TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN .Mơn thi: TỐN CAO CẤP Họ tên sinh viên:LÊ NGỌC HUYỀN TRÂN MSSV: 050609212282 Lớp học phần: AMA302_2111_9_GE20 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 10 trang (bằng chữ): mười trang YÊU CẦU Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết bạn nội dung sau: - Đạo hàm hàm biến (khái niệm, liên hệ với tính liên tục, cơng thức, quy tắc tính…) - Nêu ứng dụng đạo hàm toán kinh tế Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết bạn nội dung sau: - Đạo hàm riêng vi phân toàn phần (hàm tường minh, hàm hợp hàm ẩn) - Đạo hàm cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao - Nêu ví dụ tốn tìm cực trị hàm nhiều biến Câu (3 điểm) Ứng với nội dung cho tập kèm lời giải chi tiết: - Tích phân suy rộng loại - Phương trình vi phân cấp - Phương trình vi phân cấp BÀI LÀM Câu 1: Đạo hàm hàm biến số Khái niệm: Xét hàm số y = f(x) xác định (a;b), x0 ∈ (a;b) Xét giới hạn Nếu L tồn hữu hạn, gọi L đạo hàm f(x) x0 ký hiệu f’(x0) Vậy f’(x0) = Hàm số y = f(x) có đạo hàm (a;b) ⇔ f(x) có đạo hàm điểm x0 ∈ (a;b) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn điểm x = x0 f(x) liên tục điểm Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn điểm x = x0 Khi ta có: f(x0 + △x) - f(x0) = △x Do = f’(x0) hữu hạn nên ta suy = Vậy f(x) liên tục x = x0 Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Chẳng hạn, xét hàm số f(x) = |x|, dễ dàng chứng tỏ hàm liên tục khơng có đạo hàm điểm x = Công thức đạo hàm: ()’ = α ; () = ()’ = ; (sinx)’ = cosx ()’ = ; (cosx)’ = -sinx ( )’ = ; ( )’ = (' = = (1+) ; (tanx)’ = (= ; (cotx)’ = ()’ = ; (ex)’ = ex ( = ; (ax)’ = ax.lna ()’ = ; (lnx)’ = 10 ()’ = ; ()’ = 11 (arc = ; (arc = 12 (arc = ; (arc = 13 (arc= ; (arc= 14 (arc = ; (arc = 15 (C)’ = ; x’ = Các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm tổng: (u + v)’ = u’ + v’ Đạo hàm hiệu: (u - v)’ = u’ - v’ Đạo hàm tích: (u.v)’ = u’v + uv’ Đạo hàm thương:' = Đạo hàm hàm xác định phương trình tham số: Cho hàm số y = y(x) xác định x = x(t), y = y(t) Khi đó: = = = Ứng dụng đạo hàm tốn kinh tế: - Tối đa hóa lợi nhuận doanh thu - Phân tích cận biên Cho hàm số y f (x) với x, y biến số kinh tế (ở ta xem biến số độc lập x biến đầu vào biến phụ thuộc y biến số đầu ra), gọi x điểm thuộc tập xác định hàm số Hàm số ký hiệu My = f’ (x) gọi hàm cận biên Giá trị My(x0 ) = f’(x0 ) gọi giá trị cận biên hàm số f (x) điểm x0 (hay giá trị y cận biên x điểm x0 ) Đối với hàm số kinh tế cụ thể, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể - Bài tốn thuế doanh thu Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền có hàm chi phí cầu sau: Qd = 2000 - P ; TC = Q2 + 1000Q + 50 Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế nhất? Giải: Gọi Q(t) sản lượng làm cho xí nghiệp tối đa hóa lợi nhuận với mức thuế t Khi cơng ty sản xuất Q sản phẩm cơng ty phải bán với giá P cho Q = 2000 - P hay P = 2000 - Q Khi doanh thu công ty là: T = t(Q) Lợi nhuận công ty: (Q) = P(Q).Q - C(Q) - t(Q) = -2Q2 + (1000-t)Q -50 Đạo hàm lợi nhuận bằng: (Q) = -4Q + 1000 - t Từ điều kiện để lợi nhuận cực đại, ta có: Q(t) = Vì đạo hàm cấp hai lợi nhuận (Q) = -4 t = 500 Vì T’(t) = nên t = 500 định mức thuế để thu nhiều Khi sản lượng sản xuất cơng ty Q(t) = = 125 - Hệ số co dãn Cho hàm số y = f (x) với x, y biến số kinh tế (ở ta xem biến số độc lập x biến đầu vào biến phụ thuộc y biến số đầu ra), gọi x0 điểm thuộc tập xác định hàm số εxy(x0) = y’(x0) gọi hệ số co dãn y theo x x0 Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 60P2 + 12P - 24 Tìm hệ số co dãn P = Giải: Ta có: εQP = (120P + 12) = = 1.99 Kết luận: Điều có ý nghĩa với mức giá P = giá tăng 1% lượng cầu tăng 1.99% Câu 2: Đạo hàm riêng: Cho hàm hai biến f(x;y) xác định D ⊂R2 (x;y) ∈ D + Đạo hàm riêng theo biến x hàm f (x0;y0) Kí hiệu (x0;y0): (x0;y0) = + Đạo hàm riêng theo biến y hàm f (x0;y0) Kí hiệu (x0;y0): (x0;y0) = Ta kí hiệu: (x0;y0) = fx’(x0;y0) (x0;y0) = fy’(x0;y0) Tương tự ta có khái niệm đạo hàm riêng hàm n biến (n>2) Chú ý: Tính đạo hàm riêng theo biến xi hàm n biến thực chất tính đạo hàm hàm biến số xi xem biến lại số - Đạo hàm riêng hàm hợp: + Nếu w = f(u,v) u = u(x), v = v(x) =.+ Tổng quát w = f(u1,u2,….,un), ui = ui(x) = +….+ + Nếu w = f(u,v) u = u(x,y), v = v(x,y) = + = + Tổng quát w = f((u1,u2,….,un), uj = uj(x1, x2,…,xm) = +…+ - Đạo hàm riêng hàm ẩn: Phương trình F(x1,x2,…,xm, z) = xác định hàm ẩn z = f(x1,x2,…,xm) cơng thức tính đạo hàm riêng hàm ẩn: =Vi phân toàn phần: Phương trình vi phân dạng M(x,y)dx + N(x,y)dy = (1) gọi vi phân toàn phần tồn hàm U(x,y) khả vi cho: dU(x,y) = M(x,y)dc + N(x,y)dy Nếu phương trình (1) phương trình vi phân tồn phần tích phân tổng qt phương trình (1) là: U(x,y) = + = C Hoặc U(x,y) = + = C Với (x0;y0) điểm mà thay vào hàm M(x;y 0), N(x0;y) xác định Thường ta chọn cho thuận tiện việc tính tích phân Đạo hàm riêng cấp cao: = f ”xx = (f ’x)’x = f ”xy = (f ’y)’x = f ”yy = (f ’y)’y = f ”yx = (f ‘x)’y Nếu lân cận điểm (a;b), hàm f(x;y) có đạo hàm riêng hỗn hợp đạo hàm riêng liên tục (a;b) thì: (a;b) = (a;b) Vi phân cấp cao: Hàm hai biến z = f(x;y) d2f = f’xxdx2 + 2f’xydxdy + f’yydy2 Hàm ba biến u = f(x;y;z) d2f = f’xxdx2 + 2f’xydxdy + f’yydy2 + 2f’xz dxdz+ 2f’yzdydz + f’zzdz2 Hàm n biến w = f(x1,x2, ,xn) d2f dd Hai ví dụ cực trị hàm nhiều biến: Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm f(x;y) = x2 + y2 - 2x - 2y với điều kiện x2 + y2 - = Giải: F(x,y,λ) = x2 + y2 - 2x - 2y + λ(x2 + y2 - 2) Giải hệ: ⇔ Ta nghiệm: M1(1;1;0), M2(-1;-1;-2) = + 2λ , = 0, = + 2λ Tính vi phân cấp hai hàm F dx2 + dxdy + dy2 = (2 + 2λ)(dx2 + dy2) Tại M1 (1;1;0) ta có (M1) = 2(dx2 + dy2) > => (1;1) điểm cực tiểu có điều kiện Tại M2 (-1;-1;-2) ta có (M2) = -2(dx2 + dy2) < => (-1;-1) điểm cực đại có điều kiện Ví dụ 2: Một cơng ty sản xuất loại sản phẩm Gọi Qi số lượng sản phẩm mặt hàng thứ i (i=); Pi đơn giá mặt hàng thứ i (i=) Hàm lợi nhuận công ty là: = R - C = P1Q1 + P2Q2 - C Biết P1 = 400; P2 = 600 hàm tổng chi phí là: u cầu: Tìm Q1 Q2 để đạt giá trị max? Giải: Ta có hàm lợi nhuận = 400Q1 + 600Q2 - Q12 - 2Q22 - 2Q1 - 4Q2 - 300 => = 398Q1 + 596Q2 - Q12 - 2Q22 - 300 Điều kiện để hàm đạt cực trị (Q1,Q2) là: Ta có ma trận Hesse: H= = Vì H1 = -2 0, ∀(Q1,Q2) hàm đạt cực đại (Q1, Q2) = (199,298) Câu 3: Tích phân suy rộng loại 1: Ví dụ 1: I = sindx = Ta có:.sin dx = d = - = cos - cos = cos I==1 Ví dụ 2: A = = = arctanx = (arctanA - arctan0) = -0= Phương trình vi phân cấp 1: Bài tốn đầu tư vào ngân hàng Ví dụ : Giả sử bạn lên kế hoạch gửi tiết kiệm triệu đồng ngân hàng với lãi suất 7%/năm Hỏi sau 10 năm số tiền bạn có bao nhiêu? Giải: Gọi S(t) lượng tiền bạn có thời điểm t (năm) Khi S(t + △ t) = S(t) + r △tS(t) , r △tS(t) số tiền lãi sinh sau khoảng thời gian △ t => Khi = = = r.S(t) Cho △ t = ta S’(t) = r.S(t) Giải phương trình vi phân: S’(t) = r.S(t) ⇔ S’(t) - r.S(t) = => S(t) = S0.ert Ta có điều kiện ban đầu: S(0) = 1000000 đồng => S(10) = 1000000 e7%x10 = 2013752,707 Vậy sau 10 năm số tiền có 2013753,707 đồng Phương trình vi phân cấp 2: Ví dụ 1: phương trình có hai nghiệm k1, k2: y’’ - 5y’ + 6y = Xét phương trình đặc trưng: k2 - 5k + = => => y = C1.e2x + C2.e3x Ví dụ 2: phương trình có nghiệm kép k0: 4y’’ - 4y’ + y = Xét phương trình đặc trưng: 4k2 - 4k + = => k = => y = C1 + C2 Ví dụ 3: phương trình có nghiệm phức: y’’ - 2y’ + 5y = Xét phương trình đặc trưng: k2 - 2k + = => k = ± 2i => y = ex (C1.cos2x + C2.sin2x) TÀI LIỆU THAM KHẢO CaolacVC (2018) Phương trình vi phân tồn phần [online] Blogspot.com Available at: https://caolacvc.blogspot.com/p/phuong-trinh-vi-phan-toan-phan.html [Accessed 18 Jan 2022] tieuluan.info (2018) Một số Ứng dụng cực trị Hàm hai biến số VÀo tốn kinh tế Th S bùi Đình Thắng [online] Available at: https://tieuluan.info/mt-s-ngdng-ca-cc-tr-hm-hai-bin-s-vo-trong-cc-bi-ton-kinh-t-th.html [Accessed 18 Jan 2022] Mai, T and Quỳnh, N (n.d.) TỐN ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ TÓM TẮT [online] Available at: http://tailieudientu.lrc.tnu.edu.vn/Upload/Collection/brief/brief_41607_45378_135201 41033341.pdf [Accessed 19 Jan 2022] Reacher, J (2015) Ung dung dao ham kinh te 4524 [online] Academia.edu Available at: https://www.academia.edu/13304708/Ung_dung_dao_ham_trong_kinh_te_4524 [Accessed 19 Jan 2022] 10 ... trình vi phân toàn phần [online] Blogspot.com Available at: https://caolacvc.blogspot.com/p/phuong -trinh- vi-phan-toan-phan.html [Accessed 18 Jan 2022] tieuluan.info (2018) Một số Ứng dụng cực trị