Tài liệu Bai1 Chso (Phan2) HK2 0506 pdf

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 1: CHUỖI SỐ (PHẦN 2) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006) NỘI DUNG 5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI 7- CHUỖI ĐAN DẤU. TIÊU CHUẨN LEBNITZ 6- CHUỖI DẤU BẤT KỲ. T/CHUẨN HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI CHUỖI DƯƠNG ∑ dương hội tụ khi và chỉ khi bò chặn: nMuM n k k ∀≤∃ ∑ = 1 : Dấu hiệu so sánh 1: Σu n , Σv n với 0 < u n ≤ v n , ∀ n ≥ N 0 Σv n (chuỗi lớn) htụ ⇒ Σu n (nhỏ) htụ: Σu n (nhỏ) ph.kỳ ⇒ Σv n (lớn) ph.kỳ: ∞<⇒∞< ∑∑ nn uv ∞=⇒∞= ∑∑ nn vu ⇒ Dãy tổng riêng {S n }:↑ Chuỗi dương Σu n , u n > 0 ∀ n ≥ N 0 VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi ∑ ∞ = + 1 12 1 / n n a ∑ ∞ = − 1 12 1 / n n b ∑ ∞ = −+ +− 1 24 2 1 43 / n nn nn c CHUỖI ĐIỀU HOÀ (CHUỖI RIEMAN) Tính tổng riêng. Lập bảng giá trò {n S n } → Tính chất hội tụ: “Đoán” tính hội tụ của chuỗi: ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = 111 2 1 / 1 / 1 / nnn n c n b n a Chuỗi điều hoà (Rieman) ∑ ∞ = =+++ 1 1 3 1 2 1 1 n n ααα  ∑ = n k k 1 1                           2000000000 21.99362868 4000000000 22.68677586 6000000000 23.09224097 8000000000 23.37992304 10000000000 23.60306659 n ∑ = n k k 1 1                           2000 87.99354447 4000 125.0386585 6000 153.4654350 8000 177.4306720 10000 198.5446431 n Chuỗi Rieman hội tụ ⇔ α > 1 So sánh với chuỗi Rieman ∑ = n k k 1 2 1                           10000000 1.644933968 20000000 1.644934018 30000000 1.644934035 40000000 1.644934043 50000000 1.644934048 n DẤU HIỆU SO SÁNH 2 ( ) n n n n n n kvuk v u ∞→ ∞→ ⇔∞∈= ~,0lim :2 chuỗi cùng bản chất hội tụ Chuỗi dương Σu n , Σv n (từ chỉ số N 0 ). Nếu tồn tại giới hạn k=0 ⇒ u n < v n ∀n ≥ N 1 & k=∞ ⇒ u n > v n : p dụng so sánh 1 Nguyên tắc: Dùng tương đương, so sánh Σu n với chuỗi Σ1/n α (tương tự tích phân suy rộng!). Một số trường hợp có thể áp dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với u n VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi: ( )( ) ∑ ∞ = ++ 1 21 1 / n nnn a ∑ ∞ = − + 1 2 45 3 / n n n n n b [ ] ∑ ∞ = − 1 1 1/ 2 n n enc ∑ ∞ = ∞→ 2 ln 1ln /* n nn n d sát Khảo . lim Tìm n TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ) VD: Khảo sát Σu n : n n n n ua ! / = ( ) ( ) !2 !5 / 2 n n ub n n = n n n n ne uc ! / =  d = 1 & u n+1 /u n ≥ 1 ∀ n ≥ N 0 : chuỗi Σu n phân kỳ (đkiện cần!) Dấu hiệu D’Alambert dùng cho những chuỗi có tỷ số u n+1 /u n “đơn giản”: chuỗi chứa giai thừa hoặc mũ  d = 1 hoặc Không ∃ lim u n+1 /u n : chuỗi có thể hội tụ lẫn phân kỳ. Ví dụ: ∑ ∞ = 1 1 n n α a/ d < 1: Hội tụ b/ d > 1: Phân kỳ d u u n n n = + ∞→ 1 lim c/ d = 1: Chưa kết luận! Chuỗi dương Σu n có giới hạn tỷ số: TIÊU CHUẨN CÔSI (TIÊU CHUẨN CĂN) q = 1 hoặc Không ∃ lim (u n ) 1/n : không thể kết luận ∑ ∞ =       + + 1 52 1 n n n n VD: ∑ ∞ =       + 1 2 1 1 2 1 n n n n ∑ ∞ = 1 1 n n α q = 1 và (u n ) 1/n ≥ 1: Chuỗi phân kỳ (điều kiện cần)! TC Côsi: Chuỗi chứa hàm mũ (hoặc luỹ thừa bậc n) qu n n n = ∞→ lim q < 1: Hội tụ q > 1: Phân kỳ q = 1: chưa kết luận Chuỗi dương Σu n và ∃ giới hạn căn: CHUỖI DẤU BẤT KỲ VD: ( ) ∑ ∞ = 1 3ln sin n n n α ∑ ∞ = 1 sin n n nx α ( ) ∑ ∞ = − − 1 2 1 1 n n n Kết luận:  Σ |u n | hội tụ ⇒ Σu n hội tụ: hội tụ tuyệt đối  Σ |u n | phân kỳ, Σu n hội tụ: bán hội tụ  Σu n phân kỳ ⇒ Σ |u n | phân kỳ Chuỗi Σ|u n | hội tụ ⇒ Chuỗi Σu n hội tụ & gọi là hội tụ tuyệt đối (⇐): Sai. Σ |u n | phân kỳ nhưng Σu n vẫn hội tụ: Bán hội tụ Chuỗi số Σu n , u n – dấu bất kỳ ⇒ Không được phép áp dụng tiêu chuẩn so sánh 1 – 2, D’Alambert lẫn Côsi hay bò chặn! TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (COSI) VỚI CHUỖI DẤU ( ) ( ) n n n n n n n n u u u n n 1 11 lim: 1231 !31 : + ∞→ ∞ = ∞ = ∑∑ ⇒ −⋅ − Xét dụVí  Σ |u n | phân kỳ (D’Alambert) ⇒ Σu n phân kỳ (đkiện cần!) ( ) ( ) n n n n n n n n uu n ∞→ ∞ = ∑∑ ⇒− lim: 3 ln 1: 2 Xét dụVí Σ |u n | phân kỳ (với TC Côsi) ⇒ Σu n phân kỳ (đkiện cần!) Khảo sát Σ |u n | , nếu áp dụng tiêu chuẩn D’Alambert (Côsi)  Σ |u n | hội tụ ⇒ Σ u n hội tụ tuyệt đối  Σ|u n | phân kỳ⇒ Σ u n phân kỳ (điều kiện cần) CHUỖI ĐAN DẤU Σ (–1) n-1 b n = b 1 – b 2 + b 3 – … (b n > 0): chuỗi đan dấu ( ) n b n n n n 1 : 1 4 1 3 1 2 1 1: 1 1 = − =+−+− ∑ ∞ = − vớidấanChuỗidụVí  Tchuẩn Lebnitz: Nếu dãy {b n } giảm: b 1 > b 2 > … > b n > … và tiến về 0: limb n = 0 ⇒ chuỗi đan dấu Σ(–1) n-1 b n hội tụ. Kỹ thuật hàm số chứng minh dãy giảm. VD: ( ) ∑ ∞ = − − 1 3 ln 1 n n nn ( ) +−+−= − ∑ ∞ = − 4 1 3 1 2 1 1 1 : 1 1 n n n dụVí