Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 916365

Bài tập ơn thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (Chuẩn kiến thức, kỹ năng) PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab  ab bc ca ab   abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  x  4x  17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : ThuVienDeThi.com a) c)  15 23  19 27 b) 17   d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vơ tỉ lớn 19 Giải phương trình : 45 nhỏ 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho S  1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) x y  2 y x  x y2   x y  b)         x  y x y  x y4   x y2   x y  c)             x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh :       y x y x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z      y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) ThuVienDeThi.com c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x  y   x  y  32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  33 Tìm giá trị nhỏ : A  x  6x  17 x y z với x, y, z >   y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d    2 bc cd da ab 39 Chứng minh 2x  x  x  40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B x  4x  C x  2x  D 1 x  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình : 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình : 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  B 1  3x C    9x ThuVienDeThi.com D x  5x  E 2x   x 45 Giải phương trình : G x  x2 x 4 H  x  2x    x x  3x 0 x 3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử số hữu tỉ   m2 m (tối giản) Suy  hay 7n  m (1) Đẳng thức n n chứng tỏ m  mà số nguyên tố nên m  Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2  số nguyên tố nên n  m n chia hết phân số m không tối giản, trái giả thiết Vậy n số hữu tỉ; số vơ tỉ Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a)  b) (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S =  x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1)  ≤ 2(x2 + y2) = 2S  S ≥  mim S = x = y = b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương có: bc ca bc ab ca ab , ta ; ; a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab  2  2c;  2  2b ;  2  2a cộng a b a b a c a c b c b c vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :  (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤ 3a  5b  3a.5b 12 12  max P = 5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 :  a = ; b = 6/5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ Du = xy a = ½ Vậy M = ¼  a = b = ½ Đặt a = + x  b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 ThuVienDeThi.com Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b |  a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2  4ab >  ab > Vậy a b hai số dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)  2x    x 11 a) 2x    x     2x   x  3x  x     x   x  b) x2 – 4x ≤  (x – 2)2 ≤ 33  | x – | ≤  -3 ≤ x – ≤  -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x –  (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥ 1998 a  b    Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a   Vậy M = 1998  a = b = b    14 Giải tương tự 13 15 Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = 16 A  1 1   max A=  x  x  4x  x    5 17 a)  15   16    Vậy b)  15 < 17    16        49  45 ThuVienDeThi.com c) 23  19 23  16 23  2.4     25  27 3 d) Giả sử 2   2 3    2 Bất đẳng thức cuối đúng, nên : 18 Các số 1,42 18  12  18  12  2 19 Viết lại phương trình dạng : 3(x  1)   5(x  1)  16   (x  1) Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải khơng lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 ab ab viết lại dạng ab   ab     20 Bất đẳng thức Cauchy (*) (a, b ≥ 0) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :  2x  xy  2x.xy    4   Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y =  max A =  x = 2, y = 2 1998 Áp dụng ta có S >  1999 ab a  b 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 22 Chứng minh x y x  y  2xy (x  y) x y   Vậy  2 23 a)    y x xy xy y x  x2 y2   x y   x2 y2  x y x y b) Ta có : A                     Theo câu a : x  y x y x  y x y x y  x y2   x y  x  y  A             1    1  x  y x y  x  y  x4 y4   x 2 y2  x y c) Từ câu b suy :         Vì   (câu a) Do : x  y x  y x y  x y4   x y2   x y          x  y x  y x y 24 a) Giả sử  = m (m : số hữu tỉ)  = m2 –  ThuVienDeThi.com số hữu tỉ (vơ lí) b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ)  n =a–m  n = n(a – m)  số hữu tỉ, vơ lí 25 Có, chẳng hạn  (5  2)  x y2 x y x y2 26 Đặt   a     a Dễ dàng chứng minh   nên a2 ≥ 4, y x y x y x | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a  a2 – 3a + ≥  (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài tốn chứng minh 27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z  y x  z x  x z  y x  z y xyz x y2z2  Cần chứng minh tử không âm, tức : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1) Biểu thức không đổi hốn vị vịng x  y  z  x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp : a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥  z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x3 – y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥  z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x  y  z  x y z   1    1    1       y  z  x  y z x 2 28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ThuVienDeThi.com b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 30 Giả sử a + b >  (a + b)3 >  a3 + b3 + 3ab(a + b) >  + 3ab(a + b) >  ab(a + b) >  ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2  (a – b)2 < 0, vơ lí Vậy a + b ≤ 31 Cách 1: Ta có : x  ≤ x ; y  ≤ y nên x  + y  ≤ x + y Suy x  + y  số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, x  y  số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : x  + y  ≤ x  y  Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - x  < ; ≤ y - y  < Suy : ≤ (x + y) – ( x  + y ) < Xét hai trường hợp : - Nếu ≤ (x + y) – ( x  + y ) < x  y  = x  + y  (1) - Nếu ≤ (x + y) – ( x  + y ) < ≤ (x + y) – ( x  + y  + 1) < nên x  y = x  + y + (2) Trong hai trường hợp ta có : x  + y  ≤ x  y  32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn  Vậy max A = nhỏ  x2 – 6x + 17 nhỏ A  x = 33 Không dùng phép hốn vị vịng quanh x  y  z  x giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A x y z x y x y z x y z    33  y z x y z x z Do          x  y  z y z x y z x Cách : Ta có : chứng minh x y z x y y z y x y            Ta có   (do x, y > 0) nên để y z x y x z x x y x x y z y z y    ta cần chứng minh :    y z x z x x (1) (1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ThuVienDeThi.com  xy + z2 – yz – xz ≥  y(x – z) – z(x – z) ≥  (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z   y z x 34 Ta có x + y =  x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥  x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16  x2 + y2 ≥ A = x = y = 35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A  A ≤   9 3 2 max A =   x = y = z = 9 36 a) Có thể b, c) Khơng thể 37 Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) 38 Áp dụng bất đẳng thức  với x, y > : xy (x  y) a c a  ad  bc  c 4(a  ad  bc  c )    bc da (b  c)(a  d) (a  b  c  d) Tương tự b d 4(b  ab  cd  d )   cd ab (a  b  c  d) (1) (2) a b c d 4(a  b  c  d  ad  bc  ab  cd)     Cộng (1) với (2) = 4B bc cd da ab (a  b  c  d) Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức tương đương với : 2B ≥  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2  a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥  (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : 39 - Nếu ≤ x - x  < ½ ≤ 2x - x  < nên 2x  = x  - Nếu ½ ≤ x - x  < ≤ 2x - x  <  ≤ 2x – (2 x  + 1) <  2x  = x  + 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho : ThuVienDeThi.com 96 000 00    ≤ a + 15p < 97 000 00    m chữ số Tức 96 ≤  a 15p  m < 97 m 10 10 m chữ số (1) Gọi a + 15 số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k 15 a 15p a 15  k  k  (2) Đặt x n  k  k Theo (2) ta có x1 < k < 10 10 10 10 10 10 Cho n nhận giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng không đơn vị, x n  trải qua giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc ta có  x p  = 96 Khi 96 ≤ xp < 97 tức 96 ≤ a 15p  < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh 10 k 10 k 42 a) Do hai vế bất đẳng thức không âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B |  | A + B | ≤ ( | A | + | B | )2  A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB |  AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥ b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥  -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M =  -2 ≤ x ≤ c) Phương trình cho  | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x |  (2x + 5)(4 – x) ≥  -5/2 ≤ x ≤  x  1 43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥   x  Đặt ẩn phụ x  4x   y  , ta : 2y2 – 3y – =  (y – 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm 46 Điều kiện tồn x x ≥ Do : A = x + x ≥  A =  x = 47 Điều kiện : x ≤ Đặt  x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x  x = – y2 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 11 13 13 13 ≤ max B =  y=½  x= 4 4 - The end - ThuVienDeThi.com ... Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh 27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z  y x  z x  x z  y x  z y xyz x y2z2  Cần chứng minh tử không âm, tức : x3z2(x – y)... nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2  số nguyên tố nên n  m n chia hết phân số m không tối giản, trái giả thi? ??t Vậy n số hữu tỉ; số vô tỉ Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ... a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thi? ??t Vậy c phải số vơ tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ThuVienDeThi.com b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 +