CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ

CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐCHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐCHUYÊN ĐỀ HSG LỚP 9ĐẠI SỐ

Giải toán Đại số THCS THEO CHỦ ĐỀ Website:tailieumontoan.com Chuyên đề BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Các toán chuyên đề bao gồm nội dung: • Các phép tính đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử • Rút gọn phân thức đại số Các phép tính phân thức Giá trị phân thức • Các phép tính bậc hai, bậc ba Trong biến đổi đồng biểu thức đại số, đẳng thức có vai trị quan trọng Ngoài đẳng đáng nhớ Sách giáo khoa, cần biết thêm đẳng thức sau: 1) Bình phương đa thức: ( a + b + c )2 = a + b + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 2) Lập phương tổng ba số, tổng lập phương ba số: ( a + b + c )3 = a + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) a + b + c2 − ab − bc − ca ) 3) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm nhị thức: ( a + b )4 =a + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 a + 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b3 + 5ab + b5 ( a + b )5 = 4) Với số nguyên dương n, ta có: ( a n − b n = ( a − b ) a n −1 + a n − 2b + a n −3b + + ab n − + b n −1 5) Với só lẻ n, ta có: ( a n + b n = ( a + b ) a n −1 − a n − 2b + a n −3b − − ab n − + b n −1 ) ) Bài toán thực tế TỈ LỆ KHI PHA TRỘN Tú giao nhiệm vụ sau: Pha lượng dung dịch có nồng độ 5% muối với lượng dung dịch có nồng độ 30% muối để hỗn hợp có nồng độ 20% muối Tú cần pha hai dung dịch với tỉ lệ nào? Bạn giúp Túc giải toán Giải: Gọi lượng dung dịch có nồng độ muối 5% 30% theo thứ tự x y (gam) (x, y > 0) Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có: 30 20 x+ y= ( x + y) 100 100 100 ⇔ 5x + 30y = 20 ( x + y ) ⇔ ( 30 − 20 ) y = ( 20 − ) x ⇔ x 10 = = y 15 Tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với Trong thực hành, ta thường viết theo sơ đồ sau: Tổng quát, tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với để c−b hỗn hợp có nồng độ c% ( c ≠ a, c ≠ b ) c−a I ĐA THỨC Ví dụ Cho x + y = a + b (1) (2) x + y3 = a + b3 Chứng minh x + y = a + b Giải: Từ (1) suy ( x + y ) = ( a + b ) ⇒ x + y + 2xy = a + b + 2ab (3) 2 Ta có đẳng thức ( x + y )3 = x + y3 + 3xy ( x + y ) ( a + b )3 = a + b3 + 3ab ( a + b ) Kết hợp (1) với (2) suy 3xy = 3ab hay xy = ab (4) Từ (3) (4) suy x + y = a + b Ví dụ Phân tích thành nhân tử: a) x + 4x + 16 b) ( a + b + c )3 − ( a + b3 + c3 ) Giải a) x + 4x + 16= x + 8x + 16 − 4x 2= ( x + 4) − ( 2x ) = ( x + + 2x )( x + − 2x ) b) Cách Áp dụng nhiều lần công thức ( x + y ) = x + y3 + 3xy ( x + y ) ta có: ( a + b + c )3 − ( a + b3 + c3 )= ( a + b ) + c  − a − b − c3 = ( a + b ) + c3 + 3c ( a + b )( a + b + c ) − a − b3 − c3 = a + b3 + 3ab ( a + b ) + c3 + 3c ( a + b ) ( a + b + c ) − a − b3 − c3 ( = ( a + b ) ab + ac + bc + c2 ) = ( a + b ) a ( b + c ) + c ( b + c )  = ( a + b )( b + c )( c + a ) Cách Phương pháp xét giá trị riêng ( Đặt A = ( a + b + c ) − a + b3 + c3 Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038 ) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Với a + b = nên A = c3 − c3 = , suy A chứa nhân tử a + b Do vai trò a + b3 = bình đẳng a, b, c nên A chứa nhân tử ( a + b )( b + c )( c + a ) Do hạng tử A có bậc nên A = k ( a + b )( b + c )( c + a ) với k số ( ) Ta có với a, b, c: ( a + b + c ) − a + b3 + c3 = k ( a + b )( b + c )( c + a ) (1) Thay a = b = c = vào (1) 23 = − k.2.1.1 ⇒ = k Vậy A =3 ( a + b )( b + c )( c + a ) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: A = (a − b) + ( b − c) + (c − a ) 5 Giải Thay a b A = nên A chứa nhân tử a – b Do A khơng đổi hốn vị vòng quanh a → b → c → a nên A chứa nhân tử ( a − b )( b − c )( c − a ) có dạng A = B ( a − b )( b − c )( c − a ) (1) Do hạng tử A có bậc nên hạng tử B có bậc 2, B có dạng: ( ) B = m a + b + c2 + n ( ab + bc + ca ) (2) Từ (1) (2) ta có với a, b, c : ( a − b )5 + ( b − c )5 + ( c − a )5 = ( a − b )( b − c )( c − a )  m ( a + b2 + c2 ) + n ( ab + bc + ca ) (3) a 0;= b 1;= c vào (3) −1 − + 32 = ( −1)( −1) ( 2m − n ) hay 15 Thay= = 2m + n (4) −1; b = 0; c = vào (3) −1 − + 32 = ( −1)( −1) ( 2m − n ) hay 15 Thay a = = 2m − n (5) + 2n 15 = 5m = m ⇔ Từ (4) (5) suy  15 2m − n = n =−5 ( Thay m = 5, n = −5 vào (3) A = ( a − b )( b − c )( c − a ) a + b + c2 − ab − bc − ca ) II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Ví dụ Rút gọn phân thức A = a − bc b − ac c2 − ab + + ( a + b )( a + c ) ( b + a )( b + c ) ( c + a )( c + b ) Giải a − bc a + ac − ac − bc a ( a + c ) − c ( a + b ) a c = = = − Xét a+b a+c ( a + b )( a + c ) ( a + b )( a + c ) ( a + b )( a + c ) b − ac b c c2 − ab c b = − , = − Tương tự, ( b + a )( b + c ) b + a b + c ( c + a )( c + b ) c + a c + b Do A = a c b c c b a+b b+c − + − + − = − = 1−1 = a+b a+c b+a b+c c+a c+b a+b b+c Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ Chứng minh tổng bình phương ba số hữu tỉ phương số hữu tỉ Giải ( ) 1 , , bình x y x−y x + y2 ( x − y ) + x y2 1 x + y2 Cách A = + + = + = x y ( x − y )2 x y2 x y2 ( x − y ) ( x − y )2 Ta chứng minh tử bình phương số hữu tỉ 2 Đặt tử B ta có: B =( x − y ) ( x − y ) + 2xy  + x y   2 =( x − y ) + 2xy ( x − y ) + x y =( x − y ) + xy     ( x − y )2 + xy   Vậy A =   xy ( x − y )  2 1 1 1 Cách Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = + + =  + +  a b c a b c 2 1 2 1 1 Thật vậy, ta có  + +  = + + + + + ab ac bc a b c a b c 1 2(c + b + a ) 1 = 2+ 2+ 2+ = 2+ 2+ abc a b c a b c 1 1 1 Trở lại toán, ta viết A dạng A = + + = + + x y ( x − y )2 x ( − y )2 ( y − x )2 Áp dụng bổ đề với a = x, b = − y, c = y − x a + b + c = nên 1 1  1 1  A=  + +  =  − −   x −y y − x   x y x − y  Ví dụ Cho số a, b, c khác khác đôi thỏa mãn a + 1 = b + =c + = k b c a Chứng minh k = k = −1 Giải 1 bk − k suy a = k − = Từ a + = b b b 1 k suy c = Từ b + = c k−b 1 b k + = k Kết hợp với c + = a k − b bk − ⇒ bk − + bk − b= k ( k − b )( bk − 1) ⇒ bk − + bk − b 2= bk − k − b 2k + bk ( ⇒ −1 + bk= − b k bk − − b ) Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( )( ) ⇒ k − bk − − b =0 Nếu bk − − b =0 k= b2 + 1 = b+ b b Kết hợp với k= b + suy b = c, trái với giả thiết b ≠ c c Vậy k − =0 , tức k = ±1 Lưu ý 2, b = −1, c = k = khi, chẳng hạn, a = −2, b = 1, c = − k = −1 khi, chẳng hạn, a = Ví dụ Có số nguyên dương n ≤ 1000 phân số n+4 phân số tối giản? n2 + Giải n+4 n2 + tối giản ⇔ 23 n2 + n − 16 + 23 tối giản ⇔ tối giản ⇔ tối giản n+4 n+4 n+4 Trước hết ta tìm xem có giá trị n (1 ≤ n ≤ 1000 ) để phân số 23 không tối n+4 giản 23 989 − 23 + =43 (số) không tối giản ⇔ n + ∈ {23; 46; 69; ; 989} , tập hợp gồm 23 n+4 n+4 Vậy có 1000 – 43 = 957 (số) làm cho phân số tối giản n +7       1 +   +   +  15 +    4  4 Ví dụ Tính giá trị biểu thức: A =         +   +   +  16 +    4  4  Giải Nhân biểu thức dấu ngoặc với ta 4.14 + 1)( 4.34 + 1)( 4.54 + 1) ( 4.154 + 1) ( A= 4 4 4.2 + 4.4 + 4.6 + 4.16 + ( )( )( ) ( ) Ta có 4n += Nên A = III ( 2n + 1) − ( 2n = ) ( 2n + − 2n )( 2n + + 2n=) ( n − 1)2 + n   n + ( n + 1)2     + 162 ) ( 02 + 12 )(12 + 22 ) ( 23 + 32 )(32 + 42 ) (142 + 152 )(15= (12 + 22 )( 22 + 32 ) (32 + 42 )( 42 + 52 ) (152 + 162 )(162 + 172 ) 02 + 12 = 162 + 17 545 CĂN THỨC Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ Rút gọn biểu thức với a > 0: A = Giải Đặt ( a2 + − a )( a2 + + ( a2 + − a )( ) a2 + −1 ) a2 + −1 = B2 ( ) B2 = a + − ( a + 1) a + + a  = a + + 2a − ( a + 1) a + + a + =   Do a > nên B = a + − a + Vậy A = ( ( ) a + − a2 + ) a + + a + − a + = a + Ví dụ 10 Tìm số hữu tỉ a b cho + nghiệm phương trình x + ax + bx + = Giải ( ( ) + a 1+ Rút gọn ta ( 2a + b + ) + ( 4a + b + 11) = (1) Thay + vào phương trình, ta được: + 3 ) ( ) + b 1+ +1 =  2a + b + =0 a =−2,5 ⇔ Vì (1) phải với a b nên   b =−1 4a + b + 11 =0 ( ) (1) Ví dụ 11 Cho a a − 3b = ( ) ( 2) b b − 3a = 13 Tìm giá trị biểu thức a + b Giải ) ( 169 Từ (2) suy b ( b − 6a b + 9b ) = 81 Từ (1) suy a a − 6a b + 9b = Cộng theo vế hai đẳng thức ta ( a + 3a b + 3a b + b6 = 250 ⇒ a + b ) 3 = 250 ⇒ a + b = 250 = Ví dụ 12 a) Lập phương trình bậc ba với hệ số nguyên, có nghiệm 1+ + 1− ( ) b) Đặt m = + + − Tính giá trị biểu thức m3 + 3m − 100 Giải Gọi m = + + − (1) a + = b a + b3 = Đặt + = ( )( ) ab =+ 1− = −1 Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 ( 2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ đẳng thức ( a + b ) = a + b3 + 3ab ( a + b ) ta có m3= − 3m nên m3 + 3m − = Phương trình lập x + 3x − = b) Từ câu a suy m3 + 3m − = nên m3 + 3m − = ( ) Do m3 + 3m − 100 = BÀI TẬP Đa thức ( Chứng minh đẳng thức a − c2 )( b2 − d2 ) = ( ab − cd )2 − ( ad − bc )2 Cho a + b +c = a + b + c2 = 14 Tính a + b + c4 Tính tổng chữ số n2, biết n = n = 99  50 chu so Phân tích thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) a) x + x + 1; b) a b − c2 + b3 c2 − a + c3 a − b ; c) ( x + y ) − x − y5 ; d) ( a + b ) − a − b7 Phân tích thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: ( a + b + c )5 − a − b5 − c5 Cho (ad + bc)(ac + bd) = cd a + b = Chứng minh a = 0, b = c = d Cho x − yz= a; y − xz= b; z − xy= c Chứng minh ax + by + cz = ( a + b + c )( x + y + z ) Tìm bốn số khơng âm cho số bình phương tổng ba số cịn lại Phân thức đại số 10 Chứng minh đẳng thức: b−c c−a a−b 2 + + = + + ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a 11 Cho số a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = Tính giá trị biểu thức: 1 A= + + a + b2 − c2 b2 + c2 − a c2 + a − b2 12 Cho ax + by = c; bx + xz = a; cz + ax = b a + b + c ≠ Tính giá trị biểu thức: 1 + + x +1 y +1 z +1 b2 c2 a 13 Cho abc = + + = + + a b c2 b c a Chứng minh ba số a, b, c tồn số bình phương hai số cịn lại 14 Tính giá trị biểu thức:  1      a) A = 1 −  1 −  1 −  1 − ;  +   + +   + + +   + + + 100  a b c Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 99   98   99   98  2 b) B =  + + +   + + +  −  + + +   + + +  ; 100   99   100   99  3 4    c) C = 1 − 1 − 1 −    d)= D 33 + 12 22 − 12 Căn thức + 53 + 23 33 − 23 +    1 −   99 73 + 33 43 − 33 + +  ;  413 + 203 213 − 203 15 Cho m ≥ Tính x y theo m, biết rằng: x + y − m= x + y − m a −1 16 Cho dãy số a1 , a , , a n thỏa mãn a1 =2 − 1, a n +1 =n với n = 1, 2, 3…Tính a100 an + 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = Rút gọn biểu thức A=a ( b2 + 1)( c2 + 1) + b ( c2 + 1)( a + 1) + c ( a + 1)( b2 + 1) 18 Cho = m a2 + b2 + c2 + + 3 Lập phưng trình bậc với hệ số nguyên, nhận m làm nghiệm Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề sâu vào hai loại phương trình gần gũi với phương trình bậc phương trình bậc hai, bao gồm: Phưng trình bậc ẩn, có phương trình đưa phương trình bậc ẩn phương trình chứa ẩn mẫu thức, phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Phương trình bậc hai ẩn, điều kiện để phương trình có nghiệm, hệ thức Vi-ét Quan hệ đường thẳng parabol thể quan hệ hàm số bậc hàm số bậc hai Bài tốn cổ BƠNG SEN TRÊN HỒ Bài tốn Bát –xca-ra (Bhaskara), nhà toán học Ấn Độ (1114 – khoảng 1178) Cành sen nhỏ mọc hồ nước Bơng sen trịn nửa thước nhơ lên Bổng đâu gió thổi sang bên Bông hoa dạt xuống nằm mặt hồ Cành cành cũ vừa hai thước (Cứ sát theo mặt nước mà đo) Nhờ thạo tính giúp cho Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Hồ sâu thước, lí nào? Giải (h.1) Gọi độ sâu hồ BC = x (thước), phần sen nhỏ lên mặt hồ AB = 0, thước Khi sen dạt xuống đến vị trí D, ta có CD = AC = x + 0,5 (thước) Ta giác CBD vuông B nên BC2 + BD2 = CD2 Do x2 + 22 = (x + 0,5)2 Giải phương trình trên, ta x = 3,75 Hồ nước sâu 3,75 thước I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Cần ý đến dạng phương trình đưa phương trình bậc ẩn Phương trình chứa ẩn mẫu thức Ở dạng này, giá trị tìm ẩn phải thỏa mãn điều kiện cho mẫu thức khác (điều kiện phương trình) Ví dụ 13 Giải phương trình (a, b tham số): ( ) a x2 + ax − b + = x −1 x +1 x2 − (1) Giải Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình x ≠ ±1 ( ) Với điều kiện (1) ⇔ ( ax − 1)( x + 1) + b ( x − 1= ) a x2 + ⇔ ( a + b − 1) x = a + b + ( 2)  a + b +1  a + b − ≠ a + b +1 Nếu a + b ≠ x = Giá trị nghiệm  ⇔ a + b ≠ a + b −1  a + b + ≠ −1  a + b − 1 trở thành x = , vô nghiệm Nếu a + b = Kết luận: Với a + b ≠ a + b ≠ , phương trình có nghiệm x = Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 a + b +1 a + b −1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 1 ≤ xy ( x + y ) Nên xy ( x + y ) ≥ ⇒ ( 2)  ( x − 1)( x − ) ≤  x ≤ 3x −   109 a) Từ giả thiết suy  ( y − 1)( y − ) ≤ ⇒  y ≤ y − ( x − )( y − ) ≥ − xy ≤ − x − y   Suy x − xy + y ≤ x + y Do x − xy + y > nên x+ y ≥ x − xy + y 2 = y  x 1,=  A = ⇔  x =2, y =  x= y= Tìm giá trị lớn A: A= x+ y = x − xy + y 2 x+ y ( x − y) + xy ≤ x+ y 1 = + ≤ + = xy x y max A = ⇔ x = y = b) Gọi a giá trị B, ta có 2x + 3y =⇒ x ( x − 1) + y ( a − 3) = −2a 2x + y + Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có ( −2a ) 2 =  x ( a − 1) + y ( a − 3)  ≤ ( x + y ) ( a − 1) + ( a − 3)    ⇔ 4a ≤ ( a − 1) + ( a − 3) = 2a − 8a + 10 2 ⇔ a ≤ − 4a ⇔ ( a + )( a − 1) ≤ ⇔ −5 ≤ a ≤ , y =− 10 max =1 ⇔ x =0, y =1 B =−5 ⇔ x =− 110 Giả sử x ≤ y 1 ≥ x y 14   m≤x  Ta có  n ≤ y  1 m ≤ + ≤ x y x  (1) ( 2) ( 3) < Từ (3) suy m < x Nếu x ≤ y ( 5) Nếu x ≤ từ (1) suy m ≤ Từ (4) (5) suy max= m 111 Ta có 2a ≤ a + ⇒ Từ = A x = 2, y ≥ 2⇔  x ≥ 2, y = a ≤ a +1 2 a b c 1 + + ≤ + += a +1 b +1 c +1 2 2 max A = 112 A = ( 4) ⇔ a = b = c = a b c + + 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Ta đổi biến để mẫu đơn thức Đặt 2b + 2c – a = x (1) 2c + 2a - b = y (2) 2a + 2b – c = z (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế 3(a + b + c) = x + y + z 2( x + y + z) ⇔ 2a + 2b + 2c = Lấy (4) trừ (1) = 3a ⇒ ( 4) 2( x + y + z) y + 2z − x = −x 3 9a y + 2z − x y z = =  +  − 2b + 2c − a x  x x 14  y z x z x y Suy A =  + + + + +  − ≥ ( + + ) − = ⇒ A ≥ x x y y z z A = ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c 113 a) Áp dụng bất đẳng thức 1 9 + + ≥ với a, b, c > ta có A ≥ = a b c a+b+c a+b+c A = ⇔ a = b = c = b) Áp dụng bất đẳng thức ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ta có 3B ≥ ( a + b + c ) = c) Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) 2 1  1 1  ta có  + +  ≥  + +  ⇒ 3C ≥ A2 b c  a b c a Theo câu a ta có A2 ≥ 81 nên 3C ≥ 81 C = 27 ⇔ a = b = c 2 1  1  1  d) D =  a +  +  b +  +  c +  a  b  c  = (a 1  + b2 + c2 ) +  + + b c a Theo câu b c ta có D ≥  +6  1 + 27 + = 33 3 D = 33 ⇔ a = b = c 114 a) Áp dụng bất đẳng thức A= 1 với x, y, z > ta có: + + ≥ x y z x+ y+z 1 + + ≥ ab + bc + ca + + ab + bc + bc + ca Ta có ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) 14 Mà ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) nên ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ 32 ⇒ ab + bc + ca ≤ 2 Từ (1) (2) suy A ≥ A = ( 2) = 3+3 ⇔ a = b = c = b) Áp dụng bất đẳng thức ( a + 2b )( a + 2c ) Suy B ≥ ≥ với x, y > ta có ≥ xy ( x + y )2 1 = ≥ 2 (a + b + c) = ( 2a + 2b + 2c ) 1 1 + + = 9 B = ⇔ a = b = c = 115 a) Xét (a + b) c + 4c ≥ (a + b) c 4c = ( a + b ) = ( − c ) = 12 − 4c ⇒ (a + b) c ≥ 12 − 8c Từ A ≥ 36 − ( a + b + c ) = 36 − 8.3 = 12 A = 12 ⇔ a = b = c = b) Áp dụng bất đẳng thức B= ⇒B≥ 1 + + ≥ với x, y, z > ta có x y z x+ y+z 1 + + ≥ 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b + c + ( ab + bc + ca ) (a + b + c) = = 32 B = Khi chẳng hạn a = b = c = c) Xét ⇒ b2 b2 b = − ≥ − = 1− 2 2b b +1 b +1 a +1 b ab  b ≥ ( a + 1) 1 −  = a − + − 2 b +1  2 14 ⇒ ( a + 1) b2 + ≥ 2a − b + − ab Từ 2C ≥ ( a + b + c ) − ( b + c + a ) + − ( ab + bc + ca ) = − ( ab + bc + ca ) Ta lại có ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇒ ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = 32 = ( 2) ⇒ ab + bc + ca ≤ Từ (1) (2) suy 2C ≥ − = ⇒ C ≥ C = ⇔ a = b = c = d) Xét a b ( a + b2 ) = = a + b2 − b2 b ( a + b2 ) b b 1 − ≥ − = − 2 b a+b b ab b a Ta lại có Nên − a = (1) 1 1 ≤ 1 +  (bất đẳng thức Cô – si) a 2 a 1 1 = − 1 +  4 a a Từ (1) (2) suy a b ( a + b2 ) ≥ 1 − − Từ b 4a 1 1 11 1 31 1 D ≥ + + − −  + + =   + + − b c a 4a b c 4a b c 1  1  1  Ta lại có  + a  +  + b  +  + c  ≥ + + = a  b  c  1 1 1 ⇒  + +  + ( a + b + c ) ≥ ⇒ + + ≥ a b c a b c 3 Từ (3) (4) suy D ≥ − = 4 D = ⇔ a = b = c = ( 4) ( 3) (1) 14 116 a) Xét Từ A = a2 a + ab − ab ab ab ab = =a− ≥a− =a− a+b a+b a+b ab a2 b2 c2 ab + bc + ca + + ≥ (a + b + c) − = a+b b+c c+a (a + b + c) − 1 nên A ≥ Ta lại có a + b + c ≥ ab + bc + ca = A = 1 ⇔ a =b =c = b) Trước hết chứng minh B ≥ ab + bc + ca (xem 94a) B = ⇔ a = b = c = 117 Ta có ab + c ≤ Nên (a + b) = +c (1 − c ) + 4c = ( c + 1) ab + c c + 1 ≤ Từ A ≤ a + b + c + = 4; maxA = ⇔ a = b = c = c +1 118 Xét tử ab + bc + ca = (ab + bc + ca)(a + b + c) Biến đổi thành (a + b)(b + c)(c + a) + abc Do A= + abc ( a + b )( b + c )( c + a ) Hãy chứng minh ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc max A = ⇔ a =b =c = b) Xét a + bc = a.1 + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c) Từ B = a + + c ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) max B = b ( ab + bc + ca ) = A (theo câu a) ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ a =b =c = 119 a) Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có 14 (a + b + c ) (1 + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ⇒ + ( a + b + c ) + 2.3 1+ b + c Từ A ≤ == ≤ 2 a + b + c (a + b + c) (a + b + c) max A =1 ⇔ a =b =c =1 b) Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có (a ⇒ + b + 1)(1 + + c ) ≥ ( a + b + c ) c2 + Từ ≤ a + b + ( a + b + c )2 B≤ a + b2 + c2 + (a + b + c) a + b + c + ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) = = = 2 (a + b + c) (a + b + c) max B =1 ⇔ a =b =c =1 120 Do a ≤ 1, b ≤ nên (1 − a )(1 − b ) ≥ ⇒ + ab ≥ a + b ⇒ + c + ab ≥ a + b + c ⇒ Từ A ≤ b b ≤ + c + ab a + b + c a+b+c =1; max A =1 ⇔ a =b =c =1 a+b+c 121 a) Do b ≤ 2, c ≤ nên ( b − )( − c ) ≤ ⇒ 2b + 2c ≤ bc + Ta lại có 2a ≤ nên ( a + b + c ) ≤ bc + (1) Xét a + b + c = a = b = c = nên A = Xét a + b + c ≠ từ (1) có a a ≤ bc + ( a + b + c ) b) Ta có bất đẳng thức 1 1 8 nên + ≥ = ≥ x y xy ( x + y )2 x y (a − b) + (b − c ) ≥ (a − b + b − c) = (a − c) 15 Suy (a − b) + (b − c ) + (c − a) ≥ (a − c) Ta lại có a − c ≤ (do ≤ a, c ≤ ) nên ⇒B≥ (a − c) ≥ Từ (1) (2) suy B ≥ B= 122 a) A = ⇔ ( a; b; c ) (2; 1; 0) hoán vị b2 + c2   + a2  +  a c  b Áp dụng bất đẳng thức Ta có A ≥ 1 với x, y > + ≥ x y x+ y  b2 + c2 b2 + c2 4a a2 + = +  a2 b2 + c2  a b2 + c2  3a +  2  b +c 3a b2 + c2 a2 Ta có ≥ + ≥ b + c2 a2 b + c2 A = ⇔ b = c = b) Ta có ( a + 1) ≤ ( a + 1) ⇒ Từ B ≥ ( a + 1) 1 + + a +1 b +1 c +1 Áp dụng bất đẳng thức ≥ a +1 (1) 1 với x, y, z > + + ≥ x y z x+ y+z Bạn đọc tự giải B = c) C = a ⇔ a = b = c = a b c + + a + 2b b + 2c c + 2a Nhân tử mẫu phân thức với tử, ta C= a2 b2 c2 + + a + 2ab b + 2bc c + 2ca (a − c) (1) ( 2) 15 a b2 c2 ( a + b + c ) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số + + ≥ x y z x+ y+z (xem Ví dụ 99), ta C ≥ (a + b + c) 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = C =1 ⇔ a =b =c d) Trước hết ta chứng minh bổ đề 1 ≥ − a2 + a +2 (1) (1) ⇔ + a ( a3 + ) − ( a3 + ) ≥ ⇔ a5 − 3a3 + 2a ≥ ⇔ a − 3a + ≥ ⇔ ( a − 1) ( a + ) ≥ a > Xảy đẳng thức a = Từ bổ đề suy D ≥ − a + b + c ) + = 1; D = ⇔ a = b = c = ( Lưu ý Bạn đọc đặt câu hỏi: Vì tìm hệ số bổ đề trên? Có thể giải thích với kiến thức đọa hàm học Trung học phổ thơng Kí hiệu đạo hàm hàm số f(x) f’(x), ta có: - Đạo hàm hàm lũy thừa xn nxn-1 - Đạo hàm số - Đạo hàm hàm phân thức v' − v v Ta thường tìm m n từ hệ phương trình  = ma + n ( )  a +2 3a  ⇔ − =2am    a +  ( ) = ( 3)  ' ( ma + n ) '   a +  ( 4) Với dự đoán cực trị xảy a = 1, thay vào (4) m = − Thay vào (2) n = Từ ta chứng minh bổ đề 1 với a > ≥ − a2 + a +2 Có thể diễn đạt lời giải tốn sau (thực chất sử dụng bổ đề trên): 15 Ta có a ≥ với a > (xem 92a) a +2 3 − ( a3 + ) −a −a3 −a 2 −a ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ 3 a +2 a3 + a3 + 2 1 a ⇒ ≥ − a +2 a + b2 + c2 Từ D ≥ − =1; D =1 ⇔ a =b =c =1 123 a) Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) (bạn đọc tự chứng minh), ta có 1  3( a + b + c) 1 1  A =  + +  ≥ 3 + + = = abc a b c  ab bc ca  A = ⇔ a = b = c = b) Xét b−2 b−2+a + = = a a2 a2 ( a − 1) + ( b − 1) a a −1 b −1 + a2 a = Từ  1  a −1 b −1 b −1 c −1 c −1 a −1 B+ + +  = + + + + + a a b b c c a b c 1 =− ( a 1)  + c a ≥ ( a − 1)    + ( b − 1)  + b  a     + ( c − 1)  +  c   b 2 2 2 2 + ( b − 1) + ( c − 1) = − + − + − ac ab bc c ac b bc a ab 1  1 1  = 2 + +  − 2 + +  a b c  ab bc ca  Ta lại có 1 a+b+c + += = ab bc ca abc (1) ( 2) Từ (1) (2) suy B + A ≥ A − ⇒ B ≥ A − Theo câu a ta có A ≥ nên B ≥ − B = − ⇔ a = b = c = Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VA CỰC TRỊ DẠNG CĂN THỨC 15 124 a) Bạn đọc tự chứng minh 1+ y −1 y xy b) Ta có y − = ( y − 1) ≤ = ⇒ x y −1 ≤ 2 xy Tương tự, y x − ≤ Suy x y − + y x − ≤ xy Xảy đẳng thức x = y = c) xy x2 + y + ≥ 2,5 xy x+ y  x2 + y   xy  ⇔ − 2 +  − ≥0  xy   x + y  ⇔ ⇔ ( x − y) xy ( ( − ) x− y x− y ) ≥0 2( x + y)     ( x+ xy y )  ≥0 −  2( x + y)  (1) Gọi A biểu thức ngoặc vng, ta có ( x+ y xy A≥ ) ≥ xy 8 nên = = ≥ xy xy xy x + y 15 − = > x + y 2( x + y) 2( x + y) Vậy (1) chứng minh Xảy đẳng thức x = y d) Do abc = nên 1+ a + b + c 1 1+ a + b + c ≥ 1+ + + ⇔ ≥ + ab + bc + ca 2 a b c Ta có (1 + a ) + ( b + c ) ≥ (1 + a )( b + c ) = Do cần chứng minh b + c ≥ + bc b + c + ab + ac 15 Do abc = nên ba số a, b, c tồn số lớn hay số nhỏ hoặ 1, chẳng hạn hai số b c Khi ( b − 1)( c − 1) ≤ ⇒ b + c ≥ + bc c) Từ giả thiết suy < a, b, c < 1 a Ta có 2a − a ≤ a + (1 − a ) = 1⇒ ≥ 2a ⇒ ≥ 2a 2 1− a 1− a a Do 1− a b + 1− b c + 1− c ≥ ( a + b2 + c2 ) = Xảy đẳng thức a= b= c= a Vậy − a2 + b + − b2 c − c2 trái với a + b + c = > 125 a) A = x − + − x ≥ ( x − ) + ( − x ) = A = ⇔ ≤ x ≤ b) B = x − + x + + − x ≥ x − + x + + − x = B = ⇔ ≤ x ≤ 126 A= ( x + ) − ( x − 5= ) 2x + − 2x − ≤ max A= 2 ⇔ x= 127 Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét A2 dùng bất đẳng thức Cô – si x = Đáp số: = A 2⇔  x = Để tìm giá trị lớn nhất, có nhiều cách: Cách (dùng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) A2= ( x−4 + 6− x ) ≤ (1 2 + 12 ) ( x − + − x = ) max A = ⇔ x = - Cách (xét A2 dùng bất đẳng thức Cô – si) A2 = x − + − x + ( x − )( − x ) = + ( x − )( − x ) ≤ + ( x − + − x ) = max A = ⇔ x − = − x ⇔ x = 15 - Cách (xét A2 đặt ẩn phụ) A2 = 2+2 ( x − )( − x ) Đặt x – = y A2 =2 + ( x − )( − x ) =2 + − y ≤ max A = ⇔ y = ⇔ x = b) ĐKXĐ: ≤ x ≤ B2 = (4 x + x −1 max B = ⇔ 128 a)= A2 ( ) ≤ (4 2 x ) 25 + 32 ) ( x + −= x 1− x 16 = ⇔x= 25 x + + − x max A= ⇔ x= ) ≤ ( + 1)( x + + = − x ) 12 b) Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) ta có + 1)  ( a + b + c ) + 3 B ≤ ( 2a + + 2b + + 2c = (1) Từ (1) (2) suy B ≤ 27; max B = 3 ⇔ a = b = c = c) Giải tương tự Ví dụ 129 Đáp số: max C = ⇔ a = b = d) Ta có x3 + = ( x + 1) ( x − x + 1) ≤ ( x + 1) + ( x − x + 1) = x + Suy D = x3 + + y + ≤ x + y + = + = 12 ⇒ D ≤ 6; max D = ⇔ x = y = ( 129 a) A2 = −2 x + − x max A = ⇔ x = −2 ) ≤ ( −2 ) + 12   x + − x  = 45   −6 − x2 ⇔ x = b) B =1 + ( x − 1) + − x + x + ≤ + (1 2 + 12 ) ( x − 1) + ( − x + x + 3)  =1 +   max = + 2 ⇔ x − = − x + x + ⇔ x = + 15 c) Cách giải bất đẳng thức Cô – si: ( − x − x − 11) ≤ + ( − x − x − 11) = − x − x − 10 2C = x + − x − x − 11 ≤ x − x − x − 10 = − ( x + ) − ≤ −6 x = −2  max C =−3 ⇔  ⇔ x =−2 − x − x − 11 = 130 Ta có= A 2x − 4x2 ( 2x) + (1 − x ) 1 = ⇒ A≤ 2 2 A = ; maxA = ⇔ x = − ⇔x= − 4 4 ⇒ A =2x − 4x ≤ 131 Do x − x ≥ nên A= x − x + x − x + ≥ x =0 A = ⇔ x − x =0 ⇔   x = Do ≤ x ≤ nên A = = x (2 − x) + ( − x )( x + 1) x − x + − x x + ≤ 1) ( x + − x )( − x + x += max A = ⇔ x = 132 a) Viết A dạng A= x (3 − x ) − ( x − 1)( − x ) Giải tương tự Ví dụ 143 Đáp số: A = ⇔ x = b) Viết B dạng B = ( + x )( − x ) − (1 + x )(1 − x ) Giải tương tự Ví dụ 143 Đáp số: B = ⇔ x = − 133 A = 2 1  3  1   3  +  − x  +    x +  +      2    Giải tương tự Ví dụ 144 Đáp số: minA = ⇔ x = 134 a) A = x−3 Đặt x x − = y ≥ ta có 15 y y ≤ = = A= y + 2y 3 max A = b) B = ⇔ y = ⇔ x = 6 x−4 Đặt x +1 x−4 = y Giải tương tự câu a Đáp số: max B= ⇔ x= 10 ... Website:tailieumontoan.com Chuyên đề BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Các toán chuyên đề bao gồm nội dung: • Các phép tính đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử • Rút gọn phân thức đại số. .. a2 + b2 + c2 + + 3 Lập phưng trình bậc với hệ số nguyên, nhận m làm nghiệm Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề sâu vào hai loại phương trình gần gũi với phương... Website:tailieumontoan.com b) Tìm tọa độ điểm P Q c) Chứng minh IP = IQ Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Nội dung hệ phương trình chuyên đề bao gồm: - Hệ phương trình bậc hai ẩn - Hệ phương trình