Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=mx+1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt... PHẦN RIÊNG 3 điểm Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được là
Trang 1
5 ĐÊ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐỀ 11
( Thời gian làm bài 150 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
1
x y x
+
=
−
Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=mx+1 cắt đồ thị của hàm số đã cho
tại hai điểm phân biệt
1 2
5
x x
+ <
+
Câu II ( 3,0 điểm )1) Giải bất phương trình :
3
2 0
x
1 x
=
+ ò
2)Tính tích phân :1) x
3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y= − +x2 2 ;x y= −x
( ) (2 )
Câu III (1.0 điểm) Cho số phức: Tính giá trị biểu thức
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Cho chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SB a= 3
Tính thể tích chóp S.ABCD theo a
CâuV(1.0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;4), D(1;-2;4)
1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
2 Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD
Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 1 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 6y + 3z – 4 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng : 3
− đồng thời tiếp xúc với
cả hai mặt phẳng (P) và (Q)
1 4 3i
− +
Câu Vb (1 điểm) Tìm căn bậc hai của số phức
Hết
HƯỚNG DẪN đề 11
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm )
{ }
= \ 1
D
Tập xác định :
Sự biến thiên :
( )2
3
y ' 0, x D
x 1
−
= < ∀
−
• Chiều biến thiên : ∈
(−∞;1) (∪ 1;+∞)
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
• Hàm số không có cực trị
• Giới hạn : và
→−∞ = →+∞ =
→ = +∞ → = −∞
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1,và tiệm cận ngang là đường thẳng:
y = 2
• Bảng biến thiên :
Trang 2
x −∞ 1
+∞
y' _
2
−∞
• Đồ thị :
1
;0 2
⎛− ⎞
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-1) và cắt trục hoành tại điểm
- Đồ thị nhận điểm I (1;2) làm tâm đối xứng
2 (1,0 điểm)
1 1
x
mx x
−
Đường thẳng y=mx+1 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ⇔Phương trình (ẩn x) có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (ẩn x)mx2−(m 1)x 2 0+ − = có hai nghiệm phân biệt, khác 1
⇔
⇔ Δ =⎨ + + > ⇔⎨
+ + >
⎪
⎪⎩
2
2 2
m 0
m 0 (m 1) 8m 0
m 10m 1 0 m.1 (m 1).1 2 0
⎡ < − −
⎢
⎢
⇔ − + < <
⎢ >
⎢⎣
m 5 21
5 21 m
m 0
0
Câu II ( 3,0 điểm )
+
>
+
2x 1 1
x 5 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :
⎡⎧ − >
⎢⎨
+ > ⎡ < −
⇔ + > ⇔⎢⎧ − < ⇔ ⎢ >
⎣
⎢⎨
+ <
⎢⎩
⎣
x 4 0
x 5 0 x 5
x 4 0
x 5 0
2 (1,0 điểm)
Trang 3
3
2 0
x
1 x
=
+ ò
u = 1+ x Þ du = 2xdx
u 4
x 3
u 1
x 0
=
= Þ
=
=
Đổi cận:
Do đó:
4
1
4 1
1
2 u
; 3
Vậy I = 1
3 (1,0 điểm)
Ta có : − +x2 2x= − ⇔ =x x 0 x=
Diện tích là : S = − +∫ x x dx= − +∫ x x )dx 3 3 2 3 9
0
x x
= −⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠ (đvdt)
Câu III ( 1,0 điểm ) :Ta có : SABCD =a2; SA ⊥ ( ABCD , )
= = 2− 2 =
h SA 3a a a 2
Suy ra,
S.ABCD 1 ABCD 1
a 2 3
Vậy, thể tích chóp S.ABCD là : (đvtt)
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Áp dụng PT của mặt phẳng theo đoạn chắn ta có PT mp (ABC) là :
1
2 3 4
x y z
+ + = ⇔ 6 x + 4 y + − = 0 3 z 12
)
2 (1,0 điểm)
• Thay toạ độ điểm D vào pt mặt phẳng (ABC)
• Suy ra D∉(ABC do đó ABCD là hình tứ diện
( 2;0; 4)
AC= −
uuur
( 1; 2; 4)
AD= − −
uuur
• Ta có : uuurAB= −( 2;3;0), ,
=1 ⎣uuur uuur uuur, ⎦. = − =1 2 (
3 tt Thể tích:
Câu IV (1,0 điểm ) :
Tacó:
2
6 8 8 6
= − − = −
)
i
2 Theo chương trình nâng cao :
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
ĐỀ 12
( Thời gian làm bài 150 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Trang 4
x 2 y
1 x
+
=
−
Cho hàm số có đồ thị (C)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
−
b Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx 4−2m luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (C) khi m thay đổi
Câu II ( 3,0 điểm )
log (2 −1).log (2 + −2) 12
a Giải phương trình =
0 sin 2x
dx 2 (2 sin x) /2 +
−π∫
b Tính tìch phân : I =
2
x 3x (C) : y
x 2
1
− +
=
−
c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết rằng tiếp tuyến này
song song với đường thẳng (d) : 5x−4y 4 0+ =
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp S,ABC Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA Tính tỉ
số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm
1
−
trên các trục Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; ) Hãy tính diện tích tam giác ABC
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = x 2, (d) : y = 6 x − và trục hoành
Tính diện tích của hình phẳng (H)
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Biết A’(0;0;0) ,
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’
a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’
b Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
1 y x
=
Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) : y 2x = 2 + ax b + tiếp xúc với hypebol (H) : Tại điểm M(1;1)
.Hết
HƯỚNG DẪN ĐỀ 12
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
b) 1đ
x −∞ 1 +∞
y′ + +
y +∞ −1
1
Trang 5
Ta có : y = mx 4 2m − − ⇔ m(x 2) 4 y 0 (*) − − − =
Hệ thức (*) đúng với mọi m x 2 0 x 2
Đường thẳng y = mx 4− −2m luôn đi qua
điểm cố định A(2; 4) thuộc (C) −
x 2 y
1 x
+
=
−
( Vì tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình )
Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ Điều kiện : x > 1
pt ⇔log (2 −1).[1 log (2+ −1)] 12 0 (1)− =
Đặt : thì
2
x
t log (2= −1) (1)⇔t2+ −t 12 0= ⇔ = ∨ = −t 3 t 4
2 2
t = 3 log (2 1) 3 2 9 x log 92
t = 4 log (2 1) 4 2 16 x log216
− ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
b) 1đ Đặt t 2 sin x= + ⇒dt cosxdx=
x = 0 t = 2 , x = t 1
2
I = dt 2 dt 4 dt 2ln t 4 ln 4 2 ln
1
π
2 5
5x 4y 4 0 y x 1
4
− + = ⇔ = + c) 1đ Đường thẳng (d)
5 4 Gọi Δ là tiếp tuyến cần tìm , vì song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = Do đó : Δ
5
( ) : yΔ = x b
4 +
2
x 3x 1 5 x b (1)
x 2: 2
x 4x 5 5 (2)
(x 2)
−
⎪
≠ ⎨
− +
⎩
Δ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ hệ sau có nghiệm
2
(2) x 4x 0 x 0 x 4
(1)
x = 0 b tt( ) : y1 x
(1)
x = 4 b tt( ) : y2 x
Câu III ( 1,0 điểm )
VS.MBC VS.ABC (1)
VS.ABC = SA 3= ⇒ = 3
VM.ABC VS.ABC VS.MBC VS.ABC VS.ABC VS.ABC (2)
VM.SBC VS.MBC 2
VM.ABC = VM.ABC =
Từ (1) , (2) suy ra :
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Trang 6
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Vì các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz nên ta gọi A(x;0;0) , B(0;y;0),
C(0;0;z) Theo đề :
x 1
3
⎧
=
⎪
⎧ 6
=
⎪ = −
⎪⎩
G(1;2;− 1) là trọng tâm tam giác ABC 0,5đ
3
−
Vậy tọa độ của các đỉnh là A(3;0;0) , B(0;6;0), C(0;0; ) 0,25đ
3.V
V OABC d(O,(ABC).S ABC S ABC
Mặt khác :
(O,(ABC) 0,25đ
3 6 + + − 3 =
Phương trình mặt phẳng (ABC) : 0,25đ
1
9 36 9
nên
Mặt khác :
V OABC 6 = OA.OB.OC = 6 3.6.3 9 = 0,25đ
27
S ABC = 2 0,25đ
Vậy :
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Phương trình hònh độ giao điểm của ( C ) và (d) :
x 2
⎡ =
S x dx (6 x)dx [x ] 0 [6x ] 2
2 Theo chương trình nâng cao :Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Từ giả thiết ta tính được : B(a;0;a),
a;0;a) 2
a 2
D(0;a;0) , A(0;0;a) , M( , N(a; ;0)
AN (a; ; a) (2;1; 2)
BD' ( a;a; a) a(1; 1;1)
uuur
uuu ur
Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AN và BD’ nên có VTPT là
2 a
2
= uuur uuuur = −
r
(P
Suy ra : :
Trang 7
b) 1đ Gọi ϕ là góc giữa AN uuur và BD' uuuur Ta có :
2 a
2
2 2
a [AN,BD'] (1;4;3),AB (a;0;0) a(1;0;0)
2
uuur uuuur
uuuur uuuur
3
3 a
d(A N,BD')
[AN,BD'] a 26
2
uuur uuuur uuur uuur uuuur
Do đó :
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tiếp điểm M có hoành độ chính là nghiệm của hệ phương trình :
1 2
1
x
1 1
⎧
⇔
+ = −
Thay hoành độ của điểm M vào hệ phương trình (I) , ta được :
⎧ + + = + = − ⇔ ⎧ + = − = − ⇔ ⎨ ⎧ = − =
4
Vậy giá trị cần tìm là a = − 5,b =
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
ĐỀ 13
( Thời gian làm bài 150 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y x= 4+2(m 2)x− 2+m2−5m 5+ có đồ thị (Cm)
c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b Tìm giá trị của m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Câu II ( 3,0 điểm )
x x x
9 =5 +4 +2( 20)x
d Giải phương trình
e Tính tích phân : I =
1
2 ln(1 x )dx 0
+
∫
lnx − x
f Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
Câu III ( 1,0 điểm )
ABC 60 = o
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành với AB = a , BC = 2a và ;
SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy góc α
a) Tính độ dài của cạnh AC
b) Tính theo a và α thể tích của khối chóp S.ABCD
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
Trang 8
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A(2;0; 1) ,B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng
( ): x y z 2 0 α + + − =
a Viết phương trình mặt phẳng ABC Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng ( ) α
b Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A,B,C và có tâm nằm trên mặt phẳng ( ) α
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Cho (H) giới hạn bởi các đường y 4 x = − 2 và y x = 2 + 2 Tính thể tích của khối tròn xoay khi (H)
quay quanh trục hoành
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B 1 1 1 1 C D có các cạnh AA 1 = a, AB = AD = 2a Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD,AA 1
a) Tính theo a khoảng cách từ C1 đến mặt phẳng (MNK)
b) Tính theo a thể tích của tứ diện C M 1 NK
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tính giá trị của biểu thức : M 1 (1 i) = + + 2 + + (1 i) 4 + + + (1 i)18
.Hết
HƯỚNG DẪN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x −∞ −1 0 1 +∞
y′ 0 + 0 − − 0 +
y +∞ 1 +∞
0 0
b) 1đ Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành :
x4+2(m 2)x− 2+m2−5m 5+ = 0 (1)
Đặt t x ,t 0 = 2 ≥ Ta có :
(1) ⇔ t2+2(m 2)t m− + 2−5m 5 0+ = (2)
Đồ thị (C m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
⇔ pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
m 1 0
2
2
⎧ − >
⎧Δ > ⎪
−
⎪ > ⇔ − + > ⇔ < <
⎪ > ⎪ − − >
⇔
Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ
Trang 9
5 2
3 3
< < 1
Vì nên vế trái là hàm số nghịch biến trên
Mặt khác : f (2) = 1 nên pt (1) ⇔ f (x) = f (2) ⇔ x = 2
b) 1đ
2xdx
1 x
⎧
=
Đặt
Ta có :
I x ln(1 x ) 2 dx ln 2 2 (1 )dx ln 2 [2x]0 dx = ln2 2 2M
1 1
2
1 x
0
=
+
Với Đặt x tant = , ta tính được M =
Do đó : I l n2 2
2
π
c) 1đ Ta có : TXĐ D (0;= +∞)
2 2 (0; )+∞ −
Bảng biến thiên :
0 4 +∞
y′ 0 + −
y 2ln2 - 2
Vậy : Maxy y(4) 2ln= =
Câu III ( 1,0 điểm )
3
a) Áp dụng định lí côsin vào Δ ABC , ta có : AC = a
2
3
b) Vì
α
) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a) 1,0đ (ABC) : x y z 1 0+ − − =
Vì 1: 1: 1 1:1:1 − ≠ nên hai mặt phẳng cắt nhau
2 2 2 b) 1,0đ Gọi mặt cầu cần tìm là : (S + + + + + + =
2
với
a + b + c > d
có tâm I( a; b; c) − − −
và tâm I thuộc mặt phẳng ( ) α
Trang 10
Vậy (S) : (S) : x2+y2+z2−2x 2z 1 0− + = có tâm I(1;0;1) và bán kính R = 1
Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
4 x − = x + ⇔ 2 x = ⇔ = ± 1 x 1
Phương trình hoành độ điểm chung :
Vì 4 x − 2 ≥ x 2 + ∀ ∈ − 2, x [ 1;1] nên :
2 Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O
trùng với A , các trục Ox ,Oy ,Oz đi qua
B, D và A1như hình vẽ
Khi đó : A(0;0;0) , B(2a;0;0) , D(0;2a;0) ,
A1(0;0;a) , C1(2a;2a;a) , M(a;0;0) , N(0;a;0)
a
2
K(0;0; )
Khi đó : ( MNK): x y 2z a 0 + + − =
5a 6 d(C ;(MNK)) 1
6
=
1
3
b) 1đ Ta có : V C MNK [ MN,MK].MC 1 với
2 2
= uuuur uuuur
1
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = , công bội q =
2
(1 i) + = 2i
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
ĐỀ 14
( Thời gian làm bài 150 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y x= 3−3x2+3x 2− có đồ thị (C)
d Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) tại điểm M(0; −2)
Câu II ( 3,0 điểm )
Trang 11
g Giải bất phương trình 1 2 + x 2+ + 3x 1+ < 6x
sin x cosx 0
π
=
+
h Tính tích phân :
5
y 2x 1 = − − 3x 5 − [ ;2 ]
3
c Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .trên
Câu III ( 1,0 điểm )
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b Tính thể tích của khối nón tương ứng
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 2 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D( 2;1; − −2) a Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
b Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A 4 2 2z + 2z − = 1 0 Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình trên tập số phức
3 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(0;0;1) , B(0;0;−1),C(1;1;1) và D(0;4;1) a Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D b Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại C và tạo với trục Oz một góc 45o Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 2 Giải phương trình z − (cos ϕ + isin )z isin cos ϕ + ϕ ϕ = 0 , ϕ∈ trên tập số phức
.Hết
HƯỚNG DẪN ĐỀ 14 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x 1 −∞ +∞
y′ + 0 +
y +∞
1
−∞
b) 1đ Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm ⇒(d) : y 3x 2= −
2/3 3 2/3 3 20 88 4 3 2 3 2 S [y(d) y(C)]dx y(C)dx [ x 3x ]dx [x 3x 3x 2] dx 81 81 3 0 2/3 0 2/3 = ∫ − − ∫ = ∫ − + − ∫ − + − = + =
Câu II ( 3,0 điểm ) a) 1đ Chia 2 vế cho 6x >0 : 1 x 1 x 1 x 1 bpt ( ) 2.( ) 3.( ) 1 (1)
6 3 2 + ⇔ + + <