CHƯƠNG I VECTƠ I LÝ THUYẾT Hai vectơ Hai vectơ chúng độ dài hướng VD: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó: A uuur uur DA CB AB CD không OA OD không B O D C Tổng hai vectơ: uuur r r r Cho a , b Từ điểm A bất kỳ, ta dựng AB a , CD b Khi đó: AC gọi tổng r r hai vectơ a b Kí hiệu: AC = a + b Hiệu hai vectơ: r r r + Vectơ đối a , kí hiệu – a , vectơ ngược hướng độ dài với a r r r r + Hiệu vectơ a , b tổng a với vectơ đối b Kí hiệu: a – b = a +(– b ) Các quy tắc: + Quy tắc điểm: Với điểm A, B, C bất kỳ, ta ln có: AB BC AC + Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành thì: AB AD AC + Quy tắc hiệu: Với điểm O, A, B bất kỳ, ta ln có: OB OA AB + Nếu I trung điểm đoạn AB thì: IA IB + Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: GA GB GC Tích vectơ với số: r r Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu: k a r r + Hướng: * Nếu k k a hướng với a r r * Nếu k k a ngược hướng với a r r + Độ dài: | k a | = |k|| a | Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác: + Nếu I trung điểm đoạn AB với điểm M, ta ln có: MA MB 2MI + Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M, ta ln có: MA MB MC 3MG Điều kiện để vectơ phương: r Vectơ b phương với vectơ a ar 0 có số k cho: b kar r r Điều kiện cần đủ để điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho uuur uuur AB k AC Hệ trục tọa độ: r r r r a (a1; a2 ) a a1i a2 j M = (x; y) OM (x; y) AB ( x B x A ; y B y A ) r a (a1 ; a2 ) , b (b1 ; b2 ) r r Khi đó: * a b (a1 b1 ; a2 b2 ) r r * a b (a1 b1 ; a2 b2 ) r * k a = (ka ; ka ) Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang b ka1 r r a có số k cho: b2 ka x A xB x I Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB thì: y y A yB I x A x B xC xG Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: y y A y B yC G r * b phương với a II BÀI TẬP PHẦN A TRẮC NGHIỆM Khoanh tròn vào chữ đứng đầu phương án mà em cho đúng: Câu Vectơ có điểm đầu D điểm cuối E kí hiệu là: a DE b DE c ED d DE Câu Với vectơ ED (khác vectơ khơng) độ dài đoạn thẳng ED gọi là: a Phương vectơ ED b Hướng vectơ ED c Giá vectơ ED d Độ dài vectơ ED Câu Hai vectơ gọi khi: a Giá chúng trùng độ dài chúng b Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành c Chúng trùng với cặp cạnh tam giác d Chúng hướng độ dài chúng Câu Với ba điểm phân biệt G, H K số vectơ mà điểm đầu điểm cuối lấy số điểm cho là: a b c d Vô số Câu Cho tứ giác ABCD, số vectơ (khác vectơ không) mà điểm đầu điểm cuối lấy số điểm đỉnh tứ giác cho là: a b 12 c 18 d 24 Câu Cho trước vectơ MN số vectơ phương với vectơ cho là: a b c d Vô số Câu Cho trước vectơ MN khác vectơ khơng số vectơ hướng với vectơ cho là: a b c d Vô số Câu Cho trước vectơ MN khác vectơ khơng số vectơ vectơ cho là: a b c d Vô số Câu Hai vectơ ngược hướng phải: a Bằng b Cùng phương c Cùng độ dài d Cùng điểm đầu Câu 10 Nếu hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba (và vectơ khác vectơ khơng) hai vectơ đó: Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang a Bằng b Cùng độ dài c Cùng hướng d Ngược hướng Câu 11 Nếu điểm A, B, C thẳng hàng vectơ AB AC xảy khả năng: a Bằng b Cùng phương c Cùng hướng d Cùng độ dài Câu 12 Nếu có AB AC thì: a Tam giác ABC tam giác cân b Tam giác ABC tam giác c A trung điểm đoạn BC d Điểm B trùng với điểm C Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Khi AB AC bằng: a BD b CB c d Một kết khác Câu 14 Cho lục giác ABCDEF, gọi O giao điểm đường chéo, cặp vectơ vectơ AB là: a OC DE b FO CO c OF ED d OC ED Câu 15 Cho hình bình hành MNPQ, đó: a MN PQ NP MQ b MN PQ NP QM c MN QP NP QM d MN QP NP MQ Câu 16 Cho tam giác MNP vuông M MN = 3cm, MP = 4cm Khi độ dài vectơ NP là: a 3cm b 4cm c 5cm d 6cm Câu 17 Các điểm D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC Khi đó: a DF BE CE b AF FD c EF AD DB d DE AF FC Câu 18 Cho tứ giác ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), điểm M, N, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Khi đó: a MN EF b NE FM c MN EF d ME FN r r r Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 2i j có tọa độ là: a (2; 3) b (2; -3) c (-2; -3) d (-2; 3) Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 2i j Khi vectơ 2u có tọa độ là: a (4; -6) b (-4; -6) c (-4; 6) d (4; 6) Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 2i j , v 5i j vectơ u v có tọa độ là: a (-3; 4) b (-3; -4) c (3; -4) d (7; 10) Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 2i j , v 7i 11 j vectơ u v có tọa độ là: a (9; 8) b (-9; 8) c (-9; -8) d (9; -8) Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 24i 31 j , v 11i 23 j vectơ u 2v có tọa độ là: Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang a (46; 77) b (46; -77) c (-46; 77) d (-46; -77) Câu 24 Cho a x1 , y1 b 2 x1 1;3 y1 1 Ta có a 3b khi: a x1 ; y1 c x1 1; y1 10 b x1 1; y1 d x1 1; y1 ¡ Câu 25 Cho A = (-1; 5) B = (1; -2) Các điểm C D thỏa mãn OD 3OC OC 2OA Khi tọa độ vectơ CD là: a (2; -7) b (3; 5) c (1; -16) d (1; 4) Câu 26 Cho M = (2; -1), N = (-1; -2) P = (5; -3) trọng tâm G tam giác MNP có tọa độ là: a (-2; 2) b (2; -2) c (6; 6) d (-2; -2) Câu 27 Cho M = (2; -3) điểm I = (1; 0) Tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua điểm I là: a (2; 3) b (-2; 3) c (-1; 3) d (0; 3) Câu 28 Cho A = (-1; 5) B = (1; -2) Gọi điểm C D điểm cho OD 3OB OC 7OA Khi tọa độ vectơ 2CD là: a (8; 58) b (-8; 58) c (8; -58) d (-8; -58) Câu 29 Cho tam giác ABC, có A = (2; 3), B = (1; 2), trọng tâm G = (5; 6) Tọa độ đỉnh C là: a (2; 13) b (12; 1) c (2; 1) d (12; 13) Câu 30 Cho điểm A(1; 2), B(8; 10), C(-7; -5) Điểm M thỏa mãn MB 3MC MA Tọa độ M là: a (41; 43) 41 43 ; 3 c 41 43 ; 3 41 43 d ; 3 b PHẦN B TỰ LUẬN Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng quy tắc, hai vectơ Cho hình bình hành ABCD tâm O, M điểm Chứng minh rằng: uuuur uuuur uuur a MC MA MB MD b MC MD AB c BD BA OC OB d BC BD BA Cho hai tam giác ABC A’B’C’có trọng tâm tương ứng G G’ Chứng minh rằng: AA BB CC 3GG Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo tương ứng O O’ Chứng minh rằng: AA BB CC DD 4OO Cho điểm A, B, C, D tùy ý Chứng minh rằng: a AB CD AD CB b AC BD AD BC c AB CD AC BD Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: AE FB CD AD EB CF Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang Cho điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh rằng: a AB CD EA CB ED b CD EA CA ED Cho tam giác ABC Gọi E trung điểm đoạn BC Các điểm M, N theo thứ tự nằm cạnh BC cho E trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng: uuur uuur uuuur uuur AB AC AM AN Xác định vectơ tổng, hiệu dựa vào định nghĩa Tính độ dài vectơ Cho tam giác ABC a Xác định u AB AC b Xác định t AB CA c Xác định z BA BC CA d Xác định v AB CA BC e Xác định M N cho: BM BA BC ; AN AB AC BC Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Tính độ dài vectơ: a AB AC b AB BH c AB AC d CA CB 10 Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Tính độ dài vectơ: a AC AB b AB AD c AB BC d BA BC e OA OC f OB BC g AB AC h OA OD Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng biểu thức trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác 11 Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh rằng: 1 MN AD BC AC BD 2 12 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh rằng: Nếu AA BB CC thì: G G 13 Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AB CD; I J trunguuu điểm uuu haiur đường chéo AC BD Chứng minh uu rằng: r uuur uuur uuur r a uuu b AD BC MN AD CB IJ r uuur uur c AB CD IJ 14 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CD Chứng minh rằng: uuuur uuur uuur a AM BN AC b AM BN AP BM MC c AM BN CP d OA OB OC OM ON OP, O 15 Cho tam giác ABC Gọi I, E, F trung điểm cạnh BC, AB, AC G trọng tâm Lấy M điểm Chứng minh rằng: a MB MC 2MI b MA MB MC 3MG c GI GE GF d MA MB MC MI ME MF Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a (2;1) ; b (3;0) ; c (1;2) Tìm m, n để: c ma nb 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3), C(-2; 4), D(2; -2) Tìm tọa độ vectơ: Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang a AB CD 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a (1;2) ; b (5;7) Tìm tọa độ vectơ: a a b b a b c a 2b d 2a b e 2a 3b f 3a 2b 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3) Tìm tọa độ của: a A’ đối xứng với A qua B b B’ đối xứng với B qua A 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5), D(4; -3) Tìm tọa độ trung điểm của: a AB b BC c CD d DA e AC f BD 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5) Tìm tọa độ của: a Trọng tâm tam giác ABC b D cho ABCD hình bình hành 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-1; 2), C(1; 5).Gọi M, N trung điểm AB AC Tìm tọa độ vectơ MN Biểu diễn vectơ theo vectơ cho trước 23 Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB AC 24 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Hãy biểu diễn vectơ AE , AF , uuur uur AD , AG , AI , theo hai vectơ AB , AC 25 Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 3MC Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB , AC Chương VECTƠ ThuVienDeThi.com Trang ... Câu V? ?i ba ? ?i? ??m phân biệt G, H K số vectơ mà ? ?i? ??m đầu ? ?i? ??m cu? ?i lấy số ? ?i? ??m cho là: a b c d Vô số Câu Cho tứ giác ABCD, số vectơ (khác vectơ không) mà ? ?i? ??m đầu ? ?i? ??m cu? ?i lấy số ? ?i? ??m đỉnh tứ giác... c Giá vectơ ED d Độ d? ?i vectơ ED Câu Hai vectơ g? ?i khi: a Giá chúng trùng độ d? ?i chúng b Chúng trùng v? ?i cặp cạnh đ? ?i hình bình hành c Chúng trùng v? ?i cặp cạnh tam giác d Chúng hướng độ d? ?i chúng... -3) ? ?i? ??m I = (1; 0) Tọa độ ? ?i? ??m N đ? ?i xứng v? ?i ? ?i? ??m M qua ? ?i? ??m I là: a (2; 3) b (-2; 3) c (-1; 3) d (0; 3) Câu 28 Cho A = (-1; 5) B = (1; -2) G? ?i ? ?i? ??m C D ? ?i? ??m cho OD 3OB OC 7OA Khi tọa