1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tài liệu Trọn bồ đề thi cao học vinh docx

15 1,5K 12

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 217,09 KB

Nội dung

Bộ giáo dục và đào tạoTrường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài:

Trang 1

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu1 1) Giả sử hàm f :R2 →R cho bởi công thức

( )

= +

≠ + +

=

0

0

0

,

2 2

2 2 2

2 2

y x

y x y

x

y x y

x f

nếu nếu

a) Xét tính liên tục của f trên R 2 b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi

n

n n

x

x

 +

− +

∑∞

1 1 2

1

0

Câu 2 Kí hiệu l =1 { }

∑∞

= 1

,

; :

n n n

n x C n N x x

1

=

=

n

n

n y x y

x

1

1

2

= ∑∞

=

n

n

n y x y

x

d với x={ }x n ; y ={ }y n thuộc l 1

Chứng minh rằng

a)d , 1 d lần lượt là các mêtric trên 2 l ;1

b) không gian (l1,d1) đầy đủ ; khả li

c) Không gian (l1,d2) không đầy đủ

Câu 3 Giả sử C[ ]0,1 là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ]0 với chuẩn sup,1

và A:C[ ]0,1 →C[ ] 0 , 1 biến x thành Ax cho bởi ( )( )Ax t =t2x( )t với mọi xC[ ] 0 , 1 và t∈[ ]0,1

a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính A

b) Chứng tỏ rằng A( )C[ ]0 , 1 là không gian con đóng của C[ ]0,1

Câu 4 ánh xạ f :XY từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có f( )A đóng trong Y Chứng minh rằng f :XY là đóng khi và chỉ khi

f Af A với mọi AX

Trang 2

Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999

Môn: Đại số

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Gọi E n+1Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực Trong

1

+

n

E cho các đa thức u k( )x với 0≤kn được xác định như sau:

0

0 =

u ;u k( )x =x(x−1)(x−2) (L xk+1) với 0≤kn a) Chứng minh rằng các đa thức { }n

k k

u =0 lập thành một cơ sở của E n+1 b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính ϕ của E n+1 thoả mãn n+1

điều kiện ( ) k

k u

x =

ϕ , k =0, ,12,K,nϕ là một song ánh.

c) Xác định ánh xạ ∂:E n+1 → E n+1 bởi điều kiện ∂[ ]p( )x = p(x+1) ( )− p x ; ∀p x( )∈E n+1 Hãy chứng minh ∂ là một ánh xạ tuyến tính Tìm nhân và ảnh của∂ Tìm các đa thức

( )

(u k x )

∂ ;k =0,,12,K,n

Câu 2 a) Cho G là một nhóm Xyclic Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.

b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng

cấu với G

c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic

Câu 3 Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào.

a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ Ô và trường các lớp đồng dư Â (với p là sốp

nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố

b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì Chứng tỏ rằng X≅ Ô hoặc X≅ Â (với p là một sốp nguyên tố nào đó)

Câu 4 Giả sử phép biến đổi tuyến tính ϕ của không gian R3 đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:

A

− −

 − − 

a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ

b) Tìm một cơ sở của R3 mà đối với nó ma trận của ϕ có dạng tam giác Viết ma trận đó.

c) Giá trị riêng của ϕ có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.

Trang 3

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu1 Cho hàm số ( )

= +

≠ + +

=

0

0

0

,

2 2

2 2 2

2 2

y x

y x y

x

y x y

x f

nếu nếu

Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đã chi trên miền xác định của nó

Câu 2 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∑∞ ( ) ( )

=

1

1

3

2 1

n

n n

n

x

Câu 3 Giả sử R n ={ (x1,x2,K,x n) }:x iR,i= ,12,L,n} và p∈( )0,1 Vói mỗi tập

x= 1,K, ; y=(y1,K,y n) ta đặt ( ) ∑

=

= n

i

p i

i y x y

x d

1

=

= n

i

i

i y x y

x

1

,

rằng:

a) (R n, ) là không gian mêtric đầy đủ.d

b) ánh xạ đồng nhất i d :(R n, )d ( n,ρ)

R

→ liên tục

Câu 4 Cho hàm f :Ă Ă xác định bởi→





 +

=

=

n n A x if n

x if x

f

n

1 , 1

1

1, 0 0

,n= ,12,K

Với mỗi nN∗ ta đặt ∑

=

= n

k

A

f

1

λ ( λ là hàm đặc trưng của A A n n)

Chứng minh rằng

a) f nf trênĂ

b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe ∫ f x dx( )

Ă

c) Hàm f không khả tích Lơ be trên 2 Ă

Câu 5 Kí hiệu C[ ]0,1 là không gian tất cả các hàm liên tục x: 0,1[ ]→Ă với bất kì

y

x, C[ ]0 , 1 ta đặt ( )

0,1

t

a) ánh xạ f :C[ ]0,1 →C[ ]0,1 cho bởi [f( )x ] ( )t x( )s ds

t

=

0

, xC[ ] 0 , 1 là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính chuẩn của f.

b) (C[ ]0,1,d) không phải là không gian compact

Trang 4

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi:

1

( 1) ln

n

=

b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:

12

n

n

x n

=

c) Tính tổng của chuổi lũy thừa: 2

1

( 1) n n

n n x

=

+

1

:

n

=

= ⊂ < ∞

n

N

( )

1 2 2 1

n

=

∑  với x={ }x n ; y ={ }y n thuộc l2

a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên l 2

b) ánh xạ đồng nhất I : d ( , ) ( , )l d2 → l2 p là ánh xạ liên tục

Câu 3 a) Cho hàm f ≥ 0 đo được, hữu hạn h k n trên tập hợp A, đặt

( ) f(x) 0 f(x) n f(x) n

n

nếu nếu và f n →f h k n Chứng minh rằng lim A n ( ) A

x I f d à L I fd à

b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi

E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó

Câu 4 ánh xạ f: E → F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho f x( ) ≤C với mọi x ∈ E mà x ≤1 Chứng minh rằng để f: E → F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục

Trang 5

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000

Môn: Đại số

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và f :VV là ánh xạ tuyến tính

a) Chứng minh dim( )imf +dim(ker f)=n

b) Giả sử f đơn cấu Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.

c) Giả sử f2 = f Chứng minh imf ⊕ker f =V

d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f Chứng minh rằng f

được xác định bởi f( )x =α x (α là số thực cho trước).

Câu 2 Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n Chứng minh rằng:

a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic

b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con

c) X≅Y khi và chỉ khi m=n

d) XìY là nhóm Xyclic cấp mìn khi và chỉ khi (m,n)=1

Câu 3 Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị Một Iđêan A≠ X của X được gọi là Iđêan tối

đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A Một Iđêan P của X được

gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v X thì tích u.v P kéo theo u P hoặc v P∈ Giả sử I

là Iđêan của X Chứng minh rằng:

a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại

b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại

c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại

Trang 6

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Cho chuổi hàm: ( ) ( )

1

1

2 1 3

n

n

n

x n

=

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)

b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó

Câu 2 Cho hàm số ( ), y cos 1x 0

0 0

x

f x y

x

= 

nếu nếu a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f

b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R2 nhưng mở trong tập {(0, ) :y y∈Ă }

Câu 3 Cho dãy hàm

( ) [ ] [ ]

[ ]0,1, ,12,K

0

1, 0

1

=



x

x nx

n x

f n

nếu nếu

Chứng minh rằng

a)lim n( )

x f x x

→∞ = với ∀x∈[ ]01,

b) lim 1

2

n

x If

→∞ = trong đó If là tích phân Lơbe của n f trên R, n [ ]nx là phần nguyên của nx

Câu 4 Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới0

0

a) Chứng minh rằng công thức

sup n

n

=

N với x={ }x nl xác định một chuẩn trên l

b) Chứng minh rằng c là không gian con đóng trong 0 l với chuẩn nói trên.

c) Cho ánh xạ f :l∞ →Rxác định bởi công thức ( )

13

n n n

x

f x

=

=∑ , với mọi x={ }x n

l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên l và tính f

Câu 5 Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.

Chứng minh rằng với mọi x ∈ E, đều tồn tại y ∈ B sao cho x y− = d(x, B)

Trang 7

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( )

∑∞

1

n

n n

x

Xét tính khả vi của tổng chuỗi (1) tại những điểm trong miền hội tụ của nó

Câu 2 1) Xét tính liên tục của hàm số ( )



=

=

0 0

0 y

1 sin ,

y

y x

y x f

nếu nếu

2) Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm f không đóng , không mở trong

2

R nhưng mở trong R.

Câu 3 Cho dãy hàm

[ ]0,1, ,12,K

0

1, 0

1

=



x

x nx

n x

f n

nếu nếu

Chứng minh rằng

a)lim n( )

x f x x

→∞ = với ∀x∈[ ]01,

b) lim 1

2

n

x If

→∞ = trong đó If là tích phân Lơ be của n f trên R, n [ ]nx là phần nguyên của

nx

Câu 4 Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới0

0

a) Chứng minh rằng công thức d( )x,y =supnN x ny n với x={ }x n ; y ={ }y nl xác

định một mêtric trên l và mêtric được sinh bởi một chuẩn trên l

b)Chứng minh rằng c là tập con đóng trong 0 l

c) Cho ánh xạ f :l∞ →R bởi công thức ( ) ∑∞

=

=

12

n n n x x

f với mọi x={ }x n thuộc l Hãy

chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính , liên tục trên l và tính f

Câu 5 Giả sử E là không gian định chuẩn , E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên E và a là một điểm thuộc E Chứng minh rằng ánh xạ Φa :E∗ →C được cho bởi công thức

( ) ( )f = f a

Φ ; ∀fE∗ là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và Φ = a

Trang 8

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001

Môn: Đại số

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực và ϕ : VV

ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó

a) Chứng minh rằng ϕ là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.

b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ

Câu 2 Cho ánh xạ f :Ă Ă xác định bởi2− 3

f( ) (x,y = 2xy,x+ y,x−2y+m)

a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ker và f dim( )imf trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính.

Câu 3 a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với m∈Â

b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành Â[5] các số thực có dạng a+b 5 với a, b là các

số nguyên

Câu 4 Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p Chứng minh ánh xạ p

x

x→ (xK) là một

tự đồng cấu khác không của trường K Từ đó hãy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p ta có a pa(modp)

Câu 5 Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường.

a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic

b)Nhóm thương Ô /Â có đẳng cấu với Ô hay không?

Trang 9

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm n∞=1n(1+n2x2)

x

Câu 2 Cho hàm số

( ) ( )



=

≠ +

=

0 , 0 ,

0

0 , 0 ,

1 cos

3

y x

y x y

x

x y x f

nếu nếu

a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0

b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm ( )0 ,0

Câu 3 Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với

hàm

( )



=

=

n x e

n

x y

x f

x 1

1

sinx ,

nếu

nếu

, n= ,12,3,K trên đoạn [ ]0 ,1

Câu 4 Giả sử l∞ ={ { }x nR:supn x n <∞};

A={e n =(0,K,0,,10,0,K),n= ,12,K}

Chứng minh rằng :

a) Các công thức ( ) ∑∞

=

=

1

n

n

n y x y

x

d , d∞( )x,y =supn x ny n với x={ }x n ; y={ }y n

lần lượt xác định mêtric trên l ;1 l

b) l1 ⊂l∞ nhưng (l1,d∞) không đóng trong (l∞,d∞)

c) SpanA trù mật trong (l1,d1) nhưng không trù mật trong (l∞,d∞), trong đó SpanA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A

d) ánh xạ ϕ:(l∞, ∞) (→ l1, 1) với ( ) , { }

2

n

n n

x

ϕ =   ∀ = ∈ ∞

  là ánh xạ tuyến tính

liên tục Tính ϕ ( x ∞ =supn x n ; ∑∞

=

=

1

1

n n x

x ) với x={ }x n )

Câu 5 Chứng minh rằng { }A là dãy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho n X

A= thì với mọi n thì X =I∞ A n

Trang 10

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002

Môn: Đại số

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 a) Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ của Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:3

− −

 − − 

Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng củaϕ

b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mãn A2 + =I 0 thì A không

có giá trị riêng thực Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mãn

A + =I (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ).

Bài 2 Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ.

Với mỗi a ∈ G, xét ánh xạ fa : G → G

x a a-1xa a) Chứng minh rằng fa là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác

định bởi a

b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký hiệu là IntG của nhóm AutG Hơn nữa, IntG ∆ AutG.

c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ước chuẩn của G khi và chỉ khi fa(H) = H với mọi fa ∈ IntG

d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG cũng không là Cyclic

Bài 3 Cho tập X = x y : ,x y 3

y x

Z , trong đó  Â là trường các lớp đồng dư theo3 modul 3

a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường

b) Tìm đặc số của trường X

Bài 4 a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thức K[x] là một vành chính.

b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vành chính c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x] Chứng minh rằng I gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính

Trang 11

Bộ giáo dục và đào tạo

Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004

Môn: Giải tích

Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Cho hàm số

( )

=





 +

=

0 y 0

0 y y

x 1 ln y

2 2

nếu

nếu

y x f

Chứng minh rằng

a) f xy''(x,y)và f ỹ''(x,y) khôgnliên tục tại điểm (0,0)

b) ''(0,0)

xy

f = ''(0,0)

yx

Câu 2 a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm x (x n π)

n n n

n

+

∑∞

= 4 2 sin

1

b)Tính tổng của chuỗi hàm ( ) 2

2

1 −

=

n

x n

n trong miền hội tụ của nó

Câu 3 Giả sử (X, d) là không gian mêtric , f :XX là một ánh xạ liên tục Chứng minh rằng a) Tập hợp A={xX : f( )x = x} là đóng

b) Nếu X là tập compact và Aφ thì tồn tại số c>0 sao cho d(f(x),x)≥x với mọi xX

Câu 4 Giả sử { }f n là dãy các hàm đo được trên A∈ A sao cho ∑∫∞= f d à <+∞

n A

n

1

Chứng minh

rằng hàm ∑∞

= 1

n

n

f khả tíc trên A và f d à f d à

A n n

n A

n ∫ ∑

 ∞

=

.

Câu 5 Kí hiệu [ ]2

1 , 0

C là không gian tuyến tính các hàm khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn [0,1] Với mỗi xC[ ]20 , 1 ta đặt x = x( )0 + x'( )1 +maxt∈[ ]0,1 x' ('t)

a) Chứng minh rằng công thức trên xác định một chuẩn trên C[ ]20,1 ;

b) Chứng minh rằng toán tử A: [ ]2

1 , 0

C → [ ]2

1 , 0

C cho bởi công thứcAx( )t = x('t)+x' ('t) với mọi

x C[ ]20 , 1 , t∈[ ]0,1 tuyến tính nhưng không liên tục

Ngày đăng: 26/01/2014, 17:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w