Bộ giáo dục và đào tạoTrường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài:
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1 1) Giả sử hàm f :R2 →R cho bởi công thức
( )
= +
≠ + +
=
0
0
0
,
2 2
2 2 2
2 2
y x
y x y
x
y x y
x f
nếu nếu
a) Xét tính liên tục của f trên R 2 b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi
n
n n
x
x
+
− +
∑∞
1 1 2
1
0
Câu 2 Kí hiệu l =1 { }
∑∞
= 1
,
; :
n n n
n x C n N x x
1
=
−
=
n
n
n y x y
x
1
1
2
= ∑∞
=
n
n
n y x y
x
d với x={ }x n ; y ={ }y n thuộc l 1
Chứng minh rằng
a)d , 1 d lần lượt là các mêtric trên 2 l ;1
b) không gian (l1,d1) đầy đủ ; khả li
c) Không gian (l1,d2) không đầy đủ
Câu 3 Giả sử C[ ]0,1 là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ]0 với chuẩn sup,1
và A:C[ ]0,1 →C[ ] 0 , 1 biến x thành Ax cho bởi ( )( )Ax t =t2x( )t với mọi x∈C[ ] 0 , 1 và t∈[ ]0,1
a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính A
b) Chứng tỏ rằng A( )C[ ]0 , 1 là không gian con đóng của C[ ]0,1
Câu 4 ánh xạ f :X →Y từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có f( )A đóng trong Y Chứng minh rằng f :X →Y là đóng khi và chỉ khi
f A ⊂ f A với mọi A⊂ X
Trang 2Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Gọi E n+1Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực Trong
1
+
n
E cho các đa thức u k( )x với 0≤k ≤n được xác định như sau:
0
0 =
u ;u k( )x =x(x−1)(x−2) (L x−k+1) với 0≤k ≤n a) Chứng minh rằng các đa thức { }n
k k
u =0 lập thành một cơ sở của E n+1 b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính ϕ của E n+1 thoả mãn n+1
điều kiện ( ) k
k u
x =
ϕ , k =0, ,12,K,n Và ϕ là một song ánh.
c) Xác định ánh xạ ∂:E n+1 → E n+1 bởi điều kiện ∂[ ]p( )x = p(x+1) ( )− p x ; ∀p x( )∈E n+1 Hãy chứng minh ∂ là một ánh xạ tuyến tính Tìm nhân và ảnh của∂ Tìm các đa thức
( )
(u k x )
∂ ;k =0,,12,K,n
Câu 2 a) Cho G là một nhóm Xyclic Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng
cấu với G
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic
Câu 3 Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ Ô và trường các lớp đồng dư Â (với p là sốp
nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố
b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì Chứng tỏ rằng X≅ Ô hoặc X≅ Â (với p là một sốp nguyên tố nào đó)
Câu 4 Giả sử phép biến đổi tuyến tính ϕ của không gian R3 đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:
A
− −
− −
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ
b) Tìm một cơ sở của R3 mà đối với nó ma trận của ϕ có dạng tam giác Viết ma trận đó.
c) Giá trị riêng của ϕ có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.
Trang 3Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1 Cho hàm số ( )
= +
≠ + +
=
0
0
0
,
2 2
2 2 2
2 2
y x
y x y
x
y x y
x f
nếu nếu
Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đã chi trên miền xác định của nó
Câu 2 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∑∞ ( ) ( )
=
−
1
1
3
2 1
n
n n
n
x
Câu 3 Giả sử R n ={ (x1,x2,K,x n) }:x i ∈R,i= ,12,L,n} và p∈( )0,1 Vói mỗi tập
x= 1,K, ; y=(y1,K,y n) ta đặt ( ) ∑
=
−
= n
i
p i
i y x y
x d
1
=
−
= n
i
i
i y x y
x
1
,
rằng:
a) (R n, ) là không gian mêtric đầy đủ.d
b) ánh xạ đồng nhất i d :(R n, )d ( n,ρ)
R
→ liên tục
Câu 4 Cho hàm f :Ă Ă xác định bởi→
+
=
∈
∉
=
n n A x if n
x if x
f
n
1 , 1
1
1, 0 0
,n= ,12,K
Với mỗi n∈N∗ ta đặt ∑
=
= n
k
A
f
1
λ ( λ là hàm đặc trưng của A A n n)
Chứng minh rằng
a) f n ↑ f trênĂ
b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe ∫ f x dx( )
Ă
c) Hàm f không khả tích Lơ be trên 2 Ă
Câu 5 Kí hiệu C[ ]0,1 là không gian tất cả các hàm liên tục x: 0,1[ ]→Ă với bất kì
∈
y
x, C[ ]0 , 1 ta đặt ( )
0,1
t
∈
a) ánh xạ f :C[ ]0,1 →C[ ]0,1 cho bởi [f( )x ] ( )t x( )s ds
t
∫
=
0
, x∈C[ ] 0 , 1 là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính chuẩn của f.
b) (C[ ]0,1,d) không phải là không gian compact
Trang 4Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi:
1
( 1) ln
n
∞
=
−
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:
12
n
n
x n
∞
=
c) Tính tổng của chuổi lũy thừa: 2
1
( 1) n n
n n x
∞
−
=
+
∑
1
:
n
∞
=
= ⊂ < ∞
n
∈
N
( )
1 2 2 1
n
∞
=
∑ với x={ }x n ; y ={ }y n thuộc l2
a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên l 2
b) ánh xạ đồng nhất I : d ( , ) ( , )l d2 → l2 p là ánh xạ liên tục
Câu 3 a) Cho hàm f ≥ 0 đo được, hữu hạn h k n trên tập hợp A, đặt
( ) f(x) 0 f(x) n f(x) n
n
nếu nếu và f n →f h k n Chứng minh rằng lim A n ( ) A
x I f d à L I fd à
b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi
E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó
Câu 4 ánh xạ f: E → F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho f x( ) ≤C với mọi x ∈ E mà x ≤1 Chứng minh rằng để f: E → F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục
Trang 5Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và f :V →V là ánh xạ tuyến tính
a) Chứng minh dim( )imf +dim(ker f)=n
b) Giả sử f đơn cấu Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.
c) Giả sử f2 = f Chứng minh imf ⊕ker f =V
d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f Chứng minh rằng f
được xác định bởi f( )x =α x (α là số thực cho trước).
Câu 2 Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n Chứng minh rằng:
a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic
b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con
c) X≅Y khi và chỉ khi m=n
d) XìY là nhóm Xyclic cấp mìn khi và chỉ khi (m,n)=1
Câu 3 Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị Một Iđêan A≠ X của X được gọi là Iđêan tối
đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A Một Iđêan P của X được
gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v X∈ thì tích u.v P∈ kéo theo u P∈ hoặc v P∈ Giả sử I
là Iđêan của X Chứng minh rằng:
a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại
b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại
c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại
Trang 6Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho chuổi hàm: ( ) ( )
1
1
2 1 3
n
n
n
x n
∞
=
−
−
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó
Câu 2 Cho hàm số ( ), y cos 1x 0
0 0
x
f x y
x
=
nếu nếu a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f
b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R2 nhưng mở trong tập {(0, ) :y y∈Ă }
Câu 3 Cho dãy hàm
( ) [ ] [ ]
[ ]0,1, ,12,K
0
1, 0
1
=
∉
∈
x
x nx
n x
f n
nếu nếu
Chứng minh rằng
a)lim n( )
x f x x
→∞ = với ∀x∈[ ]01,
b) lim 1
2
n
x If
→∞ = trong đó If là tích phân Lơbe của n f trên R, n [ ]nx là phần nguyên của nx
Câu 4 Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; ∞ c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới0
0
a) Chứng minh rằng công thức
sup n
n
∈
=
N với x={ }x n ∈ l xác định một chuẩn trên ∞ l ∞
b) Chứng minh rằng c là không gian con đóng trong 0 l với chuẩn nói trên.∞
c) Cho ánh xạ f :l∞ →Rxác định bởi công thức ( )
13
n n n
x
f x
∞
=
=∑ , với mọi x={ }x n ∈
∞
l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên l và tính f ∞
Câu 5 Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.
Chứng minh rằng với mọi x ∈ E, đều tồn tại y ∈ B sao cho x y− = d(x, B)
Trang 7Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( )
∑∞
−
1
n
n n
x
Xét tính khả vi của tổng chuỗi (1) tại những điểm trong miền hội tụ của nó
Câu 2 1) Xét tính liên tục của hàm số ( )
=
≠
=
0 0
0 y
1 sin ,
y
y x
y x f
nếu nếu
2) Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm f không đóng , không mở trong
2
R nhưng mở trong R.
Câu 3 Cho dãy hàm
[ ]0,1, ,12,K
0
1, 0
1
=
∉
∈
x
x nx
n x
f n
nếu nếu
Chứng minh rằng
a)lim n( )
x f x x
→∞ = với ∀x∈[ ]01,
b) lim 1
2
n
x If
→∞ = trong đó If là tích phân Lơ be của n f trên R, n [ ]nx là phần nguyên của
nx
Câu 4 Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; ∞ c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới0
0
a) Chứng minh rằng công thức d( )x,y =supn∈N x n −y n với x={ }x n ; y ={ }y n ∈ l xác∞
định một mêtric trên l và mêtric được sinh bởi một chuẩn trên ∞ l ∞
b)Chứng minh rằng c là tập con đóng trong 0 l ∞
c) Cho ánh xạ f :l∞ →R bởi công thức ( ) ∑∞
=
=
12
n n n x x
f với mọi x={ }x n thuộc l Hãy∞
chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính , liên tục trên l và tính f ∞
Câu 5 Giả sử E là không gian định chuẩn , E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục∗
trên E và a là một điểm thuộc E Chứng minh rằng ánh xạ Φa :E∗ →C được cho bởi công thức
( ) ( )f = f a
Φ ; ∀f ∈E∗ là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và Φ = a
Trang 8Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực và ϕ : V →V là
ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó
a) Chứng minh rằng ϕ là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.
b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ
Câu 2 Cho ánh xạ f :Ă Ă xác định bởi2− 3
f( ) (x,y = 2x−y,x+ y,x−2y+m)
a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ker và f dim( )imf trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính.
Câu 3 a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với m∈Â
b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành Â[5] các số thực có dạng a+b 5 với a, b là các
số nguyên
Câu 4 Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p Chứng minh ánh xạ p
x
x→ (x∈K) là một
tự đồng cấu khác không của trường K Từ đó hãy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p ta có a p ≡a(modp)
Câu 5 Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường.
a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic
b)Nhóm thương Ô /Â có đẳng cấu với Ô hay không?
Trang 9Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∑n∞=1n(1+n2x2)
x
Câu 2 Cho hàm số
( ) ( )
=
≠ +
=
0 , 0 ,
0
0 , 0 ,
1 cos
3
y x
y x y
x
x y x f
nếu nếu
a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0
b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm ( )0 ,0
Câu 3 Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với
hàm
( )
≠
=
=
n x e
n
x y
x f
x 1
1
sinx ,
nếu
nếu
, n= ,12,3,K trên đoạn [ ]0 ,1
Câu 4 Giả sử l∞ ={ { }x n ⊂R:supn x n <∞};
A={e n =(0,K,0,,10,0,K),n= ,12,K}
Chứng minh rằng :
a) Các công thức ( ) ∑∞
=
−
=
1
n
n
n y x y
x
d , d∞( )x,y =supn x n −y n với x={ }x n ; y={ }y n
lần lượt xác định mêtric trên l ;1 l ∞
b) l1 ⊂l∞ nhưng (l1,d∞) không đóng trong (l∞,d∞)
c) SpanA trù mật trong (l1,d1) nhưng không trù mật trong (l∞,d∞), trong đó SpanA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A
d) ánh xạ ϕ:(l∞, ∞) (→ l1, 1) với ( ) , { }
2
n
n n
x
ϕ = ∀ = ∈ ∞
là ánh xạ tuyến tính
liên tục Tính ϕ ( x ∞ =supn x n ; ∑∞
=
=
1
1
n n x
x ) với x={ }x n )
Câu 5 Chứng minh rằng { }A là dãy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho n X
A= thì với mọi n thì X =I∞ A n
Trang 10Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 a) Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ của Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:3
− −
− −
Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng củaϕ
b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mãn A2 + =I 0 thì A không
có giá trị riêng thực Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mãn
A + =I (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ).
Bài 2 Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ.
Với mỗi a ∈ G, xét ánh xạ fa : G → G
x a a-1xa a) Chứng minh rằng fa là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác
định bởi a
b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký hiệu là IntG của nhóm AutG Hơn nữa, IntG ∆ AutG.
c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ước chuẩn của G khi và chỉ khi fa(H) = H với mọi fa ∈ IntG
d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG cũng không là Cyclic
Bài 3 Cho tập X = x y : ,x y 3
y x
∈
Z , trong đó Â là trường các lớp đồng dư theo3 modul 3
a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường
b) Tìm đặc số của trường X
Bài 4 a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thức K[x] là một vành chính.
b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vành chính c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x] Chứng minh rằng I gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính
Trang 11Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho hàm số
( )
=
≠
+
=
0 y 0
0 y y
x 1 ln y
2 2
nếu
nếu
y x f
Chứng minh rằng
a) f xy''(x,y)và f ỹ''(x,y) khôgnliên tục tại điểm (0,0)
b) ''(0,0)
xy
f = ''(0,0)
yx
Câu 2 a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm x (x n π)
n n n
n
+
∑∞
= 4 2 sin
1
b)Tính tổng của chuỗi hàm ( ) 2
2
1 −
∞
=
n
x n
n trong miền hội tụ của nó
Câu 3 Giả sử (X, d) là không gian mêtric , f :X →X là một ánh xạ liên tục Chứng minh rằng a) Tập hợp A={x∈X : f( )x = x} là đóng
b) Nếu X là tập compact và A≠φ thì tồn tại số c>0 sao cho d(f(x),x)≥x với mọi x∈X
Câu 4 Giả sử { }f n là dãy các hàm đo được trên A∈ A sao cho ∑∫∞= f d à <+∞
n A
n
1
Chứng minh
rằng hàm ∑∞
= 1
n
n
f khả tíc trên A và f d à f d à
A n n
n A
n ∫ ∑
∞
=
∞
.
Câu 5 Kí hiệu [ ]2
1 , 0
C là không gian tuyến tính các hàm khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn [0,1] Với mỗi x∈C[ ]20 , 1 ta đặt x = x( )0 + x'( )1 +maxt∈[ ]0,1 x' ('t)
a) Chứng minh rằng công thức trên xác định một chuẩn trên C[ ]20,1 ;
b) Chứng minh rằng toán tử A: [ ]2
1 , 0
C → [ ]2
1 , 0
C cho bởi công thứcAx( )t = x('t)+x' ('t) với mọi
∈
x C[ ]20 , 1 , t∈[ ]0,1 tuyến tính nhưng không liên tục