Phần mềm thiết kế và chấm điểm tự động biểu mẫu thi trắc nghiệm

Tài liệu tham khảo công nghệ thông tin Phần mềm thiết kế và chấm điểm tự động biểu mẫu thi trắc nghiệm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BỘ MÔN CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM

NGUYỄN QUỐC BẢO - NGUYỄN PHÚ CƯỜNG

PHẦN MỀM THIẾT KẾ VÀ CHẤM ĐIỂM

TỰ ĐỘNG BIỂU MẪU THI TRẮC NGHIỆM

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN TIN HỌC

TP HCM, 2005

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BỘ MÔN CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM

NGUYỄN QUỐC BẢO - 0112172 NGUYỄN PHÚ CƯỜNG - 0112177

PHẦN MỀM THIẾT KẾ VÀ CHẤM ĐIỂM

TỰ ĐỘNG BIỂU MẪU THI TRẮC NGHIỆM

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN TIN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Th.s TRẦN ĐỨC DUẨN

NIÊN KHÓA 2001 - 2005

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

Bên cạnh đó, chúng em cũng rất cảm ơn các Thầy Cô trong Khoa đã tận tình giảng dạy và trang bị cho chúng em thật nhiều kiến thức bổ ích trong các năm học vừa qua, góp phần rất lớn vào việc nghiên cứu thành công luận văn này

Ngoài ra cũng xin được gửi lời cảm ơn đến hai bạn Phạm Thị Minh Chung (0112054) và Nguyễn Ngọc Duy Quang (0112194) trong việc đã hỗ trợ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình thực hiện đề tài

Cuối cùng, chúng em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ chúng em, các bậc sinh thành đã có công nuôi dưỡng và dạy dỗ cho chúng em đến ngày hôm nay, những người đã luôn hết lòng tận tụy chăm sóc, ủng hộ và động viên chúng em trong lúc khó khăn cũng như trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Dù đã cố gắng hoàn thành thật tốt luận văn trong phạm vi yêu cầu, nhưng chúng em biết có những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi Chúng em mong

sẽ nhận được sự thông cảm và tận tình chỉ bảo của quý Thầy Cô và các bạn

TP.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2005

Nhóm sinh viên thực hiện:

Nguyễn Phú Cường - Nguyễn Quốc Bảo

MỤC LỤC

W X

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC HÌNH 5

DANH MỤC CÁC BẢNG 7

LỜI MỞ ĐẦU 9

Chương 1: TỔNG QUAN 11

1.1 Yêu cầu thực tế và lý do thực hiện đề tài: 11

1.2 Mục tiêu của đề tài: 12

1.3 Giải pháp hiện có: 12

1.4 Hướng tiếp cận của luận văn 13

1.5 Nội dung thực hiện của đề tài: 14

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

2.1 Lý thuyết cho phần thiết kế biễu mẫu thi trắc nghiệm: 17

2.1.1 Phân tích các thành phần trên biểu mẫu trắc nghiệm: 17

2.1.2 Tổ chức dữ liệu để biểu diễn và lưu trữ biểu mẫu 22

2.2 Lý thuyết cho phần chấm điểm tự động: 24

2.2.1 Tóm tắt quá trình thực hiện của phần chấm điểm tự động 24

2.2.2 Sơ Lược Các Lý Thuyết Về Xử Lý Ảnh Và Nhận Dạng 27

2.2.2.1 Xử lý ảnh: 27

2.2.2.1.1 Các thao tác xử lý ảnh cơ bản: 27

2.2.2.1.2 Tô màu bằng thuật toán dựa theo dòng quét cải tiến 28

2.2.2.2 Nhận dạng: 32

2.2.2.2.1 Nhận dạng bốn góc của bài thi bằng thuật toán Hough Transform 32

2.2.2.2.2 Kiểm tra vùng tô 39

2.2.2.2.3 Mạng nơ ron và ứng dụng vào nhận dạng chữ viết tay in 42

Chương 3: THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH 45

3.1 PHÂN TÍCH: 45

3.2 XÁC ĐỊNH YÊU CẦU: 46

3.3 XÂY DỰNG MÔ HÌNH USE-CASE: 47

3.3.1 Xác định Actor và Use-Case: 47

3.3.2 Mô hình Use-case: 47

3.3.3 Đặc tả Use-case: 48

3.3.3.1 THIETKEBIEUMAU: 48

3.3.3.1.1 TAOMOI: 49

3.3.3.1.2 SUABIEUMAU: 49

3.3.3.1.3 CHONDOITUONG: 50

3.3.3.1.4 THEMDOITUONGCOBAN: 50

3.3.3.1.4 THEMDOITUONGDOHOA: 50

3.3.3.1.5 XOADOITUONG: 51

3.3.3.1.6 CAPNHATDOITUONG: 51

3.3.3.2 SOANDAPAN: 52

3.3.3.2.1 THEMDAPAN: 53

3.3.3.2.2 CAPNHATDAPAN: 53

3.3.3.2.3 XOADAPAN: 54

3.3.3.3 CHAMDIEM: 54

3.3.3.4 QUANLYKYTHI: 55

3.3.3.4.1 THEMKYTHI: 56

3.3.3.4.2 CAPNHATKYTHI: 56

3.3.3.4.3 XOAKYTHI: 57

3.3.3.5 QUANLYTHISINH: 57

3.3.3.5.1 THEMTHISINH: 58

3.3.3.5.2 CAPNHATTHISINH: 58

3.3.3.5.3 XOATHISINH: 59

3.3.3.6 QUANLYMONHOC: 60

3.3.3.6.1 THEMMONHOC: 60

3.3.3.6.2 CAPNHATMONHOC: 61

3.3.3.6.3 XOAMONHOC: 61

3.3.3.7 QUANLYBAILAM: 62

3.3.3.6.1 THEMMONHOC: 63

3.3.3.6.2 CAPNHATMONHOC: 63

3.3.3.6.3 XOAMONHOC: 63

3.4 SƠ ĐỒ LỚP: 64

3.4.1 Sơ đồ: 64

3.4.2 Mô tả một số lớp chính: 67

3.4.2.1 Lớp Entity: 67

3.4.2.2 Lớp Text: 68

3.4.2.3 Lớp TextCell: 69

3.4.2.4 Lớp TextField: 70

3.4.2.5 Lớp ChoiceElement: 71

3.4.2.6 Lớp Choice: 72

3.4.2.7 Lớp AnswerCell: 72

3.4.2.8 Lớp AnswerSheet: 74

3.4.2.9 Lớp Line: 75

3.4.2.10 Lớp Rect: 76

3.4.2.11 Lớp Ellipse: 77

3.4.2.12 Lớp ImageObj: 78

3.4.2.13 Lớp Page: 78

3.4.2.14 Lớp Key: 79

3.4.2.15 Lớp AnswerKey: 80

3.4.2.16 Lớp Rate: 81

3.4.2.17 Lớp Estimation: 81

3.4.2.18 Lớp Sentence: 82

3.4.2.19 Lớp Answer: 83

3.4.2.20 Lớp Recognition: 83

3.5 Thiết kế cơ sở dữ liệu: 84

3.5.1 Sơ đồ: 84

3.5.2 Mô tả các bảng: 85

3.5.2.1 MauThi: 85

3.5.2.2 KyThi: 89

3.5.2.3 MonThi: 89

3.5.2.4 DeThi: 90

3.5.2.5 BaiLam: 91

3.5.2.6 ThiSinh: 92

3.6 Thiết kế giao diện một số màn hình chính: 92

3.6.1 Màn hình thiết kế biểu mẫu: 92

3.6.2 Màn hình chấm điểm: 93

3.7 Cài đặt: 94

Chương 4: THỰC NGHIỆM, ĐÁNH GIÁ VÀ TỔNG KẾT 95

4.1 Thực nghiệm: 95

4.2 Kết quả 95

4.2.1 Phần thiết kế các biểu mẫu: 95

4.2.2 Phần chấm điểm tự động: 100

4.3 Đánh giá 101

4.4 Kết luận 102

4.5 Hướng phát triển: 102

PHỤ LỤC 104

PL.1 Các thao tác xử lý ảnh cơ bản: 104

PL.1.1 Làm xám ảnh: 104

PL.1.2 Chuyển sang ảnh nhị phân 106

PL.1.3 Xoay ảnh .108

PL.1.4 Biến đổi tỉ lệ ảnh (Scale) 110

PL.2 Lý thuyết về mạng nơron 111

PL.2.1 Đặt vấn đề 111

PL.2.2 Định nghĩa 111

PL.2.3 Sơ lược cấu tạo của mạng nơron 111

PL.2.4 Quá trình ánh xạ và quá trình học của mạng nơ ron 112

PL.2.4.1 Quá trình ánh xạ 112

PL.2.4.2 Quá trình học 113

PL.2.4.3 Lan truyền ngược sai số 114

PL.2.5 Hàm truyền 115

PL.2.6 Khởi tạo trọng 116

PL.2.7 Vấn đề quá khớp 116

TÀI LIỆU THAM KHẢO 118

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 2-1: Mô hình chung cho toàn bộ phần mềm 16

Hình 2-2 : Mẫu bài thi TOEFL 18

Hình 2-3: Mẫu thi của kỳ thi sát hạch Nhật Bản 19

Hình 2-4: Phần văn bản trong đề thi mẫu 20

Hình 2-5: Phần ghi tên thí sinh trong đề thi mẫu 21

Hình 2-6: Phần ghi mã số thí sinh trong đề thi mẫu 21

Hình 2-7: Phần lựa chọn giới tính trong đề thi mẫu 21

Hình 2-8: Phần trả lời câu hỏi của thí sinh trong đề thi mẫu 22

Hình 2-9: Sơ đồ tóm tắt quá trình chấm thi 27

Hình 2-10: quá trình thực hiện của thuật toán tô màu dựa theo đường biên 29

Hình 2-11 30

Hình 2-12 31

Hình 2-13 31

Hình 2-14 32

Hình 2-15 35

Hình 2-16 36

Hình 2-17 37

Hình 2-18 37

Hình 2-19: khi chưa được tô 39

Hình 2-20: các dạng sau khi đã tô 39

Hình 2-21: ảnh cần kiểm tra tô được phân thành 3 vùng 40

Hình 2-22: cấu tạo của mạng nơ ron được áp dụng cho đề tài 43

Hình 3-1: Mô hình Use-Case 48

Hình 3-2: Sơ đồ lớp xử lý chính 65

Hình 3-3: Sơ đồ lớp truy cập cơ sở dữ liệu: 65

Hinh 3-4: CellStyle: Char 69

Hinh 3-5: CellStyle: Number 69

Hinh 3-6: CellStyle: All 69

Hinh 3-7: AnswerStyles - Vertical 73

Hinh 3-8: AnswerStyle - Vertical 73

Hình 3-9: Mô hình cơ sở dữ liệu 85

Hình 3-10: Màn hình thiết kế biểu mẫu 93

Hình 3-11 : Màn hình chấm điểm tự động 94

Hình 4.1: mẫu thi Institutional TOEFL thực tế 96

Hình 4-2: mẫu TOEFL được thiết kết bởi chương trình 97

Hình 4-3: Mẫu của kỳ thi sát hạch chuẩn kỹ sư Nhật Bản .98

Hình 4-4: Mẫu đề thi Mạng không dây và an ninh mạng 99

Hình PL-1: ảnh trước khi được làm xám 105

Hình PL-2: ảnh sau khi được làm xám 105

Hình PL-3: ảnh xám trước khi được chuyển thành ảnh nhị phân 107

Hình PL-4: ảnh sau khi chuyển thành ảnh nhị phân với ngưỡng là 128 107

Hình PL-5: Bài thi trong file ảnh bị lệch .108

Hình PL-6: Bài thi sau khi xoay sẽ không còn bị lệch .109

Hình PL-7: ảnh trước khi biến đổi tỉ lệ 110

Hình PL-8: ảnh sau khi biến đổi tỉ lệ còn 60% so với ảnh ban đầu 110

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3-1: Danh sách các lớp trong sơ đồ lớp 67

Bảng 3-2: Danh sách thuộc tính lớp Entity 67

Bảng 3-3: Danh sách phương thức lớp Entity 68

Bảng 3-4: Danh sách thuộc tính lớp Text 68

Bảng 3-5: Danh sách phương thức lớp Text 69

Bảng 3-6: Danh sách thuộc tính lớp TextCell 69

Bảng 3-7: Danh sách phương thức lớp TextCell 70

Bảng 3-8: Danh sách thuộc tính lớp TextField 70

Bảng 3-9: Danh sách phương thức lớp TextField 71

Bảng 3-10: Danh sách thuộc tính lớp ChoiceElement 71

Bảng 3-11: Danh sách phương thức lớp ChoiceElement 72

Bảng 3-12: Danh sách thuộc tính lớp Choice 72

Bảng 3-13: Danh sách phương thức lớp Choice 72

Bảng 3-14: Danh sách thuộc tính lớp AnswerCell 73

Bảng 3-15: Danh sách phương thức lớp AnswerCell 74

Bảng 3-16: Danh sách thuộc tính lớp AnswerSheet 74

Bảng 3-17: Danh sách phương thức lớp AnswerSheet 75

Bảng 3-18: Danh sách thuộc tính lớp Line 75

Bảng 3-19: Danh sách phương thức lớp Line 76

Bảng 3-20: Danh sách thuộc tính lớp Rect 76

Bảng 3-21: Danh sách phương thức lớp Rect 77

Bảng 3-22: Danh sách thuộc tính lớp Ellipse 77

Bảng 3-23: Danh sách phương thức lớp Ellipse 78

Bảng 3-24: Danh sách thuộc tính lớp ImageObj 78

Bảng 3-25: Danh sách phương thức lớp ImageObj 78

Bảng 3-26: Danh sách thuộc tính lớp Page 79

Bảng 3-27: Danh sách phương thức lớp Page 79

Bảng 3-28: Danh sách thuộc tính lớp Key 79

Bảng 3-29: Danh sách phương thức lớp Key 80

Bảng 3-30: Danh sách thuộc tính lớp AnswerKey 80

Bảng 3-31: Danh sách phương thức lớp AnswerKey 80

Bảng 3-32: Danh sách thuộc tính lớp Rate 81

Bảng 3-33: Danh sách phương thức lớp Rate 81

Bảng 3-34: Danh sách thuộc tính lớp Estimation 82

Bảng 3-35: Danh sách phương thức lớp Estimation 82

Bảng 3-36: Danh sách thuộc tính lớp Sentence 82

Bảng 3-37: Danh sách phương thức lớp Sentence 83

Bảng 3-38: Danh sách thuộc tính lớp Answer 83

Bảng 3-39: Danh sách phương thức lớp Answer 83

Bảng 3-40: Danh sách thuộc tính lớp Recognition 84

Bảng 3-41: Danh sách phương thức lớp Recognition 84

Bảng 3-42: Danh sách các trường trong bảng MauThi 85

Bảng 3-43: Danh sách các trường trong bảng KyThi 89

Bảng 3-44: Danh sách các trường trong bảng MonThi 90

Bảng 3-45: Danh sách các trường trong bảng DeThi 90

Bảng 3-46: Danh sách các trường trong bảng BaiLam 91

Bảng 3-47: Danh sách các trường trong bảng ThiSinh 92

Bảng 4-1 : So sánh chấm bằng tay và chấm bằng máy 101

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay thi trắc nghiệm là một hình thức thi rất phổ biến tại các nước trên thế giới Nhờ vào đặc điểm luôn có sự rõ ràng của đáp án mà những tranh cãi nhọc nhằn trong việc tính điểm được giảm đi rất nhiều Điều này dẫn đến việc nâng cao tính chính xác, khách quan trong việc đưa ra kết quả bài thi Bên cạnh đó thời gian

để chấm từng bài thi trắc nghiệm là tương đối nhanh, cho nên sẽ làm tăng tính hiệu quả trong việc tổ chức thi cử Hình thức thi trắc nghiệm thường được áp dụng cho các môn học thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên, các môn ngoại ngữ, tức những dạng kiến thức không đòi hỏi ở khả năng tự luận

Do đó, nền giáo dục của nước ta hiện nay đã ý định chuyển những môn thi

có thể sang hình thức trắc nghiệm vào năm 2007, 2008 Đối với Khoa Công Nghệ Thông Tin cùng những Khoa khác của trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP HCM cũng vậy, việc chuyển đổi những môn thi thích hợp sang thi trắc nghiệm là một quy luật tất yếu, nhằm có thể đánh giá chính xác hơn kiến thức của sinh viên (tuy rằng đã có một số môn được áp dụng sang thi trắc nghiệm - chẳng hạn như tiếng Anh, Hợp Ngữ )

Mặc dù đã được ghi nhận nhiều về những ích lợi như vậy, thế nhưng, hình thức thi này đến nay vẫn chưa thể được áp dụng rộng rãi tại Việt Nam Các giải pháp – bao gồm bộ thiết bị chuyên dụng và phần mềm đi kèm – thường có giá thành khá cao, chỉ thích hợp cho các kỳ thi lớn và quan trọng Ngoài ra, còn phải kể đến

sự cứng nhắc trong định dạng của các mẫu bài thi Điều này có nghĩa rằng mẫu thi phải cố định, đối với mỗi thiết bị chấm chỉ dùng được cho các mẫu có sẵn của riêng thiết bị đó mà thôi

Từ những bất cập như trên, giải pháp được luận văn lựa chọn là tận dụng các thiết bị thường thấy trong điều kiện Việt Nam để áp dụng vào việc thi trắc nghiệm

Đó chính là những chiếc máy tính cá nhân, máy scan đang được sử dụng rộng rãi hàng ngày trong từng công sở, trường học, thậm chí ngay cả các hộ gia đình Chúng

sẽ đóng vai trò như những thiết bị đầu vào và xử lý cho quá trình chấm thi Khi sử

dụng các thiết bị này, hình thức thi trắc nghiệm sẽ giảm được giá thành, cũng như tăng thêm tính khả dụng, khi có thể áp dụng tại hầu hết mọi nơi tại Việt Nam

Luận văn này gồm 4 chương có nội dung như sau:

o Chương 1 Tổng quan: giới thiệu bối cảnh, lý do thực hiện đề tài cũng

như các giải pháp hiện thời có liên quan, từ đó rút ra hướng tiếp cận của luận văn để thực hiện đề tài

o Chương 2 Cơ sở lý thuyết: trình bày sơ lược về các lý thuyết của xử lý

ảnh, của mạng nơron, cũng như ứng dụng của chúng trong đề tài

o Chương 3 Thiết kế phần mềm: tài liệu phân tích và thiết kế chương

trình

o Chương 4 Thực nghiệm, đánh giá và tổng kết: nêu đánh giá về toàn bộ

đề tài, trình bày những kết quả đã đạt được cũng như các hạn chế của đề tài, từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu trong tương lai

Chương 1: TỔNG QUAN

1.1 Yêu cầu thực tế và lý do thực hiện đề tài:

Trong những năm gần đây, việc thi cử luôn là một chủ đề thời sự rất được quan tâm Chuyện gian lận quay cóp trong các kỳ thi, kết quả điểm thi không chính xác, thường theo ý kiến chủ quan của người chấm thi dẫn đến việc khiếu kiện, đáp

án kỳ thi tuyển sinh không nhất quán, rõ ràng, v.v , hầu như năm nào cũng xảy ra, gây nhiều bức xúc Do đó, nhu cầu cần có một phương pháp thi – chủ yếu áp dụng với các môn khoa học tự nhiên - cho kết quả chính xác hơn được đặt ra

Trong bối cảnh đó, thi trắc nghiệm - dạng thi mà mỗi bài thi có một đáp án rõ ràng kèm theo – là một giải pháp được nhắc đến Đối với một kỳ thi trắc nghiệm được tổ chức và quản lý tốt, minh bạch, kết quả thi của thí sinh sẽ khách quan, không còn phụ thuộc nhiều vào người chấm bài nữa Ngoài ra, việc chấm thi sẽ mau

lẹ

Tuy nhiên, câu hỏi lại được đặt ra rằng: khi phương pháp thi trắc nghiệm có những ưu điểm như vậy nhưng tại sao vẫn chưa được phổ biến ở Việt Nam Bộ Giáo Dục Việt Nam đã từng có ý định chuyển các môn thi thích hợp trong kỳ thi tuyển sinh đại học sang hình thức thi trắc nghiệm, thế rồi đã phải dời lại cho đến tận năm 2008, cột mốc mà đến giờ hiện vẫn còn chưa chắc chắn Ngay như Khoa Công Nghệ Thông Tin của trường Khoa Học Tự Nhiên của chúng ta, tuy đã áp dụng ở một số môn như Tiếng Anh, Hợp Ngữ , thi trắc nghiệm vẫn còn tương đối xa lạ Sau khi phân tích đi tìm các nguyên nhân, ta nhận thấy rằng dù đã từng áp dụng thi trắc nghiệm ở một số môn tại nhiều nơi, thế nhưng nước ta vẫn còn thực hiện cách thức chấm bài thủ công, nguyên nhân chính là do ở kinh phí Và vì chấm như vậy, cho nên kết quả được đưa ra rất chậm và đôi lúc còn chưa khách quan (do người chấm nhầm lẫn trong lúc chấm ), không đảm bảo được tính chính xác như bản chất của hình thức thi trắc nghiệm Trong khi đó, để có thể chấm tự động, đòi

hỏi phải có thiết bị chuyên dụng với giá thành tương đối cao (vì thường có giải pháp phần mềm riêng đi kèm) Muốn vậy, kỳ thi phải lớn và thu lệ phí đầu vào cao Điều này là không khả thi trong điều kiện của Việt Nam Tiếp nữa, các mẫu bài thi có sẵn cho các thiết bị chuyên dụng đó thường cố định, không khả chuyển, việc tạo ra các mẫu mới là có nhưng khá khó khăn, phức tạp và tốn kém Do vậy, đòi hỏi cần có một giải pháp giải quyết toàn diện các bất cập đó là một đòi hỏi chính đáng

1.2 Mục tiêu của đề tài:

Mục tiêu của đề tài là nhằm đưa ra một giải pháp cho phép tổ chức thi trắc nghiệm, sao cho giá thành rẻ, có thể áp dụng ngay vào các trường học, chẳng hạn như Khoa Công Nghệ Thông Tin của chúng ta Ngoài ra, giải pháp còn phải cho phép khả năng tạo lập, chỉnh sửa các biểu mẫu thi để phù hợp với nhu cầu trong từng môn thi của mỗi kỳ thi

1.3 Giải pháp hiện có:

Tại Việt Nam cũng như trên thế giới, các dụng cụ chuyên dụng dùng cho việc thi trắc nghiệm đã có từ khá lâu, mà phổ biến nhất là máy chấm carbon dùng cho các kỳ thi TOEFL hay IELTS Đây là một thiết bị cho phép chấm bài hàng loạt nhưng yêu cầu bài thi phải theo mẫu cố định ứng với máy chấm bài và đòi hỏi phải

có thiết bị in ấn chuyên biệt đi kèm Bài thi sau khi được in ấn và xử lý bởi thiết bị

in ấn chuyên dụng sẽ có hình dạng nhất định theo quy định sẵn của máy chấm, có các đánh dấu carbon trên nhiều vị trí của bài thi Máy chấm carbon nhờ vào những thành phần chuyên dụng đo nồng độ carbon, sẽ xác định đựơc các vị trí đánh dấu

Từ đó tính toán ra được các vị trí để lấy thông tin thí sinh cũng như xác định kết quả bài thi Tuy nhiên, để cho kết quả được chính xác, thí sinh khi làm bài trên các mẫu thi này, cần phải dùng bút chì carbon

Như ta đã thấy, các thiết bị này còn có khuyết điểm lớn là giá thành cao, do phải đi kèm với nhiều thiết bị chuyên biệt khác, và độ khả chuyển kém Ứng với mỗi bài thi sẽ là một cặp máy chấm và máy in riêng biệt Điều này không phù hợp

với thực tế của Việt Nam ta khi mà thu nhập bình quân so với các nước khác còn kém rất xa

Ưu điểm và khuyết điểm của giải pháp dùng máy chấm carbon:

¾ Ưu điểm: chấm rất nhanh và rất chính xác, thích hợp cho các kỳ thi lớn và

rất lớn

¾ Khuyết điểm: chỉ dùng cho một mẫu bài thi cụ thể đối với từng thiết bị chấm

và in chuyên biệt Do thiết bị không phổ biến nên giá thành cao

1.4 Hướng tiếp cận của luận văn

Giải pháp được đưa ra là sử dụng các thiết bị phổ biến sẵn có trong điều kiện Việt Nam hiện nay như máy tính cá nhân, máy in và máy scan để giảm giá thành Trong giải pháp này, máy tính cá nhân sẽ đóng vai trò trung tâm, thực hiện việc thiết kế các biểu mẫu, sau đó dùng máy in để in chúng ra Máy tính cũng đồng thời đóng vai trò thực hiện việc chấm điểm các bài thi thông qua thiết bị scan Thiết bị scan này có thể là máy scan thường thấy Tuy nhiên trong thực tế, do số lượng bài thi nhiều, cần được chấm điểm toàn bộ, nên thiết bị scan được khuyến khích là các máy scan có chức năng cho phép scan hàng loạt Ngoài ra, vì không dùng thiết bị in

ấn chuyên biệt, nên việc in màu cho bài thi là không khả thi Giải pháp đưa ra sẽ là dùng máy in đen trắng in hàng loạt, hoặc tiết kiệm chi phí hơn bằng cách in bản mẫu và dùng máy photocopy để sao chép ra

Vì dùng máy scan, nên việc bắt buộc bài thi đầu vào để chấm điểm phải đặt chính xác vị trí quy định là điều không khả thi Bài thi sẽ được chấm chính xác khi scan lệch không quá 5 độ Từ các vị trí đánh dấu góc của bài thi được nhận dạng, máy tính sẽ tính ra được các vị trí khác cần thiết trong bài nhờ vào các thông tin trong bản mẫu thiết kế - hay còn gọi là mẫu chấm bài

Tuy nhiên, do giải pháp này không dùng các thiết bị chuyên dụng để chấm bài, nên các bài thi đầu vào cho máy tính sẽ không được chuẩn, từ đó việc chấm bài sẽ tốn khá nhiều thời gian cho việc chuẩn hoá lại bài thi (thông qua nhận dạng) cũng

như kết quả chấm sẽ có lúc không được chính xác hoàn toàn như khi thực hiện bằng thiết bị chuyên dụng

Các ưu điểm và khuyết điểm của giải pháp mà luận văn đã chọn:

¾ Ưu điểm: giá thành cho thiết bị sẽ rẻ hơn, do đã có sẵn Các mẫu bài thi

cũng khả chuyển hơn, được thiết kế tuỳ theo nhu cầu của người dùng, có khả năng ứng dụng tại bất kỳ nơi nào miễn có các thiết bị thông thường như máy in, máy scan và máy tính cá nhân

¾ Khuyết điểm: chấm điểm chậm hơn các máy chuyên dụng, và không được

chính xác bằng Không khả thi với các kỳ thi quá lớn vì chi phí cho việc quét tất cả các bài thi là rất cao.

Phần mềm cần thực hiện 2 nhiệm vụ chính: thiết kế các biểu mẫu và chấm điểm tự động bài thi

Dựa vào các mẫu đề thi trắc nghiệm có sẵn (TOEFL, TOEIC, IELTS ), ta nhận thấy những công việc chính yếu trong việc thiết kế một bài thi trắc nghiệm bao gồm: chỉnh sửa trình bày bài thi; lưu và đọc lại các mẫu đã tạo; soạn đáp án; thực hiện in mẫu Giải pháp dùng công nghệ XML được cân nhắc chọn lựa

Trong khi đó, đối với công việc chấm thi, ta cần thực hiện: chỉnh sửa ảnh bài thi đầu vào theo một chuẩn quy định; thực hiện các xử lý trên từng vùng của ảnh để phân tích thông tin như kiểm tra tô, nhận dạng chữ viết tay; so với đáp án có sẵn để cho ra kết quả; lưu kết quả vào database

1.5 Nội dung thực hiện của đề tài:

Các công việc chính của đề tài bao gồm:

9 Thu thập và tìm hiểu về các mẫu bài thi trắc nghiệm thông dụng như TOEFL, IELTS từ đó đưa ra các phần thường được dùng đi dùng lại trong bài thi

9 Phân tích, thiết kế và thực thi viết mã lệnh cho các thành phần của chương trình tạo biễu mẫu bài thi trắc nghiệm

9 Phân tích, xây dựng và tổ chức cơ sở dữ liệu để lưu trữ thông tin của mẫu bài thi cũng như các đáp án đi kèm với mẫu bài thi đó

9 Tìm hiểu các lý thuyết về xử lý ảnh, về nhận dạng giúp chuẩn hoá và đưa ra kết quả cho các bài thi

9 Tìm hiểu và ứng dụng mạng nơron trong việc nhận dạng chữ viết tay in từ các bài thi

Chương tiếp theo sẽ bàn về các lý thuyết được ứng dụng trong việc xây dựng chương trình

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Với hướng tiếp cận cho luận văn như đã được trình bày ở chương trước, ta nhận thấy phần mềm cần được chia ra làm 2 phần: phần thiết kế, tạo lập các biểu mẫu thi trắc nghiệm và phần chấm điểm tự động các bài thi trắc nghiệm

Hình 2-1: Mô hình chung cho toàn bộ phần mềm

Sau đây, ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu các lý thuyết ứng dụng cho từng phần

2.1 Lý thuyết cho phần thiết kế biễu mẫu thi trắc nghiệm:

2.1.1 Phân tích các thành phần trên biểu mẫu trắc nghiệm:

Sau đây là một số mẫu thi trắc nghiệm mà chúng em đã thu thập được:

- Mẫu bài thi của kỳ thi TOEFL:

Hình 2-2 : Mẫu bài thi TOEFL

- Mẫu thi của kỳ thi sát hạch kỹ sư chất lượng Nhật Bản:

Hình 2-3: Mẫu thi của kỳ thi sát hạch Nhật Bản

Sau khi quan sát các biểu mẫu thi trắc nghiệm của một số kỳ thi chúng em có nhận xét rằng một biểu mẫu thường gồm có những thành phần sau:

a) Phần thông tin thí sinh:

Phần này dành cho thí sinh ghi thông của mình, nó bao gồm các đối tượng sau:

i) Text: dùng để viết tiêu đề hay văn bản

Hình 2-4: Phần văn bản trong đề thi mẫu

ii) TextField: dùng để ghi tên, ngày sinh hay mã số thí sinh…

Hình 2-5: Phần ghi tên thí sinh trong đề thi mẫu

Hình 2-6: Phần ghi mã số thí sinh trong đề thi mẫu

iii) Choice: phần lựa chọn

Hình 2-7: Phần lựa chọn giới tính trong đề thi mẫu

b) Phần trả lời câu hỏi:

Đây là nơi thí sinh đánh dấu câu trả lời của mình Nó có dạng như hình sau:

Hình 2-8: Phần trả lời câu hỏi của thí sinh trong đề thi mẫu

c) Các phần khác:

Qua hình minh họa trên ta nhận thấy trên các biểu mẫu có thêm đường viền đen Các đối tượng này đóng vai trò là lề của biểu mẫu, điều này giúp ích rất nhiều cho quá trình chấm điểm được chính xác hơn

Ngoài những thành phần nêu trên chúng ta còn thấy trên đề còn có một số đối tượng đồ hoạ như: đường thẳng, hình chữ nhật, hình tròn…

2.1.2 Tổ chức dữ liệu để biểu diễn và lưu trữ biểu mẫu

Thiết kế biểu mẫu là một phần của hệ thống, nó không chỉ có nhiệm vụ tạo ra những mẫu bài thi trắc nghiệm mà còn có nhiệm vụ cung cấp thông tin về mẫu bài thi đó cho quá trình nhận dạng sau này Do đó việc tổ chức lưu trữ như thế nào cũng

là vấn đề hết sức quan trọng Ngày nay công nghệ XML đang phát triển rất mạnh và đang được áp dụng rất rộng rãi Ngoài việc giúp cho định nghĩa một đối tượng có cấu trúc được rõ ràng, nó còn có khả năng chuyển đổi sang các hệ thống khác một cách dễ dàng Và đó cũng là lý do mà chương trình chọn cách lưu trữ có sử dụng XML [5]

Mỗi biểu mẫu được xem là một “Document” gồm nhiều trang “Page” Mỗi trang lại gồm các đối tượng khác Dựa theo phân tích các đối tượng như trên thì ta

có thể lưu trữ biểu mẫu theo cấu trúc như sau (chi tiết sẽ được đề cập sau)

2.2 Lý thuyết cho phần chấm điểm tự động:

2.2.1 Tóm tắt quá trình thực hiện của phần chấm điểm tự động

Chương trình khi chấm điểm sẽ thực hiện một quá trình được tóm tắt như sau:

Đầu tiên, bài thi sau khi được làm xong, sẽ được quét đưa vào máy tính

xử lý Ảnh lúc này là ảnh màu chiếm nhiều thông tin không cần thiết

cho việc chấm điểm, do đó trước khi chấm cần được làm xám và

chuyển thành ảnh nhị phân (tức ảnh trắng đen) để loại bỏ bớt các

thông tin dư thừa Vì các máy scan hầu hết đều không có vị trí canh chuẩn, nên ảnh bài thi đầu vào cho việc chấm điểm có thể sẽ bị lệch, nghĩa là các vị trí cần chấm trong ảnh không chính xác so với mẫu chấm bài, dẫn đến bài chấm sẽ bị sai

Dựa vào các đánh dấu có sẵn ở 4 góc của bài thi được xác định bằng

thuật toán Hough Transform, máy sẽ tính được góc lệch của bài thi

(Tuy nhiên, do ban đầu việc scan bị lệch nên phần rìa của bài thi sẽ bị vùng đen Nên để nhận dạng 4 góc đựơc chính xác, trước đó chương trình cần chuyển vùng rìa đen sang trắng, tức loại bỏ vùng đen đó bằng

thuật toán tô màu Để cải tiến tốc độ, thuật toán tô màu dựa theo dòng quét cải tiến được sử dụng)

Sau khi tính được góc lệch của ảnh bài thi so với mẫu chấm bài,

chương trình sẽ áp dụng phép xoay ảnh, một trong các lý thuyết xử lý

ảnh, để chuyển bài thi về trạng thái đúng, tức ảnh bài thi không bị lệch nữa Lúc này, các vị trí đánh dấu của bài thi đã thay đổi, đều bị xoay một góc như ảnh bài thi, chương trình sẽ thực hiện các phép tính xoay

để xác định lại vị trí hiện tại của các đánh dấu ở 4 góc Tiếp đó, chương trình sẽ thực hiện cắt bỏ các phần thừa ngoài vùng đánh dấu của bài thi, chỉ lấy toàn bộ phần bên trong vùng đánh dấu Kết quả ta đã có đựơc một ảnh bài thi hoàn chỉnh có các vị trí chấm được xác định theo mẫu

chấm bài chuẩn Các bước trên là các giai đoạn làm chuẩn ảnh đầu vào

để việc chấm thi được chính xác

Công việc tiếp theo là chấm điểm ảnh bài thi đã được chuẩn hoá theo mẫu chấm tương ứng Dựa vào các thông tin về các vị trí cần thiết (cho việc rút trích thông tin thí sinh cũng như chấm điểm cho bài thi) từ bản

mẫu bài thi trong phần thiết kế, ta sẽ lấy ra các vùng ảnh cần được xử

lý (crop)

Tuỳ theo thông tin từ mẫu chấm, ta sẽ biết được vùng ảnh lấy ra cần thực hiện hoặc việc xem xét có tô hay không, hoặc phức tạp hơn là nhận dạng chữ viết tay in có trong vùng ảnh đó Đối với trường hợp xét

một vùng ảnh là có được tô hay không thì công việc chỉ đơn giản là

xét xem mật độ điểm đen trong vùng ảnh đó có lớn hay nhỏ hơn một ngưỡng nào đó do ta quy định sẵn từ trước Tuy nhiên, đối với trường hợp vùng ảnh chứa chữ viết tay in, công việc tương đối phức tạp hơn,

đòi hỏi phải áp dụng lý thuyết về mạng nơron để nhận dạng ký tự

được chứa trong vùng ảnh đang xét Do mạng nơron có số đầu vào xác

định cụ thể, nên vùng ảnh cần nhận dạng phải được biến đổi tỉ lệ

(scale) lại cho phù hợp với đầu vào của mạng Chi tiết về việc ứng

dụng mạng nơ ron sẽ được bàn rõ ở phần “Mạng nơ ron và ứng dụng

vào nhận dạng chữ viết tay in”

Sau khi chấm xong, thông tin của bài làm vừa có sẽ được so với đáp án

để cho ra kết quả, đưa vào danh sách các bài thi đã chấm Người dùng

có thể lưu lại danh sách kết quả này vào cơ sở dữ liệu để tiện việc xem xét lại về sau

Sau đây là sơ đồ mô tả tóm tắt quá trình chấm thi:

Hình 2-9: Sơ đồ tóm tắt quá trình chấm thi 2.2.2 Sơ Lược Các Lý Thuyết Về Xử Lý Ảnh Và Nhận Dạng

2.2.2.1 Xử lý ảnh:

2.2.2.1.1 Các thao tác xử lý ảnh cơ bản:

Trong phần chấm điểm tự động này, các thao tác xử lý ảnh được ứng dụng bao gồm: làm xám ảnh (greyscale), chuyển ảnh sang ảnh nhị phân (threshold), xoay ảnh, biển đổi tỉ lệ ảnh

Ta nhận thấy, đối với đề tài nhận dạng bài thi trắc nghiệm cụ thể như yêu cầu, màu sắc trong ảnh của bài thi là không cần thiết Do đó, thực hiện việc chuyển

đổi từ ảnh màu sang ảnh xám rồi sang ảnh nhị phân là nhằm đơn giản hoá, loại bỏ các thông tin dư thừa và chuẩn hoá đầu vào của chương trình, giúp quá trình xử lý của chương trình được gọn nhẹ và nhanh hơn

Tiếp đến, do bài thi của thí sinh khi được quét vào máy để chấm sẽ xảy ra trường hợp bài thi bị đặt nghiêng trong máy scan, dẫn đến bài thi trong ảnh đầu vào không được vuông góc như trong bản thiết kế mà sẽ bị nghiêng một góc bất kỳ Việc ứng dụng xoay ảnh ở đây nhằm xoay bài thi lại cho vuông góc như trong mẫu thiết kế

Cuối cùng, vì chương trình cho phép các file ảnh đầu vào có kích thước bất

kỳ, nên việc biến đổi tỉ lệ ảnh là cần thiết nhằm giúp chuyển các vùng cần nhận dạng hay xử lý về một chuẩn chung, cụ thể là về một kích thước chung (chẳng hạn vùng viết chữ tay cần nhận dạng sẽ được scale lại thành ảnh có kích thước 16x16 để phù hợp với đầu vào của mạng nơrôn ứng dụng cho việc nhận dạng chữ viết tay -

xem ở phần nhận dạng chữ viết tay)

Chi tiết về các thao tác này được bàn rõ ở phần phụ lục

2.2.2.1.2 Tô màu bằng thuật toán dựa theo dòng quét cải tiến

Các định nghĩa:

9 Một vùng tô bao gồm đường biên và vùng bên trong Đường biên là một đường khép kín, ví dụ như đa giác

9 Tô màu là thao tác tìm các điểm sáng “nằm bên trong” một vùng tô

9 Tô dựa theo dòng quét (scan line) là tô màu theo dòng điểm sáng trên màn hình

Cách thực hiện:

Thuật toán tô màu dựa theo đường biên: [2]

Đường biên trong thuật toán này được mô tả bằng một giá trị duy nhất

là màu của tất cả các điểm thuộc về đường biên

Bắt đầu từ điểm nằm bên trong vùng tô, ta sẽ kiểm tra các điểm lân cận của

nó đã được tô màu hay có phải là điểm biên hay không, nếu không phải là

điểm đã tô và không phải là điểm biên, ta sẽ tô màu nó Quá trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi nào không còn tô được điểm nào nữa thì dừng Bằng cách này, toàn bộ các điểm thuộc vùng tô được kiểm tra và sẽ được tô hết

Hình 2-10: quá trình thực hiện của thuật toán tô màu dựa theo đường biên

Tuy nhiên, do thuật toán này khi cài đặt có tính đệ quy, thường dẫn đến tràn bộ nhớ đối với vùng tô khá lớn Cho nên, để cải tiến, ta sẽ tiến hành loang dần và lần lượt tô từng đoạn giao theo dòng quét ngang thay vì tô theo các điểm lân cận (chẳng hạn 4 điểm lân cận) Đó chính là thuật toán tô màu

dựa theo dòng quét cải tiến được trình bày ngay sau đây

Thuật toán tô màu theo dòng quét cải tiến:

9 Giới thiệu ý tưởng:

Lưu lại thông tin của điểm bắt đầu mỗi đoạn giao nhau của dòng quét ngang thay vì phải lưu hết tất cả các điểm lân cận chưa được tô xung quanh điểm hiện hành Việc tô màu được thực hiện loang theo các dòng quét từ điểm bắt đầu hướng lên biên trên, sau khi tô xong, lại theo hướng xuống biên dưới Ứng với mỗi dòng quét ngang, ta sẽ loang và tìm pixel trái nhất để lưu lại

9 Chi tiết thuật toán:

Từ một điểm bất kỳ nằm trong vùng cần tô:

B1: ta tìm điểm bên trái nhất trong vùng cần tô của dòng kề trên và dòng kề

dưới điểm đang xét tính từ vị trí của điểm đang xét (miễn các dòng kề trên và dòng kề dưới này vẫn nằm trong vùng cần tô) Các điểm trái nhất đó, ta đưa vào một danh sách chờ theo thứ tự định sẵn (chẳng hạn điểm nằm trên trước rồi điểm nằm dưới sau) miễn các điểm đó không trùng với các điểm đã có trong danh sách chờ

B2: Ta lại tiếp tục xét cho điểm kề bên phải của điểm đang xét Nếu đã đến

đường biên thì nhảy sang B3, còn ko thì quay lại B1

B3: Ta lấy phần tử được đưa vào sau cùng của danh sách chờ rồi lại quay trở

về B1 làm tương tự như trên Nếu danh sách chờ hết phần tử thì đã tô xong vùng cần tô, thuật toán kết thúc

9 Ví dụ minh hoạ:

Trong hình 2.10 sau, đoạn giao đầu tiên chứa điểm bắt đầu (tô màu trắng) sẽ được tô trước) Sau đó các vị trí 1, 2 ứng với các đoạn giao của các dòng quét kế tiếp sẽ được lưu lại

Hình 2-11

Bước tiếp theo (hình 2.11), điểm ứng với vị trí 2 sẽ được lấy ra và tiến hành tô màu bằng cách loang từ điểm này ra theo chiều ngang, sau đó pixel ứng vị trí 3 của dòng quét kế tiếp sẽ được lưu lại

Hình 2-12

Sau khi dòng quét ứng với điểm 3 đã được xử lý tương tự như trên xong, stack lưu các vị trí của các điểm “hạt giống” cho các dòng quét kế tiếp như trong hình 2.12

Hình 2-14

Ý nghĩa:

Thuật toán tô màu dựa theo dòng quét cải tiến được dùng để tô màu 4 góc của ảnh bài thi khi mới vừa được đưa vào chấm Vì ảnh của bài thi ban đầu có phần rìa xung quanh mày đen, mà nếu cứ để như vậy rồi nhận dạng các ký hiệu định sẵn

ở bốn góc sẽ dẫn đến nhận dạng sai vị trí các ký hiệu đó

Vì vậy, ta phải dùng thuật toán tô màu để tô trắng các vùng đen ở bốn góc giúp việc nhận dạng đựơc chính xác Để giúp giảm bớt thời gian thực hiện của chương trình, trong tình huống cụ thể này, ta đã áp dụng thuật toán tô màu quét dòng cải tiến giúp việc tô màu được nhanh hơn, không tốn nhiều tài nguyên

Xét trường hợp cần nhận dạng các đường thẳng bất kỳ trong một ảnh nhị phân (với các hình ảnh trên hình được quy định có màu đen):

- Ta biết rằng với mỗi điểm đen bất kỳ trong không gian ảnh sẽ có vô số các đường thẳng đi qua điểm đó

- Ta lại biết rằng mọi đường thẳng đều có thể biểu diễn được bằng phương trình sau:

y = mx + b với m và b là 2 số thực bất kỳ, trong đó m xác định góc của đường thẳng so với trục hoành và b xác định vị trí đường thẳng cắt với trục tung

Do đó, với một cặp điểm đen (x1,y1) xác định bất kỳ, ta sẽ có thể tìm ra được

vô số cặp (m,b) ứng với các đường thẳng có thể đi qua điểm (x1,y1) đó, sao cho m

và b thoả điều kiện sau:

đi qua được cặp điểm (x,y) Với nhiều cặp điểm (x,y) sẽ xác định nhiều đường thẳng tương ứng trong không gian (m,b) Như vậy, trong không gian (m,b), nếu tại điểm (m,b) nào mà có số đường thẳng đi qua vị trí đó trong không gian (m,b) lớn hơn một giá trị cụ thể (tuỳ theo quy định chiều dài của đường thẳng lớn hơn bao nhiêu thì là được cho là đường thẳng), thì cặp giá trị (m,b) của điểm đó chính là 2 giá trị xác định nên một trong những đường thẳng cần được tìm thấy trong ảnh

Các bước thực hiện:

Cho mảng 2 chiều (m,b) Giá trị tại một vị trí trong mảng cho biết số lần đường thẳng được tạo bởi cặp giá trị (m,b) tương ứng với vị trí đó xuất hiện trong ảnh

B1: quét qua tất cả các điểm cần xét trong ảnh

B2: với mỗi điểm được xét, ta sẽ tính các cặp giá trị (m,b) thoả các đừơng

thẳng đi qua điểm đó Từ đó, ta tăng giá trị tại các vị trí (m,b) tương ứng trong mảng 2 chiều mô tả không gian (m,b) đó lên 1 đơn vị

B3: sau đó xét tất cả các phần tử trong mảng 2 chiều mô tả không gian (m,b)

đó, nếu tại phần tử nào mà có giá trị lớn hơn chiều dài quy định cần thiết để tạo nên một đường thẳng thì ta sẽ nhận dạng được một đường thẳng y = mx + b trong đó m,b xác định nhờ vào vị trí của phần tử đó

Cải tiến cho thuật toán Hough Transform cơ bản áp dụng cho việc nhận dạng các đường thẳng:

Trong phần trên, ta thấy m, b trong công thức b = y – mx không bị giới hạn Điều này có nghĩa rằng, khi m đến lên vô cực thì b cũng tương ứng đến vô cực Do

đó, việc sử dụng mảng 2 chiều (là có giới hạn) để mô tả không gian (m,b) (không có giới hạn), điều này là không tưởng trong việc lập trình Ngoài ra, theo quy định, chỉ

số của mảng không được âm

Do đó, ta cần một công thức thay thế cho công thức biễu diễn đường thẳng:

y = mx + b sao cho việc xác định các tham số (như m và b chẳng hạn) nằm trong một khoảng giới hạn xác định

Và công thức đó là:

x*cosA + y*sinA = B

Hình 2-15

trong đó:

- A là số độ của góc đuợc tạo bởi đường thẳng và trục hoành, giá trị kiểu số thực

- B là khoảng cách từ đường thẳng đó đến gốc toạ độ (áp dụng trong đề tài

là góc trên trái của ảnh), kiểu số thực

Công thức này cũng có thể biễu diễn mọi đường thẳng bất kỳ trong không gian 2 chiều như công thức y = mx + b nhưng 2 tham số A và B của nó có giới hạn trong ảnh 2 chiều:

A sẽ đựơc tính làm tròn tới 1 đơn vị hay nữa đơn vị, thậm chí thấp hơn nữa

Ví dụ, đối với đường thẳng mà tham số A chỉ cần chính xác ở 1 đơn vị, thì mảng 2 chiều ta cần tạo sẽ có chiều dài chiều A là 180 Nhưng nếu tham số A cần chính xác đến nữa đơn vị (0,5) thì mảng 2 chiều cần tạo sẽ phải có chiều dài là 180/0,5=360 Tương tự, với độ chính xác n thì chiều dài chiều A sẽ là 180/n

Ngoài ra, do mảng có chỉ số không được âm, nên thay vì A có giá trị từ -89 đến 90 độ, ta chuyển sang giá trị tương ứng từ 0 -> 179 (với 0 thực chất tương ứng cho -89, 90 tương ứng cho 179 )