Mô hình chính xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ trụ mỏng có gân gia cường

Bài viết trình bày một phương án để nâng cao độ chính xác khi xác định trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ mỏng có gân gia cường. Chuyển vị của vỏ được khai triển thành đa thức có bậc cao hơn so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff-Love. Trên cơ sở các phương trình của lý thuyết đàn hồi và nguyên lý biến phân Lagrange đã xây dựng được mô hình toán học chính xác hơn cho vỏ có gân gia cường.

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ MƠ HÌNH CHÍNH XÁC HÓA TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ MỎNG CÓ GÂN GIA CƯỜNG Võ Anh Hiếu*, Tăng Xuân Long, Trần Xn Diệu Tóm tắt: Bài báo trình bày phương án để nâng cao độ xác xác định trạng thái ứng suất biến dạng vỏ mỏng có gân gia cường Chuyển vị vỏ khai triển thành đa thức có bậc cao so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff-Love Trên sở phương trình lý thuyết đàn hồi nguyên lý biến phân Lagrange xây dựng mơ hình tốn học xác cho vỏ có gân gia cường Mơ hình tốn bao gồm phương trình cân theo trường chuyển vị điều kiện biên tương ứng Từ khảo sát ảnh hưởng loại tải trọng, tham số gân lên trạng thái ứng suất vỏ Tiến hành so sánh trạng thái ứng suất vỏ tính tốn theo lý thuyết xác hóa lý thuyết cổ điển Kết tính tốn cho thấy vùng liên kết, ứng suất pháp cắt có bậc với ứng suất Từ khóa: Lý thuyết đàn hồi; Nguyên lý biến phân Lagrange; Vỏ có gân; Ứng suất pháp cắt ĐẶT VẤN ĐỀ Kết cấu vỏ trụ mỏng sử dụng rộng rãi lĩnh vực tên lửa, máy bay Trong lĩnh vực này, chiều dài vỏ trụ thường lớn nhiều so với đường kính nên người ta thường sử dụng kết cấu có gân gia cường để giảm ứng suất vỏ nhằm tăng độ cứng vững, độ ổn định cho thân vỏ tên lửa (ví dụ hình 1) Hình Kết cấu vỏ trụ mỏng có gân gia cường tên lửa đạn đạo P-12 (Liên Xơ) Hiện nay, vỏ có gân tính tốn theo lý thuyết vỏ cổ điển Kirchhoff – Love [1] Reissner [2] Các giả thuyết lý thuyết vỏ cổ điển không tính tốn hết tất biến dạng cắt, dẫn đến sai số xác định trạng thái ứng suất biến dạng vùng liên kết, vùng nối nơi chịu tải trọng tập trung Một số hướng nghiên cứu nhằm xác hóa lý thuyết vỏ việc khai triển chuyển vị vỏ thành đa thức bậc cao theo tọa độ cắt [3] Dựa hướng tiếp cận này, cơng trình [4] tiến hành tính tốn trạng thái ứng suất vỏ trụ trơn khai triển chuyển vị vỏ thành đa thức theo tọa độ cắt cao bậc so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love Kết tính toán theo phương pháp cho thấy vùng trạng thái ứng suất thay đổi đột ngột có xuất ứng suất bổ sung tương đối lớn Trong báo này, dựa cách tiếp cận [3, 4] tiến hành xây dựng mơ hình xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng vỏ trụ có gân ngang gia cường Việc giải mơ hình tốn thực phương pháp toán tử dựa phép biển đổi Laplace XÂY DỰNG MƠ HÌNH TỐN 2.1 Xây dựng mơ hình tốn 2.1.1 Mối quan hệ trường chuyển vị - biến dạng - ứng suất Khi vỏ làm việc giới hạn đàn hồi mối liên hệ biến dạng ứng suất tuân theo định luật Hooke: Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS CBNC trẻ, 11 - 2021 117 Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực 1  A111  A12  A13 ,   A211  A22  A23 , 12  A44 12 ,   A311  A32  A33 , 13  A55 13 ,  23  A66 23 (1) hệ số Aij số đàn hồi phụ thuộc vào tính chất vật liệu vỏ Để tiện tính tốn, xét vỏ trụ hệ tọa độ trụ O z hình 2, ξ θ tọa độ khơng đơn vị Hình Vỏ trụ có gân trịn gia cường Để xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng, chuyển vị vỏ khai triển thành đa thức bậc cao có dạng [3]: u  ,  , z   K  uk   ,   k 0 K K 1 zk zk zk , v  ,  , z   vk  ,   , w  ,  , z   wk  ,   k! k! k! k 0 k 0   (2) Trong khuôn khổ báo xét tới trường hợp đa thức khai triển chuyển vị cao bậc so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love Khi chuyển vị vỏ viết dạng sau: u ( , , z )  u0 ( , )  u1 ( , ) z  u2 ( , ) z 2, v( , , z )  v0 ( , )  v1 ( , ) z  v2 ( , ) z 2, w( , , z)  w0 ( , )  w1 ( , ) z (3) Theo phương trình biến dạng – chuyển vị lý thuyết đàn hồi, biến dạng vỏ có dạng u u u z w r zr , z   w1 ,    z v v v v  v   v    z2   r   w0   r  r   rw0  w1  z  r  2r  2r   2r w0  2rw1  ,              u v   u  u u v  u u v  z    r     r  r    z  r  2r  2r    (4)                  r    z   u1  r  z w0   w1     u2  r  z,       w   w w     rv0  v1  r    r v0  rv1  v2  r  r  z        w w  z   r  2r v0  2rv1  v2  2r  2r      Trong đó: r  R ; R – Bán kính mặt trung bình vỏ Vỏ trụ có gân xét hệ bao gồm vỏ trụ trơn gân gia cường Giả thiết chiều dày gân gia cường bé so với chiều dài vỏ, tác dụng vỏ trụ gân gia cường theo đường, ảnh hưởng gân lên vỏ bao gồm hai thành phần theo 118 V A Hiếu, T X Long, T X Diệu, “Mô hình xác hóa … vỏ trụ mỏng có gân gia cường.” Nghiên cứu khoa học công nghệ hướng ngang hướng pháp tuyến Gân gia cường mơ hình hóa theo dạng Với dạng kết cấu lý thuyết cổ điển đáp ứng đủ yêu cầu độ xác, vậy, để đơn giản cho việc tính tốn, chuyển vị gân khai triển theo đa thức bậc nhất: v j ( , z)  v0j ( )  v1j ( )  z, w j ( )  w0j ( ), j  N , (5) Trong đó, N số lượng gân ngang Tại đường tiếp xúc vỏ gân, chuyển vị chúng nhau, điều kiến tiếp xúc viết dạng: v j ( , h)  v( j ,  , h), w j ( , h)  w( j ,  , h), j  N , (6) Trong đó:  j – Tọa độ đường tiếp xúc gân vỏ; h – Nửa chiều dày vỏ Từ biểu thức (3), (5), (6) ta thu biểu thức biến dạng gân j  0,  zi  0,  i z  0,  j  0,    dv j  h2  v0 ( j , )  h v1 ( j , )  v2 ( j , )  h  hw1 ( j , )  w0 ( j , )     d    j  rj  (7)  dv j  dv j  h2     rj   rj  v0 ( j , )  h v1 ( j , )  v2 ( j , )  h  hw1 ( j , )  w0 ( j , )   z,    d    d       h2    w1 ( j , )  w0 ( j , )   v1j  rj  v0 ( j , )  h v1 ( j ,  )  v2 ( j ,  )  hv1j              jz  rj  h      h2       rj  h w1 ( j , )  w0 ( j , )  rj v1j  rj  v0 ( j ,  )  h v1 ( j ,  )  v2 ( j ,  )  hv1j   z,            Trong đó: rj  R j ; R j  R  h  h j ; h j – Nửa chiều cao gân thứ j 2.1.2 Các phương trình cân điều kiện biên Các phương trình cân điều kiện biên vỏ trụ có gân gia cường xác định dựa nguyên lý biến phân Lagrange N  E   U   U j   A  (8) j 1 Trong đó: U , U j , A tương ứng biến dạng vỏ, gân công ngoại lực Xét vỏ trụ chịu tác dụng tải trọng phân bố hướng tâm bề mặt bên qz  ,  Biến phân biến dạng vỏ, gân biến phân công ngoại lực xác định theo công thức:  U           z z    z  z   z  z       (1  rz ) R2 d d dz,  U j   σj   j  σj  j +σ zj   zj + j   j  jz   jz +jz   jz  (1  rj z ) R j Rd d dz, (9)  A   qz ( w0  h w1 )  (1  rh) R d d Thay biểu thức (4), (7), (9) vào (8) tích phân phần phương trình thu được, sau áp dụng tính chất ngẫu nhiên độc lập chuyển vị, ta xác lập hệ phương trình cân điều kiện biên vỏ trụ có gân Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS CBNC trẻ, 11 - 2021 119 Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực Hệ phương trình cân có dạng sau: N   N  r r r M   r M   Q z  0,  N  N  r  rQ z     r M   M  r  M  z  0,   N j  k j rj    Qjz      j  0, j 1    N    N  N j  M   M  r  rM  z1  Q z   h k j rj    Qjz      j  0,   j 1      M   M   h2 r  rM  z  M  z1    r r  0, r Q z M  z   r r Q z  rN  pz      N j  k j rj    Qjz      j  0, j 1    N    (10)  Q j  k j rj   z  Nj      j  0, j 1    N    N  Q j  M  z1  rM   Qz  pz1   h k j rj   z  Nj      j  0,  j 1       Nj M j  rj   rj h Qjz  0, j  N ,   Trong đó:   b R , b – Chiều dày gân; k j  R j R ;     j – Hàm Delta Dirac, N, M,  hrj    Q, p với số ký hiệu nội lực suy rộng Trong trường hợp tổng quát, điều kiện biên viết dạng sau: Tại biên cong theo tọa độ dài dọc trục   и   0 : u0  u0 hc N  0; u1  u1 hc M   0; u2  u2 hc M   0, v0  v0 hc N   0; v1  v1 hc M   0; v2  v2 hc M   0; (11) w0  w0 hc Q z  0; w1  w1 hc M  z  0, Tại biên thẳng theo tọa độ góc   и   0 : u0  u0 hc N  0; u1  u1 hc M   0; u2  u2 hc M   0, v0  v0 hc rN  N N   k j rj Nj    j   0; v1  v1 hc rM1    k j rj hNj    j   0, j 1 v2  v2 hc rM  N  j 1 j 1  k j rj h 2 w1  w1 hc rM z1    Nj    j  0; w0  w0 hc rQ z  N j z   k r Q       0, (12) j j j z j j 1   k r hQ       0; v j j N j j  v1j hc  hNj  Mj  0, j 1 Trong đó: ui , vi , wk , i  2, k  chuyển vị cho trước biên Thay biểu thức lực suy rộng vào hệ phương trình (10) ta thu phương trình cân theo chuyển vị: 2 2  k1n   k1n  k1n  k 2n  K  K  K u  K v  K1k 3m wm  0, k  1, 2, 3,  11 22 12 n 2  n      n 0  n 0 m 0  120   V A Hiếu, T X Long, T X Diệu, “Mơ hình xác hóa … vỏ trụ mỏng có gân gia cường.” Nghiên cứu khoa học công nghệ  l1n K12 n 0 lшj n  K 22 K s1n n 0 2    2 l 2n  l 2n  l 3m  un   K l n  K11  K v  K w  K lшj n   22 m 2  n        n 0  m 0   n 0     lшj1 d v  K 2lшj 3m wm   K lшj1  K 22  n  d m 0   2      j  v1    i N  (   )  0, l  4, 5, 6, j j 1 2  sшj n      2 s 3m  un  K 2s 2n   K s 3m  K11s 3m  K 22 w     K2 m       n 0 m 0   n 0    j   sшj 3m  sшj1 dv1    K sшj 3m  K 22 w  K   m d     m 0  j  N  (   )  K j s4 (13) qz , s  7, 8, j 1 2   9шj n    9шj1  j шj n  шj 3m  шj1 d  K 22 v  K w  K  K v  0, j  1, N  K    n m 22 2     d   n 0    j  m 0   Trong hệ phương trình (13) hệ số K đại lượng không đổi, chúng phụ thuộc vào tham số hình học tính chất đàn hồi vật liệu Do biểu thức chúng phức tạp nên khơng trình bày khn khổ báo 2.2 Phương pháp giải Để giải hệ phương trình (13) biến đổi hệ phương trình vi phân thường cách khai triển chuyển vị tải trọng thành chuỗi lượng giác theo tọa độ θ Sau thay khai triển vào (13) ta thu hệ phương trình vi phân thường thành phần chuỗi lượng giác Trong khuôn khổ báo ta xét trường hợp riêng vỏ trụ chịu tác dụng tải trọng cục qz  qz  ,  theo quy luật sau:    01 ; 0  qz  q   cos m 01    02 ; 0 02    0  L R ,  Với tải trọng dạng (14), chuyển vị vỏ gân có dạng: (14) uk  ,   ukm   cos m , vk  vkm   sin m , wl  ,   wlm   cos m , (15) v1j    B j sin m , k  2, l  1, Trong đó, B j số chưa biết Xét vỏ trụ kín theo tọa độ góc Khi đó, điều kiện biên (12) thay điều kiện tuần hoàn theo tọa độ góc θ Với khai triển (14) (15) điều kiện tự động thỏa mãn Thay (14) (15) vào (13), thu hệ phương trình vi phân thường    K  K11k1n k 1n n 0  mK l1n 12 n 0 d2 d k 1n  k 2n d  m K u  mK v  K1k 3n wnm  0,  22 nm 12 nm d d d n 0 n 0    k  1, 2, 3, 2   d l 2n d l 2n  l 3n unm   K l n  K11  m K v   mK w  K lшj n    22 nm nm d d n 0  n 0   n 0   lшj n m K 22 vnmj   mK n 0   lшj 3n wnmj   lшj1  K lшj1  m2 K 22 Bj   N  (   )  0, j l  4, 5, 6, j 1 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS CBNC trẻ, 11 - 2021 121 Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực  K1s1n n 0   n 0   d d2 s 3n  sшj n unm  mK 2s 2n vnm   K s 3n  K11s 3n  m2 K 22 w   nm  mK vnmj  d d n 0 n 0    n 0     sшj 3n K sшj 3n  m2 K 22 wnmj  mK 2sшj1 B j     K n 0 9шj n  9шj n  m2 K 22 vnmj    N  (   )  K j j 1  mK n 0 9шj 3n wnmj s4 q    01       02   , s  7, 8, (16)   9шj1  K 9шj1  m K 22 B j  0, j  N ,   Trong đó: vnmj  vnm  j ; wtmj  wtm  j ; n  2; t  1;    hàm Heaviside Thay biểu thức lực suy rộng chuyển vị (15) vào phương trình (11) ta thu điều kiện biên tương ứng với hệ phương trình (16)   и   0 Để giải hệ phương trình vi phân thường (16) sử dụng phương pháp toán tử dựa phép biển đối Laplace Nhờ phép biến đổi Laplace, hệ phương trình (16) biến đổi thành hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình ta thu hàm ảnh chuyển vị Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta tìm chuyển vị unm , vnm , wtm , chúng chứa 8  6N  số chưa biết Tám số Cijk xác định từ điều kiện biên ξ =ξ0, số vnmj, wtmj, Bj xác định giải hệ phương trình vnmj = vnm(ξj), wtmj = wtm(ξj), n = 2, t = N phương trình cuối hệ (16) KHẢO SÁT PHÂN TÍCH KẾT QUẢ Để làm ví dụ, ta xét vỏ trụ trịn có gân ngang gia cường ngàm chặt hai đầu với thơng số: bán kính vỏ R  0,5 (m) ; chiều dài vỏ L  6R  (m) ; chiều dày vỏ 2h = R/40 = 0,0125 (m); hệ số Poisson   0,3 ; nửa chiều cao gân h j  2h, chiều rộng gân b  h Hình trình bày kết tính tốn dạng đồ thị ứng suất pháp tuyến cực đại vỏ chịu tác dụng tải trọng (14) với m  5, 01  0, 02  0 , q    Q0 ; số lượng gân N  (tọa độ gân 1  1,5; 2  3; 3  4,5 ), nửa chiều cao gân h j  2h Hình Các ứng suất pháp tuyến cực đại theo chiều dài vỏ Đồ thị hình vùng ngàm gia cứng gân, ứng suất pháp cắt  z có bậc so với ứng suất pháp tuyến theo phương dọc trục   phương ngang   Để so sánh kết thu cơng trình với lý thuyết cổ điển, hình bảng trình bày độ sai lệch ứng suất   ,   theo hai lý thuyết khác nhau, “Cl” ký hiệu 122 V A Hiếu, T X Long, T X Diệu, “Mơ hình xác hóa … vỏ trụ mỏng có gân gia cường.” Nghiên cứu khoa học công nghệ ứng suất theo lý thuyết cổ điển, “Noncl” – theo lý thuyết xác hóa Việc tính tốn thực với trường hợp số lượng gân N  , (tọa độ gân 1  2; 2  4; ), nửa chiều cao gân h j  6h Hình So sánh kết theo lý thuyết cổ điển xác hóa Bảng Độ lệch ứng suất theo lý thuyết cổ điển xác hóa   Nonсl   Cl Nonсl   Cl    Nonсl z      1   2  L R  Nonсl 11% 11% 6,5%  Nonсl 58% 58% 34% 28% 28% 16% Nonсl Việc so sánh cho thấy tính tốn theo lý thuyết vỏ bậc cao cho phép xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng vỏ vùng lân cận biên lân cận gân, so với tính tốn theo lý thuyết cổ điển Cịn vùng xa biên, tính toán theo lý thuyết cổ điển lý thuyết phi cổ điển không cho sai lệch nhiều KẾT LUẬN Trong báo dựa phương trình lý thuyết đàn hồi ba chiều khai triển chuyển vị vỏ thành đa thức bậc cao thu kết sau: Đã xây dựng mơ hình xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng vỏ trụ có gân ngang gia cường có tính tới ảnh hưởng ứng suất, biến dạng pháp ngang (bị bỏ qua lý thuyết cổ điển) Kết tính tốn cho thấy vùng lân cận gân gia cường vùng vỏ bị ngàm chặt, ứng suất pháp cắt đáng kể so với ứng suất Điều có ý nghĩa quan trọng đánh giá độ bền vỏ có gân gia cường Trên thực tế việc xuất vùng ứng suất tập trung vỏ vị trí có gân vị trí vỏ bị ngàm chặt chịu tác dụng tải trọng tập trung phụ thuộc vào độ dày hay mỏng vỏ Vì vậy, cơng trình tác giả khảo sát ảnh hưởng độ dày vỏ đến sai khác ứng suất lý thuyết cổ vỏ cổ điển lý thuyết xác hóa để đưa khuyến cáo trường hợp nên sử dụng mơ hình xác hóa Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san HNKH dành cho NCS CBNC trẻ, 11 - 2021 123 Cơ học - Kỹ thuật Cơ khí động lực TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dudchenko A.A., Sergeev V.N, “The nonlinear equations of equilibrium of the conical shell, supported by a discrete set of frames”, PNRPU Mechanics Bulletin (2017), no 2, pp 78-98 [2] Karpov V.V., “Models of the shells having ribs, reinforcement plates and cutouts”, International Journal of Solids and Structures (2018), Vol 146, pp 117-135 [3] Васильев В.В., Лурье С.А., “К проблеме уточнения теории пологих оболочек”, Изв АН МТТ (1990), № С 139-146 [4] Firsanov V.V., Doan T.N., “Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory”, Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal (2015), Vol Issue Pp 135-166 ABSTRACT REFINED MODEL OF STRESS-STRAIN STATE OF THE REINFORCED SHELL The article presents an option to improve accuracy in determining the stress-strain state of ribbed thin shells The displacements of the shell are decomposed into higher order polynomials than the classical Kirchhoff – Love theory Based on the relations of the theory of elasticity and the Lagrange variational principle, a refined mathematical model of reinforced shells is constructed The mathematical model includes the equations of equilibrium in displacements and the corresponding boundary conditions The influence of the types of load, parameters of the ribs on the stress state of the shell have been investigated A comparison between the results of the calculation of the stress state of the shell according to the classical and refined theories is given The calculation results show that in the region of the joint, the transverse normal stresses are in the same order as the main stresses Keywords: Theory of elasticity; Lagrange variational principle; Reinforced shell; Transverse normal stresses Nhận ngày 14 tháng năm 2021 Hoàn thiện ngày 20 tháng 10 năm 2021 Chấp nhận đăng ngày 28 tháng 10 năm 2021 Địa chỉ: Viện Tên lửa, Viện Khoa học Công nghệ quân *Email: anhhieu1512@gmail.com 124 V A Hiếu, T X Long, T X Diệu, “Mơ hình xác hóa … vỏ trụ mỏng có gân gia cường.” ... chất vật liệu vỏ Để tiện tính tốn, xét vỏ trụ hệ tọa độ trụ O z hình 2, ξ θ tọa độ khơng đơn vị Hình Vỏ trụ có gân trịn gia cường Để xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng, chuyển vị vỏ khai triển... trung bình vỏ Vỏ trụ có gân xét hệ bao gồm vỏ trụ trơn gân gia cường Giả thiết chiều dày gân gia cường bé so với chiều dài vỏ, tác dụng vỏ trụ gân gia cường theo đường, ảnh hưởng gân lên vỏ bao gồm... triển chuyển vị vỏ thành đa thức bậc cao thu kết sau: Đã xây dựng mơ hình xác hóa trạng thái ứng suất biến dạng vỏ trụ có gân ngang gia cường có tính tới ảnh hưởng ứng suất, biến dạng pháp ngang