Việc chi tiết hóa thang điểm nếu có so với thang điểm trong hướng dẫn chấm ph ải đ ảm b ảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi.. Điểm bài thi[r]
Trang 1TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2020 – 2021
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị đúng của biểu thức A = 43 30 2- + 6 4 2
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
2 5 4 5
n
- là một số nguyên.
Câu II (3,0 điểm)
1) Cho phương trình x2- (2m+1)x m+ 2+ =2 0 (1) (với m là tham số thực).
a) Giải phương trình (1) khi m=3
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện 1< <x1 x2
2) Giải hệ phương trình ( )
3 2
,
ïï
Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho hàm số 2
1 2
y=- x
có đồ thị ( ).P Lập bảng biến thiên và
vẽ đồ thị ( ).P
Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) và nội tiếp trong đường tròn ( ).O Gọi D là điểm đối xứng của B qua O Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm B lên AC và AO, với K khác O và thuộc đoạn thẳng AO Gọi M là giao điểm của đường thẳng HK và BC
1) Chứng minh bốn điểm , , ,A B H K cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh tam giác MHB cân.
3) Chứng minh M là trung điểm của BC
4) Cho điểm E nằm bên ngoài đường tròn ( ) O và một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua , E
đồng thời cắt ( )O tại hai điểm phân biệt , P Q Giả sử bán kính đường tròn ( ) O bằng a Tính diện tích lớn nhất của tam giác OPQ theo a
Câu V (1,5 điểm)
1) Cho đa thức f x( )=x2+ax b+ (với ,a bÎ ¡ ) Tìm ,a b biết rằng f(2)=- 5 và (3)f =7
2) Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện x y z+ + =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3
P
xy yz xz
= +
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: … ………
Chữ ký giám thị 1: ……… Chữ ký giám thị 2: ……….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT, THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I Hướng dẫn chung
1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2 Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi
3 Điểm bài thi là điểm sau khi cộng điểm toàn bài thi và không làm tròn
II Đáp án và thang điểm Câu I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị đúng của biểu thức A = 43 30 2- + 6 4 2
-2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
2 5 4 5
n
- là một số nguyên.
1
43 30 2- = 5 3 2- = -5 3 2
6 4 2- = 2- 2 = -2 2
Từ đó, ta có A = -7 4 2
0,25 0,25 0,25
2
Ta có
n
Khi đó
- - là số nguyên khi và chỉ khi 4 (n 5). 0,25
Ta có 6 trường hợp:
n n (nhận) hoặc n 5 1 n (nhận)6
n n (nhận) hoặc n 5 2 n (nhận)7
n n (nhận) hoặc n 5 4 n (nhận).9
0,75
Trang 31) Cho phương trình x2- (2m+1)x m+ 2+ =2 0 (1) (với mlà tham số thực).
a) Giải phương trình (1) khi m=3
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện 1< <x1 x2
2) Giải hệ phương trình ( )
3 2
,
ïï
1
a) Khi m phương trình (1) trở thành 3, x2- 7x+ =11 0 0,25
Ta có 49 4.1.11 5 0. 0,25
Nghiệm của phương trình là
7 5 2
x
hoặc
7 5 2
b) Ta có (2m1)2 4.1.(m2 2) 4 m 7
Phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt khi và chỉ khi 0 m 74 (*)
0,25 0,25
Với điều kiện (*), theo hệ thức Vi-et, ta có
1 2
2
1 2
2
x x m
Khi đó
ì - + - > ì + - >
< < Û < - < - Û í Û í
0,25
2
2
1
2
2
2 2 1 1 0
m
ìï
ì + - > ï >
ï
ï + - - + > ï
So với điều kiện (*), ta nhận:
7 4
m
0,25
2
3 2
(4 1) 2 4 (1)
ïï
ïïî
Dễ thấy
0 0
x y
Từ phương trình (2), ta có:
2
2
1 1 1
x x x
(3) 0,25
Đặt
1 0
v
x Từ (3), ta có
0,25
Trang 42 1 2 1 4 2 4 2
u u u v v v u u u v v v
2 2
4 2 4 2
u v u v
Với u v , ta có 2xy1
Thay 2xy vào phương trình (1), ta có: 1 3
x x x (4)
Đặt t x 0 Từ (4), ta có
6 22 4 0 ( 1) 5 4 32 4 0 1
(do t5t4t32t 4 0)
0,25
Với t1, ta có
1
2
Vậy
1 1 2
x
Câu III (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho hàm số 2
1 2
y=- x
có đồ thị ( ).P Lập bảng biến
thiên và vẽ đồ thị ( ).P
1
Bảng biến thiên
0,25
Một số giá trị cụ thể: cho x 0 y Cho 0 x 2 y2. 0,25
Đồ thị
0,5
Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC và nội tiếp đường tròn ( ).O Gọi D là điểm đối xứng của B qua O Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm B lên AC và AO, với K khác
O và thuộc đoạn thẳng AO Gọi M là giao điểm của đường thẳng HK và BC
1) Chứng minh bốn điểm , , ,A B H K cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh tam giác MHB cân.
3) Chứng minh M là trung điểm của BC
4) Cho điểm E nằm bên ngoài đường tròn ( ) O và một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua
,
E đồng thời cắt ( )O tại hai điểm phân biệt , P Q Giả sử bán kính đường tròn ( )O bằng a Tính diện tích
Trang 5Hình vẽ thể hiện được đầy đủ giả thiết
0,25
a) Ta có ·AHB=·AKB=900nên tứ giác ABKH nội tiếp trong đường tròn đường kính
AB Do đó, bốn điểm , , , A B K H cùng thuộc một đường tròn. 0,5
b) Ta có BAK BAO BHK BHM (1) ; ABH DAC DBC (2) và BAO ABO (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra MBH BHM
Suy ra MBH cân tại M
0,5
c) Gọi F là trung điểm của BH Do MBH cân tại M nên MF BH
Mặt khác, ta có BH HC Suy ra MF // HC
Suy ra
1 2
BH BC Suy ra M là trung điểm của BC
0,5
d) Kẻ đường cao QI I PO,
Ta có
2
S OP QI a QI a QO a
2 1 2
S a
khi và chỉ khi I hay tam giác OPQ vuông tại O (tam giác OPQ luôn tồn O tại vì luôn tồn tại hai điểm P và Q thuộc (O) sao cho POQ 900 và đường thẳng PQ đi
qua điểm E).
Vậy
2 max
1 2
S a
là diện tích lớn nhất của tam giác OPQ
0,25
0,25
0,25
Câu V (1,5 điểm)
1) Cho đa thức f x( )=x2+ax b+ (với ,a bÎ ¡ ) Tìm ,a b biết rằng f(2)=- 5 và (3)f =7 2) Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện x y z+ + =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P
xy yz xz
= +
1
Ta có (2)f =- Û5 2a b+ =- 9 và (3)f = Û7 3a b+ =- 2 0,25
Trang 6Giải hệ
2
Dễ thấy với mọi số thực dương a và ,b ta có a b 2 ab (*)
Áp dụng (*), với a= 1 và
3
,
b
xy yz xz
= + + ta có
3 2
P
xy yz xz
(**)
0,25
Với các số thực , , ,x y z ta luôn có: 2 2 2
x y z xy yz xz
Suy ra x y z 2 3(xy yz xz )
2 2
xy yz xz x y z
(***)
0,25
Từ (**) và (***), ta suy ra
2 2
P
P x y z
Vậy Pmin 2 là giá trị nhỏ nhất
0,25