Tài liệu Một số đề thi lớp 10 tỉnh Hải Dương pptx

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT Câu III: Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài hình tròn.. ĐỀ THI TUYỂN

Trang 1

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS

TỈNH HẢI DƯƠNG

Trang 2

GIỚI THIỆU

Tuyển tập đề thi này gồm tất cả 10 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi – Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) và 10 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Hải Dương Phần cuối tuyển tập là 30 bài toán được chọn từ các đề thi khác Cấu trúc tuyển tập như sau:

Phần I: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

Phần II: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Phần III: Một số bài toán từ các đề thi khác

Xin chú thích thêm vể các bài toán ở Phần III, đó là các bài toán được chọn từ các đề thi Toán không được giới thiệu toàn bộ trong tuyển tập này Có nhiều bài toán khó, đề phân loại học sinh trong các cuộc thi, hoặc những bài toán đã được cải biên cho hay hơn, khó hơn

Tuyển tập này không có lời giải, mọi vấn đề hỏi đáp, yêu cầu, góp ý xin xem tại http://mathnfriend.net Toán cho học sinh THCS Đề thi-Đáp án Tuyển tập đề thi Tỉnh Hải Dương

Tuyển tập chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn thông cảm

hieuchuoi@

Tháng 7.2006

Trang 3

PHẦN I

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Trang 4

NĂM HỌC 1997-1998 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN – THỜI GIAN: 150 PHÚT

Trang 5

NĂM HỌC 1998-1999 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT

Câu I:

Giải hệ phương trình

222

Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác AM, BM,

CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P, Q, R

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 6

Câu III:

Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài hình tròn Qua M kẻ cát tuyến cắt đường tròn tại B, C (MC > MB) và tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) 1) Gọi E, F là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ B, C Chứng minh rằng EF luôn song song với một đường thẳng cố định khi cát tuyến MBC thay đổi

2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên MO Chứng minh rằng tứ giác BHOC là tứ giác nội tiếp

3) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC khi cát tuyến MBC thay đổi

Câu IV:

Cho đa giác lồi A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8 có các góc ở đỉnh bằng nhau và độ dài các cạnh là những số nguyên Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ

Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng độ dài các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ

Trang 7

m− m− m−x = x3) Cho tứ giác lồi có diện tích bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh

và hai đường chéo

Câu III:

Chứng minh rằng với bất kì hai số a và b luôn tìm được các số x, y trong đó

0≤ ≤x 1,0≤ ≤ Thỏa mãn bất đẳng thức: y 1

13

xy−ax−by ≥

Có thể thay số 1

3ở bất đẳng thức trên bằng hằng số c khác với

13

c > được không?

Câu IV:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I Gọi O1là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, O2 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI

Trang 8

NĂM HỌC 2001-2002 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -THỜI GIAN: 150 PHÚT

Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

2) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và r, R lần lượt là độ dài bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần

và đủ để tam giác ABC đều là:

Trang 9

k + m+ ≤ nBài III:

1) Cho tam giác nhọn ABC có BAC =600 và nội tiếp trong đường tròn tâm

O Gọi H là trực tâm tam giác đó

Chứng minh rằng OH = AB−AC

2) Cho tam giác đều ABC và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam giác đều đó đồng thời đi qua hai đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài đường trong, M là điểm trên đường tròn (M không trùng với B và C) Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

Bài IV:

1) Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau:

1 14; 2 144; 3 1444; ; n 1444 4

Tìm các số hạng của dãy là số chính phương

2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô của một hình vuông 3x3 ô (mỗi số chỉ lấy 1 lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều là bội của 9 Chứng minh rằng chữ số nằm ở ô của tâm hình vuông là bội của 3

Hãy chỉ ra một cách xếp có số ở ô tâm là 6

Trang 10

+

=+

Trang 12

Trang 13

AB, AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lượt tại M và N Gọi J

là điểm đối xứng của I qua MN Chứng minh rằng:

1) Tam giác AMC là tam giác cân

2) AJ vuông góc với BC

Câu IV:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi M, H, K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A đến CD, DB, BC Chứng minh HM=HK khi và chỉ khi các đường phân giác góc BAD , BCD và BD đồng quy

Câu V:

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a≥ ≥b c abc; = và 1 a b c 1 1 1

+ + > + + Chứng minh rằng a+ >b ab+ 1

Trang 14

f x =g x p x với mọi giá trị của x

2) Gọi α là nghiệm của đa thức ( ) 3 2

1) Chứng minh rằng AH=AO khi và chỉ khi BAC =600

2) BD, CE là hai đường phân giác trong của góc B, C (D∈AC E, ∈AB) M

là điểm trên BC sao cho tam giác MDE là tam giác đều

Trang 15

PHẦN 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN

Trang 16

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC 1996-1997 – THỜI GIAN 150 PHÚT Câu I:

0,5 1, 25 0,5 1, 25

2) Cho 0≤ f m( )≤ với 1 m ∈{0;1;2}

Chứng minh f x ≤( ) 1,125 với mọi x thỏa mãn 1≤ ≤ x 2

3) Cho a= , b và c là các số nguyên Chứng minh có thể tìm được số tự 1nhiên n sao cho:

1) FM song song AK

2) Tứ giác DBFK và tam giác ABC có diện tích bằng nhau

(còn tiếp ở trang sau)

Trang 17

Câu V:

Cho đường thẳng a cắt đường gấp khúc kín L tại 1997 điểm Có tồn tại một đường thẳng cắt L tại không ít hơn 1998 điểm hay không?

Trang 18

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC 1997-1998 – THỜI GIAN 150 PHÚT

+ +

+Câu III:

1) Cho tứ giác lồi ABCD, biết góc 0 0 0

BM +DN a+BM DN =a b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E Chứng minh

AM + AE =a

Trang 19

1) Giải phương trình khi a = 1

2) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm x x x x1, 2, 3, 4 Khi đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x12+ x22+x32+x42

Câu III:

1) Cho tứ giác ABCD, sao cho AB, CD kéo dài cắt nhau tại M; AD, BC kéo dài cắt nhau tại N, đường phân giác AMD và CND cắt nhau tại P Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì tam giác MNP vuông Điều ngược lại có đúng không?

2) Cho tam giác cân ABC (AB= AC) Trên đường cao AH lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho EBC = ACD và BEC =AED Tính

EBC

Trang 20

Trang 21

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN NĂM HỌC 2000-2001– THỜI GIAN 150 PHÚT

1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, I, N cùng nằm trên một đường tròn Và bốn điểm C, D, I, N cũng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh rằng tam giác ONI vuông

Câu IV:

Cho hai số thực x và y Chứng minh rằng luôn tồn tại một số hữu tỉ xen giữa hai

số ấy

Trang 22

Câu I:

Cho phương trình: 2 ( ) ( 2 )

x − m− x+ m − m− = 1) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và

M và CD kéo dài tại N sao cho IM =IN

Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác cân

Câu IV:

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc= 4

Chứng minh rằng a+ + ≥b c ab+bc+ca

Trang 23

Cho đa giác ABCDE nội tiếp trong một đường tròn Gọi M là giao điểm của AC

và BD, N là giao điểm của AD và CE, các tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, CDN có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng:

1) Tứ giác CMND là hình thang cân

2) AB2+ AC AE = AD2

Câu IV:

Cho a, b, c là các số thực không âm và a2+b2 +c2 = 1

Chứng minh rằng a+ + ≤b c 2abc+ 2

Trang 24

1) Năm điểm B C D O O, , , 1, 2 cùng nằm trên một đường tròn

2) BC+BD=MN

Câu IV:

Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 +y2 = và x y3 + là một số nguyên

Trang 25

Câu III:

Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần B có tiếp điểm là C và D; C∈( )O1 ;D∈( )O2 Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt ( )O1 tại M và cắt ( )O2 tại N Đường thẳng BC, BD cắt đường thẳng MN tại P, Q Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

1) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2) Tam giác EPQ là tam giác cân

Trang 26

Cho hai đường tròn ( ) ( )O1 , O2 cắt nhau tại A và B

1) Một điểm M trên ( )O1 , Qua M kể tiếp tuyến MD với ( )O2 (D là tiếp điểm) Chứng minh rằng biểu thức

Trang 27

PHẦN III

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC ĐỀ THI KHÁC

Trang 28

Bài 1: Cho tam giác cân ABC AB( = AC) M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC Dựng đường tròn thứ nhất đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn thứ hai đi qua M tiếp xúc với AC tại C Hai đường tròn này cắt nhau tại D 1) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua 1 điểm cố định

2) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí của M

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN – Đã cải biên)

Bài 2: Cho 1997 số thực a a1, 2, ,a1997 thỏa mãn

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN)

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC D là một điểm trên cạnh BC

1) Gọi O O O thứ tự làm tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; ; 1; 2ABD; ADC Chứng minh rằng OO O1 2 là tam giác cân khi và chỉ khi AD là phân giác BAC

2) Dựng điểm D sao cho ABD 2

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Đường thẳng OC cắt AM tại E và đường thẳng OD cắt BM tại F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD có chu vi nhỏ nhất

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên)

Trang 29

Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z với x< < thỏa mãn phương trình: y z

x y +z +y x +z +z x + y + x y z =(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN)

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =x2+2y2− với , ,z2 x y z thỏa

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên)

Bài 9: Cho x y z là các số dương và , , xy+ yz+zx= Chứng minh rằng: 1

3

x +xy+ y + y + yz+z + z +zx+x ≥ (Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2001-2002 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN)

Bài 10: Chứng minh rằng a2+b2 − a2 +c2 ≤ − với , ,b c a b c∈ R

Bài 11: Cho đường tròn ( )O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn Từ M kẻ MH vuông góc AB (H∈AB) Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D 1) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố dịnh khi M thay đổi trên đường tròn

2) Chứng minh MA AH AD

MB = BD BH(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2003-2004 – Môn Toán

Trang 30

Bài 12: Cho ba số thực dương a b c thỏa mãn , , ab>c a; 3+b3=c3+ Chứng 1minh rằng a+ > + b c 1

Bài 13: Cho đường tròn ( )O và dây AB không qua tâm M là điểm trên đường tròn sao cho tam giác ABM nhọn Phân giác MAB và MBA cắt ( )O lần lượt tại

P và Q Gọi I và giao điểm của AP và BQ

1) Chứng minh rằng MI vuông góc PQ

2) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn tâm P tiếp xúc với

MB, và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi

Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O Góc BAC =600 H là trực tâm tam giác ABC Đường thẳng OH cắt AB và AC lần lượt ở M và N Chứng minh rằng BM +CN =MN

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2005-2006 – Môn Toán cho các lớp chuyên KHTN – Đã cải biên)

Bài 15: Cho phương trình 2 ( )

Bài 16: Tính giá trị của

Bài 17: Tìm số nguyên m để m2+ +m 20 là số hữu tỉ

(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2003-2004)

Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá ( )7

7+4 3(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2002-2003)

Trang 31

Bài 19: Tìm cặp số nguyên (x y, ) thỏa mãn phương trình:

3 x+7 y = 3200(Đề thi tuyển sinh vào THPT – năm học 2001-2002)

Bài 20: Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện BC ≥AC AB( + AC) Giả sử D là một điểm trên BC kéo dài sao cho CAD=ABC Chứng minh rằng:

(Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh Hải Dương - vòng 1 – Năm học 1998)

1997-Bài 23:

1) Tìm số có ba chữ số aba sao cho ( )3

aba= a+b2) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn 2 2 3

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi)

Bài 25: Giải phương trình x2+ − +x 1 x−x2 + =1 x2− + x 2

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Dự bị)

Trang 32

5 bài toán từ 26 tới 30 là 5 bài toán trong Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 1997

Bài 26: Tìm tất cả các số tự nhiên k thỏa mãn: Tích các chữ số của k bằng

Bài 29: Cho MN là một dây của đường tròn ( )O Vẽ một tam giác ABC bất kì có

AB là đường kính của đường tròn và hai cạnh AC, BC lần lượt đi qua M, N Chứng minh rằng đường cao hạ từ C của tam giác ABC đi qua một điểm cố định

Bài 30: Trong lục giác lồi ABCDEF độ dài các đường chéo AD, BE, CF đều lớn hơn 2 Hỏi có thể luôn tìm được ở lục giác đó một cạnh có độ dài lớn hơn 1 hay không?

_HẾT _

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	341,13 KB