ĐỀ-CƯƠNG-ÔN-THI-CUỐI-HỌC-KỲ-tkkd

ÔN TẬP CHƯƠNG MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Dạng 1: Phân phối nhị thức Phép thử mà ta quan tâm biến cố 𝐴 có xảy hay không, gọi phép thử Bernoulli Đặt 𝑋 = 𝑛ế𝑢 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố 𝐴 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑛ế𝑢 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố 𝐴 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝, 𝑃(𝐴̅) = 𝑞 = − 𝑝 𝑋 𝑃 1−𝑝 𝑝 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 𝒒𝒏 𝒌, 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝒏 𝑪𝒌𝒏 = 𝒏! 𝒌!(𝒏 𝒌)! Trong đó: 𝑞 = − 𝑝 Ta ký hiệu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)  Các đại lượng đặc trưng  Kỳ vọng: 𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑  Phương sai: V𝒂𝒓(𝑿) = 𝝈𝟐𝑿 = 𝒏𝒑𝒒  G𝐢á 𝐭𝐫ị 𝐭𝐢𝐧 𝐜𝐡ắ𝐜 𝐜𝐡ắ𝐧: 𝒏𝒑 − 𝒒 ≤ 𝑴𝒐𝒅𝑿 ≤ 𝒏𝒑 − 𝒒 + 𝟏 Ví dụ 1: Một thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có bốn lựa chọn, có lựa chọn Một sinh viên trả lời ngẫu nhiên tất câu Gọi 𝑋 số câu trả lời sinh viên a) Tính xác suất sinh viên trả câu b) Tính giá trị kỳ vọng, phương sai, Mod BNN 𝑋 a) Xác suất sinh viên trả lời câu: 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶 (0,25) (0,75) = 0,2816 b) Kỳ vọng: 𝐸𝑋 = 𝑛𝑝 = 10.0,25 = 2,5 Phương sai: 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 10.0,25.0,75 = 1,875 𝑀𝑜𝑑𝑋 thỏa điều kiện 𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑀𝑜𝑑𝑋 ≤ 𝑛𝑝 − 𝑞 + 1 thay số vào ta có: 2.5 − 0,75 ≤ 𝑀𝑜𝑑𝑋 ≤ 2.5 − 0,75 + ⇔ 1,75 ≤ 𝑀𝑜𝑑𝑋 ≤ 2,75 Vậy 𝑀𝑜𝑑𝑋 = Ví dụ 2: Có 9% SV đại học nợ thẻ tín dụng lớn 7000 USD (dữ liệu 2002) Chọn ngẫu nhiên 10 SV để vấn việc sử dụng thẻ tín dụng Giả sử 𝑋 BNN có phân phối nhị thức a) Tính xác suất có SV có mức du nợ thẻ tín dụng cao 7000 USD Cần tính 𝑃(𝑋 = 2) 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶 (0,09) (1 − 0,09) = 0,1714 b) Tính xác suất khơng có SV có mức du nợ thẻ tín dụng cao 7000 USD 𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶 (0,09) (1 − 0,09) = 0,3894 c) Tính xác suất để 3SV có mức du nợ thẻ tín dụng cao 7000 USD 𝑃(𝑋 ≥ 3) = − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2) = − 𝐶 (0,09) (1 − 0,09) − 𝐶 (0,09) (1 − 0,09) − 𝐶 (0,09) (1 − 0,09) = 0,054 Dạng 2: Phân phối chuẩn Các đại lượng đặc trưng  Kỳ vọng: 𝑬(𝑿) = 𝝁  Phương sai: 𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝝈𝟐𝑿 = 𝝈𝟐  Giá trị tin chắn: 𝑴𝒐𝒅𝑿 = 𝝁 Trong trường hợp đặc 𝜇 = 0; 𝜎 = 1, ta có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝝈√𝟐𝝅 𝒆 𝒙𝟐 𝟐, 𝒙∈ℝ Ta ký hiệu 𝑋~𝑁(0; 1)  Đặt 𝜑(𝑥) = 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) = √ ∫ 𝑒 𝑑𝑡 (hàm Laplace, bảng giá trị sẵn có)  Khi đó: 𝐹(𝑥) = + 𝜑(𝑥)  Nếu 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈𝟐 ) 𝝋(−𝒙) = −𝝋(𝒙), 𝝋(+∞) = 𝟎, 𝟓, 𝝋(−∞) = −𝟎, 𝟓  𝑷(𝜶 ≤ 𝒙 ≤ 𝜷) = 𝝋 𝜷 𝝁 𝝈 −𝝋 𝜶 𝝁 𝝈  𝑷(𝒙 > 𝜶) = 𝟎, 𝟓 − 𝝋 𝜶 𝝁  𝑷(𝒙 < 𝜷) = 𝟎, 𝟓 + 𝝋 𝜷 𝝁 𝝈 𝝈 Ví dụ : Biết chiều cao trẻ em Việt Nam tuân theo phân phối chuẩn N(1,3;0,01) a) Tìm xác suất để trẻ em VN có chiều cao nằm khoảng (1,2; 1,4) b) Tìm xác suất để trẻ em VN có chiều cao 1,6 mét c) Tìm xác suất để trẻ em VN có chiều cao 1,1 mét Giải a) Ta có 𝜇 = 1,3, 𝜎 = 0,01 nên 𝜇 = 1,3, 𝜎 = √0,01 = 0,1, 𝛽 = 1,4; 𝛼 = 1,2 Áp dụng công thức 𝑃(𝛼 < 𝑥 < 𝛽) = 𝜑 𝑃(1,2 < 𝑋 < 1,4) = 𝜑 −𝜑 1,4 − 1,3 1,2 − 1,3 −𝜑 0,1 0,1 = 𝜑(1) − 𝜑(−1) = 𝜑(1) + 𝜑(1) = 2𝜑(1) = 2𝜑(1) = 2.0,3413 = 0,6826 Vậy xác suất để trẻ em VN có chiều cao nằm khoảng (1,2; 1,4) 0,6826 b) Ta có 𝜇 = 1,3, 𝜎 = 0,01 nên 𝜇 = 1,3, 𝜎 = √0,01 = 0,1, 𝛼 = 1,6 Áp dụng công thức 𝑃(𝑥 > 𝛼) = 0,5 − 𝜑 = 𝑃(𝑥 > 1,6) = 0,5 − 𝜑 , , , = 0,5 − 𝜑(3) = 0,5 − 0,4987 = 0,0013 Vậy xác suất để trẻ em VN có chiều cao 1,6m 0,0013 c) Ta có 𝜇 = 1,3, 𝜎 = 0,01 nên 𝜇 = 1,3, 𝜎 = √0,01 = 0,1, 𝛽 = 1,1 Áp dụng công thức 𝑃(𝑥 < 𝛽) = 0,5 + 𝜑 = 𝑃(𝑥 < 1,1) = 0,5 + 𝜑 𝜑(−2) = 0,5 + 𝜑(2) = 0,5 + 0,4772 = 0,9772 Vậy xác suất để trẻ em VN có chiều cao 1,1m 0,9772 , , , = 0,5 − CHƯƠNG 4: TÓM TẮT DỮ LIỆU BẰNG ĐẠI LƯỢNG SỐ Dạng 1: Trung bình, trung vị (median) , yếu vị (mod)  Trung bình mẫu 𝑿= 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 𝒏 Trong đó: 𝑋 : trung bình mẫu 𝑥 : lượng biến thứ 𝑖 𝑛: tổng số liệu tổng mẫu  Trung bình số học có trọng số 𝑋 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑿= 𝒙𝟏 𝒏𝟏 + 𝒙𝟐 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒌 𝒏𝒌 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒌 Trong đó: 𝑋: trung bình mẫu 𝑥 : lượng biến thứ 𝑖 𝑛 : trọng số lượng biến thứ 𝑖  Đối với giá trị lượng biến liên tục 𝑋 [𝑥 ; 𝑥 ) [𝑥 ; 𝑥 ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 +𝑥 … 𝜃 𝜃 = 𝑥 +𝑥 𝜃 = 𝑿= [𝑥 ;𝑥 ) 𝑛 𝜃 = 𝑥 𝒏𝟏 𝜽𝟏 + 𝒏𝟐 𝜽𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒌 𝜽𝒌 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒌 Trong đó: 𝑋: trung bình mẫu [𝑥 ; 𝑥 ] 𝑛 +𝑥 𝜃 = 𝑥 +𝑥 𝜃 :trung bình khoảng 𝑖 𝑛 : trọng số khoảng thứ 𝑖 Ví dụ: Một nhà thực vật học đo chiều dài 96 thu bảng tần số sau: (đơn vị: mm) Tính chiều dài trung bình Lớp Tần số [5,45;5,85) [5,85;6,25) [6,25;6,65) 25 [6,65;7,05) 19 [7,05;7,45) 17 [7,45;7,85) [7,85;8,25) 13 Gía trị đại diện 𝜃 = 5,45 + 5,85 = 5,65 𝜃 = 5,85 + 6,25 = 6,05 𝜃 = 6,25 + 6,65 = 6,45 𝜃 = 6,65 + 7,05 = 6,85 𝜃 = 7,05 + 7,45 = 7,25 𝜃 = 7,45 + 7,85 = 7,65 𝜃 = 7,85 + 8,25 = 8,05 𝑁 = 96 Giá trị trung bình 𝑋= 5,65 × + 6,05 × + 6,45 × 25 + 6,85 × 19 + 7,25 × 17 + 7,65 × + 8,05 × 13 96 ≈ 6,91 (𝑚𝑚)  Yếu vị (Mod) Yếu vị biểu đại lượng biến gặp nhiều tổng thể Trường hợp biến rời rạc 𝑋 𝑥 𝑥 … 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 … 𝑛 𝑴𝒐𝒅𝑿 = 𝒙𝒊 ⇔ 𝒏𝒊 = 𝑴𝒂𝒙{𝒏𝟏 ; 𝒏𝟐 ; … ; 𝒏𝒌 } Trường hợp lượng biến liên tục Khảo sát giá trị lượng biến việc phân tổ giá trị có bảng số liệu có dạng 𝑋 [𝑥 ; 𝑥 ) [𝑥 ; 𝑥 ) 𝑛 𝑛 𝑛 [𝑥 ;𝑥 ) 𝑛 [𝑥 ; 𝑥 ] 𝑛 Xác định Mod qua hai bước Bước 1: Xác định tổ chứa Mod  khoảng cách Tổ Mod tổ có tần số lớn  khoảng cách khơng nhau.Tính 𝑀 = , 𝑀 lớn tổ chứa Mod, đó: 𝑛 tần số tổ thứ 𝑖 ℎ chiều dài tổ thứ 𝑖 Bước 2: Xác định giá trị Mod tổ  𝑴𝒐𝒅𝑿 = 𝑿𝑴𝟎 𝒎𝒊𝒏 + 𝒉𝑴𝟎 𝑴𝑴𝟎 𝑴𝑴𝟎 𝟏 𝑴𝑴𝟎 𝑴𝑴𝟎 𝟏 𝑴𝑴𝟎 𝑴𝑴𝟎 𝟏 Trong đó: 𝑋 ℎ : cận tổ chứa Mod : chiều dài tổ chứa Mod 𝑀 : mật độ tổ chứa Mod 𝑀 : mật độ tổ trước tổ chứa Mod 𝑀 : mật độ tổ sau tổ chứa Mod Ví dụ: Có tài liệu doanh thu 79 cửa hàng tháng 10 năm 2009 bảng Xác định Mod liệu: Doanh thu (triệu đồng) 200 - 400 Cửa hàng (𝒏𝒊 ) Khoảng cách tổ (𝒉𝒊 ) 200 400 - 500 12 100 500 - 600 25 100 600 - 800 25 200 800 - 1000 200 Tổng 79 800 Mật độ phân phối 𝑴𝒊 = 𝒏𝒊 𝒉𝒊 = 0,04 200 12 = 0,12 100 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 25 = 0,125 200 = 0,045 200 Tổ tổ chứa Mốt Vì trường hợp phân tổ khơng nên dùng mật độ tổ tìm mốt 𝑴𝑴𝟎 − 𝑴𝑴𝟎 𝑴𝒐𝒅𝑿 = 𝑿𝑴𝟎 𝒎𝒊𝒏 + 𝒉𝑴𝟎 𝑴𝑴𝟎 − 𝑴𝑴𝟎 𝑋 𝑴𝒐𝒅𝑿 = 𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟏 + 𝑴𝑴𝟎 − 𝑴𝑴𝟎 𝟏 = 500 ℎ = 100 𝑀 = 0,25 𝑀 = 0,12 𝑀 = 0,125 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟓𝟓𝟎, 𝟗𝟖𝟎 (𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟐) + (𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟐𝟓)  Số trung vị (Median, Me) Số trung vị đứng vị trí dãy số lượng biến xếp theo thứ tự tăng dần Trường hợp lượng biến rời rạc Khi lượng biến rời rạc ta xếp chúng theo thứ tự tăng dần đánh số cho lượng biến  Khi lượng biến số (𝒏) lẻ: 𝑴𝒆 = 𝒙𝒏 𝟏 𝟐  Khi lượng biến số (𝒏) chẵn: 𝑴𝒆 = 𝒙𝒏 𝒙𝒏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Ví dụ 1: điều tra số sinh viên lớp học phần thống kê kinh doanh trường đại học sau: 36; 43; 39; 38; 39; 37; 40; 42; 37; 44; 45 Giải: Ta xếp số sinh viên theo thứ tự tăng dần: 36; 37; 37; 38; 39; 39; 40; 42; 43; 44; 45 N=11 số lẻ nên 𝑀𝑒 = 𝑥 = 𝑥 = 39 Ví dụ 2: điều tra mẫu điểm 10 sinh viên lớp học phần thống kê kinh doanh trường Văn Lang sau: 4; 6; 5; 5; 8; 8; 6; 10; 10; xác định trung vị Giải: Ta xếp điểm theo thứ tự tăng dần sau: 4; 5; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 10; 10 N=10 số chẵn nên 𝑀𝑒 = = =7 Ví dụ 3: Bảng phân phối tần số mẫu liệu sau Tìm Me Điểm (x) 10 Tần số (n) 3 3 2 𝑁 = 20 Trường hợp lượng biến liên tục Khảo sát lượng biến việc phân tổ giá trị t có bảng số liệu dạng 𝑋 [𝑥 ; 𝑥 ) [𝑥 ; 𝑥 ) [𝑥 ; 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Việc xác định tổ chứa trung vị qua hai bước: Bước 1: xác định tổ chứa trung vị  Nếu 𝑛 chẵn, tổ chứa trung vị tổ chứa giá trị  Nếu 𝑛 lẻ, tổ chứa trung vị tổ chứa giá trị Bước 2: Xác định giá trị trung vị tổ 𝑀𝑒 = 𝑋 + Trong đó: 𝑋 : cận tổ chứa trung vị ℎ : chiều dài tổ chứa trung vị 𝑛 : tần số tổ chứa trung vị 𝑆: tổng số lượng quan sát ℎ 𝑛 𝑆 −𝑆 ] 𝑆 : tổng tần số tất tổ trước tổ chứa trung vị Ví dụ: Có tài liệu doanh thu 79 cửa hàng tháng 10 năm 2009 bảng Xác định trung vị liệu Doanh thu (triệu đồng) Cửa hàng (𝒏𝒊 ) Tần số cộng dồn 200 – 400 8 400 – 500 12 8+12 = 20 500 - 600 25 8+12+25 = 45 600 - 800 25 8+12+25+25 =70 800 - 1000 Tổng S= 79 8+12+25+25+9 = 79 𝑛 = 79 nên tổ chứa trung vị chứa giá trị thứ = 40 20