đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán Năm học 2005-2006 Thời gian làm 90 phút Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để x số hữu tỷ ? Câu II x, y, z số thực dương thoả mÃn HÃy tìm giá trị x y z nhá nhÊt cña A = x + y + z Câu III Giải phương trình: 81x4 + = 3 102 x 12 x Câu IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên a số nguyên lớn không vượt a, kí hiệu: a Tìm x thoả mÃn: 15 x 5x = Câu V Cho hình vuông ABCD, đường chéo AC lấy điểm M; I, Q trung điểm AM MC Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng cắt AB N, cắt CD K Chứng minh: IB.AK = DQ.CN ThuVienDeThi.com Đáp án Câu I (3 điểm) §Ỉt x x t (x; t Q; x + t 0); t2 t2 x + t > nên +t 2t 2t t2 t > 0; VËy x = ( t > 0; t Q) 2t Ta cã: x2 +4 = (x + t)2 x = t2 2t C©u II (4 ®iĨm) Ta cã: 1 x x y z y z áp dụng BĐT Bunhiacốpki ta có: ( ) ( )( x y z ) x y z 36 x y z DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi: 1 : x : y : z x y z x y z x y z 36 => x = 6; y = 12; z = 18 C©u III (4 ®iÓm) NhËn xÐt: 81x4 + > => 33 108 x 12 x 33 12 x(9 x 1) x áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 6x; 9x2 + 1; ta cã: 3 102 x 12 x = 33 x.(9 x 1).2 9x2 + 6x + => 81x4 + 9x2 + 6x + 81x4 - 9x2- 6x + (3x-1)2(9x2 + 6x + 2) (3x-1)2 V× 9x2 + 6x + > x => x = Thoả mÃn Câu IV (4 điểm) Giả sử x0 thoả mÃn đ/k toán, ta cã: 15 x0 x0 15 x0 15 x0 x0 15 x0 1 5 => 120x0 - 56 25 + 30x0 vµ 25 + 30x0 < 120x0 - 16 => 90x0 - 81 vµ < 90x0 - 41 => 6(15x0 - 7) 39 vµ -1 < 6(15x0 - 7) 15 x0 39 15 x0 => vµ 30 30 15 x0 39 15 x0 Hay ; Vì nguyên => 30 30 5 15 x0 15 x0 7 = => x0 = vµ = => x0 = 15 5 ThuVienDeThi.com A F Qua M vÏ ®êng thẳng NK cắt BC DA E F Ta cã: D IN ME NB ; NIB = NMC = 1350 NM MC MC M N K IB => INB NMC => (1) NC Q QK MF KD ; QKD = KMA = 1350 MK MA MA B QD E C => QKD KMA => (2) KA IB QD Tõ (1) vµ (2) => => IB.KA = QD.NC ( §pcm) NC KA I ThuVienDeThi.com ... 6x + 2) (3x-1)2 V× 9x2 + 6x + > x => x = Thoả mÃn Câu IV (4 điểm) Giả sử x0 thoả mÃn đ/k toán, ta có: 15 x0 x0 15 x0 15 x0 x0 15 x0 1 5 => 120x0 - 56 25 + 30x0 vµ