MAU TRINH BAY PHIEU LAM BAI TCC1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN .Mơn thi: TỐN CAO CẤP Họ tên sinh viên: Lê Ngọc Huyền Trân Lớp học phần: AMA301_2111_9_GE20 MSSV: 050609212282 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 10 trang (bằng chữ): mười trang YÊU CẦU Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa c) Xét hệ phương trình sau đây: Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn Hãy giải phương trình Câu (3 điểm) a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b) Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau: AX=B, XA=B, AXB= C Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? b) Khơng gian sinh hệ vector SpanH? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở BÀI LÀM Câu 1: a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B Bước 1: Lập ma trận mở rộng (A|B) hệ (A ma trận hệ số, B cột số tự do) Bước 2: Biến đổi sơ cấp (trên hàng) ma trận mở rộng Đưa ma trận mở rộng ma trận bậc thang Từ ta tính hạng ma trận A (A|B) + Nếu rank(A) ≠ rank(A|B), suy hệ phương trình vơ nghiệm (Dừng bước làm) + Nếu ranh(A) = rank(A|B) = r suy hệ phương trình có nghiệm (Chuyển sang bước 3) Bước 3: Từ ma trận bậc thang viết lại hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho đơn giản Giữ lại vế trái r ẩn ứng với hệ số khác hàng ma trận bậc thang Đó ẩn (chỉ có r ẩn chính) Các ẩn lại chuyển sang phải gọi ẩn tự (chỉ có n - r ẩn tự do) Sau xem ẩn tự tham số gán cho chúng giá trị tùy ý giải hệ phương trình ngược từ cuối lên đầu cách dần ẩn từ phải sang trái, từ lên Bước 4: Tóm tắt kết kết luận nghiệm hệ phương trình b) Định lý số nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX=B Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa Hệ phương trình tuyến tính AX=B, A ma trận cấp mxn - Nếu rank(A) < rank(A|B) ⇔ Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm - Nếu rank(A) = rank(A|B) ⇔ Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm  Hệ có nghiệm ⇔ rank(A) = rank(A|B) = n  Hệ có vơ số nghiệm ⇔ rank(A) = rank(A|B) < n Đặc biệt: Nếu A ma trận vng cấp n • Nếu |A| ≠ HPT có nghiệm • Nếu |A| = HPT vơ nghiệm vơ số nghiệm Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm nhất: �1 11 � � � d2 = -2d1 + d2 �2 1 � �1 1 � d3 = d1 + d2 � � � 1 � � � 3 � � � 2 � � � d3 = d2 +d3 � 11 � � � 3 � � � 0 1� � � Ta thấy: Rank(A)=Rank(A|B) = n → hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm: d1 d2 d2 = -3d1 + d2 d3 = -d2 + d3 d3 = -4d1 + d3 Ta thấy: rank(A) < rank(A|B) Hệ phương trình vơ nghiệm Hệ phương trình có vơ số nghiệm: d2 = d1 + d2 d3 = -2d1 + d3 d4 = -1d1 + d4 Tham số hóa: x3 = a; x4 = b; phương trình, ẩn Ta thấy: Rank(A) = Rank(A|B) < số ẩn Hệ phương trình có vơ số nghiệm c) Thay a ngày sinh, b tháng sinh, c năm sinh vào phương trình ta được: d2 = d1 + d2 d3 = d1 + d3 d3 = d2 + d3 Nghiệm tổng quát: X= Câu 2: a) Hai cách tính định thức ma trận vng cấp 3: Cách 1: Quy tắc Sarius: |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a23a32a11 Ví dụ: = 1.1.2 + 0.(-1).0 + (-2).3.4 - 0.1.(-2) - 4.(-1).1 - 2.3.0 = -18 Cách 2: Tính định thức khai triển theo dòng cột định thức Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n , định thức cấp n A |A|, |A| tính hai công thức đây: |A| = (-1)1+1a11|M11| + (-1)1+2a12|M12| +… + (-1)1+na1n|M1n| Ví dụ: = (-1)1+1.1 + (-1)1+2.4 + (-1)1+3.7 = 1.1.(-3) + (-1).4.(-7) + 1.7.(-4) = -3 b) ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận: * XA=B X = Gọi A , B Ta có: X.A.A-1 = B.A-1 X = B.A-1 |A| ≠ detA = 20 + 30 + 42 - 45 - 16 -35 = -4 A khả nghịch  A* =  A-1 = A*T = X = B.A-1 = = = *AX=B X = Gọi A , B Ta có: A-1.A.X = A-1.B detA = + + - - = -3 X = A-1.B |A| ≠ A khả nghịch  A* =  A-1 = A*T = X= = X= *A.X.B = C X = Gọi A , B , C Ta có: A-1.A.X.B.B-1 = A-1.C.B-1 X = A-1.C.B-1  detA = ; detB = -2  A* = ; B* =  A-1 = ; B-1 =  A-1.C = = X = A-1.C.B-1 = = Câu 3: a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vecto ví dụ minh họa Sự phụ thuộc tuyến tính: Trong khơng gian vector Rn, cho hệ vector H = { x1; x2; x3;….;xm }  Hệ vector H hệ phụ thuộc tuyến tính ⇔ Tồn λi ≠ cho λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = ⇔ Hệ tương đương với λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = có nghiệm khơng tầm thường (có vơ số nghiệm) Sự độc lập tuyến tính: Trong không gian vector Rn, cho hệ vector H = { x1; x2; x3;….;xm }  Hệ vector H hệ độc lập tuyến tính ⇔ λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = ⇔ λi = 0, ∀i = ⇔ Hệ tương đương với λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = có nghiệm tầm thường (có nghiệm nhất) Ví dụ minh họa: - Hệ phụ thuộc tuyến tính: S = { } ⊂ M2x2 detA = = Hệ phụ thuộc tuyến tính - Hệ độc lập tuyến tính: S = { (1;0;1;0), (2;0;1;2), (2;0;2;4) } ⊂ R4 (A|0) = = detA = = + - - = -4 ≠ Hệ độc lập tuyến tính b) Không gian sinh hệ vector SpanH: Trong Rn cho hệ H = { α1;α2; …; αm } Không gian sinh H, ký hiệu Span(H) Span(H) = { x ∈ Rn : x = λ1.α1 + λ2.α2 + … + λm.αm ; ∀λi ∈ R } Ví dụ 1: A0 = { a1 = (0; 1; 1), a2 = (1;2;2), a3 = (1;0;1) } ⊂ R3  detA0 = = + + - - -1 = -1  detA ≠  Dim R3 = Hệ độc lập tuyến tính A0 sở R3 có vector biểu diễn qua A0 hệ độc lập tuyến tính Ví dụ 2: S = { (1;3;0), (4;1;2), (-2;5;-2) } ⊂ R3 Số phần tử S = dim R3 = detS = = - - 12 + 24 - 10 = detS = Hệ phụ thuộc tuyến tính S khơng phải sở R3