một số bất biến của nửa nhóm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG NGỌC NHẬT MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA NỬA NHÓM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG NGỌC NHẬT MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA NỬA NHÓM SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Số bội chiều nhúng 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Số bội chiều nhúng Số Frobenius giống 2.1 Số Frobenius giống 14 14 2.2 Số giả Frobenius 21 2.3 Một số ví dụ 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Cho S tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử S đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn S gọi nửa nhóm số Nếu n1 , , ne số nguyên dương cho gcd(n1 , , ne ) = tập hợp < n1 , , ne >= {n1 λ1 + + ne λe | λ1 , , λe ∈ N} nửa nhóm số Ngược lại nửa nhóm số có dạng Nghiên cứu nửa nhóm số đồng nghĩa với việc nghiên cứu tập nghiệm nguyên không âm hệ phương trình tuyến tính khơng với hệ số nguyên dương Do đó, vấn đề cổ điển thu hút nghiên cứu nhiều nhà toán học vào đầu kỷ 19, đặc biệt hai nhà toán học Frobenius Sylverster Theo hướng có hai bất biến đóng vai trị quan trọng nửa nhóm số số Frobenius giống (genus) Trong năm nửa cuối kỷ 20, nửa nhóm số tiếp tục nhà tốn học quan tâm nghiên cứu trở lại nhờ ứng dụng Hình học Đại số Đại số giao hoán Nhờ nghiên cứu số bất biến khác nửa nhóm số như: bội, chiều nhúng, bậc kỳ dị, conductor, tập Apéry, số giả Frobenius kiểu đưa Trong [5], J.C Rosales, P.A García- Sán chez viết nửa nhóm số cách hoàn chỉnh nhờ tổng hợp hệ thống hóa báo viết nửa nhóm số trước Nội dung luận văn trình bày kiến thức Chương [5] Cụ thể chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm số số bất biến nửa nhóm số như: bội, chiều nhúng, số Frobenius, giống, số giả Frobenius Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn viết thành hai chương Chương trình bày số bội chiều nhúng nửa nhóm số Chương gồm hai phần: phần thứ trình bày khái niệm nửa nhóm số, phần thứ hai trình bày số bội chiều nhúng Chương trình bày số Frobenius giống Trong chương chia làm hai phần: Số Frobenius giống; Số giả Frobenius Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Sư phạm Toán trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại học Sài Gòn Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh Trường Đại Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường.Tác giả xin cảm ơn Lãnh đạo thầy cô giáo quan trường THPT Tạ Quang Bửu – nơi công tác Đặc biệt, tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hồng Loan, trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để tác giả hồn thành tốt luận văn Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện khích lệ tơi hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc TP HCM, tháng 07 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG SỐ BỘI VÀ CHIỀU NHÚNG 1.1 Nửa nhóm số Nửa nhóm tập hợp S trang bị phép tốn có tính chất kết hợp Trong luận văn ln xét nửa nhóm giao hốn tức nửa nhóm mà phép tốn có tính chất giao hốn Nửa nhóm nửa nhóm S tập S đóng kín phép tốn nửa nhóm S Rõ ràng, giao nửa nhóm nửa nhóm S nửa nhóm S Do đó, cho A tập khác rỗng S , nửa nhóm bé S chứa A, giao tất nửa nhóm S chứa A, kí hiệu A gọi nửa nhóm sinh A Dễ thấy A = λ1 a1 + + λn an | n ∈ N∗ , λ1 , , λn ∈ N∗ , a1 , a2 , , an ∈ A Nửa nhóm S gọi sinh tập A S = A Trong trường hợp này, A gọi hệ sinh nửa nhóm S Nếu tập A hữu hạn ta nói nửa nhóm S hữu hạn sinh Cho M vị nhóm, nghĩa là, M nửa nhóm mà phép tốn có phần tử đơn vị Trong luận văn ta ln xét vị nhóm giao hoán phần tử đơn vị ký hiệu Một tập N M gọi vị nhóm M nửa nhóm M ∈ N Chú ý M vị nhóm vị nhóm M gọi vị nhóm tầm thường M Tương tự nửa nhóm, giao vị nhóm M vị nhóm M Do đó, cho A tập M vị nhóm nhỏ M chứa A A = λ1 a1 + + λn an | n ∈ N, λ1 , , λn ∈ N, a1 , a2 , , an ∈ A gọi vị nhóm M sinh A Tương tự nửa nhóm, tập A gọi hệ sinh M A = M ta nói M sinh A Theo đó, vị nhóm M gọi hữu hạn sinh tồn hệ sinh M gồm hữu hạn phần tử Chú ý ∅ = = Cho X Y nửa nhóm, ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu nửa nhóm f (ab) = f (a)f (b), với a, b ∈ X Ta nói đồng cấu f đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu f đơn ánh, toàn ánh song ánh Rõ ràng, f đẳng cấu ánh xạ ngược f −1 đẳng cấu Hai nửa nhóm X Y gọi đẳng cấu với tồn đẳng cấu chúng, ta kí hiệu X ∼ = Y Giả sử X Y vị nhóm Ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu vị nhóm đồng cấu nửa nhóm f (0) = Các khái niệm đồng cấu, toàn cấu đẳng cấu vị nhóm định nghĩa giống nửa nhóm Bây ta xét vị nhóm cộng số tự nhiên N Trong luận văn này, quan tâm đến vị nhóm vị nhóm cộng N 1.1.1 Định nghĩa Cho S vị nhóm vị nhóm cộng số tự nhiên N Khi S gọi nửa nhóm số N \ S tập hợp hữu hạn Như nửa nhóm số tập S chứa tập hợp số tự nhiên N, đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn Cho A tập khác rỗng N Định lý sau cho thấy vị nhóm N sinh A nửa nhóm số ước chung lớn phần tử A 1.1.2 Định lý Cho A tập khác rỗng N Khi A nửa nhóm số gcd(A) = Chứng minh Đặt d = gcd(A) Rõ ràng s ∈ A d | s Do A nửa nhóm số nên N \ A tập hữu hạn tồn số nguyên dương x cho d | x d | x + Suy d = Ngược lại, ta cần chứng minh N \ A tập hợp hữu hạn Thật vậy, = gcd(A) nên tồn số tự nhiên z1 , z2 , , zn a1 , a2 , , an ∈ A cho z1 a1 + z2 a2 + + zn an = Bằng cách chuyển zi sang vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl ∈ 1, , n cho zi1 ai1 + + zik aik = − zj1 aj1 − − zjl ajl Do tồn s ∈ A cho s + thuộc A Chúng ta chứng minh n ≥ (s − 1)s + (s − 1) n ∈ A Thật vậy, lấy q r số tự nhiên cho n = qs + r với ≤ r < s Do n ≥ (s − 1)s + (s − 1) ta suy q ≥ s − ≥ r Vì vậy, n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ A Mệnh đề sau cho ta phân loại vị nhóm N thơng qua nửa nhóm số 1.1.3 Mệnh đề Cho M vị nhóm khơng tầm thường vị nhóm cộng số tự nhiên N Khi M đẳng cấu với nửa nhóm số Chứng minh Cho d = gcd(M ) Theo Định lý 1.1.2, ta có S= m |m∈M d nửa nhóm số Dễ thấy ánh xạ f : M → S, f (m) = m d đẳng cấu vị nhóm Vì M đẳng cấu với nửa nhóm số S 1.2 Số bội chiều nhúng Giả sử A B tập tập số tự nhiên N Khi ta ký hiệu A + B = a + b | a ∈ A, b ∈ B Như vậy, cho S nửa nhóm số S ∗ = S \ S ∗ + S ∗ tập S gồm phần tử biểu thị dạng tổng hai phần tử khác S 1.2.1 Mệnh đề Cho S vị nhóm N Khi S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) hệ sinh S Hơn nữa, hệ sinh S chứa S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) Chứng minh Cho s ∈ S ∗ Nếu s ∈ / S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) tồn x, y ∈ S ∗ cho x + y = s Chúng ta tiếp tục phần tử x y Sau số hữu hạn bước ta tìm s1 , , sn ∈ S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) cho s = s1 + + sn Điều chứng minh S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) hệ sinh S Bây cho A hệ sinh S Lấy x ∈ S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) Khi tồn n ∈ N∗ , λ1 , , λn ∈ N a1 , , an ∈ A cho x = λ1 a1 + + λn an Vì x ∈ / S ∗ + S ∗ , nên ta suy tồn i ∈ 1, , n cho x = Do x ∈ A Hay nói cách khác, hệ sinh S chứa S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) 10 Tính chất cho vị nhóm S Nr với số nguyên dương r Điều có nghĩa với s = x + y, x, y = x < s theo quan hệ thứ tự phận thông thường Nr Và có hữu hạn phần tử x ∈ Nr mà x ≤ s Tuy nhiên, tập hợp S ∗ \ (S ∗ + S ∗ ) không thiết hữu hạn với r > Chúng ta xét trường hợp r = tập hữu hạn Tiếp tục vấn đề này, sau tìm hiểu cơng cụ hữu ích lý thuyết nửa nhóm số Cho S nửa nhóm số n phần tử khác S Tập Apéry n S tập hợp ký hiệu xác định sau: Ap(S, n) = s ∈ S | s − n ∈ /S Bổ đề sau cho thấy Ap(S, n) hệ thặng dư đầy đủ mod n mà phần tử bé thuộc S 1.2.2 Bổ đề Cho S nửa nhóm số n phần tử khác khơng S Khi Ap(S, n) = = w(0), w(1), , w(n − 1) , w(i) phần tử bé S đồng dư với i theo môđun n với i ∈ 0, 1, , n − Chứng minh Rõ ràng, với i ∈ 1, 2, , n − tập hợp {i + kn | k ∈ N} số tự nhiên đồng dư với i theo môđun n tập hợp vơ hạn Vì tập hợp N \ S hữu hạn nên tồn k ∈ N cho i + kn ∈ S Gọi w(i) số nhỏ thuộc S có dạng i + kn, nghĩa là, w(i) số nhỏ thuộc S đồng dư với i theo mơđun n Khi rõ ràng w(i) − n ∈ / S w(i) − n = i + kn − n = 16 Chú ý với w ∈ Ap(S, n), w đồng dư với i theo môđun n i ∈ 0, 1, , n − tồn số nguyên không âm ki cho w = ki n + i Do đó, sử dụng ký hiệu Bổ đề 1.2.2 ta có: Ap(S, n) = 0, w(1) = k1 n + 1, , w(n − 1) = kn−1 n + n − Một số nguyên x đồng dư với w(i) theo môđun n thuộc tập S w(i) ≤ x Do đó: g(S) = k1 + + kn−1 n−1 = ((k1 n + 1) + + kn−1 n + n − 1) − n n−1 w− = n w∈Ap(S,n) Nếu S = a, b nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {a, b} Ap(S, a) = 0, b, 2b, , (a − 1)b từ Mệnh đề 2.1.3 ta có kết sau 2.1.4 Mệnh đề Cho a b hai số nguyên khơng âm cho gcd(a, b) = Khi ta có: i) F( a, b ) = ab − a − b, ab − a − b + ii) g( a, b ) = Chứng minh Gọi H nửa nhóm số sinh a b Vì gcd(a, b) = nên Ap(H, a) = {0, b, , (a − 1)b} (i) Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có F(H) = maxAp(H, a) − a = (a − 1)b − a = ab − a − b 17 (ii) Ta có a−1 g(H) = (b + 2b + + (a − 1)b) − a ab(a − 1) a − ab − a − b + − = = 2a 2 Chú ý nửa nhóm số có chiều nhúng g(S) = F(S) + F(S) số nguyên lẻ Điều không trường hợp nửa nhóm số có chiều nhúng lớn Chúng ta tìm hiểu vấn đề phần sau Nếu S nửa nhóm số s ∈ S F(S) − s khơng thể thuộc S Từ đây, nhận dấu bất đẳng thức thay dấu đẳng thức đẳng thức nói trường hợp tổng quát 2.1.5 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Khi g(S) ≥ F(S) + Do đó, nửa nhóm số thỏa mãn dấu đẳng thức bất đẳng thức nửa nhóm số mà phần bù N “ít nhất" 2.1.6 Chú ý Cho f số nguyên dương Trong trường hợp tổng quát, nhìn chung số nửa nhóm số với số Frobenius f + khơng nhiều số nửa nhóm số với số Frobenius f Bảng sau tính tốn [6], ns(F ) ký hiệu số nửa nhóm số với số Frobenius F 18 Bras-Amorós [1] tính tốn số nửa nhóm số với giống g , g ∈ 0, 1, , 50 Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, chưa biết số nguyên dương g cố định số nửa nhóm số với giống g + có nhiều số nửa nhóm số với giống g hay khơng Các kết bảng sau tính toán [1], ng ký hiệu số nửa nhóm số với giống g 19 20 2.1.7 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số sinh n1 , n2 , , np Gọi d = gcd n1 , n2 , , np−1 T = n1 /d, , np−1 /d, np Khi đó: Ap(S, np ) = d(Ap(T, np )) Chứng minh Nếu w ∈ Ap(S, np ) w ∈ n1 , , np−1 w/d ∈ n1 /d, , np−1 /d ⊆ T Nếu w/d − np ∈ T w − dnp ∈ S điều mâu thuẫn với giả thiết Bây lấy w ∈ Ap(T, np ) w ∈ n1 /d, , np−1 /d dw ∈ n1 , , np−1 ⊆ S Nếu dw − np ∈ S dw − np = λ1 n1 + + λp np với λ1 , , λp ∈ N Do S nửa nhóm số nên gcd n1 , , np = 1, điều kéo theo gcd d, np = Từ suy d | (λp+1 ) λ( p + 1)np = dw − (λ1 n1 + + λp−1 np−1 ) Nhưng λp−1 np−1 λp + λ1 n1 + + + np d d d với λp +1 | d số nguyên dương Điều mâu thuẫn với w ∈ Ap(T, np ) w= Do bổ đề chứng minh Bằng cách kết hợp Mệnh đề 2.1.3 Mệnh đề 2.1.7 với nhau, ta nhận kết sau 2.1.8 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu n1 , , np Đặt d = gcd n1 , , np−1 T = n1 /d, , np−1 /d, np Khi đó: i) F(S) = dF (T ) + (d − 1)np , (d − 1)(np − 1) ii) g(S) = dg(T ) + 2.1.9 Ví dụ Cho S = 20, 30, 17 nửa nhóm số sinh {20, 30, 17} Vì gcd(20, 30) = 10 nên T = 2, 3, 17 = 2, Do F(S) = 10F (T ) + 9.17 = 10 + 153 = 163 21 g(S) = 10g(T ) + 2.2 9.16 = 82 Số giả Frobenius Khái niệm số giả Frobenius Rosales Branco đưa [4] sau 2.2.1 Định nghĩa Cho S nửa nhóm số (i) Số nguyên x gọi số giả Frobenius x ∈ / S x + s ∈ S với s ∈ S \ (ii) Tập hợp số giả Frobenius nửa nhóm số S ký hiệu PF(S) (iii) Lực lượng PF(S) gọi kiểu của nửa nhóm số S ký hiệu t(S) 2.2.2 Chú ý (1) Từ định nghĩa ta có PF(S) = {x ∈ Z \ S | x + s ∈ S, ∀s ∈ S \ {0}} Do S = N PF(S) ⊆ N \ S Từ suy PF(S) tập hữu hạn N \ S tập hữu hạn (2) Cũng từ định nghĩa, ta dễ dàng suy F(S) ∈ PF(S) F(S) số lớn PF(S) (3) Vì S nửa nhóm số nên quan hệ hai “ ≤S ” tập hợp số nguyên Z xác định bởi: a ≤S b b − a ∈ S có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Do ≤S quan hệ thứ tự Z Theo định nghĩa số giả Frobenius số giả Frobenius phần tử cực đại Z \ S theo quan hệ thứ tự “ ≤S ” 22 2.2.3 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Khi đó: (i) PF(S) = Maximals ≤S (Z \ S), (ii) x ∈ Z \ S f − x ∈ S với f ∈ PF(S) Vì tập hợp Minimals ≤s (S \ ) hệ sinh tối tiểu nửa nhóm số S nên Mệnh đề 2.2.3 cho ta đối ngẫu hệ sinh tối tiểu S tập số giả Frobenius S Mệnh đề sau cho biết mối quan hệ tập PF(S) tập Apéry nửa nhóm số S 2.2.4 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số n phần tử khác khơng S Khi PF(S) = w − n | w ∈ Maximals ≤s Ap(S, n) Chứng minh Giả sử x ∈ PF(S) Khi x ∈ / S x + n ∈ S , hay nói cách khác, x + n ∈ Ap(S, n) Lấy w ∈ Ap(S, n) ta x + n ≤s w Khi w − (x + n) = w − n − x ∈ S nghĩa w − n = x + s với s ∈ S Vì w − n ∈ /S x ∈ PF(S) nên s = Do w = x + n Bây ta giả sử w ∈ Maximals ≤s Ap(S, n) Khi w − n ∈ / S Nếu w−n+s∈ / S với s phần tử khác khơng S w + s ∈ Ap(S, n) dẫn đến mâu thuẫn với tính cực đại w Suy w − n ∈ PF(S) 2.2.5 Ví dụ Cho S = 5, 7, nửa nhóm số sinh {5, 7, 9} Khi Maximals ≤s Ap(S, 5) = {16, 18} Do PF(S) = {11, 13} 2.2.6 Ví dụ Nếu S = a, b nửa nhóm số có tập sinh tối tiểu {a, b} Khi đó, ta Ap(S, a) = 0, b, b, , (a − 1)b Điều có nghĩa Maximals ≤s Ap(S, a) = (a − 1)b FP(S) = ab − a − b Như nửa nhóm số S có số chiều nhúng có kiểu 23 Vì lực lượng tập hợp Ap(S, n) n phần tử không không phần tử cực đại nên từ mệnh đề ta có chặn cho kiểu nửa nhóm số S hệ sau đây, 2.2.7 Hệ Cho S nửa nhóm số Khi t(S) ≤ m(S) − Theo Mệnh đề 1.2.9, chiều nhúng nửa nhóm số khơng vượt q số bội nửa nhóm số Ví dụ 2.2.6 nửa nhóm số với số chiều nhúng có kiểu Chúng ta thấy [5, Chương 9] nửa nhóm số với số chiều nhúng có kiểu Tuy nhiên với nửa nhóm số có chiều nhúng lớn kiểu chúng khơng bị chặn chiều nhúng ví dụ sau Backelin đưa 2.2.8 Ví dụ Cho S = s, s + 3, s + 3n + 1, s + 3n + , với n ≥ 2, r ≥ 3n + s = r(3n + 2) + Kiểu S 2n + 2.2.9 Ví dụ Cho m số nguyên lớn Chú ý S = 0, m, → PF(S) = 1, 2, , m − Những nửa nhóm số đạt chặn đưa hệ Cho S nửa nhóm số Kí hiệu N(S) = s ∈ S | s < F(S) Tập xác định hồn tồn nửa nhóm số S Số phần tử N(S) ký hiệu n(S) Rõ ràng g(S) + n(S) = F(S) + 24 Chúng ta biết x số ngun khơng thuộc S tồn f ∈ PF(S) cho s ≤s f Đặt fx = f ∈ PF(S) | f − x ∈ S Khi ánh xạ: G(S) → PF(S) × N(S) x → (fx , fx − x) đơn ánh Điều dẫn đến kết sau 2.2.10 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Khi g(S) ≤ t(S)n(S) Bất đẳng thức tương đương với F(S)+1 ≤ (t(S)+1)n(S) Năm 1978, Wilf giả thuyết F(S) + ≤ e(S)n(S) Đối với số họ nửa nhóm số giả thuyết Tuy nhiên, trường hợp tổng quát giả thuyết chưa có lời giải 2.2.11 Ví dụ Những hình ảnh sau nhận cách sử dụng gói GAP [2] Những hình ảnh biểu thị tập Apéry 11 nửa nhóm số S theo quan hệ thứ tự ≤S Ví dụ minh họa việc sử dụng số hàm mô tả phần tử đề cập đến luận văn 25 2.2.12 Ví dụ Ví dụ sau nửa nhóm số với chiều nhúng bé kiểu 2.3 Một số ví dụ Trong mục này, dựa vào kết Chương Chương 2, chúng tơi đưa số ví dụ nửa nhóm số tính tốn bất biến đề cập đến 26 luận văn nửa nhóm số 2.3.1 Ví dụ Cho nửa nhóm số S =< 4, 5, > Ta có {4, 5, 6} hệ sinh tối tiểu S S = {0, 4, 5, 6, 8, →} • Số bội S số tự nhiên bé hệ sinh tối tiểu nên m(S) = • Chiều nhúng S lực lượng hệ sinh tối tiểu nên e(S) = • Độ hở S G(S) = N \ S = {1, 2, 3, 7} • Giống S lực lượng G(S) nên giống S g(S) = • Số Frobenius S F(S) = max(Z \ S) = • Tập số giả Frobenius S PF(S) = Maximals ≤S (Z \ S) = {α ∈ Z \ S | α + a ∈ S, ∀a ∈ S \ {0}} = {7} Trong trường hợp, ta ln có F(S) ∈ PF(S) Trong trường hợp ta thấy PF(S) = {F(S)} • Kiểu t(S) S lực lượng PF(S) nên t(S) = 2.3.2 Ví dụ Cho nửa nhóm số S =< 6, 7, > Ta có {6, 7, 8} hệ sinh tối tiểu S S = {0, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 18, →} • Số bội S số tự nhiên bé hệ sinh tối tiểu nên m(S) = • Chiều nhúng S lực lượng hệ sinh tối tiểu nên e(S) = • Độ hở S G(S) = N \ S = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 17} • Giống S lực lượng G(S) nên giống S g(S) = 27 • Số Frobenius S F(S) = max(Z \ S) = 17 • Tập số giả Frobenius S PF(S) = Maximals ≤S (Z \ S) = {α ∈ Z \ S | α + a ∈ S, ∀a ∈ S \ {0}} = {17} Cũng giống Ví dụ 2.3.1, trường hợp ta thấy PF(S) = {F(S)} • Kiểu t(S) S lực lượng PF(S) nên t(S) = 2.3.3 Ví dụ Cho nửa nhóm số S =< 5, 6, 7, > Ta có {5, 6, 7, 8} hệ sinh tối tiểu S S = {0, 5, 6, 7, 8, 10, →} • Số bội S số tự nhiên bé hệ sinh tối tiểu nên m(S) = • Chiều nhúng S lực lượng hệ sinh tối tiểu nên e(S) = • Độ hở S G(S) = N \ S = {1, 2, 3, 4, 9} • Giống S lực lượng G(S) nên giống S g(S) = • Số Frobenius S F(S) = max(Z \ S) = • Tập số giả Frobenius S PF(S) = Maximals ≤S (Z \ S) = {α ∈ Z \ S | α + a ∈ S, ∀a ∈ S \ {0}} = {9} Cũng giống Ví dụ 2.3.1 Ví dụ 2.3.2, trường hợp ta thấyF(S) ∈ PF(S) Trong trường hợp ta thấy PF(S) = {F(S)} • Kiểu t(S) S lực lượng PF(S) nên t(S) = 2.3.4 Ví dụ Cho nửa nhóm số S =< 5, 7, 11, 13 > Ta có {5, 7, 11, 13} hệ sinh tối tiểu S S = {0, 5, 7, 10, →} 28 • Số bội S số tự nhiên bé hệ sinh tối tiểu nên m(S) = • Chiều nhúng S lực lượng hệ sinh tối tiểu nên e(S) = • Độ hở S G(S) = N \ S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} •Giống S lực lượng G(S) nên giống S g(S) = • Số Frobenius S F(S) = max(Z \ S) = • Tập số giả Frobenius S PF(S) = Maximals ≤S (Z \ S) = {α ∈ Z \ S | α + a ∈ S, ∀a ∈ S \ {0}} = {6, 8, 9} • Kiểu t(S) S lực lượng PF(S) nên t(S) = 29 KẾT LUẬN Dựa vào [5], luận văn trình bày khái niệm nửa nhóm số số bất biến nửa nhóm số Cụ thể chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: Khái niệm nửa nhóm số; Khái niệm số tính chất số bất biến nửa nhóm số như: số bội, chiều nhúng, conductor, tập Apéry, số Frobenius, giống, số giả Frobenius; Một số ví dụ nửa nhóm số tính tốn bất biến nói nửa nhóm số 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Bras-Amoros (2008), Fibonacci-like behavior of the number of numerical semigroups of a given genus, Semigroup Forum 76, 379–384 [2] M Delgado, P A García-Sanchez, J Morais, “numericalsgps”: a GAP package on numerical semigroups (http://www.gap- system.org/Packages/numericalsgps html) [3] T Numata (2015), Almost symmetric nummerical semigroup with small number of generator, Ph D thesis at Graduate School of Integrated Basic Science, Nihon University [4] J C Rosales, M B Branco (2002), Numerical semigroups that can be expressed as an intersection of symmetric numerical semigroups, J Pure Appl Algebra 171 , nos 2–3, 303–314 [5] J.C Rosales, P.A García- Sánchez (2009), Numerical semigroups, Development in mathematics, Vol 20, Springer [6] J C Rosales, P A García-Sanchez, J I García- García, J M UrbanoBlanco (2003), Proportionally modular Diophantine inequalities, J Number Theory 103, 281–294 [7] E S Selmer (1977), On a linear Diophantine problem of Frobenius, J Reine Angew Math 293/294, 1–17 ... trình bày khái niệm nửa nhóm số số bất biến nửa nhóm số Cụ thể chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: Khái niệm nửa nhóm số; Khái niệm số tính chất số bất biến nửa nhóm số như: số bội, chiều nhúng,... nhóm số Khi t(S) ≤ m(S) − Theo Mệnh đề 1.2.9, chiều nhúng nửa nhóm số khơng vượt q số bội nửa nhóm số Ví dụ 2.2.6 nửa nhóm số với số chiều nhúng có kiểu Chúng ta thấy [5, Chương 9] nửa nhóm số. .. nhóm nửa nhóm S tập S đóng kín phép tốn nửa nhóm S Rõ ràng, giao nửa nhóm nửa nhóm S nửa nhóm S Do đó, cho A tập khác rỗng S , nửa nhóm bé S chứa A, giao tất nửa nhóm S chứa A, kí hiệu A gọi nửa