Tài liệu MÔĐUN doc

MƠĐUN Định nghĩa Mơđun A là một vành có đơn vị 1 A ≠ 0 A , (M,+) là một nhóm aben Nhóm aben M cùng với ax: () AM M a,x ax × ⎯⎯→ |⎯⎯→ đgl A–mơđun trái (hay mơđun trái trên vành A) nếu: (i) a(x + y) = ax + ay (ii) (a + b)x = ax + bx (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1 A x = x ∀a,b∈A, ∀x,y∈M Lưu ý: a0 M = 0 M , 0 A x = 0 M (–a)x = a(–x) = –ax ∀a∈A, ∀x∈M Mơđun con H là mơđun con của A–mơđun M ⇔ H,HM xyH x,yH ax H a A, x H ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ +∈ ∀ ∈ ⎨ ⎪ ∈ ∀∈ ∀∈ ⎩ ⇔ H,HM ax by H a,b A, x,y H ≠∅ ⊂ ⎧ ⎨ + ∈∀∈∀∈ ⎩ ⇔ H,HM xryH rA,x,yH ≠∅ ⊂ ⎧ ⎨ + ∈∀∈∀∈ ⎩ Mơđun con sinh bởi X Mơđun con H của A–mơđun M sinh bởi X ⇔ () H là môđun con của M XH H nhỏ nhất chứa X Y X Y H ⎧ ⎪ ⊂ ⎨ ⎪ ⇔∀ ⊃ ⇒ ⊃ ⎩ Mơđun thương H là mơđun con của A–mơđun M ⇒ { } M xHxM H =+ ∈ với 2 phép tốn (x H) ( y H) x y H a(x H) ax H a A, x, y H +++=++ + =+ ∀∈∀∈ là một A–mơđun A–mơđun M H đgl mơđun thương của A–mơđun M Đồng cấu Mơđun M, N là các A–mơđun, ax h:M N⎯⎯→ h đgl đồng cấu mơđun ⇔ h(x y) h(x) h(y) aA,x,yM h(ax) ah(x) += + ⎧ ∀∈ ∀ ∈ ⎨ = ⎩ ⇔ h(ax + by) = ah(x) + bh(y) đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng) Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu song ánh đgl đẳng cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu mơđun { } 1 NN Kerh x M h(x) 0 h (0 ) − =∈ = = { } Im h h(x) x M h(M)=∈= Tính chất của đồng cấu mơđun a) 1 H là môđun con của M h(H) là môđun con của N K là môđun con của N h (K) là môđun con của M − ⇒ ⎧ ⎨ ⇒ ⎩ b) { } M h đơn cấu Kerh 0 h toàn cấu Im h N ⎧ ⇔= ⎪ ⎨ ⇔= ⎪ ⎩ Định lí đồng cấu mơđun toàn cấu chính tắc M p:M H xxxH ⎯⎯⎯⎯→Cho | ⎯⎯⎯→ = + đồng cấu môđun h:M N s/c H Kerh⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊂ Khi đó: 1) đồng cấu môđun M !h: N s/c h p h H ∃ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =o ( ) nếu H Kerh thì h đơn cấu= 2) Im h = Imh và Kerh Kerh H = Đặc biệt: Nếu M h: Imh Kerh ⎯⎯→ thì h đẳng cấu. Khi đó: M Im h Kerh ≅ Nếu là toàn cấu thì h:M N⎯⎯→ M N Kerh ≅ Lưu ý: Để cm X Y A ≅ , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ f:X Y⎯⎯→ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Cấu trúc trên tập hợp những đồng cấu 1) Hom A (M,N) là tập hợp tất cả các đồng cấu A–môđun từ M vào N. a) , ta có: A f,g Hom (M,N)∈ f g :M N x(f g )(x) : f(x) g (x) +⎯⎯→ |⎯⎯→ + = + và { } ( ) cf : M N c Z(A) c A ca ac, a A x (cf)(x) : cf(x) ⎯⎯→ ∀ ∈ = ∈ = ∀ ∈ |⎯⎯→ = là những đồng cấu môđun b) Hom A (M,N) cùng phép cộng (f,g) f g + a xác định bởi (a) là một nhóm aben. c) Nếu K là vành giao hoán, M và N là hai K–môđun thì Hom K (M,N) cùng phép cộng và phép nhân với vô hướng (a) là 1 K–môđun. 2) End A (M) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của M. a) End A (M) cùng với phép cộng đồng cấu và phép nhân (hợp thành) đồng cấu là một vành có đơn vị. b) Nếu K là vành giao hốn thì End K (M) có cấu trúc của một K–đại số. Tích và tổng của mơđun { } iiiIii iI M(x)xM,iI ∈ ∈ =∈∀∈≠∅ ∏ với 2 phép tốn sau là một A–mơđun. iiI iiI i iiI iiI iiI i iI iiI iiI iiI i iI (x) (y) (x y) , (x) ,(y) M a(x ) (ax ) , a A, (x ) M ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈∈ ∈ ∈ +=+∀ ∈ =∀∈∀∈ ∏ ∏ A–mơđun đgl tích trực tiếp của họ i iI M ∈ ∏ i iI M ∈ ∏ Phần tử iiI i iI (x ) M ∈ ∈ ∈ ∏ đgl có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ số i ∈ I mà x i ≠ 0 là hữu hạn; nghĩa là x i = 0 với hầu hết i ∈ I trừ nhiều lắm là một số hữu hạn. Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của tích trực tiếp i iI M ∈ ∏ là mơđun con của i iI M ∈ ∏ và đgl đối tích hay tổng trực tiếp (ngồi) của họ { } i iI M ∈ các A–mơđun, k/h: . i iI M ∈ C Tổng của một họ { } i iI M ∈ các mơđun con của A–mơđun M, k/h: iiii iiI iI iI M x x M , i I, (x ) có giá hữu hạn ∈ ∈∈ ⎧⎫ =∈∀∈ ⎨⎬ ⎩⎭ ∑∑ , là một mơđun con của M. A–mơđun M đgl tổng trực tiếp trong của họ { } i iI M ∈ các mơđun con của nó, k/h: i iI MM ∈ = ⊕ , nếu { } ii jM iI i j MMvàM M0,i ∈≠ I = =∀∈ ∑ ∑ I Mơđun tự do Một A–mơđun M đgl tự do nếu nó có 1 cơ sở. Lưu ý: Hệ S là một cơ sở nếu nó ĐLTT và là hệ sinh, tức là ()( ) n ii i i i1 n 1n 1n ii i1 (S M) ẹLTT a x 0 a 0 i 1,n, x S xMaaA,xxS:x ax = = === = KK I S nh ngha i s K l mt vnh giao hoỏn cú n v 1 K 0 K . Mt Ki s, hay i s trờn K, l mt tp X c trang b cỏc phộp toỏn: phộp cng () XX X x,y x y ì | + (1) phộp nhõn vi vụ hng () KX X k,x kx ì | (2) phộp nhõn () XX X x,y xy ì | (3) sao cho (i) X l mt Kmụun (ii) X l mt vnh (iii) k(xy) = (kx)y = x(ky) kK, x,yX i s con A l i s con ca Ki s X X A,AX A laứ moõủun con cuỷa X A laứ vaứnh con (chửựa 1 ) cuỷa X A,AX xyA x,yA kx A k K, x A xy A x,y A + Iờan A ca Ki s X A l iờan ca Ki s X ⇔ A,AX xyA x,yA kx A k K, x A xa, ax A a A, x X ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ +∈ ∀ ∈ ⎪ ⎨ ∈∀∈∀∈ ⎪ ⎪ ∈ ∀∈ ∀∈ ⎩ Đại số thương A là iđêan của K–đại số X ⇒ { } X xAxX A =+ ∈ với 3 phép tốn (x A) ( y A) x y A (xA).(yA)xyA k(xA)kxA kK,x, y A +++=++ ++=+ + =+ ∀∈∀∈ là một K–đại số K–đại số X A đgl đại số thương của K–đại số X Đồng cấu Đại số X, Y là các k–đại số, ax f:X Y ⎯ ⎯→ f đgl đồng cấu đại số ⇔ f(x y) f(x) f(y) f(kx) kf(x) k K, x,y X f(xy) f(x)f(y) += + ⎧ ⎪ = ∀∈ ∀ ∈ ⎨ ⎪ = ⎩ Hạt nhân và ảnh của đồng cấu đại số { } 1 YY Kerf x X f(x) 0 f (0 ) − =∈ = = là 1 iđêan của K–đại số X { } Im f f(x) x X f(X)=∈= là 1 đại số con của K–đại số Y Tính chất của đồng cấu đại số 1 A là đại số con của X f(A) là đại số con của Y B là iđêan của Y f (B) là iđêan của X − ⇒ ⎧ ⎨ ⇒ ⎩ Định lí đồng cấu đại số Cho . Giả sử A là iđêan của X và B là iđêan của Y s/c f(A) ⊂ B đồng cấu đại số f:X Y⎯⎯⎯⎯⎯→ Khi ú: ủong caỏu ủaùi soỏ XY !f: s/c qf fp AB =, trong ú p v q l cỏc ton cu chớnh tc, tc l lm s sau giao hoỏn: HQ1: Cho ủong caỏu ủaùi soỏ f:X Y Khi ú: f':X Kerf Y xKerf f(x) + | l mt n cu HQ2: Cho toaứn caỏu ủaùi soỏ f:X Y , A l iờan ca X Khi ú: toaứn caỏu ủaùi soỏ XY f: Af (A) Hn na, A Kerf f ng cu. . Tính chất của đồng cấu mơđun a) 1 H là môđun con của M h(H) là môđun con của N K là môđun con của N h (K) là môđun con của M − ⇒ ⎧ ⎨ ⇒ ⎩ b) { } M h đơn. tắc M p:M H xxxH ⎯⎯⎯⎯→Cho | ⎯⎯⎯→ = + đồng cấu môđun h:M N s/c H Kerh⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊂ Khi đó: 1) đồng cấu môđun M !h: N s/c h p h H ∃ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =o ( ) nếu H