Chuyên đề về Một số phương pháp giải hệ phương trình10662

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ Phầ n I : PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” ĐẶ T VẤ N ĐỀ Hệ phư ng trình mả ng kiế n thứ c quan trọ ng chư ng trình Tốn họ c phổ thơng, thư ng gặ p kì thi tuyể n sinh vào lớ p 10, tuyể n sinh Đạ i họ c, Cao đẳ ng, thi họ c sinh giỏ i Mặ c dù họ c sinh đư ợ c cọ xát phầ n nhiề u song phầ n lớ n em vẫ n thư ng lúng túng trình tìm cách giả i Nguyên nhân vì: Thứ nhấ t, hệ phư ng trình mả ng kiế n thứ c phong phú khó, địi hỏ i ngư i họ c phả i có tư sâu sắ c, có kế t hợ p nhiề u mả ng kiế n thứ c khác nhau, có nhìn nhậ n nhiề u phư ng diệ n Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phầ n n giả n, tài liệ u tham khả o đề cậ p đế n phầ n nhiề u song phân loạ i chư a dự a gố c củ a toán nên họ c, họ c sinh chư a có liên kế t, đị nh hình chư a có nhìn tổ ng qt hệ phư ng trình Thứ ba, đa số họ c sinh đề u họ c mộ t cách máy móc, chư a có thói quen tổ ng qt tốn tìm tốn xuấ t phát, chư a biế t đư ợ c toán đề thi đâu mà có nên ngư i đề cầ n thay đổ i mộ t chút gây khó khăn cho em (dẫ n ng gầ n nhấ t đề thi thử lầ n Trư ng THPT Chuyên –Đạ i Họ c Vinh năm 2014 ) Chuyên đề củ a tơi mặ t hình thứ c khơng mớ i Cái mớ i phân loạ i có tính chấ t xun suố t chư ng trình ng vẫ n bám vào kĩ thuậ t quen thuộ c, phù hợ p vớ i tư củ a họ c sinh Thêm vào đó, vớ i mỗ i tốn đề u có phân tích lơgic, có tổ ng quát điề u đặ c biệ t cho họ c sinh tìm gố c củ a tốn, tốn từ đâu mà có, ngư i ta tạ o chúng bằ ng cách Thông qua việ c làm thư ng xuyên này, họ c sinh dầ n dầ n hình thành đư ợ c phư ng pháp, rèn luyệ n đư ợ c kỹ năng, có tư sáng tạ o, có lự c làm tốn tạ o toán mớ i Họ c sinh thư ng hiể u sâu ng thú họ c phầ n Mặ c dù có đầ u tư song điề u kiệ n thờ i gian hạ n chế nên phân loạ i chư a đư ợ c triệ t để mang tính chấ t tư ng đố i, rấ t mong đư ợ c bạ n bè đồ ng nghiệ p góp ý kiế n nh sử a để chuyên đề đư ợ c hoàn thiệ n hơ n Tơi xin chân thành m n! GV:Lê Đình Tầ n DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Phầ n II GIẢ I QUYẾ T VẤ N ĐỀ A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦ U x 4x y y (1) x 2 x( y 1) y y 0(2) Giả i hệ phư ng trình : Tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A;A1 năm 2013 Giả i Cách : ( Đư a đố i xứ ng loạ i ) Đk : x Xét (2) : x2 x( y 1) y2 6y ( y 1) y2 6y 4y 'x y Xét (1) : Đặ t t x ( t ) : x t Pt(1) trở thành : t t y y (*) Xét hàm số f ( z) z z f '( z ) 2z3 z4 0, z Nên f(z) đồ ng biế n vớ i z (*) t y y x Khi (2) trở thành : y y ( y 1)( y y5 y4 y3 3y2 Vậ y nghiệ m củ a phư ng trình : 3y x y 4) x , y 2 y y 4y y y y 0 (vì y>0) Cách 2: ( đư a hệ đố i xứ ng loạ i 3) Đk : x (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1) y (*) Vậ y : y (1) x 4x ( y 1) ( y 1) (**) ) Đặ t f (t ) x x f đồ ng biế n 1, 4 Nên (**) f ( x) f ( y 1) x y Thế vào (*) ta có : y Vì g ( y ) y y 2y ( y4 y)2 y8 y đồ ng biế n 0, y5 y2 y y y4 y ) , mà g(1)=0 nên y y4 y =4 Dễ dàng suy : (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách ( phư ng pháp đánh giá kế t hợ p sử dụ ng nhân liên hợ p ) Đk : x (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1)2 y (*) Vậ y : y Xét x y 0( y 0) x y=0 thỏ a mãn hệ phư ng trình hệ nhậ n nghiệ m Xét x GV:Lê Đình Tầ n y x y 0 , ta có DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ (1) y4 ( x y4 x y4 x y4 y y )( x ( x y2 ) y2 ) (do y>0) Thế vào (*) ta có : y (Vì g ( y ) y) x x (4 x 2) x y4 ( x y)( x y 1) (x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” y 2y ( y4 y)2 y8 y5 y2 y đồ ng biế n 0, y y y4 y u x ,(u , v v y4 u 0) x Xét hàm số f (t ) t t , t Ta có : f(t) đồ ng biế n 0, ( làm tư ng tự cách ) Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) ) u 0, t v u v y (1) y (*) Vậ y : y u ) ),mà g(1)=0 nên y y y y Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách : ( Đư a hệ đố i xứ ng loạ i 3) Đk : x Từ (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1)2 Đặ t y y 2 v v Cách : ( Phư ng pháp ) Đk : x Từ (2) ta đư ợ c y ( x y 1) y Vậ y (x;y) =(1;0) nghiệ m củ a hệ phư ng trình y y , thay vào(1)ta *Vớ i : x đư ợ c: y y y , ta có x y *Vớ i : x y y ( y y (4 y y t4 y f(t) đồ ng biế n 0, y y y 1; x y y Xét hàm số : f (t ) Từ (3) suy 1 y y y y 0 ) , suy x=1 thỏ a mãn hệ y )4 y y4 y y y4 y y (3) Ta có : f '(t ) t, t 4t t4 ) y y y (4) t8 t2 2t Đặ t t y (4) GV:Lê Đình Tầ n t(t 1)(t6 t5 2t t3 t 2) DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ t t y y x x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” (do t t5 2t t3 t 0) 0, t Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách : ( Sử dụ ng nhân liên hợ p ) Đk : x Từ (2) ta đư ợ c y ( x y 1) y Đặ t t t x , suy x t Phư ng trình (1) trở thành : t t t4 t t4 (2) Từ (3) ( y4 y)2 y y 1) y4 y 4y Xét hàm số : g ( y ) g '( y ) 7y y (t 8y t y y) y , nên y y (t y )(t t4 (t y )(t t4 y2 ) y4 y2 ) y4 (3) 2 x Thế vào (4) ta có : y x y7 y4 y g ( y) y4 (x t y4 t y4 y7 y4 0, y y , nên g(y) đồ ng biế n 0, Mà g(1) =0 nên y=1 nghiệ m nhấ t củ a g(y) Vớ i y=1 Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Qua toán mở đầ u,ta thấ y có nhiề u cách giả i khác để phư ng trình Tuy nhiên cách đề u dự a sở phá bỏ thứ c x theo y đư a hệ phư ng trình n giả n hơ n mà ta biế đây, tơi xin trình bày mộ t số phư ng pháp cụ thể để giả i hệ Phư ) x=2 giả i mộ t hệ rút mộ t biể u t cách giả i.Sau ng trình B MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH Phư ng pháp * Cơ sở phư ng pháp Ta rút mộ t ẩ n (hay mộ t biể u thứ c) từ mộ t phư ng trình hoặ c kế t hợ p hai phư ng trình hệ vào mộ t phư ng trình cịn lạ i.Mụ c đích củ a việ c làm giả m số ẩ n Tùy thuộ c vào đặ c điể m củ a tốn mà ta có nhữ ng cách biế n đổ i phù hợ p * Nhậ n ng -Phư ng pháp thư ng hay sử dụ ng hệ có mộ t phư ng trình bậ c nhấ t,bậ c hai đố i vớ i mộ t ẩ n (có thể coi biế n lạ i tham số ) -Vớ i hai số thự c bấ t kỳ x ;ta ln có y=tx vớ i cách làm ta chuyể n phư ng trình ẩ n t - Phư ng trình f(x;y)=f(y;x) ln có mộ t cặ p nghiệ m x=y phân tích phư ng trình cho ng (x-y).g(x;y)=0 - Trong hệ phư ng trình biể u thứ c u(x) xuấ t hiệ n hai phư ng trình ta đặ t u(x)=t để làm n giả n hình thứ c tốn GV:Lê Đình Tầ n DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x Ví dụ Giả i hệ pt: PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” 27 x y (x 2) y Đề thi Chọ n Họ c sinh giỏ i Tĩnh lớ p 10 _GD H Tĩnh y 27 x (1) x Giả i hệ pt: (x 2)4 y (x 2)2 Ta có: (2) x (x 2) x y Điề u kiệ n: (3) y , kế t hợ p vớ i (1), ta đư ợ c: 27 x x x3 x 4x 31 (4) Đặ t x a vớ i a x a 2 , thay x theo a vào vế phả i củ a (4) rút gọ n, ta đư ợ c: a6 5a4 12a2 a 19 (a 1)(a5 a4 6a3 6a2 18a 19) a (vì a5 a4 6a3 6a2 18a 19 a ) Khi a = 1, ta đư ợ c x = y = (thỏ a mãn điề u kiệ n (3)) Vậ y hệ phư ng trình cho có nghiệ m (3; 2) Nhậ n xét Quan sát phư ng trình (2) ta thấ y (x 2)4 y hay (x-2)4=y-1có thể nghỉ đế n việ c đặ t ẩ n phụ chuyể n hệ mộ t hệ đạ i số có cách giả i x x3 y x y 2 x (1) Ví dụ Giả i hệ phư ng trình x xy x (2) Nhậ n xét Phư ng trình (2) bậ c nhấ t đố i vớ i y nên ta dùng phép Lờ i giả i x = không thỏ a mãn (2) x x2 vào (1) ta đư ợ c x 0, (2) y 2x x4 x x2 2x x3 x x2 x (6 x x ) 6x x2 2x 2x (6 x x ) 2x Do x nên hệ phư ng trình có nghiệ m nhấ t x( x 4)3 4; x x 17 Chú ý + Hệ phư ng trình theo phư ng pháp sau: x xy Hệ x xy 2x x2 6x x2 6x 2 2x x2 6x + Phư ng pháp thư ng công đoạ n cuố i ta sử dụ ng phư ng pháp khác Ví dụ Thi thử lầ n khố i B năm 2014 THPT NVX Bắ c Ninh GV:Lê Đình Tầ n x2 xy DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x3 Giả i hệ phư ng trình : x 2x2 y y (1) IR ) ( x, y x2 12 x 12 y 3y x (2) Nhậ n xét :Rỏ ràng ta biế n đổ i phư ng trình (2),vấ n đề chổ biế n đổ i phư ng trình (1) ,để ý thấ y hệ số 2:1=2:1 vậ y phư ng trình có nghiệ m x=y Lờ i giả i Đk: x 0; y Phư ng trình (1) tư ng đư ng vớ i x(2 x 1) y (2 x 1) ( x y )(2 x 1) x y ( Vì x 0, x IR ) Thế vào phư ng trình (2) ta có x 12 x 12 x x2 Đặ t a x2 1)2 3(2 x x 3a a2 6ax Khi a=x , ta có x x 8x2 x2 x 2a 6ax x 3a 3x a a x x x( L) a x y x 1) , ta có phư ng trình 1, a 9x2 3x (2 x 3x 1 x 2 2( L) 2 Thử lạ i thấ y thỏ a mãn Vậ y hệ phư ng trình có nghiệ m ( x; y ) (3 2;3 2) Ví dụ Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐT – HẢ I DƯ Ơ NG Giả i hệ phư ng trình x y 5( x y 3)(1) (2 x 1) (2 y 1) 18(2) Nhậ n xét :Phư ng trình mộ t phư ng trình đố i xứ ng theo x y chư a thể khẳ ng đinh có hay khơng nghiệ m x=y ,tuy nhiên để ý phư ng trình (1) có a biể u thứ c độ c lậ p x y nên từ (2) rút x y x y vào phư ng trình (1) Lờ i giả i Điề u kiệ n : x 0;( y 1) 0; x y Từ phư ng trình (2) x y x y (3) 5( x y 1) Thế (3) vào (1) ta có : x y (x (x 2)( y 1) 2) 2x y (x 2)( y 1) (x 9( y 1) 2)( y 1) 2( x 5( x y 1) 2) 2( y 1) (3) Ta thấ y y=1 không phả i nghiệ m củ a phư ng trình : (3) GV:Lê Đình Tầ n x 2 y x y x y x y DeThiMau.vn ( L) THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x y Vớ i PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x=4y-6 thay vào phư ng trình (2) rút gọ n ta đư ợ c : y x (2) 17 y 53 y 38 19 26 (t / m) y x 17 17 26 19 Vậ y hệ có nghiệ m (x;y) (2;2) ; ( ; ) 17 17 y x 2 y x (1) Ví dụ Giả i hệ phư ng trình x x y 16 x 12 (2) Nhậ n xét : phư ng trình (1) mộ t phư ng trình bậ c theo y nghỉ đế n việ c giả i phư ng trình bậ c hai ẩ n y hy vọ ng đư ợ c nghiệ m đẹ p Điề u kiệ n : x 4, y 16 Giả i phư ng trình (2) theo ẩ n y ta đư ợ c y 2( L), y x Thay vào (1) ta có x x 16 x x 12 x x x x x x 12 Giả i phư ng trình ta đư ợ c x=5 Vậ y hệ cho có nghiệ m (5,25) Nhậ n xét: Hệ phư ng trình cho ta mộ t lờ i giả i đẹ p ,tạ o m ng cho ngư i viế t chuyên đề m thấ y rấ t thiế u sót nế u không tiế p tụ c tạ o nên mộ t hệ phứ c tạ p hơ n Ví dụ 3x x Giả i hệ phư ng trình y2 2y y x2 3x y 3x y Nhậ n xét : Rỏ ràng muố n hay khơng biế n đổ i phư ng trình ?phân tích ng tích ? rấ t khó ? để ý thấ y rằ ng phư ng trình phư ng trình bậ c hai theo y vậ y ta cịn chờ nữ a ??? ĐK y 2 y Pt y x 3x y 3x x 3x x2 3x Suy ra: 3x y 3x y x2 Vớ i y 3x Đk : 5x2 3x VP x2 x 1.VT trở thành : 4 x Áp dụ ng BĐT Cauchy ta có : 1.1.1 x x Từ (3) ta có : x 3x x 4x 12 x x4 x2 3x 33 4 VT vô nghiệ m Vớ i y 3x GV:Lê Đình Tầ n x x4 4 4 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x x x2 2x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Thử lạ i x =1 thõa mãn (3) vớ i x y vậ y hệ cho có nghiệ m : (1;0) Nhậ n xét Lợ i củ a phư ng trình (3) nhìn rỏ bấ t đẳ ng thứ c cauchy Thư ng gặ p mộ t phư ng trình cuố i a sau ta hay vậ n dụ ng phép nhân liên hợ p Giả i hệ phư ng trình Ví dụ (x y2 y )( x y2 x y2 3y4 (1) y (2) y) Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT Chuyên ĐH Vinh Nhậ n xét : Để ý phư ng trình đầ u mộ t phư ng trình bậ c theo x ,bậ c hai theo y2,và bậ c hai theo biế n ( x+y ),như vậ y bạ n đọ c giả i theo ba cách ĐK: x y x x Coi phư ng trình (1) phư ng trình bậ c hai theo ẩ n x ta có TH1: Vớ i x =-y2-y thay vào phư ng trình (2) ta có : hệ có nghiệ m : 13; 13 13; y2 y y2 y y2 y Trư ng hợ p 13 2 TH2: Vớ i x=-3y -y Thay vào phư ng trình (2) ta có :y=-1 y y y2 y ,vớ i mọ i x thuộ c 1 ; Trư ng hợ p hệ có nghiệ m : 2; Vậ y hệ cho có nghiệ m Ví dụ Giả i hệ phư ng trình : x x y 4(1) ( y 1) x ( y 2) xy 1(2) Nhậ n xét: Dĩ nhiên ta biế n đổ i phư ng trình (1) ng nế u xét tính cơng bằ ng củ a phư ng trình (2) mộ t phư ng trình bậ c theo y có hơ i phứ c tạ p ng không phả i Lờ i giả i Điề u kiệ n : x 1, y Từ (2) x4 ( y 1) x y2 Xét (2 x (4 x2 y 2y (2 x x ) Vậ y PT(2) x3 ( y 4( x xy x3 x y x3 ) y 2) x3 x2 2x ) x6 x x3 y x y x3 xy (4 2x4 ) ( x3 x6 4x 2) x x3 x4 ) x4 x3 Vớ i y = x - thay vào (1) ta đư ợ c : (1) x x GV:Lê Đình Tầ n x x y DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x3 x Vớ i y x3 thay vào (1) , ta đư ợ c : (1) x3 x 1 x x 1 (x x 1 hay x x x2 x x x2 x 1 2) 2x x3 2x (vô nghiệ m) 3 Do x=2 y Vậ y nghiệ m (x;y) củ a hệ (I) : (2;8), (5;3) Ví dụ Thi thử Đạ i họ c lầ n năm 2014 THPT Ngô Gia Tự -Bắ c Ninh Giả i hệ phư ng trình x2 y2 y( y 2( x y) x) x 7(1) 10(2) Nhậ n xét : Cả hai phư ng trình củ a hệ đề u coi phư ng trình bậ c hai theo x hoặ c y,tuy nhiên khơng đư ợ c thuậ n lợ i ví dụ Để ý mộ t tý ta thấ y yế u tố thiế u phư ng trình (1) tích xy ,và phư ng trình (2) nế u rút y vào (1) ta đáp ứ ng đư ợ c điề u Lờ i giả i Rút y từ phư ng trình (2) vào (1) ta đư ợ c x2 2( y 2) x 2y x x 2y TH1: thay x=-1 vào (1) ta đư ợ c y 2 y y y TH2: Thay x=-2y-3 vào (1) ta đư ợ c y2 10 y y y 5 x x 6 Vậ y hệ phư ng trình có nghiêm : (-1;2) (-1;-4) ( ; )( ; ) Ví dụ 10 Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐTH – HẢ I DƯ Ơ NG Giả i hệ phư ng trình x3 y3 x 4x 3y 2 y (1) 4(2) Nhậ n xét :Thông thư ng ta vẩ n hay x hay y hoặ c mộ t biể u thứ c độ c lậ p ,và đơi ta mộ t hằ ng số nhấ t đố i vớ i hệ có đủ bậ c Lờ i giả i Phư ng trình (1) 2( x3 y ) 4(2 x y ) Từ phư ng trình (2) thay x y vào phư ng trình rút gọ n ta đư ợ c GV:Lê Đình Tầ n DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x y xy 5y PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” y x y x 5y x3 x x2 TH1 : y=0 thay vào hệ ta đư ợ c nghiệ m x (x;y)=( 2;0 ) x3 x x2 y=-x thay vào hệ ta đư ợ c TH2: x=-y x Hệ có nghiệ m (x;y) = (1;-1); (-1;1) TH3: x=-5y thay vào hệ ta có nghiệ m (x;y) = ( 5 ; );( ; ) 7 7 Vậ y hệ cho có nghiệ m Tóm lạ i Phư ng pháp “ ” khơng có mộ t đư ng lố i giả i tổ ng quát mộ t số phư ng pháp khác,tuy nhiên để tạ o cho bạ n đọ c mộ t lố i mòn cố lờ i giả i củ a hệ ta xét hai ví dụ khó sau Ví dụ 11.Giả i hệ phư ng trình : x2 (x y )(4 y 2 (1) x y 2 xy ) y (2) Nhậ n xét: phư ng trình (2) có vế trái bậ c Vế phả i gồ m bậ c ngoặ c cao nhấ t bậ c ng không phả i hạ ng tử có bậ c Vậ y ta tiế n hành hằ ng số bằ ng biể u thứ c từ (1) xuố ng dư i để tạ o nên thuầ n nhấ t Lờ i giả i Thế x y ( x y ) Vì không 2( x y ) Đơ n giả n muố n tấ t đề u bậ c Thay tấ t vào (2) ta đư ợ c (x y) ( x2 y )2 x2 y2 xy ( x y2 ) y5 x5 y5 y5 x y Đế n kế t hợ p vớ i (1) ta dễ dàng giả i (x;y) =(1;1) (-1;-1) Ví dụ 12 Chọ n độ i tuyể n HSG lớ p 11 Sở GD & ĐT Nam Đị nh năm 2013 xy Giả i hệ phư ng trình : y2 y x2 2( x 1) x 2x ( vớ i x;y 2x2 IR ) 4x Nhậ n xét :Để ý thấ y phư ng trình thứ nhấ t hệ có a biế n y độ c lậ p, nên không cầ n suy nghỉ ta rút y từ phư ng trình vào phư ng trình thứ hai củ a hệ ,rồ i biế n đổ i theo biể u thứ c đư ợ c phư ng trình đố i xứ ng f(x+1)=f(-x) Lờ i giả i ĐKXĐ : x IR; y IR y x2 Ta có xy x2 y ( x2 x) x x2 ( x 1) GV:Lê Đình Tầ n 2 x) y x2 x x (1) Thế vào phư ng trình thứ hai hệ , ta có: 2( x 1) x 2 y( x2 2x ( x 1) 2x ( x 1) x 2 2x2 2x ( x) 4x ( x) 10 DeThiMau.vn (*) THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Xét hàm số f (t ) t (1 t 2) vớ i t IR Ta có f '(t ) t2 t2 t2 0, t IR f(t) đồ ng biế n IR Mặ t khác , phư ng trình (*) có ng f(x+1) = f(-x) x+1 = -x x vào (1) ta tìm đư ợ c y = Vậ y hệ cho có nghiệ m Thay x x y Phư ng pháp cộ ng đạ i số * Cơ sở phư ng pháp Kế t hợ p phư ng trình hệ bằ ng phép toán: cộ ng, trừ , nhân, chia ta thu đư ợ c phư ng trình hệ mà việ c giả i phư ng trình khả thi hoặ c có lợ i cho bư c sau * Nhậ n ng Phư ng pháp thư ng dùng cho hệ đố i xứ ng loạ i II, hệ phư ng trình có vế trái đẳ ng cấ p bậ c k y2 3y x2 Ví dụ 13.Giả i hệ phư ng trình x2 3x y2 Nhậ n xét : mộ t hệ phư ng trình đố i xứ ng loạ i II,đã có cách giả i tổ ng quát Lờ i giả i ĐK: xy Hệ 3x y y2 (1) 3y2 x x2 (2) x2 3xy ( x x y xy TH x y2 y y Trừ vế hai phư ng trình ta đư ợ c y) ( x y )( x y) x vào (1) ta đư ợ c x3 x2 y2 y , 3x x2 xy x y Do TH khơng xả y Vậ y hệ phư ng trình có nghiệ m nhấ t (1 ; 1) TH xy x y Từ y Ví dụ 14.Giả i hệ phư ng trình x y xy x y x x2 y2 x x y (1) y x (2) x 0 Lờ i giả i ĐK: x ,y Trừ vế hai pt ta đư ợ c GV:Lê Đình Tầ n x y y 11 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” 1 2 y x y x y x y x 0T 1 xy 1 xy x y 2 xy y x y x H y x Đặ t t ,t x t2 x vào (1) ta đư ợ c y x x ta đư ợ c t t t2 t 4t t 2 t2 2t t x y TH vô nghiệ m ĐK 1 xy 2 y x Vậ y hệ có nghiệ m nhấ t (1; 1) x xy y 38 Ví dụ 15 Giả i hệ phư ng trình x xy y 15 Nhậ n xét Đây hệ phư ng trình có vế trái đẳ ng cấ p bậ c hai nên ta cân bằ ng số hạ ng tự thự c hiệ n phép trừ vế Lờ i giả i 45 x 75 xy 60 y 570 145 x 417 xy 54 y Hệ 2 190 x 342 xy 114 y 570 145 Giả i phư ng trình ta đư ợ c y x, y x vào mộ t hai phư ng 18 trình củ a hệ ta thu đư ợ c kế t * Chú ý - Cách giả i áp dụ ng cho pt có vế trái đẳ ng cấ p bậ c cao hơ n - Cách giả i ng tỏ rằ ng hệ phư ng trình hồn tồn giả i đư ợ c bằ ng cách đặ t y tx, x hoặ c đặ t x ty, y TH xy x y Ví dụ 16.Tìm giá trị m để hệ 3x 2 xy y 11 có nghiệ m x 2 xy y 17 m Nhậ n xét Để có kế t nhanh hơ n ta đặ t y tx, x Lờ i giả i y 11 y 11 TH x m 17 y2 y m 17 m 17 Vậ y hệ có nghiệ m x 11 m 16 GV:Lê Đình Tầ n 12 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ TH x , Đặ t y tx Hệ (3 2t t ) x 11 (1 2t 3t ) x 17 m PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x 2tx t x 11 x2 2tx 3t x 17 m 11 x2 2t t 11 (1 2t 3t ) 17 m 2t t 11 2t t (m 16)t 2(m 6)t 3m 40 (*) 11 Ta có pt (*) có nghiệ m Điề u xả y 0, t nên hệ có nghiệ m 2t t m 16 hoặ c m 16, ' (m 6) (m 16)(3m 40) x2 363 Kế t luậ n m 363 363 m 363 Ví dụ 17.Tìm giá trị củ a m để hệ 5x2 xy y2 x2 xy y2 m (I) có nghiệ m m Lờ i giả i 5x2 Nhân vế củ a bpt thứ hai vớ i -3 ta đư ợ c x2 xy y2 xy y m Cộ ng vế hai bấ t phư ng trình chiề u ta đư ợ c: 1 x xy y ( x y)2 m m 1 Điề u kiệ n cầ n để hệ bpt có nghiệ m m m x 2 xy y Điề u kiệ n đủ Vớ i m Xét hệ pt (II) x 2 xy y Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệ m củ a hệ (II) Khi x02 x0 y0 y02 x02 x0 y0 y02 x02 x0 y0 y02 m m Vậ y mọ i nghiệ m củ a hệ (II) đề u nghiệ m củ a hệ (I) x 2 xy y x xy y (II) 2 x xy y GV:Lê Đình Tầ n x02 x0 y0 y02 13 DeThiMau.vn x 2y x 2y THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Thay x y vào pt thứ củ a hệ (II) ta đư ợ c y2 y2 y2 y2 y x 5 Hệ (II) có nghiệ m, hệ (I) có nghiệ m Vậ y m 3x x y Ví dụ 18.Giả i hệ phư ng trình 7y x y Trích từ đề thi chọ n Họ c sinh giỏ i Quố c Gia năm 2006 Nhậ n xét Các biể u thứ c ngoặ c có ng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhấ t cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho y tấ t nhiên trư c chia cầ n kiể m tra điề u kiệ n Lờ i giả i Cách ĐK: x 0, y 0, x y Dễ thấ y x hoặ c y không thỏ a mãn hệ pt Vậ y x 0, y Hệ 1 x y 3x y 7y x 3x 2 x 7y x y 7y 2 3x y Nhân theo vế hai pt hệ ta đư ợ c 3x 7y 38 xy 24 x 3x 7y 2 7y 3x 2 7y 3x 2 7y 3x 2 7y (1) x y x y y 6x y x TH y x vào pt (1) ta đư ợ c 3x 11 22 y x 21 21x TH y x không xả y x 0, y 11 22 ; Vậ y hệ pt có nghiệ m nhấ t x; y 21 Cách :Cách vậ n dụ ng “Phứ c hóa ’’mộ t phư ng pháp mớ i Mộ t cách khác sử dụ ng phứ c hóa Nó mớ i xuấ t hiệ n gầ n Đặ t x a 0, y b Ta có hệ mớ i sau GV:Lê Đình Tầ n 14 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ a b PT(1) +iPT(2) (a PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” a a b b a b a bi a b2 bi ) i Đặ t z= a + bi phư ng trình trở thành z z i z a, b Vậ y hệ cho có nghiệ m (x;y) = Chú ý Hệ phư ng trình có ng x, y 11 22 ; 21 a b m m n 2a Trong trư ng hợ p a b n m n 2b này, ng thứ nhấ t có vế phả i a thứ c nên ta chuyể n ng thứ hai sau nhân vế để mấ t thứ c a n m px qy bx Tổ ng quát ta có hệ sau: c n m px qy dy x2 ( y z )2 (3 x x 1) y z Ví dụ 19.Giả i hệ phư ng trình y ( z x) (4 y y 1) z x z2 (x y)2 (5 z z 1) x y Nhậ n xét Nế u chia hai vế củ a mỗ i phư ng trình cho x y z ta đư ợ c hệ mớ i n giả n hơ n Lờ i giả i y z TH xyz Nế u x hệ hoặ c y2 z2 z t, t y t, t Tư ng tự vớ i y z ta thu đư ợ c nghiệ m (0;0; t ), (0; t ;0), (t ;0;0), t TH xyz Chia hai vế củ a mỗ i pt hệ cho x y z ta đư ợ c z y x z y x x x2 (1) y y2 (2) Cộ ng vế phư ng trình củ a hệ ta đư ợ c z z2 (3) 2 GV:Lê Đình Tầ n 15 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ z y x y x z z 2 x y x y z PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x 12 12 y z x2 x x y y z z y2 z2 (4) (5) 1 9 13 x Từ (4) (1) ta có x x x x 13 Tứ (4) (2) ta có y Từ (4) (3) ta có z 11 5 Tư ng tự , từ (5), (1), (2), (3) ta có x ,y 1, z Vậ y hệ có tậ p nghiệ m 9 5 S = (t ;0;0); (0; t ;0); (0;0; t ); ; ; ; ; 1; ,t 13 11 Nhậ n xét Qua ví dụ ta thấ y: từ mộ t hệ phư ng trình n giả n, bằ ng cách đổ i biế n số (ở phép thay nghị ch đả o) ta thu đư ợ c mộ t hệ phứ c tạ p Vậ y đố i vớ i mộ t hệ phứ c tạ p ta nghĩ đế n phép đặ t ẩ n phụ để hệ trở nên n giả n Phư ng pháp đặ t ẩ n phụ * Cơ sở phư ng pháp Khơng có mộ t lố i mòn ,tuy nhiên điể m quan trọ ng nhấ t vậ n dụ ng phư ng pháp phát hiệ n ẩ n phụ u=f(x;y),v=g(x;y) có từ ng phư ng trình hoặ c xuấ t hiệ n sau mộ t vài phép biế n đổ i hằ ng đẳ ng thứ c bả n,chuyể n vế ,cộ ng,trừ ,nhân ,Chia cho mộ t biể u thứ c khác 0,hay mộ t phép đồ ng nhấ t … * Mụ c đích Tạ o mộ t hệ phư ng trình mớ i n giả n hơ n hay hệ phư ng trình có phư ng pháp giả i -Phư ng pháp -Phư ng pháp cộ ng đạ i số -Hệ phư ng trình đố i xứ ng loạ i I,loạ i II ,hệ đẳ ng cấ p … Chú ý :Khi đặ t ẩ n phụ cầ n ý đế n điề u kiệ n x y x y 18 Ví dụ 20 Giả i hệ phư ng trình xy ( x 1)( y 1) 72 Nhậ n xét Đây hệ đố i xứ ng loạ i I Hư ng Biể u diễ n từ ng pt theo tổ ng x y tích xy Hư ng Biể u diễ n từ ng pt theo x Lờ i giả i GV:Lê Đình Tầ n x y 16 DeThiMau.vn y Rõ ràng hư ng tố t hơ n THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ Hệ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x x a, a x) ( y y ) 18 Đặ t ta đư ợ c x)( y y ) 72 y y b, b a 6, b 12 a 12, b ( x2 ( x2 a b 18 ab 72 a TH b 12 x2 x y2 y 12 x 2, x y 3, y TH Đổ i vai trò củ a a b ta đư ợ c x 3, x y 2, y Vậ y tậ p nghiệ m củ a hệ S = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3) Nhậ n xét Bài toán đư ợ c hình thành theo cách sau a b 18 Xuấ t phát từ hệ phư ng trình n giả n (I) ab 72 1) Thay a x2 x2 x (2) 3) Thay a y vào hệ (I) ta đư ợ c hệ x y x y 18 ví dụ 11 xy ( x 1)( y 1) 72 (1) 2) Thay a y2 x, b xy, b y2 18 y xy ( x x2 xy vào hệ (I) ta đư ợ c hệ y ) 72 x, b x y vào hệ (I) ta đư ợ c hệ x x y 18 (3) x( x 2)(2 x y ) 72 1 ,b y 4) Thay a x vào hệ (I) ta đư ợ c hệ x y ( x y ) xy x y 18 xy (4) ( x 1)( y 1) 72 xy 5) Thay a x2 xy, b y2 xy vào hệ (I) ta đư ợ c hệ x y xy 18 … (5) xy ( x y )( y x) 72 - Như vậ y, vớ i hệ xuấ t (I), bằ ng cách thay biế n ta thu đư ợ c rấ t nhiề u hệ pt mớ i a b - Thay hệ xuấ t phát (I) bằ ng hệ xuấ t phát (II) làm a b 21 tư ng tự ta lạ i thu đư ợ c hệ mớ i khác Chẳ ng hạ n 6) Thay a x y , b xy vào hệ (II) ta đư ợ c hệ GV:Lê Đình Tầ n 17 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x y xy (6) x y x y 21 1 ,b y 7) Thay a x vào hệ (II) ta đư ợ c hệ x y 1 x y x y (7) 1 x2 y 21 x y2 x ,b 8) Thay a x vào hệ (II) ta đư ợ c hệ y y xy x y (8) ( xy 1) x 21 y 9) Thay a x y, b vào hệ (II) ta đư ợ c hệ y ( x y) y y (9) ( x y 2) y 21 y Thay a x 2 x, b y 2 x vào hệ (II) ta đư ợ c hệ x2 y 4x (10) x y 4 x( x y ) 21 Như vậ y, nế u biế t cách tạ o tốn nghĩ cách giả i củ a nhữ ng tốn khác 10) Ví dụ 21 Giả i hệ phư ng trình : x2 y2 xy x y 4y y x Thi Thử Đạ i họ c lầ n năm 2014 THPT Nguyề n Trung Thiên –Hà Tĩnh Nhậ n xét : Để ý thấ y phư ng trình thứ nhấ t củ a hệ có a biế n độ c lậ p y ,kiể m tra vớ i y=0 rồ i đư a hệ a x2 y x+y Lờ i giả i Nhậ n xét y=0 khơng thỏ a mãn hệ phư ng trình x2 Hệ phư ng trình tư ng đư ng vớ i x Đặ t u x2 y Giả i hệ ta có : x u v GV:Lê Đình Tầ n y , hệ trở thành : v y y y u ,v x y x v u 18 DeThiMau.vn 4 THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ Vớ i u v x2 y x y x y x y PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Vậ y hệ cho có nghiệ m (x;y)=(1;2), (-2;5) Ví dụ 22 Giả i hệ phư ng trình: x( y 3) y ( x 1) y 2y Thi Thử Đạ i Họ c lầ n THPT Chu văn an Hà Nộ i năm 2014 Nhậ n xét : Theo thói quen phư ng trình thứ nhấ t a ẩ n độ c lậ p y phư ng trình thứ hai a y2 3x vô lý Trư ng hợ p 1: Xét y = 0, hệ cho trở thành ) y ( x 1) y y x(1 Trư ng hợ p 2: Xét y ≠ 0, HPT Đặ t S P S 3P S x t xt , ta có hệ phư ng trình y Đặ t t S P x t (S xt y2 x t 2( x t ) P ) , ta có hệ phư ng trình; 2S P S 3P x t xt 3S S 15 S P S hoặ c P x x x hoặ c t t 1 hoặ c y (loạ i) 32 x y 1 ); (2; 1) Hệ phư ng trình có hai nghiệ m: (1; xy Ví dụ 23 Giả i hệ phư ng trình: x 16 ( y 1) ( x 1) Nhậ n xét : Rỏ ràng hệ đố i xứ ng vậ y quan sát phư ng trình thứ hai để biế n đổ i phư ng trình thứ nhấ t : x y 1 Giả i Ta sử dụ ng kế t : xy x 2 x y 1 Chứ ng minh: GV:Lê Đình Tầ n 19 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ xy 2( x 1) ( y 1) ( x 1)( y 1) 2( x 1) ( y 1) x y 1 Áp dụ ng đố i vớ i toán ta đặ t: a 0, x y a a b b x xy x y PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” a 1, b 0( L) a 0, b 1( L) Hệ trở thành b Vậ y hệ cho vơ nghiệ m Ví dụ 24.Giả i hệ phư ng trình: x3 y 55 xy y 3y 64 12 51x x, y (đề thi thử đạ i họ c lầ n năm 2014 Trư ng THPT Lý Tự Trọ ng) Nhậ n xét : Quan sát hai đạ i lư ợ ng x3 x lầ n lư ợ t hai phư ng trình thứ nhấ t thứ hai cho ta phư ng pháp giả i Từ hệ phư ng trình cho ta có điề u kiệ n : x hệ tư ng đư ng 3 y y x Đặ t u 52 3 x v3 hệ phư ng trình trở thành x u y 1, v 52 3u 52(1) 3v 52(2) Lấ y (1)trừ (2) vế theo vế đư ợ c : v3 u3 Do v v v2 3u uv u uv u2 v u 0(3) u 0, u , v nên (3) v u Thay v u vào (2) ta đư ợ c u3 3u 52 u u2 4u 13 u u2 4u 13 0(VN ) Vậ y u=v=4 Từ suy ta hệ có nghiệ m nhấ t x; y 1;3 Ví dụ 25.Giả i hệ phư ng trình x3 y x2 x4 x3 y xy x2 y2 (kỳ thi chọ n họ c sinh giỏ i Tĩnh H Tĩnh lớ p 12 THPT năm họ c 2011 -2012) Nhậ n xét : Đạ i lư ợ ng x3y củ a phư ng trình thứ nhấ t tạ o độ ng giúp ta biế n đổ i phư ng trình thứ hai theo hằ ng đẳ ng thứ c Lờ i Giả i Hệ tư ng đư ng vớ i hệ sau : u v u v2 + Vớ i u + Vớ i u u v2 v v GV:Lê Đình Tầ n v v x3 y x y x x3 y x y x u v u ; v ,từ (3) ta đư ợ c hệ 1(1) Đặ t 1(2) u x3 y v x y x x (3) ta có hệ x3 y x y x x y y ; , từ (3) ta đư ợ c hệ 20 DeThiMau.vn THPT Cao Thắ ng ... nghiệ m củ a hệ (II) đề u nghiệ m củ a hệ (I) x 2 xy y x xy y (II) 2 x xy y GV:Lê Đình Tầ n x02 x0 y0 y02 13 DeThiMau.vn x 2y x 2y THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ... đích Tạ o mộ t hệ phư ng trình mớ i n giả n hơ n hay hệ phư ng trình có phư ng pháp giả i -Phư ng pháp -Phư ng pháp cộ ng đạ i số -Hệ phư ng trình đố i xứ ng loạ i I,loạ i II ,hệ đẳ ng cấ p ... Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x y xy (6) x y x y 21 1 ,b y 7) Thay a x vào hệ (II) ta đư ợ c hệ x y 1 x y x y (7) 1 x2 y 21 x y2 x ,b 8) Thay a x vào hệ (II)