BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ THPT CHUYÊN Môn TOÁN

BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ THPT CHUN Mơn: TỐN BIÊN TẬP LẠI VĂN LONG LỜI NĨI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học trường việc ôn tập, rèn luyện kĩ cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục tỉnh nhà nhằm nâng cao chất lượng kì thi tuyển sinh, Sở GDĐT Hà Tĩnh phát hành Bộ tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT THPT chuyên gồm môn: Tốn, Ngữ văn Tiếng Anh - Mơn Ngữ văn viết theo hình thức tài liệu ơn tập Về cấu trúc: Hệ thống kiến thức học chương trình Ngữ văn lớp (riêng phân môn Tiếng Việt, kiến thức, kĩ chủ yếu học từ lớp 6,7,8) Các văn văn học, văn nhật dụng, văn nghị luận trình bày theo trình tự: tác giả, tác phẩm (hoặc đoạn trích), tập Các đề thi tham khảo (18 đề) biên soạn theo hướng: đề gồm nhiều câu kèm theo gợi ý làm (mục đích để em làm quen có kĩ với dạng đề thi tuyển sinh vào lớp 10) Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ Bộ GDĐT, tập trung vào kiến thức bản, trọng tâm kĩ vận dụng - Môn Tiếng Anh viết theo hình thức tài liệu ơn tập, gồm hai phần: Hệ thống kiến thức bản, trọng tâm chương trình THCS thể qua dạng tập số đề thi tham khảo (có đáp án) - Mơn Tốn viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm hai phần: phần ôn thi vào lớp 10 THPT, phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa cấu trúc đề thi Sở Mỗi đề thi có lời giải tóm tắt kèm theo số lời bình Bộ tài liệu ôn thi thầy, cô giáo lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học - Sở GDĐT; cốt cán chuyên môn môn Sở; thầy, cô giáo Giáo viên giỏi tỉnh biên soạn Hy vọng Bộ tài liệu ơn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học trường THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT chuyên năm học 2011-2012 năm Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ người biên soạn, song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong đóng góp thầy, giáo em học sinh toàn tỉnh để Bộ tài liệu hồn chỉnh Chúc thầy, giáo em học sinh thu kết cao kỳ thi tới! biªn tËp LẠI VĂN LONG A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a = b = Tính giá trị biểu thức: P   = a + b – ab b) Giải hệ phương trình: 3x + y=5 � � � Câu 2: Cho biểu thức P = (với x > � 1 � x �x - 2y =�:- 0, x 1) � x 1 �x - x  �x - x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > Câu 3: Cho phương trình: x – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai x1  x  nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường trịn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b 12 �21 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =  a b ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1  3 3 b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 b) Cho hệ phương trình: �4x + ay = b Tìm a b để hệ cho có nghiệm � �x - by = a ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thừa lại tấn, xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng  (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Câu 4: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn � (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn � � �  b) Vẽ MPBC (PBC) Chứng minh: MPK  MBC c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2010  x - 2009  z - 2011     x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = b) �2x + y = � Câu 2: Rút gọn biểu thức: 3x + 4y = -1 � a) A =  2  � b) B = ( với x > 0, x ) � 1  21  �2x + x  � Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = � x  x + x  x � � - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF  c) Chứng minh OA EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x2 - x y + x + y - y + ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức 45 sau: ; b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị 513 hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x + = - x b) �2x + 3y = � Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x – 2mx + � x-y= � = (1) � a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường � IEM  900 chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn � IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC;  K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK BN b) Tính số đo góc Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: � ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ �3 Câu 1: a) Thực phép tính: 2�  � � � b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết 3� �2 � đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = b) x -2 + = Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc x - x + x - quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước tơ thứ hai 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu 4: Cho đường trịn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật ~ b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S 1, S2 thứ tự diện tích S  S  S ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x +   ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: a) A = �  ��  � � 2 � 2�  � b) B = ( với a > 0, b > 0, a � � � � � � b a�   � � � a b -� b a � b) �a - ab - ab - b � � � Câu 2: a) Giải hệ phương trình: � �x - y = -  1 b) Gọi x 1, x2 hai nghiệm � �2 =  2 phương trình: x2 – x – = Tính giá trị � + y �x biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn � b) NM tia phân giác góc ANI 2 c) BM.BI + CM.CA = AB + AC Câu 5: Cho biểu thức A = Hỏi A có 2x - xy + y - x + giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao?  ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = b) Tính: x-1+ 3-x 1  3 5 1 Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 =  b) x-1 < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x – 2mx - = 2x + (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 Câu 5: Giải hệ phương trình: � �x + = 2y �3 �y + = 2x ĐỀ SỐ 2x + y = � Câu 1: a) Giải hệ phương trình: � b) Gọi x 1,x2 hai nghiệm phương �x1- 3y =1- trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: x + x P= � � Câu 2: Cho biểu thức A = với a > 0, � a a a 1  � a � a 1 a - a � �: a - � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x 1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn �  ACO � b) Chứng minh ADE � c) Vẽ CH vng góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c Chứng minh rằng: a � 0�; 1 + b2 + c3 – ab – bc – ca ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho hàm số y = x + Tính giá trị hàm số x =  3 2  b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A = �3 xx �  60, x �x4, x��x9- � với � x -  x 2� �: x  � � b) Giải phương trình: x - 3x +   x +   x - 3 x - Câu 3: Cho hệ phương trình: (1) 3x - y = 2m - � � a) Giải hệ phương trình cho m �x + 2y = 3m + = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB Câu 5: Chứng minh rằng: với a, b a+b � số dương a  3a + b   b  3b + a  ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A =  50 2 1 b) B = , với < x < x - 2x + Câu 2:Giải hệ phương trình phương x - 4x trình sau: a) �  x - 1  y = � b) xx+- 33y x= - 84  � Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại ) B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai Câu 4: Cho hai đường trịn (O) vàcắt A (O� đường tròn (O) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng ) đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F b) Đường thẳng AC cắt đường tròntại E; (O� khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn   ) cắt (O) vàthứ tự M N Xác định vị trí d c) Một đường thẳng d thay đổi qua A (O� để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: Tính: x + y x+  x  2011 y +  y  2011  2011 ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: với a ≥ a ≠ � � � 1- a a 1- a� � 2) Giải phương trình: 2x - A  � �1 - a  a � � �1 - a � � � � � � 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R 2) Giải hệ phương trình: �4x + y = � Câu 3: Cho phương trình x - 6x + m = 3x - 2y = - 12 � 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x - x2 = Câu 4: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + 2y + + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 2) B = với a ≥ 0, a ≠ � a+ a� � a- a � 1+ 1+ � � � Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ � � � � a + 1� 1- a � � � � thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m Tính diện tích ruộng Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S � tiếp CA tia phân giác góc 1) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội BCS 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - ĐỀ SỐ 13 Câu 1: Cho biểu thức: P = với a > 0, a �a a - a a + � a +2 �  1, a  �a - a - a + a � �: a - � � 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình: �4x + 7y = 18 Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I tâm � 3x - y = � đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn tâm (O) 3) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + = 2010 x + 2010 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức x +1 + x -2 10 x 2+5 x + 4-x x +2 P = với x ≥ 0, x ≠ 1) Rút gọn P II - LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỀ SỐ Câu 1: a) Đặt (1), suy 42 2 t t  2t  1 Khi phương trình cho trở thành: t2 – 4t x x x-� x �� –5=0 t 5 � Lần lượt thay giá trị t vào (1) phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2 = - 2;  33  33 x3  ; x4  b) Đk: x ≥ - (1) 2 Đặt (2) x +  a; x +  b  a �0; b �0  Ta có: a2 – b2 = 3; x  7x + 10   x +   x +   ab Thay vào phương trình cho ta được: � (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = nên a -2b(VN) =0 � x +  x� + Đối chiếu với (1) suy phương � � x=-4 � 1-a=0 �� trình cho có nghiệm x � x +  � � x=-1 � � � 1-b=0 � = - x +  � � Câu 2: a) Đặt , abc = nên xyz = �1 b3 � a x  (1) �  � b3 �1�x a31 Từ đề suy x + y + z = yz + xz + xy � x� y bz  � 1 c (2) �y  �x� y z Từ (1) (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – � c �y b (xy + yz + zx) – = � c �1 a z  � � � (x – 1)(y – 1)(z – 1) = � a z c � Vậy tồn x =1 chẳng hạn, suy a = b , đpcm � b) Đặt x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = 84  13 84 3 3 1  a; 1 b Ta có: x = (a + b) = a + b + 3ab(a + 9 b) Suy ra: x3 = – x x3 + x – = �  x - 1 x� x +2 0 2 � x = Vì x + x + = Từ suy điều � 1� phải chứng minh �x + �  � 2� Câu 3: Áp dụng BĐT:   97  ;a+b+c (được suy từ bất đẳng thức Bunhiacơpski) Ta có:   a� + b3 � a 2 ba22cb2       + x  2x �  x  2x   x + 1 Lại có: A =  x   y   z  2x  2y  2z +  �2 1x y y 2y  z  y + 1 + y  22y    A  x + y + z + 3 2 3 x + y + z � (do x + y + z 3) Dấu “=” 23  A + + z  2z �  z  2z   z + 1 xảy x = y = z = x  y  z � 3 x + y + z Vậy maxA =  Câu 4: � � a) Ta có: (tính chất tiếp tuyến) (1) ABO  ACO  900 AB = AC = R = OB = OC (2)  OA  OB2 Từ (1) (2) suy ABOC hình vng b) Theo ta có: AD + DE + AE = 2R (3) A Suy ra: DE = BD + CE (4) y x E � Vẽ OM  DE (MDE) (5) M Trên tia đối tia CA lấy điểm FD cho CF = BD; suy ∆BDO = C ∆COF (c-g-c) B OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c- � c)OM =F OC = R (hai đường cao tương ứng) (6) TừR(5) (6) suy DE tiếp tuyến đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y (x, y > 0) O � SADE  xy 2 Ta có: DE (định lí Pitago)  AD  AE 2 x + y Vì AD + DE + AE = 2R = 2R (6) � x + y + x  y2     Áp dụng BĐT – Cơsi cho hai số khơng âm ta có: (7) x + y �2 xy x + y � 2xy Dấu “=” xảy x = y Từ (6) (7) suy ra: 2R �2 xy xy 2xy2 �� 2R 2 2R � xy SADE R ۣ xy 2R �SADE 32 - 2 R � Vậy max SADE = x = y∆ADE cân �  2 32 222+ 2R A       C Câu 5: Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính - NếuC tất 98 điểm lại nằm B (C1C)2thì hiển nhiên tốn chứng minh 98 A - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình trịn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình trịn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Chứng tỏ C (C1) C (C2) Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm ĐỀ SỐ Câu 1: a) Theo ta có: 2011 ( x  y  2011)  2010 ( y  x  2010) + Nếu x + y - 2011 = y � 2010,5 �x  y  �x2010 �2x  4021 �� �� � x + 2010 = y2011  0,5 �2y  �x  y � + Nếu y - x + 2010 = x + y 2011 = 0, ta kết + Nếu x + y - 2011 vơ lý (vì VP 2011 y x  2010  số hữu tỉ, VT số vô tỉ) 2010 x  y  2011 Vậy x = 2010,5 y = 0,5 cặp số thoả mãn đề b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 (z + 1)(xy + y + x + 1) = 2012 (z + 1)[x(y + 1)+(y + 1)] = 2012 (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 1.2.2.503 = 503.4.1 Chỉ có sau thoả mãn: x = 502, y = 1, z = x = 1005, y = 1, z = x = 2011, y = 0, z = Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = ; b = x x x1 2 Ta có: 2(a + b ) = 5ab (2a - b)(2b - a) = b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) = 4(x + 1) = x2 - x + x x x1 x - 5x - = x1 = (loại); x2 = 5  37 2 2) = vô nghiệm � x   4(x  xx 2x21)x1�  14x  5x   99 Vậy phương trình có nghiệm: x =  37  b) Vì a, b, c [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b + c = abc 0) � Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > �5 a2 + b2 + c2 (vì (a + b + c)2 = 9) Dấu “=” xẩy số a, b, c có số 2, số số  Câu 3: Giả sử x = (p, q Z, q > 0) (p, q) = p 2  Ta có (n N) p = q(-P - 6q + n q) qp  p     n => q ước p (p, q) = => q =  q  q   lúc x = p  => p2 + p + = n2 (p, n Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = (vì 23 P 2n + 2p + > 2n - 2p - > 0)  p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm – Câu 4: �K � N � � a) Tứ giác MNC MIC MNKB nội tiếp (vì = 1800) Tứ giác MNCI nội tiếp (vì MNC = 900) � �  IMC � � => , (1) BNK INC BMK (vì góc nội K tiếp chắn cung) �  IMC � Mặt khác BMK B (2) �  KMC �  KMC �  IMC � (vì BMK bù với góc A tam giác ABC) � � = nên điểm Từ (1), (2) suy BNK INC K, N, I thẳng hàng A S H P O C N M Q � �  b) Vì (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) MAK  MCN 100 I AK CN AB BK AB CN BK CN   cot g   MK MNMK MN MK MN Tương tự có: hay ACAI MK CI BNBN    (2) MIMI MIMNMN  � � BK Mà ( = ) (3) ICBMK   IMC  tg MI MK Từ (1), (2), (3) => (đpcm) AB AC BC   MK MI MN  c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) � NMC � AIN � => N trung điểm PM mà HP // KN (vì SAC KN // AS ) => KN qua trung điểm HM (đpcm) 2 Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ � �2x  xy  y  p �2 phương trình: có nghiệm �x  2xy  3y  Hệ Lấy (1) - (2), ta có: � 8x  4xy  4y2  4p (1) � �� 2 2 (8 - p)x - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y = � px  2pxy  3py  4p (2) (3) => hay (1) - Nếu y = => (8 - p)x = x = p � p  0; p  =8  - Nếu y chia vế pt (3) cho y2 ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t = x + Nếu p = t = - 7y � + Nếu p 8: Phương trình (2) có nghiệm = (2 + p)2  5' + (8 - p)(4 + 3p) > p - 12p - 18 < - Dấu “=” có p 6  xảy Vậy P = - , max P = +3 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = =2 Nhân vế đẳng thức với ta b - c aa - c a -abb1 - b - aac- +b c2a - c  = có:  ab- -bc  a - c   b - c   b - c Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vịng quanh a, b, c ta có: 101 , bc cb ac - ac - ab bc + ab = Cộng vế với vế đẳng thức trên,  aca- b a  +  ab- b  +a - c c b - c= ta có (đpcm) (b - c) (c - a) (a - b) b) Đặt Thay vào ta có: 2010 = x � 2010 = x ; 2010 = x = � � + 2 2+ + 2 �x - x �121� � + x� � x x4 1� � x � � � A= � � + �� = =� -x - � � � �1 - x� x� x+� � 1� x2 + x �x� � Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac �2b ac ; c + ab �2c ab Do 1 1� 1 � + + � � + + = , đpcm c bc +aca c ab � a + bc b + ac c + ab a +b 2+�ab +bc � + Dấu xẩy ab + bc + ca � 2 = a+b+c a = b = c, abc abc 2abc tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 =[     x - y - x - y + 1] - y + 2y 1 = x - y - + (2y - y + ) 2 21 1 = x - y -1 + y  �2 92 � x= � � x y = Vậy minA = 1 � �  A= � � � � 2 y - 2= � �y = � Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:  2         x-1+3 5-x � 2 + 32  x - + - x  = 13.4 2 x - + - x 13 Dấu xẩy 29 x-1=2 5-x � x= Thay vào pt cho thử lại thỏa 13 mãn Vậy pt có nghiệm 29 x= 02 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f (1) 13 x�� � = � �1 x Thay x = vào (1) ta có: f(2) + = �xf � � �� �2 � 102 Thay x = vào (1) ta có: �1 � f � �+ 3.f(2) = Đặt f(2) = a, = b ta có Giải hệ, ta 21 13 aa+=� 3b =4 �2� � - � f� � � Vậy 32 131 � � f(2) =b- � 3a + � a =324 Câu 4: b � Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = AB Vì FM = EF mà EF = AB FM = OK o k c f �� Ta lại có AF = R AF = OA = 120 AFM � + AOB � = 1800 = AOK � m+ 600 � AOK � = 1200 Do đó: ∆AFM = ∆AOK AOK (c.g.c) d e � � AM = AK, MAK = 60 � AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB mà OA.OB Do 2SAOB Dấu “=” xảy OA OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: b OA + OB2 � OA 2+ OB2 � � h 2 o c a 2SBOC ; 2SCOD OB2 + OC OC OD22 � 2SAOD OD 2+ OA � d Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + OA + OB2 +2OC + OD SDOA) ≤ Hay 2S ≤ OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Dấu xẩy OA = OB = OC = OD � = BOC � = COD � = DOA � = 900 � ABCD hình vng tâm O AOB   Lời bình: Câu III.b 1) Chắc chắn bạn hỏi từ đâu mà ra? x thức biến x f(x) hàm số xác định Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) 103 Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ �A(a ) x  B (a ) y  C (a) � Giải hệ phương trình (3) (đó hệ �B (b) x  A(b) y  C (b) phương trình bậc hai ẩn x, y)  Trong toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = Phương trình Q(x) = P(a)   , tức x bx  x 21 Số nghĩ x phương trình (2) có 2) Chú ý: Khơng cần biết nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành cơng 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số f(x) x = �f(x) + 3.f( x) = + 3x (với x  ) (3) �1 � f � � x 1 x � � c) Tính giá trị hàm số f(x) �1 � ( x  1) f ( x)  f � � x = (với  x  1) �x � x  b) Tính giá trị hàm số f(x) x f ( x)  = (với  x  1) ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 = 2xy = (x + y)2 - = (x + y � + 2) (x + y - 2) Vì x + y + ≠ nên xy x+y = -1 (1) x+y+2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: � x+y≤ x+y≤ x2 2+ y (2) Từ (1), (2) ta được: Dấu "=" �x �0,xyy �0 � - Vậy maxA = � x=y= �x =x y+ y + - � �x + y = b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: � 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + 2 = y x + y2 y2 + z z z+ x + xx22 + y+2 y+2 3+ z z2 + x Ta có x2 + y2 2 2z 2z 2 x +y  y +z x +z ≥ 2xy , x + y2 2xy  104  Tương tự , xy xy2 � Vậy + + + + + yz2x2zxy22z 2yz xy +� + 2xz , đpcm 2 � 2 22zy22 x + y3 + z3 x x y + 2yz 2xz + z 2xy + + � +3 Câu 2: a) x + 9x + 20 = x + y 2 +10 y + z 2xz3x + x10 2xyz �  (1) Điều kiện: (2) �+ 10 (1) (3x + 10 - + 1) + (x2 + 6x + 9) = 3x (- 1)2 + (x + 3)2 = 3x�+ 10 (thỏa mãn đk (2) � 3x + 10 - = � x=-3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x � � x + = � = -3 2 � y2 =- 2x 2x + y = 0(1) �x� b) y � �� - y3 �2 - 4xx+ + 2x 3= � Ta có: 2x 23 � ��   y (1) (x -11) -y1 �y = -� Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - + x y3 ≤ - y ≤ - (2) � cho thử lại thỏa mãn Từ (1) (2) y = - nên x = Thay vào hệ Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt ta có x2 = b3 y2 = c3 33 yx = cb >> 00 Thay vào gt ta b3 + b c + c3 + bc = a � a = b + b c + c + bc + b c2  b + c  a2 = (b + c)3 hay , đpcm � x +3 a32 y=2 b= +3 ca b) Giả sử x0 nghiệm phương x �0 trình, dễ thấy 3 Suy + ax0 + b + Đặt x0 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (1) Ta chứng minh (2) Thực vậy: (2) với nên (1) Từ (1), (2) suy , đpcm Câu 4: Đặt AH = x Ta có x 021 a +� � � x + 2+ a � x20 += �+ b = x x x 1=0- ay20x 0- b� = y0 � x0y02 +- 2� = y0 - , y0 x0 x 02 y     (y 02 a 22)+2 b y + =�  aya02 + bb2 �� (y 02  2) y 04 � y02 02 1 1) �5 5y 04  24y02  16 �0 � 5(y04  4y02  4) �4(y -2 c �22  ) � � 5(y02 y4)(y 0 m 25 2 a + b � 5(a + b k) � AMB = 900 (OA = OB = OM) a h o h' b 105 Trong ∆ vng AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx (H chân đường vng góc hạ từ M xuống BC) Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 � � Do H AB O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 = � (5x - 3R) (3x - 5R) = 3R 5R � x = ; x = Cả giá trị thoả mãn � Vậy ta tìm điểm H H’ điểm M M’ giao điểm nửa đường trịn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ a Câu 5: Gọi I trung điểm CD Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình củae // BC Mà GF BC IE GF (1) d Chứng minh tương tự EG IF (2) Từ (1) (2) G trực tâm ∆EIF IG EF (3) Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) (4) IG DC Vậy ∆ DGC cân G DG = GC b f IE � ∆BDC � g i � �  �  � ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 9x 2x 2 2 Ta có: (1) �� x 9x�x�+2 918x 18x x = 40 � + 40 =0 Đặt = y (2), phương trình (1) trở �� � x x+ +9 � 9� x+9 x x + � � � thành y + 18y - 40 = x+9  (y + 20) (y - 2) =  y = -20 ; y = � � Thay vào (2), ta có x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) � �2 Phương trình (3) vơ nghiệm, � x = 2(x + 9) = x0  � x 19 - 2x - 18 = (4) � � phương trình (4) có nghiệm là: Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  � 19 2) Điều kiện (*) x>3 � x+1 �0 �� � Phương trình cho x � x-3 x -+11 � (x 3) (x + 1) + 3(x 3) =4 Đặt t = x+1 x-3 � t = (x - 3) (x + 1)  x - 3 x-3 106 c � t = 1; t = - Phương trình trở thành: t2 + 3t - = Ta có: (x -3) x 1 x 1  (1) ; ( x  3)   (2) + (1) (t/m (*)) �x  x  �xx-3 �� � �2 � x  1 + (2) (t/m (*)) xx 32x    3 3)(x  1)  � �x� (x � �� �� � x  1 Vậy phương trình  5�x;2x2x 219 5 (x  3)(x  1)x16 � cho có nghiệm là: Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > - < x < - 3x � > A ≥ Vậy A2 = 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 �16 Dấu xẩy - 5x = - x � x 1= -3x Vậy minA = 2) Chứng minh: (1) a + b2 + b2 + c2 + c2 + a � (a + b + c) Sử dụng bất đẳng thức: , 2(x  y2 ) �(x  y) ta có: (2) 2(a + b2 ) (a� b) 2 a + b2 a + b Tương tự, ta được: (3) b + c �b + c (4) c + a �c + a Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có nghiệm � x2 �� x 2; x (3) y 2 (2) có nghiệm �  x� (y 2x� 1)0 �  x2 � x2x�0 (4) Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) m � Câu 4: Kẻ MP // BD (P AD) MD cắt AC K Nối NP cắt BD H k e Ta có mà AM AM CMAP f = = i (gt) Gọi O giao điểm APABAB CNCDAD � = � PN // AC a MK o OCh b AC BD Ta có BO AD CO CD = , = Suy ra: NH NH OCn OA OD MK OA PK = =� KH // MN Các tứ giác KENH, MFHK hình PH PK PH � OA bình hành nên MF = KH EN = KH MF = EN ME = NF � � = 1800 Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH � � = EHA � + FHB � � AMB = 1800 - EHF (1) � MF �= MEF � Ta có (góc nội tiếp chắn ) MHF 107 � + FHB � = 900 = MEF � + EMD � MHF � = EMD � � FHB (2) 0� � � � � � �  Từ (1) (2) , Gọi N giao điểm MD � MAN DMB EHA =NB =90 =NAB DMB NAB � với đường tròn (O) ta có (góc nội tiếp chắn ) AN // EH mà HE MA nên NA MA hay AN đường kính đường trịn Vậy MD qua O cố định  2) Kẻ DI MA, DK MB, ta có AH S AM HE AD SMAD AM DI = MAD = ; = = Vậy (1) BD SMBDAH BM SMBH AD DKMABH HE DI BM HF = � MHF �MB � � DK HF Ta có (cùng phụ với ) mà BD BH HMB FHB ==EMD FHB (CMT) � EFH � = DMH � � �EHF = DIK � � v�EHF � = 1800 - AMB � Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH � � v� IDK � = 1800 - AMB � Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK � � v� � (g.g) � � = DIK HFE � EFH DIK EHF = IDK � ID HE = DK HF (2) HE.DI ID DK suy � ra2 = =1 Từ (1), (2) MADK.HF HFAH HEAD � = MB BD BH ĐỀ SỐ Lại có Câu 1: Ta có: A = =-1+ =-1+5=4 1- 2- 24 - 25 + + + - 12 - + - - + + -25 Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra: �x � �y � �z � x2 y2 z2 + + =0 � � � � � 2 2 2 2 2 2 (*) + b + c1 � ��b2 �1a + b +1c � � � a�1 a + b + c c 2� a � � � � � x �2 - 2 + y �2 - 2 + z �2 - 2 =0 � � � Do 1�a a +1 b + c � �b a 1+ b + c � �c a1 + b + c � > 0; - > 0; - >0 Nên từ (*) a a + b2 + c2 b a + b2 + c2 c a + b2 + c2 suy x = y = z = 0, M = b) x3 = 2a + �a + � �8a - � 3 3 x a - � �3� � x = 2a + 3x x = 2a + x(1 - 2a) � 3 �� �  1�- 2a � x + (2a - 1) x - 2a = (x - 1) (x + x � + 2a) = Câu 3: a) Ta có: 108 (1) x-1=0   � � � �x  � x + x + 2a = (v�nghi� mdo a > ) � 4c 35 35 � + � >0 nên x m� t s�nguyên du� ng 4c + 57 1+a 35  2b  + a   2b + 35 Mặt khác 4c 35 4c 35 � 1+a 4c1+ 57 4c 35 + 2b + a 35 4c + 57 2b 35 + 2b ۣ +1 1= +a 4c +1 57 35 + 2b 3557+ 2b >0 (2) 2b 57 ۳� + Ta có: 11 + a 35 35 + 2b 4c + 4c 57 + a   4c + 57  1�1 +  157 +a 4c + 57 35 + 2b35 57 >0 (3) a 35 ۳� + Từ (1), (2), (3) ta có: 1+a 4c + 57 35 + 2b  4c + 57   35 + 2b  8abc 35 57 �8  + a   2b + 35   4c + 57  Do abc ≥ 35.57 =  + a   4c + 57   2b + 35  1995 Dấu “=” xảy a = 2, b = 35 c = 57 Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = A = ta, B = tb, C = tc, D = td A B C D = = = � a Ab+ B +c C +dD t= a+b+c+d Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t = (a + b + c + d) A+B+C+D t = (a + b + c + d) = +d (a + b + c +d)(A + aB++bC++c D) Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC A AQ QP = AB BC Xét ∆BAH có QM // AH BQ QM � Q = Cộng vế ta có: P BA AH AQ BQ QP QM QP QM + = +2 � 1= + AB �AB BCB �AH QP QM BC 2SAH QP QM MNPQ 1= �  SABC + = QPM QM BC � H N AH SABC= C =BC � = BC =AH � QP Tức PQ đường max SMNPQ� BC AH 2 SABC trung bình ∆ABC, SMNPQ PQ qua trung B điểm AH b) Vì mà BC = AH QP + QM QP QM � 1= 1= � + QP + QM = BC BC BC AH Do chu vi (MNPQ) = 2BC (khơng đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà � A H M D C 109 AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x � Vậy AH = 3HD MỤC LỤC Trang - Lời giới thiệu _3 - A phần đề tài I – Phần ôn thi tuyển sinh lớp 10 THPT _ II – Đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán _33 B- Phần lời giải 38 I – Lớp 10 THPT _38 II – Lớp 10 chuyên toán _ 122 110 111 ... thức Bộ đề ôn thi, gồm hai phần: phần ôn thi vào lớp 10 THPT, phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa cấu trúc đề thi Sở Mỗi đề thi có lời giải tóm tắt kèm theo số lời bình Bộ tài liệu ơn thi thầy,... giáo em học sinh toàn tỉnh để Bộ tài liệu hoàn chỉnh Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao kỳ thi tới! biªn tËp LẠI VĂN LONG A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu... chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học trường THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT chuyên năm học 2011-2012 năm Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ