Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 môn Toán Trường Lê Quý Đôn Quận 3 (20132014)20625

CÔNG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG KI M TRA H C SINH GI I LỚP TRƯỜNG LÊ QUÝ ĐÔN - QUẬN (2013-2014) (Thi ngày: ngày 29/3/2014) Thời gian: 120 Phút Bài 1: a) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc với a  b  c  b) Cho abc  1; a  b  c  1   Tính a29  b3  c2014  a b c     Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: a)  xy  x  y 2 b) 1   xy  x  y 2 x y Bài 4: Cho ABC vuông A có AH đường cao BQ tia phân giác góc B; AD tia phân giác HAC BQ cắt AD K CK cắt AB L a) Chứng minh: DAQ tam giác cân b) Chứng minh: DB LB QA   1 DC LA QC Baøi 5: Cho ABC coù AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH Tính AH  HẾT Đề Kiểm Tra, HSG L P Tr ng Lê Quý Đôn, Q.3 (2013-2014) ThuVienDeThi.com Trang CƠNG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG H NG D N GIẢI Bài 1: a) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc với a  b  c  Ta coù: a  b  c   a  b  c Do đó: a3  b3  c3   a  b  3ab  a  b  c3  c3  3ab  c  c3  3abc : ñpcm 1 b) Cho abc  1;a  b  c    Tính a29  b3  c2014  a b c     1 Ta coù: a  b  c     a  b  c  ab  bc  ca  abc = 1 a b c  a  b  c  ab  bc  ca   abca  b  c  ab  bc  ca    abc = 1  ab  c  1  a  c  1  b  c  1   c  1    c  1 ab  a  b  1  a     a  1 b  1 c  1    b  c       Do đó: a29  b3  c2014   Baøi 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y > 0:  a) xy  x  y 2  x2  2xy  y  4xy  x, y > nên x + y > vaø xy >    x  y   : Vậy BĐT chứng minh b) 1   xy  x  y 2 x y Áp dụng BĐT câu a) 1   a, b   , ta được: a b a b 1 1 4 : ñpcm        2 2 x  y xy x  y 2xy 2xy  x  y   x  y  x  y Bài 3: Bài 4: Cho ABC vuông A có AH đường cao BQ tia phân giác góc B; AD tia phân giác HAC BQ cắt AD K CK cắt AB L Đề Kiểm Tra, HSG L P Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) ThuVienDeThi.com Trang CƠNG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG A S T Q L K E H B C D a) Chứng minh: DAQ tam giác cân Gọi E giao điểm AH BQ Chứng minh được: AEQ cân A  AD đường phân giác đường cao Do đó: E trực tâm ABD  DE  AB mà AC  AB nên AC // DE  QDA  DAE góc so le  mà DAE  DAQ   b) Chứng minh: nên QDA  DAQ  DAQ cân Q DC LB QA   1 DB LA QC Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BQ S, cắt CK taïi T  DB DK  AS  AK  BD // AS DB DC DC AT     Ta coù:  AS AT DB AS  DC  DK  DC // AT  AT AK Ta coù: LB BC   BC // TA  LA AT 2 Ta coù: QA AS   AS // BC QC BC  3 Từ (1), (2) (3) ta suy 1 DC LB QA   1 DB LA QC Bài 5: Cho ABC có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH Tính AH Đề Kiểm Tra, HSG L P Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) ThuVienDeThi.com Trang CÔNG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG A H C B 15 - x x Tính AH Ta có: BC cạnh lớn ABC nên A góc lớn ABC  điểm nằm B C Đặt BH = x (x > 0)  CH  15  x Áp dụng định lý Pytago, ta có: 2 2  AH  AB  BH  13  x 2   169  x  196  225  30x  x 2 2  AH  AC  CH  14  15  x   33  3136 33 56  30x  198  x  x  AH2  196     25 5   Vaäy AH  56 cm  HẾT Đề Kiểm Tra, HSG L P Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) ThuVienDeThi.com Trang ... Bài 1: a) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc với a  b  c  Ta coù: a  b  c   a  b  c Do đó: a3  b3  c3   a  b  3ab  a  b  c3  c3  3ab  c  c3  3abc : ñpcm 1 b) Cho abc... BH  13  x 2   169  x  196  225  30 x  x 2 2  AH  AC  CH  14  15  x   33  31 36 33 56  30 x  1 98  x  x  AH2  196     25 5   Vaäy AH  56 cm  HẾT Đề Kiểm Tra, HSG... BC QC BC  3? ?? Từ (1), (2) vaø (3) ta suy 1 DC LB QA   1 DB LA QC Baøi 5: Cho ABC coù AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH Tính AH Đề Kiểm Tra, HSG L P Lê Quý Đôn, Quận (20 13- 2014) ThuVienDeThi.com