Tài liệu Bai1 Chso (Phan1) HK2 0506 doc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 1: CHUỖI SỐ • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (2/2006) NỘI DUNG 1- CHUỖI NHƯ TỔNG VÔ HẠN. CHUỖI CẤP SỐ NHÂN 2- ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CHUỖI HỘI TỤ. T/C PHÂN KỲ 3- CHUỖI SỐ DƯƠNG. TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1 – 2 4- CHUỖI ĐIỀU HOÀ (RIEMAN) 5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI 7- CHUỖI ĐAN DẤU. TIÊU CHUẨN LEBNITZ 6- CHUỖI DẤU BẤT KỲ. T/CHUẨN HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI CHUỖI SỐ NHƯ TỔNG VÔ HẠN → chuỗi số. u n : số hạng tổng quát (số hạng thứ n) ∑∑ ∞ = ++++ n n nn uuuuu hoặchiệuKý 1 21 : Cho dãy {u n }, n ≥ 1. Tổng các số hạng liên tiếp của dãy → Biểu thức có dạng: Thực tế: Giá trò của tổng chuỗi số (vô hạn số hạng) ∑ ∞ =1n n u VD: Cần bao nhiêu thời gian và phép tính để tính ∑ ∞ =1 2 1 n n VD: Sử dụng tổng S = 1 – 1 + 1 – 1 + … chứng tỏ ! 2 1 10 == ĐỊNH NGHĨA TỔNG CHUỖI. CHUỖI HỘI TỤ (PHÂN KỲ) Xét chuỗi Σu n = u 1 + u 2 + … + u n + … . Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi u 1 + u 2 + … + u n : tổng riêng thứ n. Ký hiệu: ∑ = =+++= n k knn uuuuS 1 21   21211 , uuSuS +==→ Nếu ∃ giới hạn hữu hạn: SS n n = ∞→ lim ⇒ chuỗi hội tụ & tổng chuỗi là S: [ ] n n n n n n uuuSSu +++=== ∞→∞→ ∞ = ∑  21 1 limlim Nếu giới hạn không tồn tại hoặc = ∞ ⇒ Σu n phân kỳ (đương nhiên Σu n không có giá trò!) VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu tồn tại) của: ( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 / 1 + −= ++ ∑ ∞ = nnnnnn a n :ý Gợi +−+− 1111/b CHUỖI CẤP SỐ NHÂN VD: Tính  +++++ n 2 1 4 1 2 1 1 VD: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 – 1 + 1 – 1 + … = Σ (–1) n–1 Kết luận: Tính tổng chuỗi ≡ Tính tổng riêng S n & n n S ∞→ lim VD: Tính −+− 27 1 9 1 3 1 Chuỗi cấp số nhân: 1 1 1 1 2 0 < − =+++++= ∑ ∞ = q q qqqq n n n khi: Ghi nhớ: Chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi ∑ ∞ = =+++++ 0 2 n nn qaaqaqaqa  q u q − =< 1 1 0 S & TÍNH CHẤT & PHÉP TOÁN TRÊN CHUỖI HỘI TỤ Các chuỗi Σu n & Σv n hội tụ ⇒ Các chuỗi sau cũng hội tụ và ( ) ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ±=± 111 n n n n n nn vuvu ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 n n n n uccu Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi bỏ đi một số hữu hạn các số hạng đầu (hoặc bất kỳ) của chuỗi: ∑∑ ∞ += ∞ = ++++= 1 21 1 0 0 Nn nN n n uuuuu     đònhcốhạnhữutròGiá Phần dư: Khi chuỗi Σu n hội tụ ⇒ ∑ ∞ += ++ =++= 1 21 nk knnn uuuR  nn n n RSuS +==⇒ ∑ ∞ =1 0lim& = ∞→ n n R ĐIỀU KIỆN CẦN CHUỖI HỘI TỤ – T/C PHÂN KỲ VD: Kiểm tra lại điều kiện cần với các chuỗi hội tụ đã xét ∑ ∞ =1 2 1 / n n a ( ) 1/ 1 < ∑ ∞ = qqb n n ( ) ∑ ∞ = + 1 1 1 / n nn c Sai lầm: 0lim = ∞→ n n u ⇒ Chuỗi Σu n hội tụ! VD: ∑ ∞ =       + 1 1 1ln n n VD: Khảo sát các chuỗi a/ 1 – 1 + 1 – … = Σ(–1) n ∑ ∞ = + 1 4 / n n n b Đkiện cần: Chuỗi Σu n hội tụ ⇒ 0lim = ∞→ n n u     ≠ ∃ ∞→ ∞→ 0lim :lim n n n n u u hạngiớicókhông ⇒ Chuỗi phân kỳ Tiêu chuẩn PHÂN KỲ CHUỖI DƯƠNG VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi ∑ ∞ = + 1 12 1 / n n a ∑ ∞ = ∞→ 2 ln 1ln /* n nn n b chuỗisát khảóTừ . lim Tìm n ∑ dương hội tụ khi và chỉ khi bò chặn: nMuM n k k ∀≤∃ ∑ =1 : Dấu hiệu so sánh 1: Σu n , Σv n với 0 < u n ≤ v n , ∀ n ≥ N 0 Σv n (chuỗi lớn) htụ ⇒ Σu n (nhỏ) htụ: Σu n (nhỏ) ph.kỳ ⇒ Σv n (lớn) ph.kỳ: ∞<⇒∞< ∑∑ nn uv ∞=⇒∞= ∑∑ nn vu ⇒ Dãy tổng riêng {S n }:↑ Chuỗi dương Σu n , u n > 0 ∀ n ≥ N 0 CHUỖI ĐIỀU HOÀ (CHUỖI RIEMAN) Tính tổng riêng. Lập bảng giá trò {n S n } → Tính chất hội tụ: “Đoán” tính hội tụ của chuỗi: ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = 111 2 1 / 1 / 1 / nnn n c n b n a Chuỗi điều hoà (Rieman) ∑ ∞ = =+++ 1 1 3 1 2 1 1 n n ααα  ∑ = n k k 1 1                           2000000000 21.99362868 4000000000 22.68677586 6000000000 23.09224097 8000000000 23.37992304 10000000000 23.60306659 n ∑ = n k k 1 1                           2000 87.99354447 4000 125.0386585 6000 153.4654350 8000 177.4306720 10000 198.5446431 n Chuỗi Rieman hội tụ ⇔ α > 1 So sánh với chuỗi Rieman ∑ = n k k 1 2 1                           10000000 1.644933968 20000000 1.644934018 30000000 1.644934035 40000000 1.644934043 50000000 1.644934048 n DẤU HIỆU SO SÁNH 2 VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu dễ tính!) của: ( )( ) ∑ ∞ = ++ 1 21 1 / n nnn a ∑ ∞ = − 1 5 32 / n n nn b [ ] ∑ ∞ = − 1 1 1/ 2 n n enc ( ) n n n n n n kvuk v u ∞→ ∞→ ⇔∞∈= ~,0lim :2 chuỗi cùng bản chất hội tụ Chuỗi dương Σu n , Σv n (từ chỉ số N 0 ). Nếu tồn tại giới hạn k=0 ⇒ u n < v n ∀n ≥ N 1 & k=∞ ⇒ u n > v n : p dụng so sánh 1 Nguyên tắc: Dùng tương đương, so sánh Σu n với chuỗi Σ1/n α (tương tự tích phân suy rộng!). Một số trường hợp có thể áp dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với u n