Tích phân bội

Xét một vật thể chiếm một khối E trong không gian Oxyz và mật độ (density) của nó tại điểm (x, y, z) được cho bởi ρ(x,y,z), trong đó ρ là một hàm liên tục trên E. Khi đó, khối lượng (mass) của vật thể này là ZZZ m = ρ(x, y, z)dxdydz.

Trang 1

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba

1Tích phân bội ba

Định nghĩaĐịnh lý FubiniỨng dụng

2Phép đổi biến số trong tích phân bội ba

Phép đổi biến số tổng quátPhép đổi biến tọa độ trụPhép đổi biến tọa độ cầu

Trang 2

j =1n

f (xijk∗, yijk∗, zijk∗)∆x ∆y ∆z,

nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, trong đó mỗi (xijk∗, yijk∗, zijk∗) là

Trang 3

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz =Z Z

Zu2(x ,y )u1(x ,y )

f (x , y , z)dzdxdy

Trang 4

Z Z Z

Zu2(y ,z)u1(y ,z)

f (x , y , z)dxdydz.

Trang 5

Z Z Z

Zu2(x ,z)u1(x ,z)

f (x , y , z)dydxdz.

Trang 7

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba Định lý FubiniỨng dụngỨng dụng tính thể tích của vật thể

Nếu ta tích phân hàm hằng f (x , y , z) = 1 trên khối bị chặn E , thìta thu được thể tích của khối E , tức là

V (E ) =Z Z Z

1dxdydz.

Trang 8

Ứng dụng tính khối lượng của vật thể

Xét một vật thể chiếm một khối E trong không gian Oxyz vàmật độ (density) của nó tại điểm (x , y , z) được cho bởiρ(x , y , z), trong đó ρ là một hàm liên tục trên E

Khi đó, khối lượng (mass) của vật thể này là

m =Z Z Z

ρ(x , y , z)dxdydz.

Trang 9

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba Phép đổi biến tọa độ trụ

Phép đổi biến tọa độ cầu

Xét phép biến đổi T (transformation) từ không gian Ouvwsang không gian Oxyz định bởi các phương trình:

x = x (u, v , w ),y = y (u, v , w ),z = z(u, v , w )

Jacobi của phép biến đổi T được định nghĩa bởi:

J =

∂z∂w

Trang 10

Với các giả thiết tương tự như trong công thức đổi biến cho tíchphân kép, ta có công thức đổi biến tổng quát cho tích phân bội ba

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz

=Z Z Z

f (x (u, v , w ), y (u, v , w ), z(u, v , w ))|J|dudvdw

Trang 11

Tọa độ trụ (r , ϕ, z) (cylindrical coordinates) của điểm P liên hệvới tọa độ Descartes (x , y , z) của nó bởi các công thức sau:

r =px2+ y2,x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z

Trang 12

Ví dụ

Hãy vẽ điểm có tọa độ trụ là (2, 2π/3, 1) và tìm tọa độ Descartescủa nó.

Trang 13

Xét phép đổi biến tọa độ trụ:

x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z

Jacobi của nó là

J =

cos ϕ−r sin ϕ 0sin ϕr cos ϕ0

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrd ϕdz

Trang 15

x = ρ sin θ cos ϕ,y = ρ sin θ sin ϕ

Trang 16

Ví dụ

Hãy vẽ điểm có tọa độ cầu là (2, π/4, π/3) và tìm tọa độDescartes của nó.

Trang 17

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba Phép đổi biến tọa độ trụPhép đổi biến tọa độ cầuXét phép đổi biến tọa độ cầu:

x = ρ sin θ cos ϕ,y = ρ sin θ sin ϕ,z = ρ cos θ

Jacobi của nó là

J =

sin θ cos ϕ−ρ sin θ sin ϕ ρ cos θ cos ϕsin θ sin ϕρ sin θ cos ϕρ cos θ sin ϕ

f (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2sin θd ρd ϕd θ

Trang 18

Ví dụ

Tính tích phân bội baZ Z Z

trong đó B là khối cầu đơn vị:

B =n(x , y , z)|x2+ y2+ z2≤ 1o.