Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 cấp THCS năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán Bảng A10478

SỞ GD&ĐT NGHỆ ΑΝ KỲ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI TỈNH LỚP CẤP ΤΗΧΣ NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề χηνη thức Μν τηι: ΤΟℑΝ − BẢNG Α Thời γιαν: 150 πητ ( κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) Χυ (3 điểm) α Χηια 18 vật χ⌠ khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 γαm τη◊νη βα νη⌠m χ⌠ khối lượng νηαυ (κηνγ χηια nhỏ χ〈χ vật đó) β Τm nghiệm νγυψν dương phương τρνη: 3ξ + 171 = ψ2 Χυ (6 điểm) α Giải phương τρνη: ξ  ξ   2 ξ  1 ξ  ξ  4 ξ   ψ  ξ β Giải hệ phương τρνη:  2  ξ  ξψ  ψ  Χυ (3 điểm) Χηο α, β, χ  τηỏα mν α  β  χ  Χηứνγ mινη ρằνγ: α 1 β 1 χ 1   3 β2  χ2  α  Χυ (6 điểm) Từ điểm Μ nằm νγο◊ι đường τρ∫ν τm (Ο; Ρ) Vẽ ηαι tiếp tuyến ΜΑ, ΜΒ với đường τρ∫ν (Α, Β λ◊ χ〈χ tiếp điểm), χ〈τ tuyến ΜΠΘ κηνγ θυα Ο (Π nằm Μ, Θ) Gọi Η λ◊ γιαο điểm ΟΜ ϖ◊ ΑΒ ฀ ฀ α Chứng mινη: ΗΠΟ  ΗΘΟ β Τm đιểm Ε τηυộχ χυνγ λớν ΑΒ σαο χηο τổνγ 1  χ⌠ γι〈 τρị νηỏ νηấτ ΕΑ ΕΒ Χυ (2 điểm) Τm ηνη ϖυνγ χ⌠ κχη thước nhỏ để τρονγ ηνη ϖυνγ χ⌠ thể xếp ηνη τρ∫ν χ⌠ β〈ν κνη σαο χηο κηνγ χ⌠ ηαι ηνη τρ∫ν bất κ ν◊ο τρονγ χηνγ χ⌠ điểm τρονγ χηυνγ −−−−−−−−−− HẾT −−−−−−−−−− Họ ϖ◊ τν: Số β〈ο δανη: ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT NGHỆ ΑΝ Đề χηνη thức KỲ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI TỈNH LỚP CẤP ΤΗΧΣ NĂM HỌC 2015 – 2016 Μν τηι: ΤΟℑΝ − BẢNG Α Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) Hướng dẫn chấm τηι gồm 04 τρανγ Χυ Nội δυνγ Điểm Χυ (3 điểm) α Χηια 18 vật χ⌠ khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 γαm τη◊νη βα νη⌠m χ⌠ khối lượng νηαυ (κηνγ χηια nhỏ χ〈χ vật đó) β Τm nghiệm νγυψν dương phương τρνη: 3ξ + 171 = ψ2 Nhận ξτ: ν2 + (ν+5)2 = 2ν2 + 10ν + 25 = Ξ + 25 0,5 (ν+1)2 + (ν+4)2 = 2ν2 + 10ν + 17 = Ξ + 17 (ν+2)2 + (ν+3)2 = 2ν2 + 10ν + 13 = Ξ + 13 α Λầν τηứ νηấτ, χηια ϖậτ χ⌠ κηốι λượνγ 19992, , 20042 τη◊νη βα πηầν: Α+25, Α+17, Α+13 0,5 1,5 Λầν τηứ ηαι, χηια ϖậτ χ⌠ κηốι λượνγ 20052, , 20102 τη◊νη βα πηầν: Β+25, Β+17, Β+13 Λầν τηứ βα, χηια vật χ⌠ khối lượng 20112, , 20162 τη◊νη βα πηầν: Χ+25, Χ+17, Χ+13 Λχ ν◊ψ τα χηια τη◊νη χ〈χ νη⌠m σαυ: Νη⌠m thứ Α+25, Β+17, Χ+13; νη⌠m thứ ηαι Β+25, Χ+17, Α+13; νη⌠m thứ βα Χ+25, Α+17, Β+13 Khối lượng νη⌠m Α + Β + Χ + 55 γαm Viết phương τρνη χηο dạng: 9.(3ξ – +19) = ψ2 (ξ  2) Để ψ λ◊ số νγυψν (3,0) τη điều kiện cần ϖ◊ đủ λ◊ 3ξ – + 19 = ζ2 λ◊ số χηνη phương (ζ λ◊ số νγυψν dương) Nếu ξ – = 2κ + λ◊ số lẻ τη 32κ + + 19 = (32κ + + 1) + 18 = 4.Β + 18 χηια hết β χηο κηνγ χηια hết χηο νν κηνγ thể λ◊ số χηνη phương 1,5 Dο ξ – = 2κ λ◊ số chẵn Τα χ⌠ 3ξ – + 19 = ζ2  ζ  3κ ζ  3κ  19 ς 19 λ◊ số νγυψν tố ϖ◊  ζ  3κ   ζ  10  ζ  10 ζ   ζ  νν     κ κ  ζ   19 κ  3  Vậy ξ = ϖ◊ ψ = 30 Χυ (6 điểm) κ κ 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 α Giải phương τρνη: ξ  ξ   2 ξ  1 ξ  ξ  4 ξ   ψ  ξ β Giải hệ phương τρνη:  2  ξ  ξψ  ψ  ĐKXĐ: Ρ 1 ς ξ  κηνγ phải λ◊ nghiệm, νν phương τρνη χηο tương đương với ξ2  ξ   ξ2  ξ  α phương τρνη: 2ξ 1 (6,0) 3,0 ξ  6ξ 1    ξ2  ξ   2ξ 1 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ξ  ξ   2(2 ξ  1) ( ξ  ξ   2)( ξ  ξ   2)  2ξ 1 ξ2  ξ    ξ2  ξ 1  2ξ 1 ξ2  ξ 1 0,25 ξ2  ξ    ξ2  ξ 1  (1)  1   ξ  ξ  1  0     ξ  ξ    ξ  (2)  ξ  2ξ   2ξ 1  α 3,0 ΠΤ (1) χ⌠ ηαι nghiệm ξ1;2  1  2 ΠΤ (2)  ξ  ξ    ξ   ξ  ξ   ξ  1   15 ξ    ξ3   ξ  ξ   (2 ξ  1)  Vậy phương χηο χ⌠ βα nghiệm: ξ1;2  1  2; ξ3  (6,0) β 3,0  15 2 ξ  12  ψ  ψ  2 ξ  Hệ phương τρνη    2 2  ξ  ξψ  ψ   ξ  ξψ  ψ   ψ  2ξ 1  ψ  ξ   Ξτ hệ:   2  ξ  ξψ  ψ   ξ  ξ 2 ξ  1  2 ξ  1   ψ  2ξ 1  ξ   ξ    ψ  2ξ 1  ξ       ψ 1 ψ   7 ξ  ξ   ξ      7  ψ  2 ξ   ψ  2 ξ   Ξτ hệ:   2  ξ  ξψ  ψ   ξ  ξ 2 ξ  1  2 ξ  1   ψ  2 ξ  ξ   ξ  1  ψ  2 ξ       ξ     ψ  1 ψ 1 3 ξ  ξ     ξ  1  3 Vậy hệ phương τρνη χηο χ⌠ nghiệm (ξ;ψ) λ◊: (0;1),   ;   , (0;−1), (−1;1)  7 Χυ (3 điểm) α 1 β 1 χ 1   3 Χηο α, β, χ  thỏa mν α  β  χ  Chứng mινη rằng: β  χ2  α2  Sử dụng bất đẳng thức Χ σι β α  1 β α  1 α 1 β  αβ  α 1  α 1  α 1 Τα χ⌠: (1) β 1 β 1 2β β 1 χ  βχ χ 1 α  χα (3,0)  β 1  χ 1 Tương tự: (1) ϖ◊ (3) χ 1 α 1 α 1 β 1 χ 1 α  β  χ αβ  βχ  χα Từ (1); (2) ϖ◊ (3) συψ ρα:    3 β 1 χ 1 α 1 2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Mặt κη〈χ α  β  χ  αβ  βχ  χα ηαψ 3(αβ  βχ  χα )  α  β  χ   0,5 α 1 β 1 χ 1 α  β  χ αβ  βχ  χα    3 = 3  0,5 2 β 1 χ 1 α 1 2 α 1 β 1 χ 1 Vậy    Dấu xảy ρα κηι α = β = χ = 0,5 β  χ2  α2  Χυ (6 điểm) Từ điểm Μ nằm νγο◊ι đường τρ∫ν τm (O).Vẽ ηαι tiếp tuyến ΜΑ, ΜΒ với đường τρ∫ν (Α, Β λ◊ χ〈χ tiếp điểm) Χ〈τ tuyến ΜΠΘ κηνγ θυα Ο (Π nằm Μ, Θ) Gọi Η λ◊ γιαο điểm ΟΜ ϖ◊ ΑΒ ฀ ฀ α Chứng mινη ΗΠΟ  ΗΘΟ 1 β Τm đιểm Ε τηυộχ χυνγ λớν ΑΒ σαο χηο τổνγ χ⌠ γι〈 τρị νηỏ νηấτ  ΕΑ ΕΒ Dο đó: Α Θ Π α 3,0 (6,0) Μ Η Ο Β  ΜΠΑ đồng dạng  ΜΑΘ (γ.γ), συψ ρα ΜΑ2 = ΜΠ.ΜΘ (1)  ΜΑΟ ϖυνγ Α, χ⌠ đường χαο ΑΗ νν ΜΑ2 = ΜΗ.ΜΟ (2) ΜΠ ΜΟ  Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα ΜΠ.ΜΘ = ΜΗ.ΜΟ ηαψ (∗) ΜΗ ΜΘ  ΜΠΗ ϖ◊  ΜΟΘ χ⌠ γ⌠χ Μ χηυνγ kết hợp với (∗) τα συψ ρα  ΜΠΗ đồng ฀ ฀ dạng  ΜΟΘ (χ.γ.χ) συψ ρα ΜΗΠ  ΜΘΟ ฀ ฀ ฀ Dο tứ γι〈χ ΠΘΟΗ λ◊ tứ γι〈χ nội tiếp  ΗΠΟ = σδΟΗ (đpcm)  ΗΘΟ Ο∋ 0,75 0,5 0,5 0,75 0,5 Φ Ε β 3,0 Α Β Τρν τια đối τια ΕΑ lấy điểm Φ σαο χηο ΕΒ = ΕΦ ηαψ  ΕΒΦ χν Ε, συψ 1฀  ฀ ρα ΒΦΑ  ΒΕΑ Đặt ฀ΑΕΒ   κηι ฀ΑΦΒ  νν Φ δι chuyển τρν χυνγ 2 chứa γ⌠χ Τα χ⌠:  0,5 dựng τρν ΒΧ 1 1   Νηư ϖậψ  νηỏ νηấτ κηι ΕΑ + ΕΒ λớν νηấτ ΕΑ ΕΒ ΕΑ  ΕΒ ΕΑ ΕΒ ThuVienDeThi.com 0,5 ηαψ ΕΑ + ΕΦ λớν νηấτ  ΑΦ λớν νηấτ (∗∗) Gọi Ο’ λ◊ điểm χηνη χυνγ lớn ΑΒ, συψ ρα  Ο’ΑΒ χν Ο’ συψ ρα Ο’Α=Ο’Β (3) ฀ ฀  Ο’ΕΒ ϖ◊  Ο’ΕΦ χ⌠ ΕΒ = ΕΦ, Ο’Ε χηυνγ ϖ◊ ΦΕΟ ∋  ΒΕΟ ∋ (χνγ β với ฀ ΒΑΟ ∋   Ο’ΕΒ =  Ο’ΕΦ (χ.γ.χ) συψ ρα Ο’Β = Ο’Φ (4) Từ (3) ϖ◊ (4) συψ ρα Ο’ λ◊ τm χυνγ chứa γ⌠χ 0,5 0,5  dựng τρν đoạn thẳng ΒΧ 0,5 (χυνγ ϖ◊ χυνγ lớn ΑΒ χνγ thuộc nửa mặt phẳng bờ ΑΒ) Dο ΑΦ lớn κηι ν⌠ λ◊ đường κνη (Ο’) κηι Ε  Ο’ (∗∗∗) 0,25 1  Từ (∗∗) ϖ◊ (∗∗∗) συψ ρα Ε λ◊ điểm χηνη χυνγ lớn ΑΒ τη χ⌠ γι〈 0,25 ΕΑ ΕΒ τρị νηỏ νηấτ Χυ (2 điểm) Τm ηνη ϖυνγ χ⌠ κχη thước nhỏ để τρονγ ηνη ϖυνγ χ⌠ thể xếp ηνη τρ∫ν χ⌠ β〈ν κνη σαο χηο κηνγ ηαι ηνη τρ∫ν bất κ ν◊ο τρονγ χηνγ χ⌠ điểm τρονγ χηυνγ Gọi Ο λ◊ τm ηνη ϖυνγ ΑΒΧD cạnh λ◊ α > chứa ηνη τρ∫ν β〈ν κνη σαο χηο κηνγ χ⌠ ηαι ηνη τρ∫ν ν◊ο τρονγ χηνγ χ⌠ điểm τρονγ χηυνγ Συψ ρα τm χ〈χ ηνη τρ∫ν ν◊ψ nằm τρονγ ηνη ϖυνγ ΜΝΠΘ τm Ο cạnh λ◊ 0,75 (α−2) ϖ◊ ΜΝ // ΑΒ Χ〈χ đường τρυνγ βνη ηνη ϖυνγ ΜΝΠΘ χηια ηνη ϖυνγ ν◊ψ τη◊νη ηνη ϖυνγ nhỏ νηαυ Τηεο νγυψν λ Dιριχηλε tồn ηνη ϖυνγ nhỏ chứa τ τρονγ τm 0,5 χ〈χ ηνη τρ∫ν ν⌠ι τρν, chẳng hạn λ◊ Ο1 ϖ◊ Ο2 Dο ηνη τρ∫ν ν◊ψ κηνγ χ⌠ ηαι ηνη τρ∫ν ν◊ο χ⌠ điểm τρονγ χηυνγ νν Ο1Ο2  0,5 (1) α2 Mặt κη〈χ Ο1Ο2 χνγ nằm τρονγ ηνη ϖυνγ nhỏ χ⌠ cạnh λ◊ νν 0,5 α2 α2 λ◊ đường χηο ηνη ϖυνγ nhỏ) Ο1Ο2  (2) ( 2 2,0 α  (2,0)   α   2 Dο ηνη ϖυνγ χ⌠ cạnh Từ (1) ϖ◊ (2)  0,5 lớn (  2 ) thỏa mν ψυ cầu β◊ι το〈ν 0,25 Vậy ηνη ϖυνγ ΑΒΧD χ⌠ cạnh (  2 ) thỏa mν ψυ cầu β◊ι το〈ν 2+2 Α Β Ν Μ Ο1 Ο1 Ο2 α−2 Ο Ο2 Π Θ D Χ 20.00 Lưu : Nếu học σινη giải χ〈χη κη〈χ χηο điểm tối đa tương ứng χηο χυ đó, Ρινγ χυ 4, học σινη κηνγ vẽ ηνη ηαψ vẽ ηνη σαι τη κηνγ chấm ThuVienDeThi.com ...SỞ GD&ĐT NGHỆ ΑΝ Đề χηνη thức KỲ ΤΗΙ CHỌN HỌC ΣΙΝΗ GIỎI TỈNH LỚP CẤP ΤΗΧΣ NĂM HỌC 2015 – 2016 Μν τηι: ΤΟℑΝ − BẢNG Α Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) Hướng dẫn chấm τηι... χηο dạng: 9. (3ξ – + 19) = ψ2 (ξ  2) Để ψ λ◊ số νγυψν (3,0) τη điều kiện cần ϖ◊ đủ λ◊ 3ξ – + 19 = ζ2 λ◊ số χηνη phương (ζ λ◊ số νγυψν dương) Nếu ξ – = 2κ + λ◊ số lẻ τη 32κ + + 19 = (32κ +... χηνη phương 1,5 Dο ξ – = 2κ λ◊ số chẵn Τα χ⌠ 3ξ – + 19 = ζ2  ζ  3κ ζ  3κ  19 ς 19 λ◊ số νγυψν tố ϖ◊  ζ  3κ   ζ  10  ζ  10 ζ   ζ  νν     κ κ  ζ   19 κ  3  Vậy ξ