Nghiên cứu về hình học Fractal viết chương trình cài đặt một số đường và mặt Fractal

Tài liệu tham khảo công nghệ thông tin Nghiên cứu về hình học Fractal viết chương trình cài đặt một số đường và mặt Fractal

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ SẢN NHA TRANG

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình cung cấp cho nhà khoa học một một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ Ngoài ra nó còn được áp dụng vào việc nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết các phức chất trong hoá học, lý thuyết tái định chuẩn Đồng thời nó còn có rất nhiều ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, đồ hoạ và xử lý ảnh.

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 Tìm hiểu tổng quan về lịch sử ra đời và các kết quả nghiên cứu của hình học phân hình.

2 Tìm hiểu các kỹ thuật hình học phân hình thông qua sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc này.3 Lựa chọn một ngôn ngữ lập trình thích hợp để cài đặt cấu trúc Fractal vừa tìm hiểu

Nội Dung Trình Bày

PHẦN I

I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình

GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC HÌNH HỌC PHÂN HÌNH

I.2 Sự phát triển của lý thuyết hình học phân hình

I.3 Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình

I.1 Sự Ra Đời Của Lý Thuyết Hình Học Phân Hình

có qui luật trong tự nhiên.

trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển

I.2 Sự Phát Triển Của Lý Thuyết

Hình Học Phân Hình

 Ứng dụng vấn đề tạo ảnh trên máy tính

I.3 Các Ứng Dụng Tổng Quát Của Hình Học Phân Hình

 Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh

 Ứng dụng trong khoa học cơ bản

Một Số Kỹ Thuật Cài Đặt Hình Học Phân Hình

II.1 Họ Đường Von KockII.2 Họ Đường Peano

II.3 Đường SierpinskiII.4 Cây Fractal

II.5 Phong Cảnh FractalII.6 Hệ Thống Hàm LặpII.7 Tập Mandelbrot

II.8 Tập Julia

II.9 Đường Cong Phoenix

PHẦN IIPHẦN II

II.1 Họ Đường Von Kock

II.1.1 Đường Hoa Tuyết Von KockII.1.2 Đường Gosper

II.1.3 Đường Von Kock Bậc Hai 3 ĐoạnII.1.4 Đường Von Kock Bậc Hai 8 Đoạn II.1.5 Đường Von Kock Bậc Hai 18 ĐoạnII.1.6 Đường Von Kock Bậc Hai 32 ĐoạnII.1.7 Đường Von Kock Bậc Hai 50 ĐoạnII.1.8 Generator Phức Tạp

II.1 Họ Đường Von Kock

Được phát sinh bằng cách sử dụng kỹ thuật đệ qui initiator/generator với kết quả là các hình tự đồng dạng hoàn toàn.

Số chiều fractal được tính theo công thức:

Trong đó:

N là số đoạn thẳng.

R là chiều dài mỗi đoạn.

)log(

II.1.1 Đường Hoa Tuyết Von Kock

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

 Các hình minh họa của đường

Mức 2

Mức 3

II.1.2 Đường Gosper

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

 Các hình minh họa của đường

Mức 1

Mức 2

D

II.1.3 Đường Von Kock Bậc Hai 3 Đoạn

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

 Các hình minh họa của đường

Mức 3

Mức 5

D

II.1.8 Generator Phức Tạp

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là: Ta có:

 Các hình minh họa của đường

Mức 2

R. MD 1

Vậy

II.2 Họ Đường Peano

II.2.1 Đường Peano Nguyên ThủyII.2.2 Đường Peano Cải Tiến

II.2.3 Tam Giác Cesaro

II.2.4 Tam Giác Cesaro Cải Tiến

II.2.5 Một Dạng Khác Của Đường CesaroII.2.6 Tam Giác Polya

II.2.7 Đường Peano Gosper

II.2.8 Đường Hoa Tuyết Peano 7 ĐoạnII.2.9 Đường Hoa Tuyết Peano 13 Đoạn

II.1 Họ Đường Peano

Được phát sinh bằng cách sử dụng kỹ thuật đệ qui initiator/generator với kết qủa là các hình tự đồng dạng hoàn toàn Các đường này có số chiều bằng 2, nên phải lấp đầy hoàn toàn mặt phẳng.

II.2.1 Đường Peano Nguyên Thủy

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

 Các hình minh họa của đường

Mức 1

Mức 3

D

II.2.3 Tam Giác Cesaro

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

Generator chứa 2 cạnh của một tam giác cân.

D

II.2.4 Tam Giác Cesaro cải tiến

Generaor được thực hiện bằng cách thay thế góc từ 90 sang 85 độ như sau.

Số chiều fractalø: gần giống

như đường Cesaro nguyên thuỷ nhưng không hoàn toàn là 2, nhưng khi số lần đệ quy tiến ra vô cực thì số chiều fractal tiến về 2.

Hình minh hoạ của đường

Mức thứ 4 của tam giác Cesaro cải tiến.

II.2.5 Một dạng khác của đường Cesaro

 Giả sử chúng ta bắt đầu với đường generator và hai mức đầu tiên như ở đường Cesaro, nhưng sử dụng sự sắp xếp khác đi khi đặt

generator về phía trái và bên phải của đoạn thẳng gốc khi chúng ta ở mức cao hơn Kết quả là nhiều đường khác nhau có thể được sinh ra từ cách sắp xếp này Hình sau cho chúng ta các mức khác nhau của đường này.

II.2.6 Tam giác Polya

 Giống như đường Cesaro, vị trí của generator đầu tiên thay đổi từ phải sang trái và được bắt đầu ở mức đầu tiên Đối với đường này, vị trí của generator cũng thay đổi đường so với mỗi đoạn thẳng tương đương với các mức khác nhau

 Hình sau cho ta thấy 2 mức đầu tiên và mức 4 của hình này

Mức 4 của tam giác Polya

II.2.7 Đường Peano-Gosper

 Generator của đường này là một lưới gồm các tam giác đều liên kết với nó ( initiator là một đoạn thẳng nằm ngang) như sau

Vì generator có số đoạn thẳng N = 7 nên số chiều fractal là.

Đường này có tính chất tự lấp đầy phần bên trong của đường Gosper Hình sau cho ta thấy mức thứ 2 của đường này.

II.2.8 Đường Hoa Tuyết Peano 7 Đoạn

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Số chiều fractal là:

 Các hình minh họa của đường

Mức 1

Mức 2

DD

II.3 Đường Sierpinski

 Mỗi đoạn thẳng được thay bằng generator như sau:

 Các hình minh họa của đường

Mức 1

Mức 2

Để phát sinh ra đường này người ta dùng các kỹ thuật giống như họ đường Von Kock và Peano.

II.4 Cây Fractal

Bắt đầu với một thân cây tại đầu mút của nó, tách thân cây thành hai hướng và vẽ hai nhánh Chúng ta lặp lại qúa trình này tại đầu mút của mỗi nhánh Kết qủa chúng ta sẽ được một cây.

Hình minh họa cây fractal:

II.5 Phong Cảnh Fractal

 Chúng ta bắt đầu bằng một tam giác và tiến hành thay thế trung điểm ứng với mỗi cạnh của tam giác này bằng một điểm trên đường trung trực của cạnh tương ứng Khoảng cách giữa trung điểm cũ và điểm mới trong mỗi lần thay thế được xác định bởi việc nhân 1 hệ số ngẫu nhiên Gauss với độ dài đoạn thẳng Kế tiếp chúng ta nối mỗi điểm vừa được tạo ra với hai đỉnh gần nhất của tam giác Sau đó, từng cặp điểm mới tạo thành sẽ được nối lại với nhau Cuối cùng chúng ta bỏ đi các cạnh của tam giác ban đầu.

Hình minh họa thay thế trung điểm:

• Hình minh họa phong cảnh fractal:

II.6 Hệ Thống Hàm Lặp (IFS)

Một IFS là tập hợp các phép biến đổi affine co tức là: IFSIR2 ; wn : n=1,2,…,N với wn là phép biến đổi affine.

Phép biến đổi affine có dạng:

với a,b,c,d,e,f là các hệ số thực.

trong không gian ba chiều có dạng:

Hình minh họa áp dụng IFS:

Lá dương xỉ 2 chiều

Lá dương xỉ 3 chiều

II.7 Tập Mandelbrot

Ký hiệu zn =( xn , yn), c=(p,q) , trong đó :

xn = Re(zn), p = Re(c), yn =Im(zn), q = Im(c), n >= 0

Thì

Thì zn+1 = zn2 +c được viết lại như sau:

xn+1 = xn2 - yn2 + pyn+1 = 2xnyn + q

Hình minh họa tập Mandelbrot:

II.8 Tập Julia

Ký hiệu zn =( xn , yn), c=(p,q) , trong đó :

xn = Re(zn), p = Re(c), yn =Im(zn), q = Im(c), n >= 0

Thì

Thì zn+1 = zn2 +c được viết lại như sau:

xn+1 = xn2 - yn2 + pyn+1 = 2xnyn + q

Hướng khảo sát bằng cách cho c cố định và xem xét dãy (zn) ứng với mỗi giá trị khác của

với mỗi giá trị khác của (zo )

Hình minh họa tập Julia:

II.9 Đường Cong Phoenix

định bởi:

zn+1 = zn2 + p +qzn-1

zi  C i  N.p = (p,0)  C.

• q = (q,0)  C.

•Phương trình được khai triển thành các phần thực và ảo của zn có dạng :

I THÀNH QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

1 CÁC ĐƯỜNG THUỘC HỌ ĐƯỜNG VON KOCK NHƯ:

1.1 Đường hoa tuyết Von Kock

1.2 Đường Gosper

1.3 Đường Von Kock bậc hai 3 đoạn 1.4 Đường Von Kock bậc hai 8 đoạn 1.5 Đường Von Kock bậc hai 18 đoạn

1.6 Đường Von Kock bậc hai 32 đoạn 1.7 Đường Von Kock bậc hai 50 đoạn 1.8 Đường Generator phức tạp

PHẦN IIIPHẦN III

2.1 Đường Peano nguyên thủy 2.2 Đường Peano cải tiến

2.3 Tam giác Cesaro

2.4 Tam giác Cesaro cải tiến

2.5 Một dạng khác của đường Cesaro 2.6 Tam giác Polya

2.7 Đường Peano Gosper

2.8 Đường hoa tuyết Peano 7 đoạn

2 CÁC ĐƯỜNG THUỘC HỌ ĐƯỜNG PEANO NHƯ:

PHẦN III

I THÀNH QUẢ ĐẠT ĐƯỢC (TT)

5 PHONG CẢNH FRACTAL

6 CÂY DƯƠNG XỈ 2 CHIỀU VÀ CÂY DƯƠNG XỈ 3 CHIỀU

7 MẶT MANDELBROT8 MẶT JULIA

9 ĐƯỜNG CONG PHOENIX

PHẦN III

II HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI

1 Chưa tìm hiểu được tất cả các cấu trúc Fractal cơ sở.

2 Chưa cài đặt được một số hiệu ứng chính như tạo các đám mây, lửa …

3 Tạo các dãy núi.

4 Một số đường chưa tìm hiểu và cài đặt kịp như đường Hilbert, đường tròn Apolo, đường cong Dragon …

III HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

1 Tạo đường Hilbert

2 Tạo đường tròn Apollo

3 Tạo họ đường cong Dragon

4 Tạo các hiệu ứng như: lửa, mây… 5 Tạo các dãy núi

PHẦN III