Mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp các em học sinh trong các đội tuyển thi học sinh giỏi có được một hệ thống các phương pháp “đủ mạnh” giải quyết các bài toán về dãy số và tích lũy thêm phương pháp giải các dạng toán khác đồng thời tăng khả năng tư duy logic và rèn luyện tính sáng tạo cho các em.
PHỤ LỤC Trang 1. Báo cáo tóm tắt nội dung, bản chất, hiệu quả sáng kiến 2 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm…… Phạm vi triển khai thực hiện…………………………………………… Mô tả sáng kiến………………………………………………………… 4.1. Đặt vấn đề ……………………………………………… 4.2. Giải quyết vấn …………………………………………… Kết quả và hiệu quả mang lại…………………………………………… 23 Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến………………………….23 Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………….23 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….25 CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hanh phúc Điện Biên phủ, ngày 15 tháng 4 năm 2017 BÁO CÁO TĨM TẮT NỘI DUNG, BẢN CHẤT, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tính chất số học của dãy số Người thực hiện: Phạm Thị Hà Định Thời gian thực hiện: Từ tháng 01/1/2017 đến ngày 10/4/2017 1.Sự cân thiêt, muc đich cua viêc th ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̣ ực hiên sang kiên: ̣ ́ ́ Nhiêm vu chu yêu cua tr ̣ ̣ ̉ ́ ̉ ường THPT chuyên Lê Quy Đôn la đao tao hoc sinh ́ ̀ ̀ ̣ ̣ mui nhon va đao tao nguôn nhân l ̃ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ ực co chât l ́ ́ ượng cao cho tinh nha. Đ ̉ ̀ ứng trươc nhiêm vu đo, đoi hoi ng ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̉ ười giao viên luôn phai đôi m ́ ̉ ̉ ới phương phap ́ day hoc, nhăm đap ̣ ̣ ̀ ́ ứng yêu câu cua viêc day va hoc hiên nay. ̀ ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ Dãy số là một phần quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng và trong các ngành đại số và giải tích tốn học. Các bài tốn về dãy số khá đa dạng và phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích và lượng giác của chúng. Trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, các bài tốn về dãy số thường xuất hiện, đặc biệt là trong đề thi học sinh giỏi quốc gia. Nhăm giup hoc sinh trong các đ ̀ ́ ̣ ội tuyển chuân bi tôt cho các ki thi chon hoc ̉ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ sinh gioi cac câp, tơi đi sâu vào nghiên c ̉ ́ ́ ứu các bài tốn dãy số có tính chất số học vì vậy tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học của dãy số ” với mong muốn giúp các em học sinh trong các đội tuyển thi học sinh giỏi có được một hệ thống các phương pháp “đủ mạnh” giải quyết các bài tốn về dãy số và tích lũy thêm phương pháp giải các dạng tốn khác đồng thời tăng khả năng tư duy logic và rèn luyện tính sáng tạo cho các em. Giúp các em có tác phong độc lập khi giải tốn. Đứng trước một bài tốn có thể chủ động, linh hoạt, biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu trả lời thích hợp để giải quyết các bài tốn một cách trọn vẹn 2. Pham vi triên khai th ̣ ̉ ực hiên: ̣ +) Đơi t ́ ượng nghiên cứu: Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao và Tốn chun THPT Sách giáo khoa nâng cao và chun Tốn Các bài tốn trong chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT Đề tài nghiên cứu dựa trên khả năng nhận thức cũng như năng lực tư duy của học sinh các lớp chun tốn 10, 11 và chủ yếu là học sinh nịng cốt trong đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Pham vi nghiên c ̣ ưu: ́ Chương trình nâng cao và chun tốn THPT Các chun đề thi học sinh giỏi quốc gia Học sinh các lớp chun Tốn trường THPT chun Lê Q Đơn. +) Tiên hanh th ́ ̀ ực nghiêm trên các đ ̣ ội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12. 3. Mô ta sang kiên: ̉ ́ ́ 3.1 Đăt vân đê ̣ ́ ̀ Chứng minh các tính chất số học trong dãy số là một vấn đề hay và khó. Vì thế trong đề tài này tơi muốn nghiên cứu sâu về tính chất số học trong dãy số thơng qua một số bài tốn cụ thể và đưa ra phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của dãy tuyến tính cấp hai trong các bài tốn chứng minh số chính phương. 3.2 Giai qut vân đê ̉ ́ ́ ̀ 3.2.1 Cơ sở li luân va th ́ ̣ ̀ ực tiên ̃ a) Cơ sở li luân ́ ̣ : Lý thuyết cơ bản * Dãy Fibonacci và dãy Lucas * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư. +) Các định lí cơ bản của số học b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù các bài tốn về dãy số là các bài tốn quen thuộc đối với học sinh THPT, nhưng ngồi những dạng bài cơ bản mà các em đã được học, các em vẫn cịn lúng túng và chưa có hướng giải quyết đối với rất nhiều bài tốn chứng minh các tính nhất số học của dãy số. Khó khăn nhất đối với các em học sinh là đứng trước một bài tốn phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu quả. Khả năng hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức và phương pháp của các em học sinh cịn nhiều hạn chế. Trong q trình giảng dạy thực tế tơi đã phân loại các dạng bài dãy số với những dấu hiệu để có thể chọn được phương pháp phù hợp và hiệu quả nhất giúp các em có thể xác định được hướng giải quyết trong các bài tốn dãy số, đặc biệt là phát hiện các tính chất số học của các dãy số 3.2.2 Giải pháp thực hiện: Sử dụng tính chất đặc trưng của dãy tuyến tính cấp hai trong bài tốn chứng minh số chính phương 1. Cơng thức tổng qt của dãy (un ) thỏa mãn un +2 = aun+1 + bun + c 2. Tính chất cơ bản của dãy tuyến tính cấp hai 3. Phương pháp thường dùng để chứng minh f (un ) là số chính phương, trong đó (un ) thỏa mãn un +2 = aun +1 + bun + c Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn là số chính phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng một số hướng sau: Hướng 1: Ta chỉ ra tồn tại dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn bn = cn2 , ∀n ﾥ Dãy số (cn ) thường dự đốn bằng cách tính một số giá trị đầu c1 , c2 , và tìm ra quy luật của dãy (cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn + là một số chính phương với mọi số tự nhiên n , sau đó chứng minh bằng quy nạp. Hướng 3: Dựa vào cơng thức truy hồi ta tính được bn = cn2 3.2.3 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Trong đề tài này tơi đã lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học của dãy số (chủ yếu chứng minh về số chính phương). Giúp cho tơi trong q trình giảng dạy cho các đội tuyển, học sinh có thể tìm lời giải bài tốn nhanh chóng và hiệu quả. 4. Kết quả, hiệu quả mang lại. Qua thực tế áp dụng tơi nhận thấy các em học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp chứng minh các tính chất số học vào từng bài tốn cụ thể và tỏ ra hứng thú với các phương pháp này. Khơng những thế các em cịn biết áp dụng với nhiều kiểu bài khác nhau khi cho làm kết hợp với các dạng bài tập khác Sau khi áp dụng đề tài này, tơi thấy chất lượng các đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Kết quả cụ thể của đội tuyển qua 3 năm mà tơi đã dạy thử nghiệm đạt được như sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 20142015: Đạt 1 huy chương vàng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi của khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, 2 huy chương đồng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương. +) Đội tuyển lớp 11, năm học 20152016: Đạt 2 huy chương bạc, 2 huy chương đồng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi của khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ và học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 20162017: Đạt 3 giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia. 5. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến. Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng các đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh và đội tuyển quốc gia 6. Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trong trường THPT Chun Lê Q Đơn và một số trường trong tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi các cấp của bộ mơn Tốn. Trong đề tài này tơi mới nghiên cứu được một vài tính chất số học của dãy số, do khả năng và thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn. Tơi xin trân trọng cảm ơn ! Ý kiến xác nhận Điện Biên Phủ, ngày 15 tháng 4 năm 2017 của thủ trưởng đơn vị Người báo cáo Phạm Thị Hà Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ 1.Sự cân thiêt, muc đich cua viêc th ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̣ ực hiên sang kiên: ̣ ́ ́ Nhiêm vu chu yêu cua tr ̣ ̣ ̉ ́ ̉ ường THPT chuyên Lê Quy Đôn la đao tao hoc sinh ́ ̀ ̀ ̣ ̣ mui nhon va đao tao nguôn nhân l ̃ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ ực co chât l ́ ́ ượng cao cho tinh nha. Đ ̉ ̀ ứng trươc nhiêm vu đo, đoi hoi ng ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̉ ười giao viên luôn phai đôi m ́ ̉ ̉ ới phương phap ́ day hoc, nhăm đap ̣ ̣ ̀ ́ ứng yêu câu cua viêc day va hoc hiên nay. ̀ ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ Dãy số là một phần quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng và trong các ngành đại số và giải tích tốn học. Các bài tốn về dãy số khá đa dạng và phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích và lượng giác của chúng. Trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, các bài tốn về dãy số thường xuất hiện, đặc biệt là trong đề thi học sinh giỏi quốc gia. Nhăm giup hoc sinh trong các đ ̀ ́ ̣ ội tuyển chuân bi tôt cho các ki thi chon hoc ̉ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ sinh gioi cac câp, tơi đi sâu vào nghiên c ̉ ́ ́ ứu các bài tốn dãy số có tính chất số học vì vậy tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học của dãy số ” với mong muốn giúp các em học sinh trong các đội tuyển thi học sinh giỏi có được một hệ thống các phương pháp “đủ mạnh” giải quyết các bài tốn về dãy số và tích lũy thêm phương pháp giải các dạng tốn khác đồng thời tăng khả năng tư duy logic và rèn luyện tính sáng tạo cho các em. Giúp các em có tác phong độc lập khi giải tốn. Đứng trước một bài tốn có thể chủ động, linh hoạt, biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu trả lời thích hợp để giải quyết các bài tốn một cách trọn vẹn 2. Pham vi triên khai th ̣ ̉ ực hiên: ̣ +) Đơi t ́ ượng nghiên cứu: Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao và Tốn chun THPT Sách giáo khoa nâng cao và chun Tốn Các bài tốn trong chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT Đề tài nghiên cứu dựa trên khả năng nhận thức cũng như năng lực tư duy của học sinh các lớp chun tốn 10, 11 và chủ yếu là học sinh nịng cốt trong đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Pham vi nghiên c ̣ ưu: ́ Chương trình nâng cao và chun tốn THPT Các chun đề thi học sinh giỏi quốc gia Học sinh các lớp chun Tốn trường THPT chun Lê Q Đơn. +) Tiên hanh th ́ ̀ ực nghiêm trên các đ ̣ ội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12. 3. Mô ta sang kiên: ̉ ́ ́ 3.1 Đăt vân đê ̣ ́ ̀ Chứng minh các tính chất số học trong dãy số là một vấn đề hay và khó. Vì thế trong đề tài này tơi muốn nghiên cứu sâu về tính chất số học trong dãy số thơng qua một số bài tốn cụ thể và đưa ra phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của dãy tuyến tính cấp hai trong các bài tốn chứng minh số chính phương. 3.2 Giai qut vân đê ̉ ́ ́ ̀ 3.2.1 Cơ sở li luân va th ́ ̣ ̀ ực tiên ̃ a) Cơ sở li luân ́ ̣ : Lý thuyết cơ bản * Dãy Fibonacci và dãy Lucas +) Dãy Fibonacci ( Fn ) là dãy cho bởi hệ thức truy hồi: F1 = F2 = Fn+ = Fn+1 + Fn ∀n Dùng phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số bằng phương trình đặc trưng ta dễ dàng thấy công thức tổng quát của dãy ( Fn ) là: n n � � 1+ � � − �� � Fn = � �− � �� . Ta quy ước F0 = 2 5� � � � �� � � +) Một vài tính chất số học của dãy Fibonacci : ( Fn , Fn +1 ) = với mọi n Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m > ( Fn , Fn +1 ) = Fd với d = ( m, n) Nếu n và Fn là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố Dãy ( Fn ) chứa một tập vô hạn những số đôi một nguyên tố cùng nhau Hướng 2: Ta chứng minh bnbn + là một số chính phương với mọi số tự nhiên n , sau đó chứng minh bằng quy nạp. Hướng 3: Dựa vào cơng thức truy hồi ta tính được bn = cn2 4. Bài tập minh họa Bài 1. Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ = 4an+1 − an , n Chứng minh rằng: i) an − là số chính phương với mọi n lẻ ii) an − là số chính phương với mọi n chẵn. Lời giải Cách 1: Ta dự đốn dãy số (cn ) sao cho a2 n +1 − = cn2 , ta có a1 = 2, a3 = 26, a5 = 362, a7 = 5042 suy ra c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 Khi đó ta thử thiết lập quan hệ truy hồi của dãy (cn ) theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử cn+ = acn+1 + bcn và từ c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 ta được 5a + b = 19 � � 19a + 5b = 71 � a=4 � . Do đó ta dự đốn dãy số (cn ) là: � b = −1 � c0 = 1, c1 = 5, cn + = 4cn +1 − cn , n = 0,1,2, Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp a2 n +1 − = cn2 (1), ∀n = 0,1,2, Thật vậy (1) đúng với n = , giả sử (1) đúng đến n > , ta sẽ chứng minh (1) đúng đến n + Ta có a2 n +3 − = 4a2 n+ − a2 n+1 − = 4(4a2 n+1 − a2 n ) − a2 n+1 − = 16a2 n +1 − 4a2 n − a2 n +1 − = 15a2 n+1 − (a2 n +1 + a2 n −1 ) − = 14a2 n+1 − a2 n −1 − = 14(cn2 + 1) − cn2−1 − − = 12cn2 − cn2−1 − 12 (2) Theo hệ thức cơ bản của dãy tuyến tính cấp 2 ta được: cn+1cn−1 − cn2 = −6 � (4cn − cn −1 )cn −1 − cn2 = −6 � cn2 + cn2−1 − 4cn cn −1 − = (3) Ta có cn2+1 = (4cn − cn−1 ) = 16cn2 − 8cncn −1 + cn2−1 = 16cn2 − 2(cn2 + cn2−1 − 6) + cn2−1 = 14cn2 − cn2−1 − 12 (4) Từ (2) và (4) suy ra a2 n +3 − = cn2+1 Do đó ta chứng minh được (1) đúng đến n + suy ra (1) đúng Cách 2: Ta có an+ an − an2+1 = 3, ∀n Từ hệ thức này ta được: (an+ − 1)(an − 1) = an+ an − an+ − an + = an2+1 + − 4an +1 + = (an +1 − 2) (5) Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy ra an − là số chính phương với mọi số nguyên dương lẻ n ii) Ta chứng minh theo hướng 2 như sau: an+ − an − an + an − an + − an + an2+1 − 4an +1 + �an +1 − � Ta có = = =� � 6 36 36 � � Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp suy ra an − là số chính phương. Bài 2. Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 13, an+ = 14an+1 − an , n Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n , tồn tại các số tự nhiên k , l sao cho an = k + (k + 1) , an2 = (l + 1)3 − l Lời giải. Nhận xét: Ta có an = k + (k + 1) = 2k + 2k + � 2an − = (2k + 1) Và an2 = (l + 1)3 − l = 3l + 3l + � 12 an2 − = (6l + 3) Như vậy bài toán quy về chứng minh 2an − 1,12an2 − là các số chính phương. Nếu ta chứng minh bài tốn này theo cách 1 của bài 1 thì gặp phải những tính tốn rất lớn và nếu khơng sử dụng được máy tính thì sẽ mất nhiều thời gian. Ta sẽ chứng minh theo cách 2 của bài 1. Trước hết ta có hệ thức cơ bản sau: an+ an − an2+1 = 12, ∀n Xét (2an+ − 1)(2an − 1) = 4an+ an − 2( an+ + an ) + = 4( an2+1 + 12) − 28an +1 + = (2an+1 + 7) (12an2+ − 3)(12an2 − 3) = 144(an + an ) − 36(an2+ + an2 ) + = 144(an + an ) − 36(an + + an ) + 72an + an + = 144(an + an ) − 36(14an +1 ) + 72an + an + = 144(an + an ) − 36.142 (an+ an − 12) + 72an+ an + = 144(an + an ) − 36.194an + an + 2912 = (12an + an − 291) Từ các hệ thức trên và phương pháp quy nạp ta được 2an − 1,12an2 − là các số chính phương. Bài 3. Cho dãy số ( xn ) : x1 = 1, x2 = 2011, xn + = 4022 xn+1 − xn , n = 1,2, Chứng minh rằng x2012 + là một số chính phương 2012 Lời giải. Ta sẽ giải bài tốn tổng qt sau: Cho p là một số ngun dương lẻ và dãy số ( xn ) được xác định như sau: x1 = 1, x2 = p, xn+ = pxn +1 − xn , n = 1,2, Chứng minh rằng x2 n + là số chính phương với mọi số nguyên dương n p +1 Cách 1. Ta sẽ chứng minh theo hướng 1 của bài 1. Ta tính một vài giá trị đầu tiên x2 + x +1 x +1 = 1, = (2 p − 1) , = (4 p − p − 1) , p +1 p +1 p +1 Ta dự đốn được , trong đó dãy số ( yn ) được xác định như sau: y1 = 1, y2 = p − 1, yn+ = pyn+1 − yn , n = 1,2, Ta sẽ chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp Ta có yn + yn − yn2+1 = (1) n−1 ( y3 y1 − y22 ) = p − � yn + yn = yn2+1 + p − � (2 pyn +1 − yn ) yn = yn2+1 + p − � yn2+1 + yn2 + p − = pyn yn +1 Ta có yn2+ = (2 pyn +1 − yn ) = p yn2+1 − pyn yn +1 + yn2 = p yn2+1 − 2( yn2+1 + yn2 + p − 2) + yn2 = (4 p − 2) yn2+1 − yn2 − p + x2 n+ + x2 n + (4 p − 2) x2 n + − x2 n + x2 n+ + (4 p − 2) − − 4p + = = p +1 p +1 p +1 p +1 Suy ra x2 n + + = yn2+ p +1 Cách 2. Ta sẽ chứng minh theo hướng 2 của bài 1. Trước hết ta có hệ thức cơ bản sau: xn+ xn − xn2+1 = (1) n −1 ( x3 x1 − x22 ) = p − − p = p − � xn + xn = xn2+1 + p − Ta có �xn+ + � �xn + � xn + xn + xn + + xn + xn2+1 + p − + pxn +1 + �xn+1 + p � = =� �p +1 � �p + �= � ( p + 1) ( p + 1) � � � � � p +1 � Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được x2 n + là số chính p +1 phương với mọi số nguyên dương n Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự trên ta được x2 n − là số chính p −1 phương với mọi số nguyên dương n Bài 4. Cho dãy số (an ) được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an +1 = 7an − an −1 , n = 2,3, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có an+1 + an + là một số chính phương Lời giải. Cách 1. Tính một vài giá trị đầu tiên ta được: a1 + a2 + = 22 , a2 + a3 + = 32 , a3 + a4 + = , a4 + a5 + = 182 Từ đó ta dự đốn an+1 + an + = bn2 , trong đó dãy số (bn ) được xác định như sau: b1 = 2, b2 = 3, bn+1 = 3bn − bn −1 , n = 2,3, Ta sẽ chứng minh dự đốn này bằng phương pháp quy nạp Ta có bn+1bn−1 − bn2 = � (3bn − bn−1 )bn−1 − bn2 = � 3bnbn −1 = bn2−1 + bn2 + = an −1 + an + an + an +1 + = an+1 + 2an + an −1 + Theo công thức truy hồi của dãy (bn ) ta được: bn2+1 = (3bn − bn−1 ) = 9bn2 + bn2−1 − 6bnbn −1 = 9(an + an+1 + 2) + an −1 + an + − 2(an+1 + 2an + an −1 + 9) = an +1 − an + 7an − an −1 + = an + + an +1 + Do đó bn2+1 = an +1 + an + + hay bài tốn được chứng minh Cách 2. Ta có các đẳng thức sau: an+ + an = 7an +1 , an + an − an2+1 = Xét (an + an +1 + 2)( an+1 + an + + 2) = an +1 ( an + an + ) + an an+ + an2+1 + 2(an + an + ) + 4an +1 + = an2+1 + an2+1 + + an2+1 + 14an+1 + 4an+1 + = 9an2+1 + 18an+1 + = (3an+1 + 3)2 Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta suy ra an + an +1 + là số chính phương với mọi số nguyên dương n Bài 5. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an+1 − an + 2, n Chứng minh rằng: an an+ là số chính phương với mọi số tự nhiên n Lời giải. Ta sẽ tìm x sao cho dãy số (bn ) : an = bn + x là dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi của dãy (an ) ta được: bn+ + x = 3bn+1 + 3x − bn − x + = 3bn+1 − bn + x + Ta chọn x sao cho x = x + � x = −2 suy ra an = bn − Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau: Cho dãy số (bn ) : b1 = 2, b2 = 3, bn + = 3bn +1 − bn Chứng minh rằng (bn − 2)(bn+ − 2) Là số chính phương với mọi số ngun dương n Ta có bn+ 2bn − bn2+1 = � bn+ 2bn = bn2+1 + ; bn+ + bn = bn +1 Do đó (bn − 2)(bn+ − 2) = bn + 2bn − 2(bn + + bn ) + = bn2+1 + − 6bn +1 + = (bn +1 − 3) Vậy an an+ là số chính phương với mọi số tự nhiên n Bài 6. Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 1, an + = an +1 − an − 2, n Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều là số chính phương Lời giải. Ta sẽ tìm x sao cho dãy số (bn ) : an = bn + x là dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi của dãy (an ) ta được: bn+ + x = 7bn +1 + x − bn − x − = 3bn +1 − bn + x − 2 Ta chọn x sao cho x = x − � x = suy ra an = bn + 5 Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau: 3 Cho dãy (bn ) : b1 = , b2 = , bn+ = 7bn+1 − bn Chứng minh rằng bn + là số 5 chính phương với mọi số nguyên dương n Cách 1. Ta tính một số giá trị đầu tiên của bn + b1 + : 2 2 2 = , b2 + = 12 , b3 + = 22 , b4 + = 52 , Khi đó ta dự đốn bn + = cn2 5 5 trong đó (cn ) được xác định như sau: c1 = c2 = 1, cn + = 3cn+1 − cn , n = 1,2, Ta chứng minh dự đốn này bằng phương pháp quy nạp: Ta có cn+ 2cn − cn2+1 = � (3cn +1 − cn )cn − cn2+1 = � 3cn cn +1 = cn2+1 + cn2 + cn2+ = (3cn +1 − cn ) = 9cn2+1 − 6cn cn +1 + cn2 = 9cn2+1 − 2(cn2+1 + cn2 + 1) + cn2 2� � 2� 2 � = 7cn2+1 − cn2 − = � bn +1 + �− � bn + �− = 7bn+1 − bn + = bn + + 5� � 5� 5 � Suy ra cn2+ = bn + + Từ đó suy ra dự đốn là đúng hay bài tốn được chứng minh. Cách 2. Ta có bn + 2bn − bn2+1 = và bn+ + bn = 7bn+1 Khi đó 2� 14 � 2� � bn + � bn+ + �= bn+ 2bn + (bn+ + bn ) + = bn2+1 + + bn +1 + � � 5� 25 5 25 � 5� � 14 49 � 7� = b + bn+1 + =� bn +1 + � 25 � 5� n +1 2� � 7� � 2� � Suy ra � bn + � bn+ + �= � bn +1 + �. Từ đẳng thức này bằng phương pháp � 5� � 5� � 5� � quy nạp suy ra bn + là số chính phương với mọi số nguyên dương n Bài 7. Cho dãy số (an ) xác định bởi: a0 = an+1 = 4an + 15an2 − 60 , n = 0,1,2, Chứng minh rằng số bn = ( a2 n + 8) có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số ngun dương liên tiếp với mọi n Lời giải. Từ giả thiết suy ra dãy số (an ) là dãy số dương Ta có an+1 = 4an + 15an2 − 60 � ( an+1 − 4an ) = 15an2 − 60 � an2+1 − 8an an+1 + an2 + 60 = (1) Từ (1) ta được: an2+ − 8an+1an + + an2+1 + 60 = (2) Từ (1) và (2) suy ra an , an+ là hai nghiệm của phương trình: x − xan+1 + an2+1 + 60 = Do đó theo định lí Viet ta được: an + an + = 8an+1 � an + = 8an+1 − an Khi đó dãy số (an ) được xác định như sau: a0 = 2, a1 = 8, an+ = 8an +1 − an , n = 0,1,2, Nhận xét: Giả sử 1 a −2 (a2 n + 8) = ( k − 1) + k + ( k + 1) � (a2 n + 8) = 3k + � n = k2 5 15 Như vậy yêu cầu chứng minh của bài toán quy về chứng minh a2 n − là số 15 chính phương với mọi số nguyên dương n Cách 1. Ta tính một vài giá trị đầu tiên: a0 − a −2 a −2 a −2 = 02 , = 22 , = 16 , = 126 15 15 15 15 Khi đó ta dự đốn a2 n − = bn2 , trong đó dãy số (bn ) được xác định như sau: 15 b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126, và thử xác định dãy (bn ) dưới dạng dãy số tuyến tính như sau: bn+ = xbn +1 + ybn , n = 0,1,2, x = 16 � Từ b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126 ta được � 16 x + y = 126 � Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp �x = � �y = −1 a2 n − = bn2 , trong đó (bn ) là 15 dãy số thỏa mãn b0 = 0, b1 = 2, bn+ = 8bn+1 − bn , n = 0,1,2, bn+1bn−1 − bn2 = −4 � (8bn − bn−1 )bn−1 − bn2 = −4 � 8bn +1bn −1 = bn2−1 + bn2 − Ta có b2 n −2 − b2 n − b + b − 64 + − = 2n−2 n 15 15 15 a2 n + = 8a2 n +1 − a2 n = 8(8a2 n − a2 n −1 ) − a2 n = 63a2 n − (a2 n + a2 n −2 ) = 62a2 n − a2 n −2 Theo công thức truy hồi của dãy (bn ) và các đẳng thức trên ta được: bn2+1 = (8bn − bn−1 ) = 64bn2 + bn2−1 − 16bnbn −1 = 64 = a2 n − a2 n− − �a + a2 n −2 − 64 � + − � 2n � 15 15 15 � � 62a2 n − a2 n− − a2 n+ − = 15 15 Do đó bn2+1 = a2 n+ − hay bài tốn được chứng minh. 15 Cách 2. Ta có a2 n + a2 n − a22n+1 = 60 � a2 n+ a2 n = a22n +1 + 60 Ta xét �a2 n+ − � �a2 n − � a2 n + a2 n − 2(a2 n + + a2 n ) + a2 n +1 + 60 − 16a2 n +1 + = � � � �= 225 225 � 15 � � 15 � �a − � = � n +1 � � 15 � Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được a2 n − là số chính 15 phương với mọi số nguyên dương n Bài 8. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = 20, u2 = 30, un+ = 3u n +1 − un , n = 1,2, Tìm tất cả các số ngun dương n sao cho 1 + 5unun+1 là một số chính phương Lời giải. Dễ thấy dãy (un ) là dãy số tăng suy ra với n �4 � un + un +1 �u4 + u5 �u3 + u4 = 250 (1) +) n { 1,2} khơng thỏa mãn +) n = thì 1 + 5u3u4 = 2512 suy ra n = thỏa mãn +) n , theo tính chất cơ bản của dãy tuyến tính cấp hai ta có: un+ 2un = un2+1 + (1) n−1 (u3u1 − u22 ) = un2+1 + 500 � (3un+1 − un )un = un2+1 + 500 � 3un +1un = un2+1 + un2 + 500 � 5un+1un + = (un+1 + un ) + 501 Giả sử 1 + 5unun+1 là số chính phương, 1 + 5unun+1 = a , a ﾥ * Khi đó ta có: (un+1 + un ) + 501 = a � ( a − un+1 − un )(a + un +1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167 Ta xét các trường hợp sau: a + un+1 + un = 501 TH1. � a − un+1 − un = a = 251 mâu thuẫn với (1) � un +1 + un = 250 a + un+1 + un = 167 TH2. � a − un+1 − un = a = 85 mâu thuẫn với (1) � un+1 + un = 82 Do đó với n thì 1 + 5unun+1 khơng phải là số chính phương. Vậy n = là số ngun dương thỏa mãn u cầu bài tốn. Bài tập vận dụng Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 13, an+ = 14an+1 − an , n Chứng minh rằng: a) an2+1 − an an+ + 12 = 0, ∀n b) 48an2 − 12 là số chính phương với mọi số tự nhiên n c) 2an − 1, 2an + là số chính phương với mọi số tự nhiên n 2. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 11, an + = 10an+1 − an + 10, n Chứng minh rằng: an + là số chính phương với mọi n chẵn 3. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 2an +1 − an + 1, n Chứng minh rằng: 4an an+ + là số chính phương với mọi số tự nhiên n 4. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an+ = 3an +1 − an + 2, n Chứng minh rằng: an an+ là số chính phương với mọi số tự nhiên n 5. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an+1 − 2an , n Chứng minh rằng: an2 + 2n + là bình phương của một số nguyên lẻ 6. ( VMO 1997) Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 45, an + = 45an +1 − an , n a) Tính số các ước nguyên dương của số an2+1 − an an+ theo n b) Chứng minh rằng 1997an2 + 4.7 n+1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 7. Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 11, an+ = an +1 + 5an , n Chứng minh rằng an khơng là số chính phương với mọi n > 8. Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 3, an+ = 6an+1 − an + 2, n Chứng minh rằng an2 + (an + 1) là số chính phương với mọi số tự nhiên n 9. Cho dãy số (an ) : a0 = a, a1 = b, an+ = 3an +1 − an , n 0; a, b ﾥ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho 5an2 + k là số chính phương với mọi số tự nhiên n 10. Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 6, an + = 6an +1 − an , n Chứng minh rằng: a) an2+1 − 6an an+1 + an2 = với mọi số tự nhiên n b) Với mọi số tự nhiên n tồn tại số nguyên dương k sao cho an2 = k (k + 1) 11. Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = −1, an + = − an +1 − 2an , n Chứng minh rằng 22012 − 7a2010 là một số chính phương. 12. Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 2, an+ = 4an+1 − an , n Chứng minh rằng a) an2 + an2−1 − 4an an +1 = −3, ∀n an2 − b) là một số chính phương. 13. Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ = 4an+1 − an , n Tìm n để an − là số chính phương. 14. Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 2, an+ = 4an+1 + an , n Chứng minh rằng an an + + ( −1) n là số chính phương với mọi số nguyên dương n n n �3 + � �3 − � 15. Cho dãy số ( xn ) : xn = � �+ � �− 2, n Chứng minh rằng 2 � � � � x2 n +1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 3.2.3 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Trong đề tài này tơi đã lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học của dãy số (chủ yếu chứng minh về số chính phương). Giúp cho tơi trong q trình giảng dạy cho các đội tuyển, học sinh có thể tìm lời giải bài tốn nhanh chóng và hiệu quả. 4. Kết quả, hiệu quả mang lại. Qua thực tế áp dụng tơi nhận thấy các em học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp chứng minh các tính chất số học vào từng bài tốn cụ thể và tỏ ra hứng thú với các phương pháp này. Khơng những thế các em cịn biết áp dụng với nhiều kiểu bài khác nhau khi cho làm kết hợp với các dạng bài tập khác Sau khi áp dụng đề tài này, tơi thấy chất lượng các đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Kết quả cụ thể của đội tuyển qua 3 năm mà tơi đã dạy thử nghiệm đạt được như sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 20142015: Đạt 1 huy chương vàng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi của khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, 2 huy chương đồng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương. +) Đội tuyển lớp 11, năm học 20152016: Đạt 2 huy chương bạc, 2 huy chương đồng trong cuộc thi chọn học sinh giỏi của khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ và học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 20162017: Đạt 3 giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia. 5. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến. Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng các đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh và đội tuyển quốc gia 6. Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trong trường THPT Chun Lê Q Đơn và một số trường trong tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi các cấp của bộ mơn Tốn. Trong đề tài này tơi mới nghiên cứu được một vài tính chất số học của dãy số, do khả năng và thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn. Tơi xin trân trọng cảm ơn ! 7. Danh sách đồng tác giả: Khơng Tài liệu tham khảo 1.Tài liệu giáo khoa theo chương trình nâng cao và sách giáo khoa chun tốn 2.Tạp chí tốn học và tuổi trẻ 3.Các bài thi Olympic tốn THPT Việt Nam và các đề thi đại học 4.Mạng Internet 2 ... sinh gioi cac câp, tôi đi sâu vào nghiên c ̉ ́ ́ ứu các bài tốn? ?dãy? ?số? ?có? ?tính? ?chất? ?số? ? học? ?vì vậy tơi chọn đề tài: “? ?Tính? ?chất? ?số? ?học? ?của? ?dãy? ?số? ?” với mong muốn giúp các em? ?học? ?sinh trong các đội tuyển thi? ?học? ?sinh giỏi có được một hệ thống các phương pháp “đủ ... giúp các em có thể xác định được hướng giải quyết trong các bài tốn? ?dãy? ?số, đặc biệt là phát hiện các? ?tính? ?chất? ?số? ?học? ?của? ?các? ?dãy? ?số 3.2.2 Giải pháp thực hiện: Sử dụng? ?tính? ?chất? ?đặc trưng? ?của? ?dãy? ?tuyến? ?tính? ?cấp hai trong bài tốn chứng minh? ?số? ?chính phương... sinh gioi cac câp, tôi đi sâu vào nghiên c ̉ ́ ́ ứu các bài tốn? ?dãy? ?số? ?có? ?tính? ?chất? ?số? ? học? ?vì vậy tơi chọn đề tài: “? ?Tính? ?chất? ?số? ?học? ?của? ?dãy? ?số? ?” với mong muốn giúp các em? ?học? ?sinh trong các đội tuyển thi? ?học? ?sinh giỏi có được một hệ thống các phương pháp “đủ