Bài tập lớn môn Lí thuyết số

khái niệm phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn và hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩnẩn: Phương pháp giải phương trình ax = b (mod m) Cách 1 : Thử qua một hệ thặng dư đầy đủ Cách 2: Dùng thuật toán đệ quy: Cách 3: Dùng định lí Euler Cách 4. Dùng liên phân số: Cách 5: Dùng thuật toán Euclid Phương pháp giải hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn: Phương pháp 1: Dựa vào nội dung chứng minh định lí Trung Hoa về phần dư. Phương pháp 2: Xét nhóm từng hệ 2 phương trình trong hệ phương trình đã cho.

Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Họ tên: Nguyễn Thị Minh Phương MSV: 219209042 Điểm kết luận: Giáo viên chấm thi 1: ………………… Giáo viên chấm thi 2: ………………… BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN MƠN LÍ THUYẾT SỐ Phần I Câu a) Tìm tất số tự nhiên n, biết n có dạng phân tích tiêu chuẩn n = = 6, = 28 Giải: Ta có : n = => r.s + =6 (1+r).(1+s)=6 Mà r,s Nên TH1: TH2: + = 28 = 28 ( ) + TH1: r = s = Thay vào ( 1) ta có : = 28 = 28 = 28 ( p + ) ( ) = 28 Mà p + ; Nên : Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương n = = = = = 12 + TH2: r = s = Thay vào ( 1) ta có : = 28 = 28 = 28 ( + p + ) ( ) = 28 Mà + p + ; q + Nên n =.= = = = 12 Vậy n = 12 Phát triển tốn: Tìm tất số tự nhiên n, biết n có dạng phân tích tiêu chuẩn n = = 6, = 28 Sau chứng minh : + Chứng minh n số hoàn thiện + Chứng minh n số hồn thiện tổng nghịch đảo ước n Bài tập tương tự : Bài Tìm số tự nhiên , biết có 12 ước phân tích thành thừa số ngun tố có dạng: Giải: + Ta có: + Vì có 12 ước nên = 12 (1) + Lại có : ( theo đề ) ( ) Từ ( ) ( ) có hệ phương trình : Giải hệ cách rút từ ( ) thay vào ( 1) Giải • Với • Với Vậy n = 108 n = 72 Bài Tìm số tự nhiên n lớn có 48 ước phân tích thừa số nguyên tố có dạng Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Làm tương tự Bài Cho dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên = 18 Tính Giải: Giả sử + Ta có: = 18 (1) Từ ( ), ta có: + TH1: + TH2: Lại có: phân tích tiêu chuẩn • Với • Với b) Tìm số tự nhiên n lớn có hai chữ số cho n + 1, 6n + 1, 20n + số phương Giải: Cách 1: Sử dụng nhận xét: Số phương có dạng Chia n cho n = 3k n = 3k + ( k N )  Nếu n = 3k chia hết cho  Nếu n = 3k + chia dư Vậy số phương chia cho có dư Từ ta có kết sau: Một số dạng 3k + số phương  Số phương lẻ chia cho ln có số dư có dạng : 8k + 1( k N ) + Nếu n = 3k ( k N ) : • n + = 3k + ( số phương ) • 6n + = 6.( 3k ) + = 18k + ( số phương ) • 20n + = 20 ( 3k ) + = 60k + ( số phương ) + Nếu n = 3k + ( k N ) : • n + = 3k + + = 3k + ( khơng số phương ) Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương + Nếu n = 3k + 2( k N ) : • n + = 3k + + = 3k + ( số phương ) • 6n + = ( 3k + ) + = 18k + 13 ( số phương ) • 20n + = 20 ( 3k + ) + = 60k + 41 ( không số phương ) Vậy n ( 1) + Vì 6n + số phương lẻ nên 6n + chia cho dư Nên 6n 3n n Nên n số chẵn n + số phương lẻ n + : dư n + = 8k + 1( k N ) n = 8k Vậy n ( 2) Từ ( ) ( ) n 24 ( ( 3,8 ) =1 ) n B( 24 ) = { 0, 24, 48, 72,…} Mà n số tự nhiên có hai chữ số Nên n { 24, 48, 72, 96 } • Với n = 24 + n + = 25 = ( số phương ) + 6n + = 6.24 + = 145 ( không số phương ) • Với n = 48 + n + = 48 + = 49 = ( số phương ) + 6n + = 48.6 + = 289 = ( số phương ) + 20n + = 20.48 + = 961 = ( số phương ) • Với n = 72 + n + = 72 + = 73 ( không số phương ) • Với n = 96 + n + = 96 + = 97 ( khơng số phương ) Vậy với n = 48 n + 1, 6n + 1, 20n + số phương Cách 2: + Xét n + Điều kiện : 10 n 99 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương 11 n + 100 Vì n + số phương nằm khoảng từ 11 đến 100 Ta có số phương sau : 16, 25, 36, 49, 64, 81 • Nếu n chẵn n + số lẻ , n = 24, 48, 80 • Nếu n số lẻ n + chẵn, n = 15, 35, 63 + Xét 6n + Điều kiện : 10 n 99 60 6n 594 61 6n + 595 Vì 6n + số phương lẻ nằm khoảng từ 61 đến 595 Ta có số phương sau: 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529 • 6n + = 81 => n = ( loại n số tự nhiên ) … • 6n + = 289 => n = 48 + Xét 20n + Điều kiện : 10 n 99 200 20n 1980 201 20n + 1981 Vì 20n + số phương nằm khoảng từ 201 đến 1981 Ta có số phương sau: 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, … • 20n + = 225 => n = ( loại n số tự nhiên ) … • 20n + = 961 => n = 48 Vậy n = 48 n + 1, 6n + 1, 20n + số phương Bài tập tương tự: Bài Tìm số hữu tỉ cho số phương Giải: Giả sử Với cho Với => => q = Vậy Khi đó: Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Phân tích: 23 = 1.23 = (-1).(-23) = 23.1 = (-23).(-1) Giải ta Vậy số hữu tỉ Bài Xác định số tự nhiên n để số phương Giải: Ta có : Với khơng thể số phương nên n = 0, 1, Thử trực tiếp n = = 49 số phương Vậy n = Bài Chứng minh số nguyên thoả mãn hệ thức : , số phương Giải: Ta có: (1) Ta chứng minh: (, ) = Thật vậy, gọi , ; (2) Mặt khác từ ( ) => => d|y ( ) Từ ( ) ( ) => d|1 hay d = Vậy Vậy số phương Mặt khác từ giả thiết => chứng minh Vậy số phương Câu ( điểm ) Tìm tất số nguyên x, y thoả mãn: Giải: Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương ( 1) Ta có : + + + = (2) + Xét x -3 x thì: – 125 = + 37 > = ( ) Từ ( 1), ( ) ( ) Mà số tự nhiên liên tiếp nên khơng có giá trị y thoả mãn + Xét x [ -3,3] • Với x = -3 = = 766 y = ( loại khơng số ngun ) • Với x = -2 = = - 29 y = (loại khơng số ngun) • Với x = -1 = = - 122 y = ( loại khơng số ngun ) • Với x = = = - 125 y = -5 ( thoả mãn ) • Với x = = = - 122 y = ( loại khơng số ngun ) • Với x = Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương = = - 29 y = (loại khơng số ngun) • Với x = = = 766 y = ( loại khơng số nguyên ) Vậy ( x,y ) = ( 0, -5 ) Bài tập tương tự: Bài Tìm số nguyên thoả mãn Giải: (*) Vế trái phương trình ( * ) số phương Vế phải phương trình ( * ) số nguyên liên tiếp Nên phải có số + TH1: + TH2: Vậy só cặp số nguyên Bài Tìm nghiệm phương trình Giải: + Ta có: = =( + Ta có: Mà Nên + TH1: y Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Mà Nên để Khơng tìm thoả mãn đề + TH2: y = • • Vậy Bài Tìm tất cặp số nguyên thoả mãn: ( làm tương tự ) Phần II Câu ( điểm ) Trình bày số phương pháp giải hệ phương trình đồng dư bậc ẩn KIẾN THỨC CƠ SỞ Phương trình đồng dư bậc Định nghĩa : Phương trình đồng dư bậc ẩn phương trình có dạng sau đây: ( mod m ) (1) Trong a,b , a ( mod m ) Mối liên hệ phương trình đồng dư bậc ẩn với phương trình Diophantine : (2) Vậy điều kiện phương trình Diophantine có nghiệm tương đương với điều kiện phương trình đồng dư ( mod b ) có nghiệm Điều kiện ƯCLN a b ước c Việc giải phương trình Diophantine đưa việc giải phương trình đồng dư ( mod b ) Mệnh đề: + Nếu ( a,m ) = phương trình ( ) có nghiệm Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Chứng minh Vì chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ modulo m chạy khắp hệ thặng dư đầy đủ modulo m Do có giá trị hệ thặng dư đầy đủ modulo m để ( mod m ) Vậy phương trình cho có nghiệm + Nếu ( a, m ) = d phương trình ( ) có nghiệm db Khi có d nghiệm Chứng minh Dễ thấy phương trình ( ) có nghiệm phương trình vơ định có nghiệm Điều xảy d = ( a, m )\b Khi ( mod m ) tương đương với Vì ( , ) = 1, nên phương trình cho có nghiệm ( mod ) Và phương trình ( ) có d nghiệm là: ( mod m ) Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Xét hệ phương trình đồng dư : ( 3) : Trong đó, , số nguyên dương với i = 1,2,3,…n Định nghĩa 2.1 : Phần tử gọi nghiệm hệ ( ), viết , ( mod ) Với Giả sử m = [] Khi lớp (mod m), gọi nghiệm hệ ( ), viết ( mod m ), phần tử thuộc (mod m) nghiệm ( ) Ta thấy kết sau đây: Mệnh đề 2.1 : Giả sử m = [] Khi nghiệm hệ ( ) ( mod m ) nghiệm hệ ( ) Định nghĩa 2.2 : Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Giả sử phương trình 10 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương ( mod ) Có nghiệm ( mod ) Khi nghiệm hệ ( ) nghiệm hệ phương trình (4): Định lí Trung Hoa phần dư: Cho số nguyên dương đôi nguyên tố …, Khi hệ có nghiệm Chứng minh + …, đôi nguyên tố BCNN m = … Đặt m = … = ( ƯCLN ( ) = = ( mod ) ƯCLN ( ,) = Nên ta có : ’ cho ( mod ) + Đặt ( mod ) ( mod ) (mod ) , nghiệm hệ phương trình cho hay hệ cho có nghiệm ( mod m ) Định lí : Cho số nguyên dương …, số nguyên Khi hệ: có nghiệm ( ) | ( với MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một vài phương pháp giải phương trình ( mod m ) Theo lập luận trên, phương trình bậc ln đưa phương trình dạng ( mod m ) với ( a, m ) = 1, nghiệm phương trình Do ta cần tìm nghiệm ( mod m ), (a, m ) = 1, < a < m, b < m Sau ta nêu số cách giải thường sử dụng : Cách : Thử qua hệ thặng dư đầy đủ 11 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Thông thường, để tiết kiệm tính tốn, người ta thử qua hệ thặng dư đầy đủ A có giá trị tuyệt đối nhỏ Vì ( a, m ) = 1, nên chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m Do ln tồn A nghiệm phương trình Từ ta có nghiệm phương trình : ( mod m ) Ví dụ 1: Giải phương trình ( mod ) Xét hệ thặng dư đầy đủ modulo { -3, -2, -1, 0, 1, 2, } Khi -2 làm cho 5.(-2) – = -14 ( mod ) Vậy ( mod ) Cách 2: Dùng thuật toán đệ quy: Giả sử t cho a\(b + mt) Khi đó: ( mod m ) nghiệm Việc tìm t dẫn tới việc giải phương trình ( mod a ) Giả sử ( mod a), < < a, ( mod a ), < < a Phương trình tương đương với ( mod a) Rõ ràng sau bước ta chuyển phương trình cho phương trình hệ số nhỏ Quá trình dừng số hữu hạn bước Ví dụ 2: Giải phương trình: ( mod 70 ) (*) Ta có: ( 15, 70 ) = mà 5/25 ( * ) có nghiệm ( * ) ( mod 14 ) ( **) Có ( 3, 14) = ( **) có nghiệm ( mod 14 ) 33 ( mod 14 ) ( mod 14 ) Cách 3: Dùng định lí Euler Vì ( mod m ) nên a ( mod m ) Vậy ( mod m ) Là nghiệm phương trình ( ) Ví dụ 3: Giải phương trình : ( mod ) ( ***) + Có ( a, m) = ( 3,7 ) = ( ***) có nghiệm 12 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương + ( 3,7) = ( mod ) ( mod ) ( mod ) ( mod 7) nghiệm ( ***) Vậy nghiệm ( ***) 81.15 4.1 ( mod ) Cách Dùng liên phân số: Biểu diễn = Ta có Như (mod m ) Nghiệm phương trình ( mod m ) Ví dụ 4: Giải phương trình ( mod 143 ) Biểu diễn Khi ( mod 143 ) Cách 5: Dùng thuật tốn Euclid Từ ( a,m) = 1, thuật toán Euclid ta tìm u,v cho au + mv = Khi au (mod m), hay a(ub) b ( mod m) Do ( mod m ) nghiệm phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình ( mod 41 ) Ta có 41 = 9.4 + = 5.1 + = 4.1 + Do đó, = – 4.1 = – ( – 5.1)1 = -9 + 5.2 = - + ( 41 – 9.4)2 = 9.(-9) + 41.2 Như vậy, phương trình có nghiệm -9.2 -18 (mod 41) Một số phương pháp giải hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Phương pháp 1: Dựa vào nội dung chứng minh định lí Trung Hoa phần dư a) Nội dung phương pháp : ( nêu phần kiến thức sở ) 2.1 13 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương b) Ví dụ minh hoạ Ví dụ ( Trích kiểm tra 30% ) Giải hệ phương trình đồng dư sau: (I) + Có ( 7, 5, ) = ( I ) có nghiệm m = [7, 5, 9] = 315 = 45.7 = 63.5 = 35.9 • Có ( 45, ) = => : ) 45 ) ) + 7.2 ( mod ) ( mod ) Chọn = • Có ( 63,5 ) = => : ) 63 ) ) ) ) ) Chọn = • Có ( 35,9) = => : ) 35 ) ) ) ) ) Chọn = Đặt = 45.5.4 + 63.2.4 + 35.8.2 = 1964 14 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương ( I ) có nghiệm 1964 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( mod 315 ) ( mod 315 ) Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia cho 7, 5, 3, 11 ta số dư 3, 2, 1, Giải Bài toán đưa dạng tìm số tự nhiên nhỏ thoả mãn hệ sau Làm tương tự ví dụ ta giải hệ có nghiệm ( mod 1155 ) Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 262 Ví dụ 8: Giải tốn cổ sau đây: “Nguyên Tiêu gió mát trăng Phố phường nhộn nhịp, đèn chong sáng nhồ Một dạo đến đèn hoa Dăm trăm đốm sáng biết hay Kết năm chẵn số đèn Bảy đèn kết hai thừa Chín đèn bốn dư Đèn mà ngơ ngẩn lòng” Giải Gọi số đèn ( ) ( 100 < < 1000 ) u cầu tốn +Có (5, 7, ) = ( I ) có nghiệm m = [5, 7, ] = 315 = 63.5 = 45.7 = 35.9 • Có ( 63,5 ) = => : ) 63 ) 63 + 5.25 ) 63 126 ) 2) Chọn = • Có ( 45,7) = : ) 45 ) 45 ) 45 ) 15 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương ) Chọn = • Có ( 35, 9) = => : ) 35 ) 35 ) 35 ) ) Chọn Đặt = 63.2.1 + 45.5.2 + 35.8.4 = 1696 ( I ) có nghiệm 1696 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( mod 315 ) ( mod 315 ) 2.2 Phương pháp 2: Xét nhóm hệ phương trình hệ phương trình cho a) Nội dung phương pháp Ta có hệ phương trình : Trước hết ta kiểm tra điều kiện nghiệm Sau biết phương trình có nghiệm ta tiến hành liên tiếp giải hệ gồm hai phương trình, để đưa hệ phương trình hệ tương đương gồm hai phương trình Như mấu chốt ta phải giải hệ hai phương trình có dạng sau đây: Với giả thiết (m,q)\ (a – b ) Đặt d = (m,q) Từ phương trình thứ ta có ta có hệ Tìm y từ phương trình b–a ( Phương trình đồng dư bậc ẩn) Giải phương trình đồng dư bậc ẩn tìm y (t ) Thay vào ta suy b) Ví dụ minh hoạ 16 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Ví dụ 9: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11 Giải Bài tốn đưa dạng tìm số tự nhiên nhỏ thoả mãn hệ sau : Xét hệ phương trình: Có ( 11,4 ) = => Hệ phương trình có nghiệm Từ ( 1) ( ) Thay ( ) vào ( 2) : + 3y 3y 3y 3y y ( ( 3, ) = ) y = + 4z (z) (4) Thay ( ) vào ( ) (z ) 17 ( mod 44 ) Khi đó, hệ phương trình cho trở thành : Có ( 44,19) = => Hệ phương trình có nghiệm Từ ( ) => ( z ) + Thay vào ( ), ta được: 6z z -1 ( mod 19 ) ( ( 6,19 ) = ) z 18 ( mod 19 ) z = 18 + 19t ( t ) + Thay z = 18 + 19t vào ta được: 17 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương (t ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 10: Giải tốn cổ sau đây: “Ngun Tiêu gió mát trăng Phố phường nhộn nhịp, đèn chong sáng nhoà Một dạo đến đèn hoa Dăm trăm đốm sáng biết hay Kết năm chẵn số đèn Bảy đèn kết cịn hai thừa Chín đèn bốn dư Đèn mà ngơ ngẩn lòng” Giải: Gọi số đèn ( ) ( 100 < < 1000 ) Yêu cầu toán + Xét hệ phương trình: Có ( 5,7 ) = => hệ phương trình có nghiệm nhất, Từ ( ) => Thay vào ( ), ta được: (z ) Thay ( z ) vào (z ) ( mod 35 ) Khi đó, hệ phương trình cho trở thành: Có ( 35,9 ) = => hệ phương trình có nghiệm Từ ( ) => (z ) 18 Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương + Thay vào ( ) ta : (t ) + Thay vào , ta : (t ) 121 ( mod 315 ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 121 ( mod 315 ) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình sau: Ta có: + ( 70, 15 ) = + 91 – 10 = 81 Mà không ước 81 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Tài liệu tham khảo: 1) Giáo trình Lí thuyết số - Dương Quốc Việt ( chủ biên - Đàm Văn Nhỉ ) 2) Bài tập sở Lí thuyết số đa thức – Dương Quốc Việt ( chủ biên ) 3) https://text.xemtailieu.net/tai-lieu/phuong-trinh-dong-du-465732.html 4) https://drive.google.com/file/d/1Bk_I7BIGpxSf_XSQpHlr81ZewleWd71c/v iew 19 ... ) Bài tập tương tự: Bài Tìm số nguyên thoả mãn Giải: (*) Vế trái phương trình ( * ) số phương Vế phải phương trình ( * ) số nguyên liên tiếp Nên phải có số + TH1: + TH2: Vậy só cặp số ngun Bài. .. = 108 n = 72 Bài Tìm số tự nhiên n lớn có 48 ước phân tích thừa số nguyên tố có dạng Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thị Lê – Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Minh Phương Làm tương tự Bài Cho dạng... loại n số tự nhiên ) … • 20n + = 961 => n = 48 Vậy n = 48 n + 1, 6n + 1, 20n + số phương Bài tập tương tự: Bài Tìm số hữu tỉ cho số phương Giải: Giả sử Với cho Với => => q = Vậy Khi đó: Giáo viên