200 bài toán khảo sát kèm lời giải chi tiết dành cho sĩ tử ôn thi đại học cao đẳng
TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số yfx () = có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û yxD 0, ¢ ³"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û yxD 0, ¢ £"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu yaxbxca 2 '(0) =++¹ thì: + a yxR 0 '0, 0 D ì > ³"ÎÛ í £ î + a yxR 0 '0, 0 D ì < £"ÎÛ í £ î · Định lí về dấu của tam thức bậc hai gxaxbxca 2 ()(0) =++¹ : + Nếu D < 0 thì gx () luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì gx () luôn cùng dấu với a (trừ b x a 2 =- ) + Nếu D > 0 thì gx () có hai nghiệm x x 12 , và trong khoảng hai nghiệm thì gx () khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì gx () cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x x 12 , của tam thức bậc hai gxaxbxc 2 () =++ với số 0: + xxP S 12 0 00 0 D ì ³ ï £<Û> í ï < î + xxP S 12 0 00 0 D ì ³ ï <£Û> í ï > î + xxP 12 00 <<Û< · ab gxmxabgxm (;) (),(;)max() £"ÎÛ£ ; ab gxmxabgxm (;) (),(;)min() ³"ÎÛ³ B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số yfx () = đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û yxD 0, ¢ ³"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û yxD 0, ¢ £"Î và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu yaxbxca 2 '(0) =++¹ thì: + a yxR 0 '0, 0 D ì > ³"ÎÛ í £ î + a yxR 0 '0, 0 D ì < £"ÎÛ í £ î 2. Tìm điều kiện để hàm số yfxaxbxcxd 32 () ==+++ đơn điệu trên khoảng (;) ab . Ta có: yfxaxbxc 2 ()32 ¢¢ ==++ . a) Hàm số f đồng biến trên (;) ab Û yx 0,(;) ¢ ³"Î ab và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (;) ab . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình fxhmgx ()0()() ¢ ³Û³ (*) thì f đồng biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()max() ³ ab www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Nếu bất phương trình fxhmgx ()0()() ¢ ³Û£ (**) thì f đồng biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()min() £ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình fx ()0 ¢ ³ không đưa được về dạng (*) thì đặt tx =- a . Khi đó ta có: ygtatabtabc 22 ()32(3)32 aaa ¢ ==+++++ . – Hàm số f đồng biến trên khoảng a (;) -¥ Û gtt ()0,0 ³"< Û a a S P 0 00 00 0 D D ì > ï ï ì >> Ú íí £> î ï ³ ï î – Hàm số f đồng biến trên khoảng a (;) +¥ Û gtt ()0,0 ³"> Û a a S P 0 00 00 0 D D ì > ï ï ì >> Ú íí £< î ï ³ ï î b) Hàm số f nghịch biến trên (;) ab Û yx 0,(;) ¢ ³"Î ab và y 0 ¢ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (;) ab . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình fxhmgx ()0()() ¢ £Û³ (*) thì f nghịch biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()max() ³ ab · Nếu bất phương trình fxhmgx ()0()() ¢ ³Û£ (**) thì f nghịch biến trên (;) ab Û hmgx (;) ()min() £ ab Trường hợp 2: Nếu bất phương trình fx ()0 ¢ £ không đưa được về dạng (*) thì đặt tx =- a . Khi đó ta có: ygtatabtabc 22 ()32(3)32 aaa ¢ ==+++++ . – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a (;) -¥ Û gtt ()0,0 £"< Û a a S P 0 00 00 0 D D ì < ï ï ì <> Ú íí £> î ï ³ ï î – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a (;) +¥ Û gtt ()0,0 £"> Û a a S P 0 00 00 0 D D ì < ï ï ì <> Ú íí £< î ï ³ ï î 3. Tìm điều kiện để hàm số yfxaxbxcxd 32 () ==+++ đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. · f đơn điệu trên khoảng xx 12 (;) Û y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt xx 12 , Û a 0 0 D ì ¹ í > î (1) · Biến đổi xxd 12 -= thành xxxxd 22 1212 ()4 +-= (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số axbxc yad dxe 2 (2),(,0) ++ =¹ + a) Đồng biến trên (;) a -¥ . b) Đồng biến trên (;) a +¥ . www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 3 c) ng bin trờn (;) ab . Tp xỏc nh: e DR d \ ỡỹ - = ớý ợỵ , ( ) ( ) adxaexbedcfx y dxedxe 2 22 2() ' ++- == ++ 5. Tỡm iu kin hm s axbxc yad dxe 2 (2),(,0) ++ =ạ + a) Nghch bin trờn (;) a -Ơ . b) Nghch bin trờn (;) a +Ơ . c) Nghch bin trờn (;) ab . Tp xỏc nh: e DR d \ ỡỹ - = ớý ợỵ , ( ) ( ) adxaexbedcfx y dxedxe 2 22 2() ' ++- == ++ Trng hp 1 Trng hp 2 Nu: fxgxhmi ()0()()() Nu bpt: fx ()0 khụng a c v dng (i) thỡ ta t: tx a =- . Khi ú bpt: fx ()0 tr thnh: gt ()0 , vi: gtadtadetadaebedc 22 ()2()2 aaa =+++++- a) (2) ng bin trờn khong (;) a -Ơ e d gxhmx()(), a a ỡ - ù ớ ù "< ợ e d hmgx (;] ()min() a a -Ơ ỡ - ù ớ Ê ù ợ a) (2) ng bin trờn khong (;) a -Ơ e d gttii ()0,0() a ỡ - ù ớ ù "< ợ a a ii S P 0 00 () 00 0 ỡ > ù ù ỡ >D> ớớ DÊ> ợ ù ù ợ b) (2) ng bin trờn khong (;) a +Ơ e d gxhmx()(), a a ỡ - ù Ê ớ ù "> ợ e d hmgx [;) ()min() a a +Ơ ỡ - Ê ù ớ Ê ù ợ b) (2) ng bin trờn khong (;) a +Ơ e d gttiii ()0,0() a ỡ - ù Ê ớ ù "> ợ a a iii S P 0 00 () 00 0 ỡ > ù ù ỡ >D> ớớ DÊ< ợ ù ù ợ c) (2) ng bin trờn khong (;) ab ( ) e d gxhmx ; ()(),(;) ab ab ỡ - ù ẽ ớ ù "ẻ ợ ( ) e d hmgx [;] ; ()min() ab ab ỡ - ẽ ù ớ Ê ù ợ www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 4 Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu fxgxhmi ()0()()() £Û³ Nếu bpt: fx ()0 ³ không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: tx a =- . Khi đó bpt: fx ()0 £ trở thành: gt ()0 £ , với: gtadtadetadaebedc 22 ()2()2 aaa =+++++- a) (2) nghịch biến trên khoảng (;) a -¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï ³ Û í ï ³"< î e d hmgx (;] ()min() a a -¥ ì - ³ ï Û í £ ï î a) (2) đồng biến trên khoảng (;) a -¥ e d gttii ()0,0() a ì - ï ³ Û í ï £"< î a a ii S P 0 00 () 00 0 ì < ï ï ì <D> ÛÚ íí D£> î ï ³ ï î b) (2) nghịch biến trên khoảng (;) a +¥ e d gxhmx()(), a a ì - ï £ Û í ï ³"> î e d hmgx [;) ()min() a a +¥ ì - £ ï Û í £ ï î b) (2) đồng biến trên khoảng (;) a +¥ e d gttiii ()0,0() a ì - ï £ Û í ï £"> î a a iii S P 0 00 () 00 0 ì < ï ï ì <D> ÛÚ íí D£< î ï ³ ï î c) (2) đồng biến trong khoảng (;) ab ( ) e d gxhmx ; ()(),(;) ab ab ì - ï Ï Û í ï ³"Î î ( ) e d hmgx [;] ; ()min() ab ab ì - Ï ï Û í £ ï î www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 5 Cõu 1. Cho hm s ymxmxmx 32 1 (1)(32) 3 =-++- (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m 2 = . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú. ã Tp xỏc nh: D = R. ymxmxm 2 (1)232  =-++- . (1) ng bin trờn R yx 0,  " m 2 Cõu 2. Cho hm s yxxmx 32 34 =+ (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 0 = . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (;0) -Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R. yxxm 2 36  =+- . y  cú m 3(3) D  =+ . + Nu m 3 Ê- thỡ 0 D Â Ê ị yx 0,  " ị hm s ng bin trờn R ị m 3 Ê- tho YCBT. + Nu m 3 >- thỡ 0 D  > ị PT y 0  = cú 2 nghim phõn bit xxxx 1212 ,() < . Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong xx 12 (;),(;) -Ơ+Ơ . Do ú hm s ng bin trờn khong (;0) -Ơ xx 12 0 Ê< P S 0 0 0 D  ỡ > ù ớ ù > ợ m m 3 0 20 ỡ >- ù - ớ ù -> ợ (VN) Vy: m 3 Ê- . Cõu 3. Cho hm s yxmxmmx 32 23(21)6(1)1 =-++++ cú th (C m ). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2;) +Ơ ã Tp xỏc nh: D = R. yxmxmm 2 '66(21)6(1) =-+++ cú mmm 22 (21)4()10 D =+-+=> xm y xm '0 1 ộ = = ờ =+ ở . Hm s ng bin trờn cỏc khong mm (;),(1;) -Ơ++Ơ Do ú: hm s ng bin trờn (2;) +Ơ m 12 +Ê m 1 Ê Cõu 4. Cho hm s yxmxmxm 32 (12)(2)2 =+-+-++ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K (0;) =+Ơ . ã Hm ng bin trờn (0;) +Ơ yxmxm 2 3(12)(22 )0  + =-+- vi x 0) ( ; "ẻ +Ơ x fxm x x 2 23 () 41 2+ = + + vi x 0) ( ; "ẻ +Ơ Ta cú: xx xx xxfx x 2 2 2 6( 1)1 1 2 ()02 () 01; 2 41  = +- +-==-= = + Lp BBT ca hm fx () trờn (0;) +Ơ , t ú ta i n kt lun: fmm 15 24 ổử ỗữ ốứ . Cõu hi tng t: a) ymxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m (1) ạ- , K (;1) =-Ơ- . S: m 4 11 b) ymxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m (1) ạ- , K (1;) =+Ơ . S: 0 m c) ymxmxmx 32 1 (1)(21)3(21)1 3 =+ +-+ m (1) ạ- , K (1;1) =- . S: m 1 2 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 6 Cõu 5. Cho hm s ymxmxx 232 1 (1)(1)21 3 =-+ + (1) m (1) ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K (;2) =-Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; ymxmx 22 (1)2(1)2  =-+ . t tx 2 = ta c: ygtmtmmtmm 2222 ()(1)(426)4410  ==-++-++- Hm s (1) nghch bin trong khong (;2) -Ơ gtt ()0,0 Ê"< TH1: a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m mm 2 2 10 3210 ỡ ù -< ớ Ê ù ợ TH2: a S P 0 0 0 0 ỡ < ù ù D> ớ > ù ù ợ m mm mm m m 2 2 2 10 3210 44100 23 0 1 ỡ -< ù > ù ù ớ +-Ê ù ù > ù + ợ Vy: Vi m 1 1 3 - Ê< thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (;2) -Ơ . Cõu 6. Cho hm s ymxmxx 232 1 (1)(1)21 3 =-+ + (1) m (1) ạ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K (2;) =+Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R; ymxmx 22 (1)2(1)2  =-+ . t tx 2 = ta c: ygtmtmmtmm 2222 ()(1)(426)4410  ==-++-++- Hm s (1) nghch bin trong khong (2;) +Ơ gtt ()0,0 Ê"> TH1: a 0 0 ỡ < ớ DÊ ợ m mm 2 2 10 3210 ỡ ù -< ớ Ê ù ợ TH2: a S P 0 0 0 0 ỡ < ù ù D> ớ < ù ù ợ m mm mm m m 2 2 2 10 3210 44100 23 0 1 ỡ -< ù > ù ù ớ +-Ê ù ù < ù + ợ Vy: Vi m 11 -<< thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (2;) +Ơ Cõu 7. Cho hm s yxxmxm 32 3 =+++ (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3. 2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1. ã Ta cú yxxm 2 '36 =++ cú m 93 D  =- . + Nu m 3 thỡ yxR 0,  "ẻ ị hm s ng bin trờn R ị m 3 khụng tho món. + Nu m < 3 thỡ y 0  = cú 2 nghim phõn bit xxxx 1212 ,() < . Hm s nghch bin trờn on xx 12 ; ộự ởỷ vi di lxx 12 = Ta cú: m xxxx 1212 2; 3 +=-= . YCBT l 1 = xx 12 1 -= xxxx 2 1212 ()41 +-= m 9 4 = . Cõu 8. Cho hm s yxmx 32 231 =-+- (1). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong xx 12 (;) vi xx 21 1 -= . ã yxmx 2 '66 =-+ , yxxm '00 === . + Nu m = 0 yx 0,  ịÊ"ẻ Ă ị hm s nghch bin trờn Ă ị m = 0 khụng tho YCBT. www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Trn S Tựng Kho sỏt hm s Trang 7 + Nu m 0 ạ , yxmkhim 0,(0;)0  "ẻ> hoc yxmkhim 0,(;0)0  "ẻ< . Vy hm s ng bin trong khong xx 12 (;) vi xx 21 1 -= xxm xxm 12 12 (;)(0;) (;)(;0) ộ = ờ = ở v xx 21 1 -= m m m 01 1 01 ộ -= = ờ -= ở . Cõu 9. Cho hm s yxmxm 42 231 = + (1), (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1. 2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2). ã Ta cú yxmxxxm 32 '444() =-=- + m 0 Ê , yx 0,(0;)  "ẻ+Ơ ị m 0 Ê tho món. + m 0 > , y 0  = cú 3 nghim phõn bit: m m ,0,- . Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m m 101 Ê<Ê . Vy ( m ;1 ự ẻ-Ơ ỷ . Cõu hi tng t: a) Vi yxmxm 42 2(1)2 = +- ; y ng bin trờn khong (1;3) . S: m 2 Ê . Cõu 10. Cho hm s mx y xm 4 + = + (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m 1 =- . 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) -Ơ . ã Tp xỏc nh: D = R \ {m}. m y xm 2 2 4 () -  = + . Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh ym 022  <-<< (1) hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) -Ơ thỡ ta phi cú mm 11 -Ê- (2) Kt hp (1) v (2) ta c: m 21 -<Ê- . Cõu 11. Cho hm s xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (;1) -Ơ- . ã Tp xỏc nh: DR{ \1} = . xxmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta cú: fxmxx 2 ()0243 Ê-+ . t gxxx 2 ()243 =-+ gxx '()44 ị=- Hm s (2) ng bin trờn (;1) -Ơ- yxmgx (;1] '0,(;1)min() -Ơ- "ẻ-Ơ-Ê Da vo BBT ca hm s gxx (),(;1] "ẻ-Ơ- ta suy ra m 9 Ê . Vy m 9 Ê thỡ hm s (2) ng bin trờn (;1) -Ơ- Cõu 12. Cho hm s xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2;) +Ơ . ã Tp xỏc nh: DR{ \1} = . xxmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta cú: fxmxx 2 ()0243 Ê-+ . t gxxx 2 ()243 =-+ gxx '()44 ị=- Hm s (2) ng bin trờn (2;) +Ơ yxmgx [2;) '0,(2;)min() +Ơ "ẻ+ƠÊ www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Kho sỏt hm s Trn S Tựng Trang 8 Da vo BBT ca hm s gxx (),(;1] "ẻ-Ơ- ta suy ra m 3 Ê . Vy m 3 Ê thỡ hm s (2) ng bin trờn (2;) +Ơ . Cõu 13. Cho hm s xxm y x 2 23 (2). 1 -+ = - Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (1;2) . ã Tp xỏc nh: DR{ \1} = . xxmfx y xx 2 22 243() '. (1)(1) -+- == Ta cú: fxmxx 2 ()0243 Ê-+ . t gxxx 2 ()243 =-+ gxx '()44 ị=- Hm s (2) ng bin trờn (1;2) yxmgx [1;2] '0,(1;2)min() "ẻÊ Da vo BBT ca hm s gxx (),(;1] "ẻ-Ơ- ta suy ra m 1 Ê . Vy m 1 Ê thỡ hm s (2) ng bin trờn (1;2) . Cõu 14. Cho hm s xmxm y mx 22 23 (2). 2 -+ = - Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (;1) -Ơ . ã Tp xỏc nh: DR{m} \2 = . xmxmfx y xmxm 22 22 4() '. (2)(2) -+- == t tx 1 =- . Khi ú bpt: fx ()0 Ê tr thnh: gttmtmm 22 ()2(12)410 = +-Ê Hm s (2) nghch bin trờn (;1) -Ơ m yx gtti 21 '0,(;1) ()0,0() ỡ > Ê"ẻ-Ơ ớ Ê"< ợ i S P '0 '0 () 0 0 ộ D= ờ ỡ D> ờ ù > ớ ờ ù ờ ợ ở m m m mm 2 0 0 420 410 ộ = ờ ỡ ạ ờ ù -> ớ ờ ù ờ -+ ợ ở m m 0 23 ộ = ờ + ở Vy: Vi m 23 + thỡ hm s (2) nghch bin trờn (;1) -Ơ . Cõu 15. Cho hm s xmxm y mx 22 23 (2). 2 -+ = - Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (1;) +Ơ . ã Tp xỏc nh: DR{m} \2 = . xmxmfx y xmxm 22 22 4() '. (2)(2) -+- == t tx 1 =- . Khi ú bpt: fx ()0 Ê tr thnh: gttmtmm 22 ()2(12)410 = +-Ê Hm s (2) nghch bin trờn (1;) +Ơ m yx gttii 21 '0,(1;) ()0,0() ỡ < Ê"ẻ+Ơ ớ Ê"> ợ ii S P '0 '0 () 0 0 ộ D= ờ ỡ D> ờ ù < ớ ờ ù ờ ợ ở m m m mm 2 0 0 420 410 ộ = ờ ỡ ạ ờ ù -< ớ ờ ù ờ -+ ợ ở m 23 Ê- Vy: Vi m 23 Ê- thỡ hm s (2) nghch bin trờn (1;) +Ơ www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: yfxaxbxcxd 32 () ==+++ A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y 0 ¢ = có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ xx 12 , của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0 ¢ = . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích yfxqxhx ().()() ¢ =+. – Suy ra yhxyhx 1122 (),() ==. Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: yhx () = . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng dykxbdykxb 111222 :,: =+=+ thì kk kk 12 12 tan 1 - = + a B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng dypxq : =+ . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: kp = (hoặc k p 1 =- ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng dypxq : =+ một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: kp kp tan 1 - = + a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k tan = a ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện IAB SS D = . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện IAB SS D = . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. – Giải điều kiện: d Id D ì ^ í Î î . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com [...]... www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) Câu 1 · y ¢= -3x 2 + 6mx + 3(1 - m2 ) PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) ln có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y¢ ta được: Khi... - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1 Câu 5 · Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*) Trang 11 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn... hỏi tương tự: 1 2 5 2 a) y = x 3 - 3 x 2 + m2 x + m, d : y = x - Câu 8 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx ĐS: m = 0 (1) Trang 12 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2 y - 5 = 0... là tham số thực 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 £ 2 · Ta có y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9 + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 Û PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 Trang 13 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com... www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam ì x + x = 2(m - 1) Khi đó ta có: í 1 2 ỵ x1x2 = 3(m - 2) Û 8m 2 + 16m - 9 = 0 Û m = Khảo sát hàm số ì x = 3 - 2m ï Ûí 2 ï x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2) ỵ -4 ± 34 4 Câu 14 Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x 2 + 2mx -... xCT = x2 Khi đó: x1 = Do đó: x 2CĐ 2 = xCT ỉ -3m - m ư -3m + m Ûç Û m = -2 ÷ = 2 2 è ø Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 Trang 15 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các... 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt Trang 16 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số ìm > 0 ïD¢ > 0 5 4 ï Û 0 ïS < 0 ỵ Câu 21 Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (-2; 0) ·... ỉ4 2ư 4 2 ì Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: í y = 3 x - 2 Û í x = ; y = Þ M ç ; ÷ 5 5 ỵ y = -2 x + 2 ỵ è 5 5ø Trang 17 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Câu 23 Cho hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ... ø è è Trang 18 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Khảo sát hàm số 2 7m Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = (21 - m 2 ) x + 3 9 9 ì m > 21 3 10 ï D ^ d: y = -4 x + 3 Û í 2 Û m=± 2 2 ï 9 (21 - m ).3 = -1 ỵ Câu 26 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để (Cm) có các điểm... số y = x 3 - 3mx + 2 = 5 Û 3m - 1 = 5 Û m = 2; m = -4 3 (Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của ( Cm ) cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất Trang 19 www.MATHVN.com Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng · Ta có . cực đại, cực tiểu. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 10 – Giải điều kiện: dAddBd (,)(,) = . . trên (;) ab Û hmgx (;) ()max() ³ ab www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Nếu bất phương trình