Luyện tập các bài toán ứng dụng (Có đáp án)23894

LUYỆN CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG Nhóm 1: Bài tốn quãng đường Câu Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km Hướng dẫn giải Đặt x  B ' C ( km ) , x  [0;9] đảo B biển 6km D.9km B' bờ biển 9km BC  x  36; AC   x Chi phí xây dựng đường ống C ( x )  130.000 x  36  50.000(9  x )  (USD )   5  x  36  25 x C '( x )   13x  x  36  169 x  25( x  36)  x  5 C (0)  1.230.000 ; C    1.170.000 ; C (9)  1.406.165 2 Vậy chi phí thấp x  2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB  5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đị từ A đến M bờ biểnvới vận tốc 4km / h đến C với vận tốc 6km / h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x )  10000  13x nhanh nhất? A km C km B km D 14  5 km 12 Hướng dẫn giải Đặt BM = x( km) Þ MC = - x( km) ,(0 < x < 7) Ta có: Thời gian chèo đị từ A đến M là: t AM  Thời gian đi đến C là: tMC  Thời gian từ A đến kho t  Khi đó: t   x  25 (h) 7x ( h) x  25  x   , cho t    x  x  25 x Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh x = 5( km) Câu Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước 47 ThuVienDeThi.com A chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km Hướng dẫn giải C Gọi BG  x(0  x  100)  AG  100  x Ta có GC  BC  GC  x  3600 Chi phí mắc dây điện: f (x)  3000.(100  x)  5000 x  3600 Khảo sát hàm ta được: x  45 Chọn B Một ảnh chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác A tầm B G C · định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? ( BOC gọi góc nhìn) B AO  2m A AO  2,4m C AO  2,6m D AO  3m 1,4 B Hướng dẫn giải 1,8 Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tanBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = A tan AOC  tan AOB  tan AOC tan AOB O AC AB 1,4  1,4 x x = OA OA = = AC AB 3,2.1,8 x  5,76 1 1 OA x2 1,4 x Xét hàm số f(x) = x  5,76 Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có 1,4 x  1,4.5,76 f'(x) = , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76)2 Ta có bảng biến thiên x + f'(x) + 2,4 _ 84 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m 193 Câu Từ cảng A dọc theo đường sắtf(x) AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1< v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian A vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Hướng dẫn giải Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = l = D C  = B E ฀ AC CD AE  CE CD   = = v1 v2 v1 v2 h h tan  sin v1 v2 h D l  h.cot h  v1 v2 sin A B C h E ฀ 48 ThuVienDeThi.com Xét hàm số t ( )  l  h.cot v h  Ứng dụng Đạo hàm ta t ( ) nhỏ cos   Vậy để v1 v2 sin v1 t nhỏ ta chọn C cho cos   v2 v1 Câu Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Hướng dẫn giải A  B1  B  B1  B  d A1  Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = A  85t  70t  25 d Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ A1  t  (giờ), ta có d  3,25 Hải lý 17 Nhóm 2: Bài tốn diện tích hình phẳng Câu Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2 ) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A 10cm  10cm B 20cm  5cm C 25cm  4cm Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: x(cm) y(cm) (x , y  0) D Đáp án khác Chu vi hình chữ nhật là: P  2(x  y)  x  2y 100 200 Do đó: P  2(x  y)  x  với x  x x 200 x  200 Đạo hàm: P '(x)    Cho y '   x  10 x x2 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin  40 x  10  y  10 Theo đề thì: xy  100 hay y  Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10  10 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cô-Sy: P  2(x  y)  2.2 xy  100  40 Câu Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m  200m B 300m  100m C 250m  150m Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x( m) y( m) ( x , y > 0) D.Đáp án khác Diện tích miếng đất: S = xy Theo đề thì: 2( x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S = x(400 - x) = - x + 400 x với x > Đạo hàm: S '( x) = - x + 400 Cho y ' = Û x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 x = 200 Þ y = 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 ´ 200 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy 49 ThuVienDeThi.com Câu Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? A Smax  3600m2 C Smax  8100m2 B Smax  4000m2 D Smax  4050m2 Hướng dẫn giải Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu, theo ta có x + y = 180 Diện tích miếng đất S = y(180 - y ) Ta có: y(180 - y ) = 1 (2 y + 180 - y )2 180 ×2 y(180 - y ) £ × = = 4050 2 Dấu '' = '' xảy Û y = 180 - y Û y = 45m Vậy Smax = 4050 m2 x = 90 m , y = 45m Câu Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương y S, l độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l - đặc trưng x cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) 4S , y  S B x  4S , y  S C x  2S , y  S D x  2S , y  S A x  Hướng dẫn giải Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; l  2y  x  hàm số l (x)  2S  x Xét x 2S x  2S 2S  x Ta có l ' (x) = + = x x x2 l ' (x) =  x  2S   x  2S , y = S = x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x  2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Câu 10 Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài S1 cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? S2 a 2a A chiều rộng , chiều cao 4 4 B chiều rộng 2x a 2a , chiều cao 4 4 C chiều rộng a(4   ) , chiều cao 2a(4   ) D Đáp án khác 50 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Diện tích cửa sổ là: S  S1  S2   x2  2x a  x  2x   a  ax  (  2)x  (  2)x(  x)  2 2 Dễ thấy S lớn x  a   x hay x  2 a (Có thể dùng đạo hàm đỉnh Parabol) 4 Vậy để S max kích thước là: chiều cao a 2a ; chiều rộng 4 4 Câu 11 Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước a cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? a a ;y  a 2a C x  ; y  A x  B x  a a ;y  3 y D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung trịn Ta có chu vi cánh diều x  x a  x  y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung trịn y bán kính x cho diện tích quạt lớn Dựa 2 R , ta có diện tích hình quạt là: 360 360 lR xy x(a  x)  x(a  x) S Vận dụng toán nàydiện tích cánh diều là: S   2 a a Dễ thấy S cực đại  x  a  x  x   y  Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt vào cơng thức tính diện tích hình quạt S   R2  độ dài cung tròn l  cực đại bán kính nửa độ dài cung trịn Câu 12 Có gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm Hướng dẫn giải Kí hiệu cạnh góc vng AB  x,0  x  60 C 80cm Khi cạnh huyền BC  120  x , cạnh góc vng AC  Diện tích tam giác ABC là: S  x   D 40 2cm BC  AB  1202  240 x x 1202  240 x Ta tìm giá trị lớn hàm số khoảng  0;60  Ta có S ,  x   1 14400  360 x 240 1202  240 x  x   S '  x    x  40 2 1202  240 x 1202  240 x Lập bảng biến thiên ta có: x S'  x  40 60 0 51 ThuVienDeThi.com S  40  S  x Tam giác ABC có diện tích lớn BC  80 Từ chọn đáp án C Câu 13 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn bán kính 10cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường trịn A 80cm2 Hướng dẫn giải B 100cm2 C 160cm2 D 200cm2 Gọi x (cm) độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường trịn (0 < x < 10) Khi độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường tròn là: 102 - x (cm) 2 Diện tích hình chữ nhật: S = 2x 10 - x Ta có S¢= 102 - x - 2x 2 10 - x = 2.102 - x é 10 êx = (thỏa) ê S ¢= Û ê ê êx = - 10 (không thỏa) ê ë ổ10 10 ữ ữ SÂÂ= - 8x ị SÂÂỗỗỗ = - 40 < Suy x = điểm cực đại hàm S(x ) ữ ữ ỗố ứ Vy din tớch lớn hình chữ nhật là: S = 10 102 - 102 = 100 (cm2 ) Câu 14 Một máy tính lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật góc phần tư thứ trục tọa độ Oxy , nội tiếp đường cong y=e-x Hỏi diện tích lớn hình chữ nhật vẽ cách lập trình A 0,3679 ( đvdt) B 0,3976 (đvdt) C 0,1353( đvdt) D 0,5313( đvdt) Hướng dẫn giải Diện tích hình chữ nhật điểm x S = xe-x S '( x)  e  x (1  x) S '( x)   x  Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = e 1 ; 0,3679 x=1 Đáp án A 52 ThuVienDeThi.com Câu 15 Cho nhơm hình vng cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm 3cm H F D A G y cm C B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có S EFGH nhỏ  S  S AEH  SCGF  S DGH lớn Tính S  x  y  (6  x)(6  y)  xy  x  y  36 (1) Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên Từ (1) (2) suy S  42  (4 x  Biểu thức x  AE AH   xy  (2) CG CF 18 18 ) Ta có 2S lớn x  nhỏ x x 18 18 x  y  2 Vậy đáp án cần chọn C nhỏ  x  x x Nhóm 3: Bài tốn liên hệ diện tích, thể tích Câu 16 (ĐMH)Có nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm) gấp nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn A x  B x  C x  D x  Hướng dẫn giải Độ dài cạnh đáy hộp: 12  x Diện tích đáy hộp: (12  x)2 Thể tích hộp là: V  (12  x)2 x  x  48 x  144 x với x  (0;6) Ta có: V '(x)  12 x  96 x  144 x Cho V '(x)  , giải chọn nghiệm x  Lập bảng biến thiên ta Vmax  128 x  Câu 17 Một Bác nông dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200cm3 , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A 1200cm2 B 160cm2 C 1600cm2 D 120cm2 Hướng dẫn giải Gọi x, y (x, y > 0) chiều rộng, chiều dài đáy hố ga Gọi h chiều cao hố ga ( h > ) Ta có h = = > h = 2x (1) x 53 ThuVienDeThi.com suy thể tích hố ga : V = xyh = 3200 = > y = 3200 xh = Diện tích tồn phần hố ga là: S = 2xh + 2yh + xy = 4x + 1600 x2 6400 x (2) + 1600 x = 4x + 8000 x = f (x) Khảo sát hàm số y = f (x ), (x > 0) suy diện tích tồn phần hố ga nhỏ 1200cm x = 10 cm = > y = 16cm Suy diện tích đáy hố ga 10.16 = 160cm Câu 18 Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích cực đại khối gỗ sau cưa xong bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi x , y(m) cạnh tiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x  y  12 (đường kính thân 1m ) Thể tích xà cực đại diện tích tiết diện cực đại, nghĩa x.y cực đại Ta có: 1 x  y  xy  xy  Dấu "  " xảy x  y  2 Thể tích khối gỗ sau cưa xong: V  1    4m3 (tiết diện hình vng) 2 Câu 19 Bạn An học sinh lớp 12, bố bạn thợ hàn Bố bạn định làm thùng hình trụ từ mảnh tơn có chu vi 120 cm theo cách đây: Bằng kiến thức học em giúp bố bạn chọn mảnh tơn để làm thùng tích lớn nhất, chiều dài, rộng mảnh tơn là: A 35 cm; 25 cm B 40 cm; 20 cm C 50 cm;10 cm D 30 cm; 30 cm Hướng dẫn giải Gọi chiều dài x (cm) (0 < x < 60) , chiều lại 60 - x (cm) , giả sử quấn cạnh có chiều dài x lại bán kính đáy r = x - x + 60 x ; h = 60 - x Ta có: V = p r h = 2p 4p Xét hàm số: f ( x) = - x + 60 x , x Ỵ (0; 60) éx = f '( x) = - 3x + 120 x; f '( x) = Û ê êx = 40 ë Lập bảng biến thiên, ta thấy f ( x) = - x + 60 x , x Ỵ (0; 60) lớn x=40 60-x=20 Khi chiều dài 40 cm; chiều rộng 20 cm Chọn đáp án B Câu 20 Một xưởng khí nhận làm thùng phi với thể tích theo yêu cầu 2000 lít Hỏi bán kính đáy chiều cao thùng để tiết kiệm vật liệu nhất? A 1m 2m B 1dm 2dm C 2m 1m D 2dm 1dm Hướng dẫn giải 54 ThuVienDeThi.com Đổi 2000 (lit )  2 (m3 ) Gọi bán kính đáy chiều cao x(m) h(m) Ta tích thùng phi V   x h  2  h  x2 Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích tồn phần nên ta cần tìm x để diện tích tồn phần bé 2 )  2 (x  ) x x Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f (x) GTNN x  , h  Stp  2 x  2 x.h  2 x(x  Câu 21 Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt A  cm Hướng dẫn giải I N C 2 cm B 6 cm D 8 cm r M R h S Gọi x (x>0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình trịn đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r  x  r  Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =  x  Thể tích khối nón: V   r H    3  2  x 2 R r  R2  2 x2 R  4 2 x2 4 Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:  x2 x2 x2    R x2 4 x x 4  8 8 4  V2  (R2  )  8 8 4    Do V lớn x2 x2 R   8 4 x   4 R   27    2 R  x  6 (Lưu ý tốn sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải toán dài hơn) Câu 22 Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R  6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 55 ThuVienDeThi.com A  66 B  294 C  12,56 D  2,8 Hướng dẫn giải Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x(m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x  2 r  r  x 2 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h  R  r  R  x2 4 x2 x2 R  4 4 Thể tích khối nón : V   r h   Đến em đạo hàm hàm V (x) tìm GTLN V (x) đạt x  Suy độ dài cung tròn bị cắt : 2 R  4    2 R  4 6  4 3600  660 6 Câu 23 Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị công thức C  c sin  (  góc tạo tia sáng tới mép bàn l2 mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Hướng dẫn giải Đ l h α N M I Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) Ta có sin   C '  l   c l2  h (l  2) h  l  , suy cường độ sáng là: C (l )  c l3 l  l2 l l    l   C 'l    l  l    Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l  , h  56 ThuVienDeThi.com Câu 24 Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2017 , ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để quà trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp , biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h; x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h; x phải ? A x = 2; h = B x = 4; h = C x = 4; h = D x = 1; h = Hướng dẫn giải ìï S = xh + x ïï 32 128 Þ S = x + x = + x , để lượng vàng cần dùng nhỏ Diện Ta có ïí ïï V = x h ® h = V = 32 x x ïïỵ x2 x2 tích S phải nhỏ ta có 128 128 + x = f (x) ® f ' (x) = x - = Þ x = , h = S= x x Chọn đáp án B Câu 25 Một người có dải ruy băng dài 130cm, người cần bọc dải ruy băng quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10cm dải ruy băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải dây băng bọc hộp quà tích lớn là nhiêu ? A 4000p cm B 1000p cm C 2000p cm 3 D 1600p cm Hướng dẫn giải Gọi x(c m); y(c m) bán kính đáy chiều hình trụ (x, y > 0; x < 30) Dải dây băng lại thắt nơ là: 120c m Ta có (2x + y ).4 = 120 Û y = 30 - 2x Thể tích khối hộp quà là: V = px 2.y = px 2(30 - 2x ) Thể tích V lớn hàm số f (x ) = x 2(30 - 2x ) với < x < 30 đạt giá trị lớn f '(x ) = - 6x + 60x , cho f '(x ) = - 6x + 60x = Þ x = 10 Lập bảng biến thiên, ta thấy thể tích đạt giá trị lớn V = 1000p(cm ) Câu 26 Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự tính tạo thành hình trụ (khơng đáy ) theo hai cách sau: Cách 1: gị hai mép hình vng để thành mặt xung quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 57 ThuVienDeThi.com Cách 2: cắt hình vng làm ba, gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2 Khi đó, tỉ số A V1 là: V2 B C D Hướng dẫn giải 27  V1  R12 h  2 4  V2  3R12 h  Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có 2R   R  2 4 Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có 2R   R  Vậy đáp án A Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S.AMPN Tìm giá trị nhỏ A B V1 ? V C D Hướng dẫn giải Đặt x = SM SN V ;y = ,(0 < x, y £ 1) ta có : V SABC = V SADC = V SABD = V SBCD = SD SB Ta có : V1 VSAMPN VSAMP + VSANP V V æSM SP SN SP ÷ ÷ = = = SAMP + SANP = ỗ + = (x + y )(1) ç ÷ ç ÷ V V V SB SC ø 2V SADC 2V SABC èSD SC Lại có : V1 VSAMPN V V 1ỉ ÷ = = SAMN + SMNP = ỗ + = xy (2) xy xy ữ ỗ ữ ỗ ữ V V 2V SABD 2V SBCD 2è ø 58 ThuVienDeThi.com x x £ 1Þ x ³ x + y ) = xy Þ y = < y £ = > ( 4 3x - 3x - V1 ỉ1 3x x ÷ ÷ Từ (2) suy = xy = x = = f (x ), ỗ Ê Ê x ỗ ữ ỗ ữ 4 3x - (3x - 1) V è ø Từ (1) (2) suy : ổ1 ố2 ữ ỗ ữ= > Kho sỏt hm s y = f (x ), ỗ ỗ Ê x Ê 1ữ ữ ứ ổ2ử V1 ỗ ữ ÷ = = = > = f x f ( ) ỗ ữ ỗ3ứ ổ1 ữ ữ V ố ữ x ẻ ỗỗỗ Ê x Ê 1ữ ữ ỗố2 ứ Cõu 28 Cho hỡnh chúp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC với mặt phẳng (SAB ) 300 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S.ABH đạt giá trị lớn bằng? A a3 a3 B C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải · Ta có góc SC mặt phẳng (SAB) CSB = 300 Trong tam giác SBC có SB = BC cot 300 = a Trong tam giác SAB có SA = SB - AB = a Thể tích khối chóp S.ABH là: V S.ABH = 1 a SABH SA = HA.HB a = HA.HB 3 Ta có HA + HB = AB = a theo bất đẳng thức AM-GM ta có 2 a = HA + HB ³ 2.HA.HB Þ HA.HB £ a2 · Đẳng thức xảy HA = HB Û ABM = 450 Û M º D Khi V S.ABH = a HA.HB £ a a2 = a3 12 Nhóm 4: Bài tốn lãi suất ngân hàng Câu 29 Một người đem gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 12% năm Biết sau quý ( tháng ) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền, bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D.11 Hướng dẫn giải Gọi số tiền người gửi A, lãi suất quý 0,03 Sau n quý, tiền mà người nhận là: A 1  0, 03 n ycbt  A 1  0, 03  3A  n  log1,03  37,16 n Vậy số năm tối thiểu xấp xỉ 9,29 năm Vậy đáp án C Câu 30 Ông Năm gửi 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1 quý thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0,73 tháng thời gian tháng Tổng lợi tức đạt hai ngân hàng 27507768,13 (chưa làm trịn) Hỏi số tiền ơng Năm gửi ngân hàng X Y bao nhiêu? A 140 triệu 180 triệu B 180 triệu 140 triệu 59 ThuVienDeThi.com C 200 triệu 120 triệu D 120 triệu 200 triệu Hướng dẫn giải Tổng số tiền vốn lãi (lãi lợi tức) ông Năm nhận từ hai ngân hàng 347, 50776813 triệu đồng Gọi x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng X, 320 - x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng Y Theo giả thiết ta có: x(1 + 0, 021)5 + (320 - x )(1 + 0, 0073)9 = 347, 507 76813 Ta x = 140 Vậy ông Năm gửi 140 triệu ngân hàng X 180 triệu ngân hàng Y Đáp án: A Câu 31 Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền? (Kết làm trịn theo đơn vị nghìn đồng) A 50 triệu 730 nghìn đồng B 48 triệu 480 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 50 triệu 640 nghìn đồng Hướng dẫn giải Số tiền tháng mẹ nhận triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vốn lẫn lãi số tiền 11 )  1,0111 (triệu đồng) 100 Tương tự số tiền tháng nhận sinh ra:  1,0110 (triệu đồng) tháng nhận sinh là: 4.(1  Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh nên là: (triệu đồng)  1,0112  50,730 (50 triệu 730 Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là:  1,01   1,01    1,01    1,01 11 10 nghìn đồng) Đáp án A Câu 32 Một Bác nông dân vừa bán trâu số tiền 20.000.000 (đồng) Do chưa cần dùng đến số tiền nên Bác nơng dân mang tồn số tiền gửi tiết kiệm loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 8.5% năm sau năm tháng Bác nông dân nhận tiền vốn lẫn lãi Biết Bác nông dân khơng rút vốn lẫn lãi tất định kì trước rút trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0.01% ngày (1 tháng tính 30 ngày) A 31802750, 09 (®ång) B 30802750, 09 (®ång) C 32802750, 09 (®ång) D 33802750, 09 (®ång) Hướng dẫn giải Một kì hạn tháng có lãi suất 8.5% 4.25 = Sau năm tháng (có nghĩa 66 tháng tức 11 kỳ hạn) 12 100 11 ỉ 4.25ư ÷ , số tiền vốn lẫn lãi Bác nôn dân nhận : A = 20000000 ỗ 1+ ữ ỗ ữ (đồng) Vỡ nm thỏng thỡ ỗ ố 100 ứ cú 11 k hn dư tháng hay dư 60 ngày nên số tiền A tính lãi suất khơng kỳ hạn 60 ngy l : 11 ổ 4.25ử 0.01 ữ ỗ1+ B = A .60 = 120000 ỗ ữ ữ (đồng) Suy sau năm tháng số tiền bỏc nụng dõn nhn c ỗ ố 100 ứ 100 l ổ C = A + B = 20000000.ỗỗ1+ ỗ ố 11 11 ổ 4.25ử 4.25ử ữ ữ ỗ + 120000 1+ ữ ữ = 31802750, 09 (đồng) ỗ ữ ỗ ứ ố ứ 100 100 ữ 60 ThuVienDeThi.com Câu 33 Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 20 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác B rút vốn lẫn lãi gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Sau gửi kỳ hạn tháng gia đình có việc nên bác gửi thêm số tháng phải rút tiền trước kỳ hạn gốc lẫn lãi số tiền 23263844,9 đồng (chưa làm tròn) Biết rút tiền trước thời hạn lãi suất tính theo lãi suất khơng kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gửi thêm lãi suất là: A 0,4% B 0,3% C 0,5% D 0,6% Hướng dẫn giải Gửi năm coi gửi kỳ hạn tháng; thêm kỳ hạn tháng số tiền là: 20000000.(1 + 0,72.3 : 100) (1 + 0,78.6 : 100) Giả sử lãi suất không kỳ hạn A%; gửi thêm B tháng số tiền là: B 20000000.(1 + 0,72.3 : 100) (1 + 0,78.6 : 100)(1 + A : 100) = 23263844,9 Lưu ý: £ B £ B nguyên dương, nhập máy tính: 20000000.(1 + 0,72.3 : 100) (1 + 0,78.6 : 100)(1 + A : 100) - 23263844,9 thử với B A = 0,3 thử B từ đến 5, sau lại thử A = 0,5 thử B từ đến 5, đến kết xấp xỉ chọn Kết quả: A = 0, 5; B = chọn C Nhóm 5: Bài tốn liên quan đến mũ, loga Câu 34 Cho biết chu kì bán hủy chất phóng xạ Plutơni Pu239 24360 năm (tức lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy cịn lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = Aert, A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân hủy hàng năm (r