Tài liệu Trao đổi nhiệt đổi lưu_chương 3 docx

Theo nguyên nhân gây chuyển động đối lưu, người ta phân toả nhiệt ra 2 loại: 1 Toả nhiệt tự nhiên là hiện tượng toả nhiệt khi đối lưu được sinh ra một cách tự nhiên, do trọng lực tạo ra

CHƯƠNG 3

TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU 3.1 CÔNG THỨC NEWTON VÀ HỆ SỐ TỎA NHIỆT α

3.1.1 Định nghĩa và phân loại tỏa nhiệt

lớp chất lưu (chất lỏng hoặc chất khí) chuyển động với bề mặt của 1 vách tiếp xúc Hiện tượng chất lưu chuyển động theo dòng tuần hoàn gọi là đối lưu

Theo nguyên nhân gây chuyển động đối lưu, người ta phân toả nhiệt ra 2 loại: 1) Toả nhiệt tự nhiên là hiện tượng toả nhiệt khi đối lưu được sinh ra một cách tự nhiên, do trọng lực tạo ra trong chất lưu không đồng nhất về nhiệt

độ

2) Toả nhiệt cưỡng bức là hiện tượng toả nhiệt khi đối lưu được tạo ra do một ngoại lực, ví dụ do bơm quạt

3.1.2 Công thức Newton và hệ số toả nhiệt α

Xét mô hình toả nhiệt gồm một bề mặt vách

có nhiệt độ giảm dần từ tW sát vách đến tf ở xa

lưu qua mặt vách được tính theo công thức qui ước,

gọi là công thức Newton, có dạng:

q=α(tW - tf), [W/m2] và Q = αF(tW - tf), [W]

trong đó tW là nhiệt độ mặt vách, tf là nhiệt độ chất

lưu ở xa vách, F là diện tích mặt tiếp xúc và

t

F

Q

t

q

∆

=

∆

=

bài toán toả nhiệt

1 2

t w

t f

x

t

α

F

ω

Hình 3.1 Phân bố t(x) trong chất lưu khi tỏa nhiệt

3.2 PHƯƠNG TRÌNH TỔNGG QUÂT CỦA HỆ SỐ TOẢ NHIỆT

3.2.1 câc thông số ảnh hưởng đến α

Hệ số tỏa nhiệt α phụ thuộc văo câc yếu tố gđy ra đối lưu vă dẫn nhiệt trong chất lưu, bao gồm câc thông số chính sau đđy:

1) Câc thông số hình học của mặt toả nhiệt

Hình dạng, kích thước vă vị trí của mặt toả nhiệt ảnh hưởng tới dòng chuyển

nhiệt có thể gồm nhiều kích thước khâc nhau, nhưng khí tính α thường chọn một kích thước duy nhất, gọi lă kích thước định tính lt

như sau

⎩

⎨

⎧

=

hạn vật hữu i

mặt ngoà bề

hoặc g nằm ngan ống

của đương kính tương

đường

đứng thẳng trụ

hoặc g mặt phẳn của

h cao chiều

t

l

Ống nằm ngang với diện tích vă chu vi của tiết diện chứa chất lỏng lă f vă u,

sẽ có đường kính tương đương

u

f 4

quanh F sẽ có dtđ =

F

u

ddt=4f/u

f

V F

ddt=6V/F

Hình 3.2 d td của vâch phẳng vă V hình trụ

2) Câc thông số vật lý của chất lưu

Câc thông số vật lý trực tiếp ảnh hưởng đến α bao gồm:

T V

V −1

∆

∆

=

ρ

µ

=

ν [m2/s]

- Câc thông số ảnh hưởng tới dẫn nhiệt lă: hệ số dẫn nhiệt λ[W/mK], hệ số khuếch tân nhiệt

p

C

a ρ

λ

Câc thông số vật lý nới trín đều thay đổi theo nhiệt độ chất lưu Để xâc định giâ trị câc thông số vật lý khi tính α, người lập công thức qui định 1 trị

số năo đó của nhiệt độ chất lưu, gọi lă nhiệt độ định tính Nhiệt độ định tính [t] có thể lấy một trong câc giâ trị sau:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

+

=

=

ût biên nhiê lớp

giữa ở lưu chất độ nhiệt là

sát vách lưu

chất độ nhiệt là

vách xa lưu chất độ nhiệt là

tf

) t t ( 2

1 t

t ] t [

f W m

W

3) Câc thông số đặc trưng cho cường độ đối lưu

- Đối lưu tự nhiín lă dòng đối lưu tự phât sinh trong chất lưu khi có độ chính trọng lượng riíng giữa câc lớp chất lưu độ chính trọng lượng riíng tỷ lệ thuận với gia tốc trọng lực g[m/s2], với hệ số nở nhiệt β[K-1] vă với độ chính nhiệt độ ∆t = tW = tf giưac chất lưu ở gần vă ở xa vâch Do đó, cường độ đối lưu tự nhiín đặc trưng bằng tích số gβ∆t, [m/s] của chất lưu

-Đối lưu cưỡng bức gđy ra bởi lực cưỡng bức của bơm, quạt được đặc trưng bằng tốc độ ω(m/s) của chất lưu Khi đối lưu cững bức, nếu trong chất lưu có g≠0 vă ∆t ≠ 0 thì luôn kỉm theo đối lưu tự nhiín

4) Câc thông số đặc trư ng cho chế độ chuyển động của chất lưu

Khi chảy tầng, câc phđn tử chất lưu chuyển động song song vâch nín hệ số

α không cao Khi tăng vận tốc ω đủ lớn dòng chảy rối sẽ xuất hiện Lúc năy câc phđn tử chất lưu xuất hiện câc thănh phần chuyển động rối loạn theo phương ngang, tăng cơ hội va đập lín vâch, khiến cho hệ số α tăng cao

Chế độ chuyển động chất lưu được phđn ra 3 dòng, đặc trưng bởi câc

Reynolds như sau:

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

÷

∈

≤

= ν

ω

=

rối chảy dòng

-độ quá dòng -) 10 (2300 Re

tầng chảy dòng

4 4

10 Re

2300 Re

l

3.2.2 phương trình tổng quât của hệ số tỏa nhiệt

Phương trình tổng quât của α lă phương trình chứa tất cả câc thông số ảnh hưởng tới giâ trị α, như đê phđn tích trín đđy, có dạng:

α = f(l, ρ, ν, a, λ, g, β(tW- tf), ω), (1) Đđy lă phương trình tính α dạng tích phđn tổng quât, phụ thuộc văo 10 biến số, mă dạng cụ thể của nó sẽ được tìm chủ yếu bằng thực nghiệm

3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHĐN TỎA NHIỆT

3.3.1.câc phương trình cđn bằng nhiệt–động lực học chất lưu

lưu dV có câc thông số ρ, Cp, a, µ, qv, p, t, ω, với mặt

tiếp xúc W có thể mô tả bằng 1 hệ câc phương trình,

gồm phương trình cđn bằng nhiệt, phương trình cđn

bằng động lực học vă phương trình cđn bằng lượng

chất lưu như sau

1) Phương trình cđn bằng nhiệt

Định luật bảo toăn năng lượng cho dV có nội dung

lă: độ tăng entanpi của dV = hiệu số dòng nhiệt(văo – ra )dV + lượng nhiệt tự phât sinh trong dV hay:

dV q dV

q div

t

τ

∂

∂

t )

tdiv dt a gr ( C ) dt a gr t C ( div q

p

ω ρ

=

ở đđy ω.gradt lă tích vô hướng của 2 vectow ω vă gradt

Do đó, nếu ký hiệu

C

a ρ

λ

q λ

t

x

t w

W

t f

ω µρa g p qv

Hình 3.3 Để lập hệ phương trinh trình vi phđn tỏa nhiệt

=

∂

∂ τ

∂

∂ +

∂

∂ τ

∂

∂ +

∂

∂ τ

∂

∂ + τ

∂

∂

= ω

+

τ

∂

∂

d

dt z

t z y

t y x

t x t dt

a

gr

t

, [K/s] là đạo hàm toàn phần của nhiệt

độ theo thời gian thì phương trình cân bằng nhiệt có dạng:

p

v 2

C

q tdiv

t a d

dt

ρ + ω

−

∇

= τ

Nếu dV không chuyển động, ω = 0, thì có

p

v 2 C

q t a

t

ρ +

∇

= τ

∂

∂

là phương trình vi phân dẫn nhiệt như nêu ở chương 2

2) Phương trình can bằng động lực họ cho dV có nội dung là:

Lực quán tính của dV = trọng lực của dV + hiệu số áp lực lên dV + lực ma sát quanh dV, hay phương trình có dạng:

ω

∇ µ +

− ρ

=

τ

ω

d

d

y

2 x 2

2ω=µ ∇ ω + ∇ ω + ∇ ω

∇

Phương trình trên còn được gọi là phương trình Naver – Stockes, là phương trình cơ bản của động lực học chất lưu

3) Phương trình liên tục

Khi trong phân tố chất lưu dV không có điển rò hoặc điểm nguồn, thì hiệu số lưu luợng (vào - ra)dV bằng độ tăng khối lượng riêng của dV, hay:

) (

−

= τ

∂

ρ

∂

= −gradρ.ω−ρdivω

Suy ra +

τ

∂

ρ

d a gr

τ

ρ d

d

=-ρdiv ω Với chất lỏng không chịu nén như nước hoặc dầu, ρ = const, thì phương trình liên tục có dạng divω=0

3.3.2 Mô hình toán học của bài toán tỏa nhiệt

nhiệt độ t và hệ số toả nhiệt α thoả mãn hệ phương trình vi phân, gồm 3 phương trình cân bằng nhiệt - động lực học chất lưu và 4 loại điều kiện đơn trị như sau:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

∈ α

=

∈ λ

=

= τ

∀

= λ µ ρ

−

ω ρ

−

=

τ

∂

ρ

∂

ω

∇ µ +

−

= τ

ω

ρ

+ ω

−

∇

=

τ

] t -) W [t(M )

W gradt(M

W biên

-z) y, t(x, 0) M, t(

: đầu ban

-f(t) ) q , a, , , C , ( định xác luật : lý vật

-W của c kích thướ dạng,

hình : hình học

: ĐKĐT các

với

f 3 3

3

v p

:

), ( div

dp a gr g p d

d

q tdiv t

a d

dt

2

v 2

Đđy lă băi toân rất phức tạp, hiện nay chưa có lời giải tổng quât Việc tính α chủ yếu dựa văo câc số liệu vă công thức thực nghiệm, như sẽ trình băy ở băi sau

3.4 LÝ THUYẾT ĐỒNG DẠNG

lý đồng dạng nhau, lă một lý thuyết chỉ đạo cho công tâc thực nghiệm

3.4.1 Câc khâi niệm đồng dạng

Câc khâi niệm đồng dạng được mở rộng từ đồng dạng hình học

1) Đồng dạng hình học: Hai vật thể hình học

được gọi lă đồng dạng nếu tỷ sô 2 kích thước

tương ứng bất kỳ lă không đổi

Ví dụ: Hai hình hộp sẽ đồng dạng khi

const C

' z

' z

y

'

y

x

'

x

=

=

=

=

l

V

' V C f

'

f

l

=

2) Đồng dạng của 2 trường vật lý

x' y'

z' l'

x y

z l

Hình 3.4 Đồng dạng hình học

Hai trường của một đại lượng vật lý ϕ=ϕ(M(x,y,z),τ) được gọi là đồng dạng nhau

) ), z , y , x ( M (

) C ), z C , y C , x C ( ' M ( '

τ ϕ

τ ϕ

= ϕ

ϕ

ϕ τ

l l

Để 2 trường vật lý đồng dạng, cần có 3 hằng số Cl,Cτ,Cϕ

3) Đồng dạng 2 hiện tượng vật lý:

được gọi là đồng dạng nhau, nếu 2 trường của mỗi đại lượng vật lý cùng tên đồng dạng nhau:

) ), z , y , x ( M (

) C ), z C , y C , x C ( ' M ( '

i

'

i

τ ϕ

τ ϕ

=

ϕ

=Cφi, ∀(M,τ)và ∀i =(1÷n)

Hai hiện tượng vật lý chỉ đồng dạng trong không gian đồng dạng về hình học, và cần (n+2) hằng số đồng dạng, là Cl, Cτ và n là hằng số Cφi

3.4.2 Tiêu chuẩn đồng dạng và phương trình tiêu chuẩn

1) Định nghĩa: Tiêu chuẩn đồng dạng là 1 biến số không thứ nguyên chứa một số đại lượng vật lý, được suy ra từ tính đồng nhất(hay tương đương) của phương trình

mô tả 2 hiện tượng đồng dạng

2) Ví dụ: khi 2 hiên tượng toả nhiệt đồng dạng, thì phương trình

n

t t

∂

∂

λ

−

=

∆

' n

t ' 't '

∂

∂ λ

−

=

∆

i = C ϕ

phương trình thứ 2 có CααCt∆t =−CλλCt∂t/(Cl∂n)→Do phương trình này tương đương với phương trình đầu , nên có

l C / C C

C

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ λ

λ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ α

α

=

= λ α

' ' ' 1 C / C C

l

l

idem

'

'

λ

α

=

λ

λ

α

= l

cho 2 hiện tượng đồng dạng, được gọi là tiêu chuẩn Nusselt

nhiệt, có thể dẫn ra các tiêu chuẩn :

Tiêu chuẩn Prandtl Pr =

a

ν

, tiêu chuẩn Reynolds Re =

ν

Galilei: Ga = g23

0 = β ∆ ρ

ρ

− ρ

sẽ được tiêu chuẩn Grashoff:

2

3 t

g

Gr

ν

∆

β

3)Phân loại : các tiêu chuẩn đồng dạng được phân ra 2 loại : tiêu chuẩn xác định chỉ chứa các thông số đã cho trong điều kiện đơn trị (ví dụ Pr và Gr) và tiêu chuẩn chưa xác định có chứa 1 thông số chưa biết Ví dụ: Nu =

λ

định vì chứa α chưa biết

ν

ω

= l

vì đã biết ω, và là tiêu chuẩn chưa xác định trong toả nhiệt tự nhiên, vì lức này chưa biết ω

4) Phương trình tiêu chuẩn là phương trình liên hệ các tiêu chuẩn đồng dạng Ví

dụ, phương trình tiêu chuẩn suy ra từ hệ phương trinh vi phân toả nhiệt có dạng tổng quát Nu=f(Re, Gr, Pr)

3.4.3 Các định lý đồng dạng và ứng dụng của nó

1) Định lý 1: hai hiện tượng đồng dạng thì trị số các tiêu chuẩn đồng dạng cùng tên bằng nhau

Định lý này cho phép xác định các thông số trong hiện tượng thực tế bằng cách

đo các thông sô trong mô hình thí nghiệm đồng dạng với nó

2) Định lý 2: Hệ phương trình vi phân và phương trình tiêu chuẩn suy ra từ hệ ấy

là tương đương nhau

Định lý này chỉ ra cách giải 1 hệ phưông trình vi phân bằng thực nghiệm theo các bước sau:

- Tính và lập bảng tương ứng các tiêu chuẩn đồng dạng và xấp xỉ bảng này bằng một phương trình tiêu chuẩn

Phương trình tiêu chuẩn là một công thức thực nghiệm, tương đương với nghiệm của hệ phương trình vi phân đã cho

3) Định lý 3: Điều kiện cần và đủ để 2 hiện tượng đồng dạng là các điều kiện đơn trị đồng dạng và các tiêu chuẩn xác định cùng tên bằng nhau

Định lý này chỉ ra cách lập mô hình thí nghiệm đồng dạng với hiện tượng cần khảo sát, bằng cách tạo các trường thông số cho trước đồng dạng và chọn các hệ

số đồng dạng sao cho tiêu chuẩn xác định bằng nhau Nó cũng cho hay phạm vi ứng dụng của một công thức thực nghiệm là lớp các hiện tượng đồng dạng với

mô hình đã xét

3.5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIÊU CHUẨN

3.5.1 Cơ sở và các bước áp dụng phương pháp PTTN

- Phương pháp PTTN là phương pháp tìm các biến số độc lập không thứ nguyên ảnh hưởng tới 1 hiện tượng vật lý nào đó, thay vào quan hệ giữa các đại lượng có thứ nguyên đã biết

- Cơ sở của phương pháp PTTN là nguyên lý cho rằng, nội dung của phương trình mô tả một hiện tượng vật lý sẽ không đổi khi thay đổi đơn vị đo các đại lượng vật lý chứa trong phương trình

- Các bước áp dụng phương pháp PTTN gồm :

1) Phân tích thứ nguyên các đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới hiện tượng để tìm hệ đơn vị cơ bản

thuộc và tìm ra các biến độc lập không thứ nguyên

- Đặc điển của phương pháp PTTN là chỉ dựa vào nhận xét tổng quát về các đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới hiện tượng, không cần lập hệ phương trình vi phân

mô tả hiện tượng Do đó phương pháp này sẽ tiện lợi khi nghiên cứu các hiện tượng mới

3.5.2 Tìm phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt bằng phương pháp PTTN

Nhận xét tổng quát về các đại lượng ảnh hưởng tới α trong bài (3.2) đã nêu ra phương trình tổng quát của toả nhiệt là:

) , g , , a , , , ( ρ ν λ β∆ ω

=

Phương pháp PTTN chuyển phương trình (1) về dạng tiêu chuẩn gồm 2 bước như sau:

1) Phân tích thức nguyên các đại lượng vật lý trong phương trình (1) gồm:

] K kgms [ ] K Wm [ ] [ ], a [ ] s m [ ] [ ], m / kg [ ] [

],

m

[

]

W= Js-1 = Nms-1=kgm2s-3 , [gβ∆t]=[ms-2], [ω]=[ms-1] và

[α] = [Wm-2K-1]=[kgs-3K-1] Suy ra đơn vị cơ bản của phương trình (1) là hệ gồm

4 đơn vị sau [kg, m, s, K]

2) Dùng hệ đơn vị cơ bản mới, là [Gkg, Mm, Ss, DK] với G, M, S, D là các hằng

số tỷ lệ khác không tùy ý, thì phương trình (1) có dạng (1’) như sau:

GS-3D-1α = f(Ml, GM-3ρ, M2S-1ν, M2S-1a, GMS-3D-1λ, MS-2gβ∆t, MS-1ω)

Để khử các đại lượng phụ thuộc, cần chọn 4 hằng số G, M, S, D theo 4 điều kiện sau:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

ν ρ λ

=

ν

=

ρ

=

=

→

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

= λ

= ν

= ρ

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

3 1 2 2

1 3 1

1 3

1 2 3

D S G

M ra suy 1

D GMS

1 S M

1 GM

1 M

l l l

l l

Thay các giá trị của M, G, S, D vào (1’) sẽ có:

αl /λ = f(1; 1’;1;a/ν;1; gβ∆tl3/ν2, ωl/ν), (1”)

Đây là phương trình tiêu chuẩn tổng quát, có dạng Nu = (Pr, Gr, Re)

Theo nguyên lý nói trên, các phương trình (1’), (1”) và (1) là tương đương nhau

3.5.3 Ý nghĩa của tiêu chuẩn đồng dạng

Các tiêu chuẩn đồng dạng là các biến số độc lập không thứ nguyên(KTN), đặc trưng cho hiện tượng toả nhiệt

1)

λ

α

= l

độ toả nhiệt, là tiêu chuẩn chưa xác định

2) Pr = ν/a là tiêu chuẩn Prandtl hay độ nhớt KTN đặc trưng cho tính chất vật lý của chất lưu, là tiêu chuẩn xác định, thường được coi như một thông số vật lý tổng hợp

3) Gr= gβ (tw - tf ) l3/ν2 là tiêu chuẩn Grashoff hay lực đẩy Archimede KTN, đặc trưng cho cường độ đối lưu tự nhiên, là tiêu chuẩn xác định

cho cường độ đối lưu cưỡng bức và chế độ chuyển động của chất lưu, là tiêu chuẩn xác định khi đối lưu cưỡng bức , và là tiêu chuẩn chưa xác định phụ thuộc

Gr khi đối lưu tự nhiên

3.5.4 Các dạng đăc biệt của phương trình tiêu chuẩn

Phương trình tiêu chuẩn tổng quát Nu = f(Re, Gr, Pr) sẽ có dạng đặc biệt trong các trường hợp sau đây

1) khi đối lưu tự nhiên hoàn toàn, thì Re là ẩn số phụ thuộc Gr, nên phương trình tiêu chuẩn sau khi khử Re = f(Gr) sẽ có dạng Nu = f(Gr, Pr)

Nu=f(Gr)

2) Khi đối lưu cưỡng bức mạnh, lúc Re>104 và chảy rối, thì có thể coi Gr

= const, nên phương trình tiêu chuẩn dạng Nu = f(Re, Pr)

Khi chất khí đối lưu cưõng bức mạnh, thì Nu = f(Re)

3.6 CÁCH XÁC LẬP 1 CÔNG THỨC THỰC NGHIỆM

3.6.1 các bước thực nghiệm

Dể xác lập quan hệ cụ thể của phương trình tiêu chuẩn cho một hiện tượng toả nhiệt cần xét, gnười ta tiến hành các bước thực nghiệm như sau:

1)Lập mô hình thí nghiệm đồng dạng với hiện tượng cần xét

khảo sát

3) Lập bảng tính các giá trị tương ứng của các tiêu chuẩn đông dạng Re, Gr,

Pr, Nu theo các số liệu đo được tại k điểm đo khác nhau, có dạng bảng (3.6.1.): Điểm

ω

= l Re

2

3

t g Gr

ν

∆ β

a

pr = ν

λ

α

= l Nu

1

2

i

k

Re1

Re2

Rei

Rek

Gr1

Gr2

Gri

Grk

Pr1

Pr2

Pri

Prk

Nu1

Nu2

Nui

Nuk

Đây là quan hệ cụ thể của Nu=f(Re, Gr, Pr), được trình bày ở dạng bảng số, có thể dùng để xác định Nu và α

(Re, Gr, Pr, Nu) nói trên bằng phương pháp đồ thị

3.6.2 phương pháp đồ thị tìm công thức thực nghiệm

Từ bảng số liệu (Re, Gr, Pr, Nu), ta có thể tìm một công thức thực nghiệm tương ứng ở dạng Nu = CRemGrnPrp, bằng cách biểu

diễn các điểm đo trên các đồ thị logarit và lần lượt xác

định các hằng số n, m, p, C như sau

1) Cố định Pr, Gr, tại các trị số Pri, Grj , biểu diễn k

điểm đo trên tọa độ (lgNu, lgRe) sẽ được k họ, mỗi họ

k đường thẳng dạng lgNu = nlgRe + lg(CGrim.Prjp) với

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

γ

1 i

k 1 j ij

tg k

1 k

1

lgNu

lgRe

G rk

G rf

G ri

G rk

G rf

G ri

G rk

G rf

G ri

P rk

P ri

P r1

Re 1 Re i Re k

θ if

Hình 3.5 Để tìm n