ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: B = x3 y z xyz ( x y)2 ( y z )2 ( x z )2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 3 a) x x 1 x 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = 3x x x 14x 8x b) B = 3x 6x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giác ABN Câu (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm ®êng chÐo AC cho BNM 900 Gäi F điểm đối xứng A qua N Chứng minh r»ng FB AC Mơn thi: Tốn Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 ThuVienDeThi.com Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: 10 x x A :x x x 4 2x x2 b Tính giá trị A , Biết x = d Tìm giá trị nguyên x để A có giá a Rút gọn biểu thức A c Tìm giá trị x để A < trị nguyên Bài : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : a b c A= 3 bc a ac b abc Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Đề 3 Bài 1: a) Thực phép chia: (x - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - a b c (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3n 3n 150 150 150 150 c) Tính 5.8 8.11 11.14 47.50 Bài 2: a) Tính S = Bài 3: Giải phương trình x 1 x 1 x 5 x 3 x b) 3 x x x x x(x x 1) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD a) vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB ThuVienDeThi.com (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: MA ' MB' MC ' =1 hb hc (Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) ĐỀ Câu a) Trong ba số a, b, c có số dương, số âm số 0; ngồi cịn biết thêm a b (b c) Hỏi số dương, số âm, số b) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy Câu 2: a) Giải phương trình: x b) Giả sử a, b, c ba số đôi khác Chứng minh rằng: a b c 0 bc ca a b a b c 0 (b c) (c a) (a b) Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax tia phân giác BAC , Ax cắt BC E Trên tia Ex lấy điểm H cho BAE Chứng minh rằng: ECH a) BE EC = AE EH b) AE2 = AB AC - BE EC Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD E; từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F Chứng minh rằng: EF // DC ĐỀ x4 x x 20 Bài 1: Cho phân thức: P= a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P x 1,5 c) Tính giá trị P Bài 2: So sánh A B biết: a) A = 2002 2004 B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD BG vng góc với AC Chứng minh: a) ACE ABG AFC CBG b) AB AE + AD AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA DA M N a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị khơng đổi ThuVienDeThi.com b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy đề Câu 1: x 7x Cho A x2 1 a) Rót gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Giải phương trình: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1) C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n: 1 1 a b c abc Tính giá trị biểu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) 2B 4C 4 Chøng minh: C©u 4: Cho ABC cã A AB BC CA C©u 5: Cho ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC Lấy D, E theo thứ tù B thuéc AB, AC cho: DME a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi b) Chứng minh DM tia phân giác góc BDE c) TÝnh chu vi cña ADE nÕu ABC tam giác đề Cõu : Giải phương trình: a) x 1 x x x ( x 2) (4 x) b) 6x2 - x - = Câu : Cho x + y + z = Rút gọn : x2 y2 z2 ( y z ) ( z x) ( x y ) Câu : Chứng minh không tồn x thỏa mãn : a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm cạnh BC cho điểm O nằm đoạn AD cho DB ; DC OA Gọi K giao điểm BO AC OD Tính tỉ số AK : KC Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M Đề ThuVienDeThi.com Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mãn m n2 n 1 n 1 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá trị nguyên dương n c) Nếu a chia 13 dư b chia 13 dư a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A= b) B= Câu 3: Tính tổng: S = bc ca ab + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 1 x x : x x x x x x 1 1 + + +…+ 1.3 3.5 5.7 2009.2011 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y, z : 2011x y z xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M trung điểm BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : Câu 5: Giải phương trình: a) BD.CE= BC2 b) DM, EM tia phân giác BDE CED c) Chu vi ADE khơng đổi PHỊNG GD&ĐT THỌ XN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THCS XN PHÚ MƠN THI: TỐN LỚP – VỊNG Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 1 Rút gọn biểu thức sau: A 2x 8 4x 2x x x x x2 2x Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: ThuVienDeThi.com x2 (2 x x 2013) 4( x x 2012) 4(2 x x 2013)( x x 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương 5x dư Chứng minh rằng: a (b c)(b c a ) c(a b)(a b c) b(a c)(a c b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + 2 AD AM AN Chứng minh rằng: Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc Chứng minh : 1 a (b c) b (c a ) c (a b) ĐỀ BÀI Bài 1) (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b Bài 2) (2 điểm) a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 số phương b) Chứng minh với số tự nhiên n phân số Bài 3) (3 điểm) a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức P b) Tìm tích: M= Bài 4) (4 điểm) 14 54 94 17 34 114 194 ThuVienDeThi.com 10n 9n tối giản 20n 20n xyz x y y z z x a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by x +y + z 0; xyz CMR: 1 2 1 a 1 b 1 c 1 yz xz xy b) Cho , tính giá trị biểu thức: P x y z x y z Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: P a) Rút gọn biểu thức P x2 x2 x x : x x2 x x2 x x b) Tìm x để P1 Bài 6: (3 điểm).Cho hình vng ABCD, gọi E, F thứ tự trung điểm AB, BC a) CMR: CE vng góc với DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh AM = AD Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ tam giác hình vng ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự tâm hình vng ABDE, ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác gì? Vì sao? MƠN THI: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm ) a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a b)3 (b c)3 (c a )3 210 Tính giá trị biểu thức Câu 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) ThuVienDeThi.com b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 x x y y z z 2 Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị khơng đổi c) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD ThuVienDeThi.com ... đổi PHỊNG GD&ĐT THỌ XN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THCS XN PHÚ MƠN THI: TỐN LỚP – VỊNG Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích... ABDE, ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác gì? Vì sao? MƠN THI: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm ) a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a)... qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M Đề ThuVienDeThi.com Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mãn m n2 n 1 n 1 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n