Thông tin tài liệu
Ôn thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ cđa c¸c biĨu thøc sau) 1) 3x 8) x2 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 2x 4) 3 x 5) x3 7x 7) 2x x x 3x 11) 2x 5x 12) 7x 6) 10) x 5x 13) x 3 3x 5x 6x x 14) Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víi x 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x e) x Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) ( 28 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10 ; f) g) 20 14 20 14 ; 3; h) 5; 11 11 7 3 7 3 26 15 26 15 Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) ( 3 216 ) 82 b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) (4 15 )( 10 6) 15 c) 3 3 e) 6,5 12 6,5 12 b) d) (3 5) (3 5) 4 Bài 5: Rút gọn biÓu thøc sau: DeThiMau.vn 10 x2 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) c) 24 b) 24 52 52 5 5 1 1 3 1 1 3 3 3 3 d) Bµi 6: Rót gän biĨu thøc: a) 13 48 c) b) 48 10 1 1 99 100 1 2 3 Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau: a b b a a) : , víi a 0, b vµ a b ab a b a a a a b) , víi a vµ a a a c) a a 2a a ; a4 d) 5a (1 4a 4a ) 2a 3x 6xy 3y2 e) x y2 Bµi 8: Tính giá trị biểu thức a) A x 3x y 2y, x 2 ;y 94 b) B x 12x víi x 4( 1) 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x y y 3; d) D 16 2x x 2x x , biÕt 16 2x x 2x x e) E x y y x , biÕt xy (1 x )(1 y ) a D¹ng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán x x Bài 1: Cho biĨu thøc P a) Rót gän P b) TÝnh giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P Bài 2: XÐt biÓu thøc A a2 a 2a a a a 1 a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bµi 3: Cho biĨu thøc C 1 x x 2 x 1 x a) Rót gän biĨu thøc C DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề c) Tính giá trị x để C b) Tính giá trị C víi x a 1 2 a b2 a b a Bµi 4: Cho biĨu thøc M b : 2 a a b a) Rót gän M a c) Tìm điều kiện a, b ®Ĩ M < b x 2 x (1 x) Bµi 5: XÐt biĨu thøc P x x x b) Tính giá trị M a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < P > Bài 6: Xét biểu thức Q c) Tìm giá trị lơn cña P x 9 x x 1 x 5 x 6 x 2 x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên xy x y3 Bµi 7: XÐt biĨu thøc H x y xy : x y xy x y b) Chøng minh H ≥ a) Rót gän H a c) So s¸nh H víi H a : Bµi 8: XÐt biÓu thøc A 1 a a a a a a a) Rót gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A nÕu a 2007 2006 Bµi 9: XÐt biÓu thøc M 3x 9x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a) Rót gän M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên Bài 10: XÐt biÓu thøc P 15 x 11 x 2 x x x 1 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P c) So sánh P với Chủ đề 2: Phương trình bậc hai định lí Viét Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề 3) x2 (1 + )x + = ; =0; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau có nghiệm 1) x2 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bµi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c số thực phương trình sau có nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiÖm 1 (Èn x) phân biết: xa xb xc c) Chứng minh phương tr×nh: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) 2 x - 4ax + b = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b c x 0 bc ca 2c c a bx x 0 ca ab 2a a b cx x 0 ab bc ax (1) (2) (3) víi a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = BiÕt a ≠ vµ 5a + 4b + 6c = 0, chøng minh r»ng phương trình đà cho có hai nghiệm DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu hai điều kiện sau thoả mÃn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = TÝnh: A x1 x ; C B x1 x ; 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; F x1 x Lập phương trình bậc hai có nghiƯm lµ 1 vµ x1 x2 Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm phương trình: 5x2 3x = Không giải phương trình, tính giá trị c¸c biĨu thøc sau: 3 A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x 2 Bµi 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình hÃy thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q vµ q 1 p 1 b) LËp phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ 10 72 10 Bµi 4: Cho phương trình x2 2(m -1)x m = a) Chứng minh phương trình luôn cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m b) Với m 0, lập phương trình ẩn y thoả m·n y1 x1 1 vµ y x x1 x2 Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau: x1 x ; A 3x1 2x 3x 2x1 ; B x x1 x1 x x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 4x – 10 = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Không giải phương trình hÃy thiết lập phương trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 3x = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: C x1 x2 ; D DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chđ ®Ị x1 y x2 y x a) b) x2 y x y x Bµi 8: Cho phương trình x2 + x = có hai nghiệm x1 ; x2 HÃy thiết lập phương trình Èn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 x y1 y x x y y x x 2 a) ; b) y y y y 2 5x 5x 3x 3x y y Bµi 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 HÃy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mÃn: 1 1 y1 y x1 x y1 y x1 x D¹ng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm a) Cho phương trình: (m 1)x2 2mx + m = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình: (a 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: a) Cho phương trình: 4x 22m 1x m2 m x 2x x2 Xác định m để phương trình có nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mÃn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại 3) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) 5) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn 2x1 x2 = - 7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bµi 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mÃn hƯ thøc ®· chØ ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 2 b) x – 4mx + 4m – m = ; x1 = 3x2 c) mx + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 2 f) x – 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bµi 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Chư phương trình bậc hai: x2 mx + m = Tìm m để phương trình có hai nghiƯm x1 ; x2 cho biĨu thøc R 2x1x đạt giá trị lớn Tìm giá x1 x 2(1 x1x ) trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau b»ng mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiƯm (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phương tr×nh x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phương trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < b) Cho phương trình 2x2 + (2m 1)x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chøng minh r»ng phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 mx + m = có nghiệm thoả mÃn x1 - x2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) Cho phương trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phương trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chøng minh phương trình có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 tho¶ m·n: x1 x x x1 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Giải biện luận phương trình theo m b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 ®éc lËp víi m - T×m m cho |x1 x2| Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương trình có hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phương trình có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phương trình kia: Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) ®ã c¸c hƯ sè a, b, c, a’, b’, c’ phơ thuộc vào tham số m Định m để cho phương trình (2) có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phương trình (1), ta làm sau: i) Giả sử x0 nghiệm phương trình (1) kx0 nghiệm phương trình (2), suy hệ phương trình: ax bx c 2 a' k x b' kx c' (*) Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay giá trị m vừa tìm vào hai phương trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a 0) (4) Hai phương trình (3) (4) tương đương với hai phương trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phương trình bậc hai tương đương víi ta xÐt hai trêng hỵp sau: i) Trêng hợp hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chđ ®Ị (3) ( ) Giải hệ ta tịm giá trị tham số ii) Trường hợp hai phương trình có nghiệm, ta giải hệ sau: (3) Δ (4) S(3) S(4) P P (4) (3) Chó ý: B»ng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) đưa hệ phương trình bậc ẩn nh sau: bx ay c b' x a' y c' Để giải tiếp toán, ta làm sau: - Tìm điều kiện để hÖ cã nghiÖm råi tÝnh nghiÖm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mÃn y = x2 - Kiểm tra lại kết Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bµi 3: Xét phương trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phương trình có nghiệm chung Bài 4: Cho hai phương tr×nh: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 mx + 10m = (2) Tìm giá trị tham số m để phương trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phương trình (1) Bài 5: Cho hai phương trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phương trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phương trình tương đương Bài 6: Cho hai phương tr×nh: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phương trình có nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương đương c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = cã nghiÖm phân biệt Bài 7: Cho phương trình: x2 5x + k = (1) DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề x2 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần nghiệm phương trình (1) Chủ đề 3: Hệ phương trình A - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phương trình đưa dạng Bài 1: Giải hệ phương trình 3x 2y 4x 2y 2x 3y 1) ; 2) ; 3) 2x y 6x 3y 4x 6y 10 3x 4y 2x 5y 4x 6y 4) ; 5) ; 6) 5x 2y 14 3x 2y 14 10x 15y 18 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 3x 22y 6xy 2x - 32y 4 4x y 3 54 1) ; 2) ; 4x y 4xy x 3y 3y x 12 7x 5y - y 27 2y - 5x 2x x 3y 8 3) ; 4) 6x - 3y 10 x y 6y 5x 5x 6y D¹ng 2: Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phương trình sau 3y x 3x x 1 y x 1 y x 2y y 2x 1) ; 2) ; 3) ; 2x 5 4 9 1 x y x y x 2y y 2x 5 x y 2 x 2x y 4) ; 5) 3 x 2x y 2 4x 8x y 4y 13 D¹ng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mÃn điều kiện cho trước Bài 1: a) Định m n để hệ phương trình sau cã nghiƯm lµ (2 ; - 1) 2mx n 1y m n m x 3ny 2m b) Định a b biết phương trình: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2 Bài 2: Định m để đường thẳng sau đồng quy: a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bµi 3: Cho hệ phương trình mx 4y 10 m (m lµ tham sè) x my DeThiMau.vn 10 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Xác định giá tri nguyên m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y > d) Víi giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dương e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tương tự với S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác m 1x my 3m 2x y m Bài 4: Cho hệ phương trình: a) Giải biện luận hệ theo m b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) thoả mÃn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) e) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác x my mx 2y Bµi 5: Cho hƯ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm số nguyên m để hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ x > y < c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x y xy 11 Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x y 3x y 28 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình sau: x y x y 1) x y xy xy x y 19 3) 2 x y xy 84 x xy y 2) x xy y x 1y 1 5) x x 1 yy 1 xy 17 x y 10 6) x y xy 1 x xy y 7) x y x xy y 19x y 2 8) x xy y 7x y x y 2 x y 9) 5 x y 5xy x 3xy y 1 4) 3x xy 3y 13 x y y x 30 10) x x y y 35 D¹ng 2: Hệ đối xứng loại II DeThiMau.vn 11 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề x 2y Ví dụ: Giải hệ phương trình 3 y x Bµi tập tương tự: Giải hệ phương trình sau: x 3y 1) y 3x x y y 2) xy x x 2x y 3) y 2y x x xy y 4) x xy y y x 3y x 6) y 3x x y x 2y 2x y 5) y 2x 2y x 2x y x 7) 2y x y x 3x 8y 8) y 3y 8x x 7x 3y 10) y 7y 3x x 3x y 9) y 3y x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số Giải hệ phương trình sau: x y 1) x xy x xy y 12 2) xy x y 2 xy x x 4 3) x xy y x 2 x y 2 3 x y 5) x y x y xy 11 4) xy y x 5 x y 2 3 x y 6) 2 x y 12 x y 7) 2 y x x y xy 9) 2 x y xy y 3x 2y 36 11) x y 3 18 x y 8) x y 2x 3y 10) 2 x y 40 xy 2x y 12) xy 3x 2y xy x y 13) xy 3x y x y 4x 4y 14) x y 4x 4y x x 8 3yy 1 6 15) 2x x 8 5yy 14 Chủ đề 4: Hàm số đồ thị DeThiMau.vn 12 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x – ; Bµi 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5) b) (d) ®i qua M(3 ; 2) song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) ®i qua N(1 ; - 5) vuông góc với đường thẳng (d): y = -1/2x + d) (d) ®i qua D(1 ; 3) tạo với chiều dương trục Ox góc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) ®ång quy víi hai ®êng th¼ng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iĨm g) (d) ®i qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đường thẳng y = (2k – 1)x + k – víi k lµ tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y = c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = d) Chøng minh r»ng kh«ng có đường thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chøng minh r»ng k thay ®ỉi, ®êng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng parabol Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) HÃy tìm a vẽ đồ thị (P) b) Gọi A B hai điểm (P) có hoành độ - Tìm toạ độ A B từ suy phương trình đường thẳng AB Bài 2: Cho hàm số y x a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 3: Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x đường thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Trên (P) lấy hai điểm M N có hoành độ - 2; Viết phương trình đường thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đường thẳng MN cắt (P) điểm Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đường thẳng (D): y = kx + b 1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) DeThiMau.vn 13 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm câu 1) câu 2) 4) Gọi (d) đường thẳng qua điểm C ;1 có hệ số góc m a) Viết phương trình (d) b) Chøng tá r»ng qua ®iĨm C cã hai ®êng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với Chủ đề 5: Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm mÊt giê NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h đến sớm Tính quÃng đường AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quÃng đường AB người tăng vận tốc thêm 10 km/h quÃng đường lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngược dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngược dòng Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nước) Bài 1: Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm công việc xong? Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy vòi B chảy 30 phút 4 hồ Nếu vòi A chảy hồ Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy hồ Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm DeThiMau.vn 14 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vên (thuéc ®Êt vên) réng m TÝnh kÝch thước vườn, biết đất lại vườn ®Ĩ trång trät lµ 4256 m2 Bµi 2: Cho mét hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương vµ sè d lµ Bµi 3: NÕu tư số phân số tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số Chủ đề 6: Phương trình quy phương trình bậc hai Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu Giải phương tr×nh sau: x x 3 2x x 3 6 3 a) b) x x 1 x 2x t2 2t 5t t c) t t Dạng 2: Phương trình chứa thức DeThiMau.vn 15 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Loại Loại A (hayB 0) A B A B B AB A B Giải phương tr×nh sau: a) 2x 3x 11 x b) c) 2x 3x x d) x 22 3x 5x 14 x 12x 3 x e) x x 3x Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình sau: a) x x x b) x 2x x 2x c) x 2x x x x 4x d) x x 4x 3x D¹ng 4: Phương trình trùng phương Giải phương trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 = Dạng 5: Phương trình bậc cao Giải phương trình sau cách đưa dạng tích đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 1 c) x x x x d) 4 x 16 x 23 x x 21 x2 x 5 3x f) 40 x 4x e) x x 4x 10 x x 5 x 48 x 4 g) 32x 3x 1 52x 3x 3 24 h) 10 x 3 x 2x 13x 6 k) x 3x x 3x i) 2x 5x 2x x Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bµi tËp vỊ nhµ: Giải phương trình sau: DeThiMau.vn 16 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) 2x 1 x b) 4x x 3 6 x 1 x x 2x 2x 8 d) x2 9 x 3x 2x x2 c) x x4 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = c) x2 2x 2x d) 4 3 x2 x2 – 4x – 10 - x 2x 6 = e) x x x 5 x a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 c) 3 x 16 x 26 1 d) 2 x 7 x x x x x a) x 4x x 14 b) 2x x x c) 2x 6x x d) x 3x x e) 4x 4x x x f) x x x x Định a để phương trình sau có nghiÖm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = PhÇn II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L DeThiMau.vn 17 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chđ ®Ị a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có đường chéo vuông góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đường vuông góc xuống cạnh tứ giác đường vuông góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác đà cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đường cao Hai đường tròn đường kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O1) (O2) M N a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách ®iĨm E, G, A, H d) Khi c¸t tun MAN quay xung quanh điểm A E vạch đường nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường tròn phía hình vuông Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chøng minh PH, BI, AM ®ång qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) điểm E, F Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đường tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.Xác định tâm O đường tròn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ I Chứng minh r»ng ®iĨm A, I, F, H, E cïng nằm đường tròn Bài 3: DeThiMau.vn 18 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D Chứng minh r»ng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp b) Tø gi¸c OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đường tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp Bài 5: Từ điểm M bên đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lÊy mét ®iĨm C VÏ CD AB, CE MA, CF MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai đường cao BD CE a) Chøng minh r»ng ®iĨm B, C, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC c)* Gọi D giao điểm AB CM Chøng minh r»ng: 1 AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đường tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đường kính MN vuông góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp b) AD AE = AF AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bài 9: Từ điểm A bên đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN b) Chøng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp DeThiMau.vn 19 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chđ ®Ị b) Chøng minh r»ng tÝch MC MD cã giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiÕp tam gi¸c ACD Chøng minh r»ng MAB = AO'D d) Chøng minh r»ng ba ®iĨm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E AD) a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đường tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300 Bài 12: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đường vuông góc với BC D cắt AC E, c¾t tia BA ë F a) Chøng minh r»ng ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung ®iĨm cđa EF Chøng minh r»ng AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường tròn Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) c) TÝnh tỉng AC + BD theo R d) TÝnh diƯn tích tứ giác ABDC biết AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chøng minh r»ng ®iĨm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tø gi¸c MCBC' néi tiÕp DeThiMau.vn 20 ... bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) Cho phương trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham... Cho hệ phương trình mx 4y 10 m (m lµ tham sè) x my DeThiMau.vn 10 Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Xác định giá tri... trình: x2 5x + k = (1) DeThiMau.vn Ôn tập thi vào lớp 10 THPT theo chủ đề x2 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần nghiệm phương trình (1) Chủ đề 3: Hệ phương trình A
Ngày đăng: 25/03/2022, 13:15
Xem thêm:
