PHÉP TỊNH TIẾN 0

ThS Đinh Xuân Nhân PHÉP TỊNH TIẾN Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ ( ) 1; 2u = − r . a) Tìm ảnh của ( ) 2;1A qua phép tịnh tiến u T r . b) Tìm ảnh của đường thẳng 1 : 3 4 0d x y− + = qua phép tịnh tiến u T r . c) Tìm đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng : 2 3 0d x y+ + = qua phép tịnh tiến u T r . d) Tìm ảnh của đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 3 4C x y− + + = qua phép tịnh tiến u T r . Giải a) Gọi ( ) ' u T A A= r , ( ) ' '; 'A x y . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến ( ) ' ' 2 1 3 ' 3; 1 ' ' 1 2 1 x x a x A y y b y = + = + =   ⇔ ⇒ −   = + = − = −   . b) Cách 1. Chọn một điểm ( ) 1 1;1 : 3 4 0M d x y− ∈ − + = . Đường thẳng d 1 đi qua ( ) 1;1M − và có vecto pháp tuyến ( ) 1; 3n = − r . Gọi ( ) ' u T M M= r , ( ) ' '; 'M x y . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' ' 1 1 0 ' 0; 1 ' ' 1 2 1 x x a x M y y b y = + = − + =   ⇔ ⇒ −   = + = − = −   . Gọi ( ) ' 1 1 u T d d= r . Đường thẳng ' 1 d đi qua ( ) ' 0; 1M − và có vecto pháp tuyến ( ) 1; 3n = − r . ( ) ( ) ' ' 1 1 :1 0 3 1 0 : 3 3 0d x y d x y⇒ − − + = ⇒ − − = . Cách 2. Gọi ( ) ' 1 1 u T d d= r . Gọi ( ) ( ) ' 1 1 ; , ' '; 'M x y d M x y d∈ ∈ sao cho ( ) ' u T M M r = . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ' ' ' 1 ' ' ' 2 x x a x x a x x y y b y y b y y = + = − = −    ⇔ ⇔    = + = − = +    . ( ) ( ) ( ) 1 ' 1; ' 2 : 3 4 0 ' 1 3 ' 2 4 0 ' 3 ' 3 0M x y d x y x y x y− + ∈ − + = ⇒ − − + + = ⇒ − − = Vậy ' 1 : 3 3 0d x y− − = . c) Cách 1. Chọn một điểm ( ) 1; 1 : 2 3 0M d x y− − ∈ + + = . Đường thẳng d đi qua ( ) 1; 1M − − và có vecto pháp tuyến ( ) 2;1n = r . Gọi ( ) ' u T M M= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' ' 1 1 0 ' 0; 3 ' ' 1 2 3 x x a x M y y b y = + = − + =   ⇔ ⇒ −   = + = − − = −   . Theo đề bài ( ) u T d = ∆ r . Đường thẳng ∆ đi qua ( ) ' 0; 3M − và có vecto pháp tuyến ( ) 2;1n = r . ( ) ( ) : 2 0 3 0 : 2 3 0x y x y⇒ ∆ − + + = ⇒ ∆ + + = . Cách 2. Theo đề bài ( ) u T d = ∆ r . Gọi ( ) ( ) ; , ' '; 'M x y d M x y∈ ∈ ∆ sao cho ( ) ' u T M M r = . ThS Đinh Xuân Nhân Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ' ' ' 1 ' ' ' 2 x x a x x a x x y y b y y b y y = + = − = −    ⇔ ⇔    = + = − = +    . ( ) ( ) ( ) ' 1; ' 2 : 2 3 0 2 ' 1 ' 2 3 0 2 ' ' 3 0M x y d x y x y x y− + ∈ + + = ⇒ − + + + = ⇒ + + = Thay ' 1x x= − và ' 2y y= + vào phương trình d, ta có ( ) ( ) 2 3 0 2 ' 1 ' 2 3 0 2 ' ' 3 0x y x y x y+ + = ⇒ − + + + = ⇒ + + = . Vậy : 2 3 0x y ∆ + + = . d) Đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 3 4C x y− + + = có tâm ( ) 2; 3I − và bán kính 2R = . Gọi ( ) ( ) ', ' '; ' u T I I I x y r = . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' ' 2 1 3 ' 3; 5 ' ' 3 2 5 x x a x I y y b y = + = + =   ⇔ ⇒ −   = + = − − = −   . Gọi ( ) ( ) ( ) u T C C= r . Đường tròn ( ) 'C có tâm ( ) ' 3; 5I − và bán kính 2R = . ( ) ( ) ( ) 2 2 ' : 3 5 4C x y⇒ − + + = . Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ ( ) 2;4u = − r . a) Tìm toạ độ điểm M sao cho ( ) 3;1A − là ảnh của M qua phép tịnh tiến u T r . b) Tìm đường thẳng 1 ∆ có ảnh qua phép tịnh tiến u T r là 1 : 2 3 5 0d x y− + = . c) Tìm đường tròn ( ) 1 C có ảnh qua phép tịnh tiến u T r là ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 2 4C x y− + + = . Giải a) Theo đề bài ta có ( ) u T M A= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' ' 3 2 1 1; 3 ' ' ' 1 4 3 x x a x x a M y y b y y b = + = − = − + = −   ⇔ ⇒ − −   = + = − = − = −   . b) Cách 1. Chọn một điểm ( ) 1 1;1 : 2 3 5 0M d x y− ∈ − + = . Đường thẳng d 1 đi qua ( ) 1;1M − và có vecto pháp tuyến ( ) 2; 3n = − r . Gọi ( ) ;N x y là điểm sao cho ( ) u T N M= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' ' 1 2 1 1; 3 ' ' ' 1 4 3 x x a x x a N y y b y y b = + = − = − + =   ⇔ ⇒ −   = + = − = − = −   . Theo đề bài ( ) 1 1 u T d∆ = r . Đường thẳng 1 ∆ đi qua ( ) 1; 3N − và có vecto pháp tuyến ( ) 2; 3n = − r . ( ) ( ) 1 1 : 2 1 3 3 0 : 2 3 11 0x y x y⇒ ∆ − − + = ⇒ ∆ − − = . Cách 2. Theo đề bài ( ) 1 1 u T d∆ = r . Gọi ( ) ( ) 1 1 ; , ' '; 'M x y M x y d∈ ∆ ∈ sao cho ( ) ' u T M M r = . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ' ' 2 ' ' 4 x x a x x y y b y y = + = −   ⇔   = + = +   . ( ) ( ) ( ) 1 ' 2; 4 : 2 3 5 0 2 2 3 4 5 0 2 3 11 0M x y d x y x y x y− + ∈ − + = ⇒ − − + + = ⇒ − − = . Vậy 1 : 2 3 11 0x y∆ − − = . ThS Đinh Xuân Nhân c) Đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 2 4C x y− + + = có tâm ( ) 1; 2I − và bán kính 2R = . Gọi ( ) 1 ;I x y là điểm sao cho ( ) 1 u T I I= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) 1 ' ' 1 2 3 3; 6 ' ' 2 4 6 x x a x x a I y y b y y b = + = − = + =   ⇔ ⇒ −   = + = − = − − = −   . Theo đề bài ( ) ( ) ( ) 1 u T C C= r . Đường tròn ( ) 1 C có tâm ( ) 1 3; 6I − và bán kính 2R = . ( ) ( ) ( ) 2 2 1 : 3 6 4C x y⇒ − + + = . Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 2;3A − , đường thẳng : 3 4 0d x y− + = và đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 2 5C x y− + + = . a) Tìm phép tịnh tiến u T r sao cho ( ) 4;2B − có ảnh là A . b) Tìm phép tịnh tiến u T r sao cho : 3 1 0x y ∆ − + = có ảnh là d. c) Tìm phép tịnh tiến u T r sao cho (C) có ảnh là ( ) ( ) ( ) 2 2 ' : 3 4 5C x y− + + = . d) Tìm phép tịnh tiến u T r sao cho ( ) ( ) ( ) 2 2 1 : 3 5 5C x y− + + = có ảnh là (C). Giải. a) Đặt ( ) ;u a b= r . Theo đề bài ( ) 2;3A − là ảnh của ( ) 4;2B − qua phép tịnh tiến u T r . Biểu thức toạ độ: ( ) ' ' 2 4 2 2;1 ' ' 3 2 1 x x a a x x u y y b b y y = + = − = − + =   ⇔ ⇒ =   = + = − = − =   r . Vậy phép tịnh tiến u T r cần tìm có ( ) 2;1u = r . b) Đặt ( ) ;u a b= r . Theo giả thiết ( ) u T d∆ = r . Gọi ( ) ( ) ; , ' '; 'M x y M x y d∈ ∆ ∈ sao cho ( ) ' u T M M r = . Biểu thức toạ độ : ' ' ' ' x x a x x a y y b y y b = + = −   ⇒   = + = −   . ( ) ( ) ( ) ' ; ' : 3 1 0 ' 3 ' 1 0 ' 3 ' 3 1 0M x a y b x y x a y b x y a b− − ∈ ∆ − + = ⇒ − − − + = ⇒ − − + + = . : 3 3 1 0d x y a b⇒ − − + + = . Suy ra 3 1 4 3 3a b a b− + + = ⇒ = − . Vậy vecto tịnh tiến cần tìm có dạng ( ) 3 3;u b b= − r . Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 1; 2M − , đường thẳng : 2 4 0d x y− + = , đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 9C x y− + + = và vecto ( ) 2; 3u = − r . a) Tìm ảnh của điểm M, đường thẳng d và đường tròn (C) qua phép tịnh tiến u T r . b) Viết phương trình ∆ có ảnh qua phép tịnh tiến u T r là đường thẳng d. c) Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến u T r , tìm d” là ảnh của d’ qua phép tịnh tiến theo vectơ ( ) 1;3v = r . (đường thẳng d” gọi là ảnh của d qua liên tiếp hai phép tịnh tiến u T r và v T r ). d) Viết phương trình (C”) là ảnh của (C) khi thực hiện liên tiếp có thứ tự hai phép tịnh tiến u T r và v T r với ( ) 1;3v = r . ThS Đinh Xuân Nhân Giải. Câu a và b dành cho độc giả. c) Theo đề bài ( ) ' u T d d= r . Gọi ( ) ( ) ; , ' '; ' 'M x y d M x y d∈ ∈ sao cho ( ) ' u T M M r = . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ' ' ' 2 ' ' ' ' 3 x x a x x a x x y y b y y b y y = + = − = −    ⇒ ⇒    = + = − = +    . ( ) ( ) ( ) ' 2; ' 3 : 2 4 0 2 ' 2 ' 3 4 0 2 ' ' 3 0M x y d x y x y x y− + ∈ − + = ⇒ − − + + = ⇒ − − = . ' : 2 3 0d x y⇒ − − = . Tiếp theo ta có ( ) ' " v T d d r = . Gọi ( ) ( ) ; ', ' '; ' "N x y d N x y d∈ ∈ sao cho ( ) ' v T N N r = . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến v T r : ' ' ' 1 ' ' ' 3 x x a x x a x x y y b y y b y y = + = − = −    ⇒ ⇒    = + = − = −    . ( ) ( ) ( ) ' 1; ' 3 ': 2 3 0 2 ' 1 ' 3 3 0 2 ' ' 2 0N x y d x y x y x y− − ∈ − − = ⇒ − − − − = ⇒ − − = . Vậy ": 2 2 0d x y− − = . d) Gọi ( ) ( ) ( ) ' u T C C= r . Đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 9C x y− + + = có tâm ( ) 2; 2I − và bán kính 3R = . Gọi ( ) ' '; 'I x y là ảnh của ( ) 2; 2I − qua phép tịnh tiến u T r : ( ) ' u T I I= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) ' 2 2 4 ' 4; 5 ' 2 3 5 x x a I y y b = + = + =  ⇒ −  = + = − − = −  . Gọi ( ) " "; "I x y là ảnh của ( ) ' 4; 5I − qua phép tịnh tiến v T r : ( ) ' " v T I I= r . Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến u T r : ( ) " 4 1 5 " 5; 2 " 5 3 2 x x a I y y b = + = + =  ⇒ −  = + = − + = −  . Đường tròn (C”) có tâm ( ) " 5; 2I − và bán kính 3R = . ( ) ( ) ( ) 2 2 " : 5 2 9C x y⇒ − + + = . Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có 2 đỉnh A, B cố định, tâm I thay đổi trên đường tròn (O). Tìm tập hợp trung điểm của cạnh BC. Giải Do I là tâm hình bình hành ABCD, và M là trung điểm BC nên ta có 1 2 IM AB uuur uuur = . Suy ra M là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vecto 1 2 v AB r uuur = . Mà điểm I di động trên đường tròn (O). Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiên theo vecto 1 2 v AB r uuur = . Bài 6. Cho điểm A cố định trên đường tròn (O,R) và điểm B lưu động trên đường tròn này. Dựng hai hình bình hành OAMB, OABN. Hãy tìm tập hợp 2 điểm M, N. Giải. O' M D C O B A I ThS Đinh Xuân Nhân Do OABN là hình bình hành nên ta có BN AO uuur uuur = . Suy ra N là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vecto AO uuur . Mặt khác, B di động trên đường tròn (O). Vậy tập hợp những điểm N thuộc đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vecto AO uuur . Lập luận tương tự, M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính AO. ThS Đinh Xuân Nhân O' M N O A B . (C) qua phép tịnh tiến u T r . b) Viết phương trình ∆ có ảnh qua phép tịnh tiến u T r là đường thẳng d. c) Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến u T r ,. phép tịnh tiến u T r . b) Tìm đường thẳng 1 ∆ có ảnh qua phép tịnh tiến u T r là 1 : 2 3 5 0d x y− + = . c) Tìm đường tròn ( ) 1 C có ảnh qua phép