R đến R lên Q[x] được xác định như

Σ 1

R : R −→ Q[x]

f −→ a0 + a1f1 + . . . + anfn.

Đặc biệt thấy rằng mọi k ∈ N chúng ta có

R(t2k + 1) = fk.

Mệnh đề 2.3.1. R thỏa mãn các tính chất sau:

1. R là một song ánh.

2. R(fg) = R(f )R(g) với f, g ∈ R bất kì-.

Chúng ta chỉ ra rằng tồn tại một ma trận mà chúng ta có thể hiểu là ánh xạ nghịch đảo R. Mặc dù R không phải là ánh xạ tuyến tính vì R không phải là Q vectơ không gian, khi bị giới hạn trong các phần tử của R bậc 2n,

chúng ta có thể đưa ra một ma trận đại diện cho R.

Cho một số tự nhiên n. Mọi f ∈ R có bậc 2n đều có thể được mã hóa là một hệ số vectơ đủ của n + 1 tọa độ được kí hiệu bởi [f ] :

[f ] = (an, an−1, . . . , a0) ∈ Qn+1, an 0.

Xét ma trận Rn cấp (n + 1) × (n + 1) có phần tử aij là hệ số của xn−i+1 trong đa thức fn−j+1, ngoại trừ phần từ an+1,n+1 phải bằng 1 (không phải bằng 2). Ta có kết luận sau

[R(f )]t = Rn[f ]t. (2.11) ở đó [R(f )] là vectơ hệ số của R(f ) với cơ sở đơn thức {xn, . . . , x2, x, 1}.

Ma trận Rn là ma trận số nguyên tam giác dưới. Nó cũng là một ma trận đơn vị và do đó ma trận nghịch đảo Rn−1 cũng là một ma trận số nguyên.

Sau đây, chúng ta xét một số ví dụ về đa thức thuận nghịch Φ11 = 10 i=0ti :  5  Φ11 = t5 1 + (tk + 1 ) . tk k=1 Σ  Σ 

Với n = 5, f5(x) = x5 − 5x3 + 5x. f4(x) = x4 − 4x2 + 2. f3(x) = x3 − 3x. f2(x) = x2 − 2. f1(x) = x. f0(x) = 2. Ma trận R5 được viết:  1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0   0 −4 0 1 0 0 5 0 −3 0 1 0 0 2 0 −2 0 1

Hệ số vectơ của đa thức Φ11 là [Φ11] = (1, 1, 1, 1, 1) do đó vectơ của R(Φ11) được tính toán như sau:

1 0 R (1, 1, 1, 1, 1, 1)t = 0 0  0 −2  = −    0 5 0 1 0 0 0    2  5 R5 0 0   0 −5 0 5 1 0 −4 0 0 1 0 −3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0



0 1 

Kết quả là

[R(f )]t = R5(1, 1, 1, 1, 1, 1)t = (1, 1, −4, −3, 3,

1)t.

2.4 Tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch

Hai biểu thức biểu thị độ lớn của f đóng vai trò quan trọng. Cho f = Σn ak ∈ Q[x].

Với chuẩn 1 : ∥f ∥1 và chuẩn vô cùng: ∥f ∥∞ của f lần lượt là:

∥f ∥1 = |ai|.

i=0

∥f ∥∞ = max{|ai|, i = 0, 1, . . . , n}.

Đối với dãy thay thế thuận nghịch, chúng ta coi dãy số nguyên liên quan (∥f ∥1)n∈N của chuẩn 1. Các số hạng đầu tiên của chuỗi này là:

∥f0∥1 = 2, ∥f1∥1 = 1, ∥f2∥1 = 3, ∥f3∥1 = 4, ∥f4∥1 = 7, ∥f5∥1 = 11.

Điều này cho thấy sự trùng hợp với dãy số Lucas.

Chúng ta nhớ lại rằng dãy số Lucas Ln được định nghĩa như sau:

Ln = Ln−1 + Ln−2 và L0 = 2, L1 = 1.

Sự lặp lại của dãy fn(x) = xfn−1(x) − fn−2(x), f0(x) = 2, f1(x) = x. Xác định trình tự thay thế thuận nghịch làm phát sinh lặp lại sau cho ∥fn∥1 :

∥fn∥1 = ∥fn−1∥1 + ∥fn−2∥1.

∥f0∥1 = 2. (2.12)

∥f1∥1 = 1.

Do đó chứng minh sự bằng nhau giữa các dãy.

Mệnh đề 2.4.1. Dãy số nguyên (∥fn∥1)n∈N là dãy số Lucas.

Với kết quả trước đó, chúng ta phân tích ∥f ∥∞ dưới dạng ánh xạ R. Để thu được một cận trên ∥f (R(f ))∥∞ với mọi f ∈ R bậc 2n và chuẩn ∥f ∥∞ ≤ B. Sẽ rất thuận tiện khi sử dụng biểu diễn ma trận Rn của R được xác định trong (5).

k=0 x

Toán tử của Rn như là một toán tử số n+1 ∥Rn∥∞ = 1 max |aij|. ≤i≤n+1 i=1

Biểu diễn ma trận cho phép tính R(f ) bằng cách tính Rn[f ]t do đó chúng ta thấy rằng

∥R(f )∥∞ ≤ ∥Rn∥∞∥f ∥∞.

Giới hạn trên về định mức tối đa của Rntheo Mệnh đề 2.4.1. Bất đẳng thức đúng với n ∈ N. n+1 n+1 n+1 n n ∥Rn∥∞ = 1 max Σ |aij| ≤ Σ Σ |aij| = 1 + Σ ∥fj∥1 = 1 + Σ Lj. j=1 i=1 j=1 j=1

Đây là 1 hệ quả iên quan đến dãy số Lucas khẳng định rằng:

Lj = Ln+2 − 1.

j=0

Chúng ta có thể kết luận rằng

∥R(f )∥∞ ≤ ∥Rn∥∞∥f ∥∞ ≤ Ln+2B.

Bằng cách này chúng ta có thể trình bày kết quả sau đây.

Mệnh đề 2.4.2. Cho f ∈ R có bậc 2n và ∥f ∥∞ = B. Thì khi đó

∥R(f )∥∞ ≤ Ln+2B.

Mệnh đề 2.4.3. Cho f ∈ R2 với hệ số nguyên có bậc 2n và chuẩn vô cùng

∥f ∥∞ ≤ B. Khi đó cho đa thức bất khả quy g ∈ Z[t] bậc n với f = aggrev

trong đó a ∈ Z có chuẩn vô cùng ∥g∥∞ có giá trị lớn nhất là B.

Chứng minh.

Cho g = antn + . . . + a1t + a0 (với an 0). Giả sử rằng ∥g∥∞ = |ai| với

√

≤i≤n+1

0 ≤ i ≤ n. Hệ số giữa của f bằng a(a2 + a2 + . . . + a2 ). Và khi đó ta có: ∥g∥∞ n = |ai|2 ≤ |ai|2 ≤ ∥f ∥∞ ≤ B. i=0 2 Σ 0 1 n

Chương 3

Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thfíc thuận nghịch

Trong Chương 2 chúng ta đã có khái niệm về đa thức thuận nghịch, nối tiếp nội dung về đa thức thuận nghịch trong Chương 3 chúng tôi trình bày về mối liên hệ giữa đa thức thuận nghịch và đa thức bất khả quy. Như chúng ta đã biết trong Chương 2: Một đa thức f trong R được gọi là bất khả quy trong R nếu nó không thể phân tích thành tích của hai đa thức thuận nghịch khác. Dựa vào tính chất đó mà trong Chương 3 này chúng tôi đề cập tới tiêu chuẩn bất khả quy trên Q của đa thức thuận nghịch, tiêu chuẩn của đa thức thuận nghịch bất khả quy và tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch được sử dụng trong ma trận nghịch đảo dựa theo tài liệu tham khảo số [1],[2],[3].

3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy trên Q

Mệnh đề sau đây cho chúng ta thấy tính bất khả quy của một đa thức thuận nghịch trong Q[x] thông qua ánh xạ R(f ).

Trong đó ánh xạ R(f ) được định nghĩa như sau:

R : R −→ Q[x]

f −→ a0 + a1f1 + . . . + anfn.

Mệnh đề 3.1.1. Cho f ∈ R. Khi đó f bất khả quy trong R khi và chỉ khi R(f ) là bất khả quy trong Q[x].

Chứng minh. Cho f = f1f2 phân tích nhân tử trong R. Khi đó ta có

2 ≤ deg fi ≤ deg f (với i = 1, 2).

Do đó R(f ) = R(f1).R(f2) phân tích nhân tử trong Q[x]. Khi đó ta có 1 ≤ deg R(fi) < deg f/2.

Ngược lại, nếu R(f ) phân tích trong Q[x] thì theo tính chất của R thì f phải phân tích trong R. Mệnh đề 3.1.1 cho ta thấy được mối liên hệ tính bất khả quy trong R và trong Q[x].

Chúng ta thấy rằng:

R(Irred(R)) = Irred(Q).

R(Red(R)) = Red(Q). (3.1) Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.1.1. Cho f ∈ Z[t] là một đa thức thuận nghịch chuẩn bậc 4 với

R(f ) không có nghiệm hữu tỷ. Áp dụng Mệnh đề 3.1.1 và Hệ quả 2.2.1. Suy ra f bất khả quy trên Q. Trừ trường hợp f = t4 − (b2 + 2)t2 + 1 với b ∈ Z.

Trong trường hợp này ta phân tích f = −ggrev với g = t2 + bt − 1.

Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng, một cách tổng quát chúng ta không thể kết luận rằng tính bất khả quy của f trong Q[t] khi f là bất khả quy trong

R. Ví dụ 3.1.2. Cho f = t6− 3t5 − 3t4 + 11t3 − 3t2− 3t + 1. Khi đó f = t31 + Σk= 1 tk + 1  = t3 t3 − 3t2 − 3t + 11 3 3 + 1 = t3 t3 + 1 t3 2 1 — 3(t + t2 ) − 3(t + 3 t k − t − t2 t3

Ở đó t3 + 1 = t3 1 3 1 t + t − 3 t + t . t2 + 1 = t2 1 2 t + t − 2. 1 Đặt t + t = x. Ta có R(f ) = x3− 3x2 − 6x + 17.

Ta thấy rằng R(f ) là bất khả quy trên Q do đó f là bất khả quy trên R. Tuy nhiên f là không bất khả quy trên Q vì f có thể phân tích thành:

f = (t3− 3t + 1)(t3 − 3t2 + 1).

Theo Mệnh đề 2.2.1 chúng ta thấy rằng f = g.grev.

Với g = t3 − 3t2 + 1 (g là bất khả quy trên Q[t]), grev = t3 − 3t2 + 1.

Định lj 3.1.1. Cho f ∈ R là một đa thức thuận nghịch nguyên thủy bậc chẵn và giả sử rằng R(f ) là bất khả quy trong Q[x].

1. Nếu |f (1)| hoặc |f (−1)| không là số chính phương thì f là bất khả quy trong Q[x].

2. Nếu f (1) và hệ số chính giữa của f khác dấu thì f là bất khả quy trong

Q[t].

3. Nếu hệ số chính giữa của f là 0 hoặc ±1 thì f là bất khả quy trong Q[t].

Chứng minh. Khẳng định 1.

Vì R(f ) là bất khả quy trong Q[x]. Do đó f là bất khả quy trong R (theo mệnh đề 3.3.1). Theo bổ đề 3.2.1 ta có rằng hoặc là f bất khả quy trong Q

hoặc f = ±ggrev với g ∈ Z[t] và g bất khả quy trên Q. Giả sử rằng f là không bất khả quy trên Q. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng: g(1) = grev(1) do đó

|f (1)| = |g(1)|2.

Tương tự từ g(−1) = ±grev(−1) chúng ta có

|f (−1)| = |g(−1)|2.

Điều này mâu thuẫn với |f (1)| hoặc |f (−1)| không là số chính phương. Vậy giả sử trên là sai, suy ra Khẳng định 1 là đúng.

Trong Khẳng định 2. Nếu f (1) > 0 thì f = ggrev.

Ta giả sử g = antn+ an−1tn−1 + . . . + a1t + a0. Chúng ta có thể thấy rằng hệ số giữa của f có thể là:

a2 + a2 + . . . + a2 + a2 .

0 1 n−1 n

Điều này không thể xảy ra vì hệ số chính giữa của nó phải là âm.

Tương tự với trường hợp f (1) < 0 ta cũng có thể kết luận như trên. Khẳng định 3 là hệ quả trực tiếp của biểu thức cho hệ số giữa được đưa ra trong chứng minh khẳng định 2.

Ví dụ 3.1.3. Xét đa thức f = t8 + 6t7 + 2t6 + 22t5 − 8t4 + 22t3 + 2t2 + 6t + 1 Chúng ta có rằng R(f ) = x4 + 6x3 − 2x2 − 4x − 10. Theo tiêu chuẩn Eisentein, R(f ) là bất khả quy trên Q[x]. Theo Định lý 3.1.1 chúng ta kết luận rằng f là bất khả quy trên Q.

Ví dụ 3.1.4. Cho f ∈ R với hệ số 0 và 1. Nếu R(f ) là bất khả quy trên Q[x] thì chúng ta kết luận rằng f là bất khả quy trong Q[t].

Ví dụ 3.1.5. Xét đa thức sau trong Q[t] với n ≥ 2.

(t + 1)n− tn − 1

gn(t) =

t .

Đầu tiên chúng ta đưa ra một vài nhận xét chung về đa thức gn. Mỗi gn có bậc n − 2 chúng ta viết gn dưới dạng:

g (t) = n!tn−2 + n!tn−3 + . . . + n

!t + n !.

1 2 n − 2 n − 1

Ta kết luận rằng gn là một đa thức thuận nghịch. Khi n là chẵn, đa thức gn

phụ thuộc R. Đặt m := (n − 2)/2, ta có R(gn ) = n!f + n!f m−1 n n f1 2 − 1 + n/n2 ở đó f1, . . . fm.... n ! 1 m 2 + . . . + ! .

Cho n = 2p với p là số nguyên tố. Khi đó chúng ta có: R(g2p ) = 2p!f p−1 + 2p!f p−2 + . . . + 2p f p − 1 + 2p!. Ở đó 2p! ≡ 0(mod p), j = 1, . . . , p − 1. 2p mod p ! ̸≡ 0 (mod p).

Theo tiêu chuẩn Eisenstein chúng ta thấy rằng R(g2p)rev là bất khả quy trên

Q và do đó R(g2p) là bất khả quy trên Q.

Khi đó g2p(1) = 22p − 2 không phải số chính phương. Chúng ta chỉ ra rằng g2p là bất khả quy trên Q.

Ví dụ 3.1.6. Mệnh đề 3.1.1 cùng Mệnh đề 2.2.2 mang đến nhiều thú vị thực tế. Cho f ∈ Q[t] là đa thức bất khả quy phân biệt với t. Khi đó frev

cũng là bất khả quy và do đó frev ∈ R (có bậc gấp đôi bậc của f ). Khi đó đa thức R(frev) là đa thức bất khả quy trong Q có bậc bằng bậc của f.

Tiếp tục quá trình này, chúng tôi nhận được một chuỗi đa thức bất khả quy trong Q[t] bậc bằng bậc của f và với hệ số lớn tùy ý.

3.2 Tiêu chuẩn của đa thfíc thuận nghịch bất khả quy

Trong phần này, tôi đề cập đến một số yếu tố liên quan đến tiêu chuẩn của đa thức bất khả quy và khả quy.

Cho n là một số tự nhiên. Mọi đa thức bậc n với hệ số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm (an, an−1, . . . , a1, a0) của (n + 1)− chiều Zn+1.

Cho một số dương B, chúng ta coi những điểm đó nằm trong (n + 1)−cube [−B, B]n+1 sao cho:

Sn(B) := {f ∈ Z[t] : deg f = n, ∥f ∥ ≤ B}.

Do Sn(B) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên trong khoảng [−B; B]. Ta chỉ ra rằng số |Sn(B)| bằng 2B(2B + 1)n với B là một số nguyên.

1 2 p

Đây là một kết quả liên quan đến số đa thức có thể rút gọn trong Sn(B).

Trên thực tế nó chỉ ra ràng buộc dưới đây:

|Red(Q) ∩ Sn(B)| ≪n B log B. (3.2)

Trong đó kí hiệu ≪n nghĩa là có một hằng số chỉ phụ thuộc vào n liên quan đến giới hạn trên.

Giới hạn trên được đưa ra cho trong (3.1) cũng cung cấp giới hạn trên cho tỉ thức sau:

| Red(Q ) ∩ Sn( B ) | Bn log2 B

|Sn(B)|

≪n

2B(2B + 1)n B ∈ N. (3.3) Mục đích của chúng tôi là sử dụng kết quả trên để có được một số ước tính về số đa thức khả quy và đa thức nghịch đảo bất khả quy, Chúng ta coi tập Red(R) ∩ S2n(B) đây là tập đa thức nghịch đảo với hệ số nguyên và chuẩn vô cùng của B.

Kết quả đầu tiên của chúng tôi thu được chính là |Red(R) ∩ S2n(B)|.

Định lj 3.2.1. Cho B là một số nguyên dương. Khi đó

|Red(R) ∩ S2n(B)| ≪n B log B.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.4.2 chúng ta thấy rằng:

R(Red(R) ∩ S2n(B)) ⊂ Red(Q) ∩ Sn(B′).

trong đó B′ = Ln+2B và do đó

|Red(R) ∩ S2n(B)| ≤ |Red(Q) ∩ Sn(B′)|.

Ta thế |Red(Q) ∩ Sn(B)| ≤n Bnlog2 B vào vế phải của bất đẳng thức trước ta suy ra:

|Red(R) ∩ S2n(B)| ≪ n(Ln+2B)n(log(Ln+2B))2.

Điều này cho ta thấy phát biểu của mệnh đề này liên quan đến một hằng số.

n 2

Tiến đến 0 khi B tiến tới vô cùng.

Từ đó ta nói rằng: Tất cả các đa thức trong R với hệ số nguyên là bất khả quy trong R.

Định lj 3.2.2. Cho B là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Khi đó

|R2 ∩ S2n(B)| ≤ 4B√B(2√B + 1)n.

Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.4.3, ta thấy rằng với f ∈ R2 ∩ S2n(B), tồn tại một đa thức bất khả quy g ∈ Z[t] với chuẩn vô cùng ∥g∥∞ ≤ B sao cho

f = aggrev với a là một số nguyên khác không a ∈ [−B, B].

Theo Bổ đề 2.2.2 chúng ta có rằng

|R2 ∩ S2n(B)| ≤ 2B|{ggrev : g ∈ Irred(Q)} ∩ Sn(√B)|.

Mặt khác ta có

|{ggrev : g ∈ Irred(Q)}| ∩ Sn(√B) ≤ 2√B(2√B + 1)n.

Từ đó ta dễ dàng có được kết quả của định lý trên. Theo kết quả của Định lý (3.2.2), ta suy ra

|R2∩

S2n (B)| √ 2√B + 1!n 2√B

R ∩

S2n (B) ≤ 2 B 21B + ≤

Từ (3.4) và (3.5) chúng ta thấy rằng hầu hết các đa thức trong R ∩ S2nB là bất khả quy trên Q khi B tiến đến vô cùng.

Định lj 3.2.3. Tất cả đa thức f ∈ R với hệ số nguyên là bất khả quy trên

Tóm lại khi chúng ta xem xét một đa thức trong R. Chúng ta phải xác định được rằng nó là một đa thức bất khả quy trên Q. Do đó điều quan trọng là chúng ta phải có các tiêu chí để xác định tính bất khả quy của đa thức.

Kết luận

Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau:

1. Trình bày khái niệm, tính chất và một số kĩ thuật tính toán đối với đa thức thuận nghịch.

2. Trình bày tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức thuận nghịch và mối liên hệ giữa tính bất khả quy trên Q và tính thuận nghịch bất khả quy.

Tài liệu tham khảo

[1] A. Cafure and E. Cesaratto Source, "Irreducibility Criteria for Reciprocal Polynomials and Applications", The American Mathematical Monthly,

Vol. 124, No. 1 (January 2017), pp. 35 - 53.

[2] E. J. Barbeau, "Polynomials", Problem Books in Mathematics, Springer- Verlag, New York, 1989.

[3] M. Filaseta, Course notes on The Theory of Irreducible Polynomials,