MƠĐUN
Định nghĩa Mơđun
A là một vành có đơn vị 1
A
≠ 0
A
, (M,+) là một nhóm aben
Nhóm aben M cùng với ax:
()
AM M
a,x ax
×
⎯⎯→
|⎯⎯→
đgl A–mơđun trái (hay mơđun trái trên vành A) nếu:
(i) a(x + y) = ax + ay
(ii) (a + b)x = ax + bx
(iii) (ab)x = a(bx)
(iv) 1
A
x = x
∀a,b∈A, ∀x,y∈M
Lưu ý: a0
M
= 0
M
, 0
A
x = 0
M
(–a)x = a(–x) = –ax ∀a∈A, ∀x∈M
Mơđun con
H là mơđun con của A–mơđun M
⇔
H,HM
xyH x,yH
ax H a A, x H
≠∅ ⊂
⎧
⎪
+∈ ∀ ∈
⎨
⎪
∈
∀∈ ∀∈
⎩
⇔
H,HM
ax by H a,b A, x,y H
≠∅ ⊂
⎧
⎨
+
∈∀∈∀∈
⎩
⇔
H,HM
xryH rA,x,yH
≠∅ ⊂
⎧
⎨
+
∈∀∈∀∈
⎩
Mơđun con sinh bởi X
Mơđun con H của A–mơđun M sinh bởi X
⇔
()
H là môđun con của M
XH
H nhỏ nhất chứa X Y X Y H
⎧
⎪
⊂
⎨
⎪
⇔∀ ⊃ ⇒ ⊃
⎩
Mơđun thương
H là mơđun con của A–mơđun M
⇒
{
}
M
xHxM
H
=+ ∈ với 2 phép tốn
(x H) (
y
H) x
y
H
a(x H) ax H a A, x,
y
H
+++=++
+
=+ ∀∈∀∈
là một A–mơđun
A–mơđun
M
H
đgl mơđun thương của A–mơđun M
Đồng cấu Mơđun
M, N là các A–mơđun,
ax
h:M N⎯⎯→
h đgl đồng cấu mơđun
⇔
h(x y) h(x) h(y)
aA,x,yM
h(ax) ah(x)
+= +
⎧
∀∈ ∀ ∈
⎨
=
⎩
⇔ h(ax + by) = ah(x) + bh(y)
đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng)
Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu
song ánh đgl đẳng cấu
Hạt nhân và ảnh của đồng cấu mơđun
{
}
1
NN
Kerh x M h(x) 0 h (0 )
−
=∈ = =
{
}
Im h h(x) x M h(M)=∈=
Tính chất của đồng cấu mơđun
a)
1
H là môđun con của M h(H) là môđun con của N
K là môđun con của N h (K) là môđun con của M
−
⇒
⎧
⎨
⇒
⎩
b)
{
}
M
h đơn cấu Kerh 0
h toàn cấu Im h N
⎧
⇔=
⎪
⎨
⇔=
⎪
⎩
Định lí đồng cấu mơđun
toàn cấu
chính tắc
M
p:M
H
xxxH
⎯⎯⎯⎯→Cho
|
⎯⎯⎯→ = +
đồng cấu môđun
h:M N s/c H Kerh⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊂
Khi đó:
1)
đồng cấu môđun
M
!h: N s/c h p h
H
∃ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =o
(
)
nếu H Kerh thì h đơn cấu=
2) Im h = Imh và
Kerh
Kerh
H
=
Đặc biệt:
Nếu
M
h: Imh
Kerh
⎯⎯→ thì h đẳng cấu. Khi đó:
M
Im h
Kerh
≅
Nếu là toàn cấu thì h:M N⎯⎯→
M
N
Kerh
≅
Lưu ý: Để cm
X
Y
A
≅
, ta cm các bước sau:
B1: là ánh xạ f:X Y⎯⎯→
B2: f là toàn cấu
B3: Kerf = A
Cấu trúc trên tập hợp những đồng cấu
1) Hom
A
(M,N) là tập hợp tất cả các đồng cấu A–môđun từ M vào
N.
a) , ta có:
A
f,g Hom (M,N)∈
f
g
:M N
x(f
g
)(x) : f(x)
g
(x)
+⎯⎯→
|⎯⎯→ + = +
và
{
}
(
)
cf : M N c Z(A) c A ca ac, a A
x (cf)(x) : cf(x)
⎯⎯→ ∀ ∈ = ∈ = ∀ ∈
|⎯⎯→ =
là những đồng cấu môđun
b) Hom
A
(M,N) cùng phép cộng
(f,g) f g
+
a
xác định bởi (a) là
một nhóm aben.
c) Nếu K là vành giao hoán, M và N là hai K–môđun thì
Hom
K
(M,N) cùng phép cộng và phép nhân với vô hướng (a) là 1
K–môđun.
2) End
A
(M) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của M.
a) End
A
(M) cùng với phép cộng đồng cấu và phép nhân (hợp
thành) đồng cấu là một vành có đơn vị.
b) Nếu K là vành giao hốn thì End
K
(M) có cấu trúc của một K–đại
số.
Tích và tổng của mơđun
{
}
iiiIii
iI
M(x)xM,iI
∈
∈
=∈∀∈≠∅
∏
với 2 phép tốn sau là một
A–mơđun.
iiI iiI i iiI iiI iiI i
iI
iiI iiI iiI i
iI
(x) (y) (x y) , (x) ,(y) M
a(x ) (ax ) , a A, (x ) M
∈∈ ∈ ∈∈
∈
∈∈ ∈
∈
+=+∀ ∈
=∀∈∀∈
∏
∏
A–mơđun đgl tích trực tiếp của họ
i
iI
M
∈
∏
i
iI
M
∈
∏
Phần tử
iiI i
iI
(x ) M
∈
∈
∈
∏
đgl có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ số i
∈ I mà x
i
≠ 0 là hữu hạn; nghĩa là x
i
= 0 với hầu hết i ∈ I trừ nhiều
lắm là một số hữu hạn.
Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của tích trực tiếp
i
iI
M
∈
∏
là
mơđun con của
i
iI
M
∈
∏
và đgl đối tích hay tổng trực tiếp (ngồi)
của họ
{
}
i
iI
M
∈
các A–mơđun, k/h: .
i
iI
M
∈
C
Tổng của một họ
{
}
i
iI
M
∈
các mơđun con của A–mơđun M, k/h:
iiii iiI
iI iI
M x x M , i I, (x ) có giá hữu hạn
∈
∈∈
⎧⎫
=∈∀∈
⎨⎬
⎩⎭
∑∑
, là một
mơđun con của M.
A–mơđun M đgl tổng trực tiếp trong của họ
{
}
i
iI
M
∈
các mơđun
con của nó, k/h:
i
iI
MM
∈
=
⊕
, nếu
{
}
ii jM
iI i j
MMvàM M0,i
∈≠
I
=
=∀∈
∑
∑
I
Mơđun tự do
Một A–mơđun M đgl tự do nếu nó có 1 cơ sở.
Lưu ý: Hệ S là một cơ sở nếu nó ĐLTT và là hệ sinh, tức là
()( )
n
ii i i
i1
n
1n 1n ii
i1
(S M) ẹLTT a x 0 a 0 i 1,n, x S
xMaaA,xxS:x ax
=
=
===
=
KK
I S
nh ngha i s
K l mt vnh giao hoỏn cú n v 1
K
0
K
. Mt Ki s, hay i
s trờn K, l mt tp X c trang b cỏc phộp toỏn:
phộp cng
()
XX X
x,y x y
ì
|
+
(1)
phộp nhõn vi vụ hng
()
KX X
k,x kx
ì
|
(2)
phộp nhõn
()
XX X
x,y xy
ì
|
(3)
sao cho
(i) X l mt Kmụun
(ii) X l mt vnh
(iii) k(xy) = (kx)y = x(ky) kK, x,yX
i s con
A l i s con ca Ki s X
X
A,AX
A laứ moõủun con cuỷa X
A laứ vaứnh con (chửựa 1 ) cuỷa X
A,AX
xyA x,yA
kx A k K, x A
xy A x,y A
+
Iờan A ca Ki s X
A l iờan ca Ki s X
⇔
A,AX
xyA x,yA
kx A k K, x A
xa, ax A a A, x X
≠∅ ⊂
⎧
⎪
+∈ ∀ ∈
⎪
⎨
∈∀∈∀∈
⎪
⎪
∈
∀∈ ∀∈
⎩
Đại số thương
A là iđêan của K–đại số X
⇒
{
}
X
xAxX
A
=+ ∈ với 3 phép tốn
(x A) (
y
A) x
y
A
(xA).(yA)xyA
k(xA)kxA kK,x,
y
A
+++=++
++=+
+
=+ ∀∈∀∈
là một K–đại số
K–đại số
X
A
đgl đại số thương của K–đại số X
Đồng cấu Đại số
X, Y là các k–đại số,
ax
f:X Y
⎯
⎯→
f đgl đồng cấu đại số
⇔
f(x y) f(x) f(y)
f(kx) kf(x) k K, x,y X
f(xy) f(x)f(y)
+= +
⎧
⎪
=
∀∈ ∀ ∈
⎨
⎪
=
⎩
Hạt nhân và ảnh của đồng cấu đại số
{
}
1
YY
Kerf x X f(x) 0 f (0 )
−
=∈ = =
là 1 iđêan của K–đại số X
{
}
Im f f(x) x X f(X)=∈=
là 1 đại số con của K–đại số Y
Tính chất của đồng cấu đại số
1
A là đại số con của X f(A) là đại số con của Y
B là iđêan của Y f (B) là iđêan của X
−
⇒
⎧
⎨
⇒
⎩
Định lí đồng cấu đại số
Cho . Giả sử A là iđêan của X và B
là iđêan của Y s/c f(A) ⊂ B
đồng cấu đại số
f:X Y⎯⎯⎯⎯⎯→
Khi ú:
ủong caỏu ủaùi soỏ
XY
!f: s/c qf fp
AB
=, trong
ú p v q l cỏc ton cu chớnh tc, tc l lm s sau giao hoỏn:
HQ1: Cho
ủong caỏu ủaùi soỏ
f:X Y
Khi ú:
f':X Kerf Y
xKerf f(x)
+ |
l mt n cu
HQ2: Cho
toaứn caỏu ủaùi soỏ
f:X Y
, A l iờan ca X
Khi ú:
toaứn caỏu ủaùi soỏ
XY
f:
Af
(A)
Hn na, A
Kerf f ng cu.
.
Tính chất của đồng cấu mơđun
a)
1
H là môđun con của M h(H) là môđun con của N
K là môđun con của N h (K) là môđun con của M
−
⇒
⎧
⎨
⇒
⎩
b)
{
}
M
h đơn. tắc
M
p:M
H
xxxH
⎯⎯⎯⎯→Cho
|
⎯⎯⎯→ = +
đồng cấu môđun
h:M N s/c H Kerh⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊂
Khi đó:
1)
đồng cấu môđun
M
!h: N s/c h p h
H
∃ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =o
(
)
nếu H