53. ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2006 ) .Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. C|c điển M, N lần lượt chuyển động trên c|c đoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM=x, AN=y. trên c|c đoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM=x, AN=y.
a) . Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một đường phẳng cố định v{ : x + y = 3xy.
b) . X|c định vị trí của M, N để diện tích to{n phần tứ diện ADMN đạt gi| trị nhỏ nhất v{ lớn nhất.Tính c|c gi| trị đó.
54. ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2008 ) . Cho hình chóp S.ABCD có SA l{ đường cao v{ đ|y l{ hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, AD = c. biết SA = a, AB = b, AD = c.
a) Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng t}m G của tam gi|c SBD một đường thẳng cắt cạnh SB tại M v{ cắt cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K. X|c định vị trí của M trên cạnh cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K. X|c định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp S.AMKN đạt gi| trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tính c|c gi| trị đó theo a, b, c.
b) Trong mặt phẳng (ABD), trên tia At l{ ph}n gi|c trong của góc BAD ta chọn một điểm E sao cho góc BED bằng 450. Cmr: 2 b 2 c2 2 b c bằng 450. Cmr: 2 b 2 c2 2 b c
AE
2
Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
33
55. Cho hình chóp S.ABCD, đ|y l{ hình bình h{nh t}m O. Hai mặt bên SAB v{ SCD vuông góc tại A v{ C cùng hợp với đ|y góc . Biết ABC . Chứng minh SBC v{ SAD cùng hợp với đ|y ABCD một góc thỏa m~n hệ thức : đ|y góc . Biết ABC . Chứng minh SBC v{ SAD cùng hợp với đ|y ABCD một góc thỏa m~n hệ thức :
cot
cot .cos.
56. Cho hình chóp S.ABC, đ|y ABC l{ tam gi|c vuông tại B với AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; mặt (SAC) hợp với mặt phẳng (SAB) một góc v{ hợp với mặt phẳng (SBC) một góc . Chứng minh rằng : hợp với mặt phẳng (SAB) một góc v{ hợp với mặt phẳng (SBC) một góc . Chứng minh rằng :
acos cos[ ( )]. SA cos( )
57. Cho hình chóp S.ABC . M v{ P lần lượt l{ trung điểm của SA v{ BC, N l{ điểm tùy ý trên cạnh AB. Chứng minh rằng thiết diện tạo bởi (MNP) chia hình chóp th{nh hai phần có thể tích bằng nhau . thiết diện tạo bởi (MNP) chia hình chóp th{nh hai phần có thể tích bằng nhau .
58. Cho hình chóp tứ gi|c đều S.ABCD . M, N, P lần lượt l{ c|c điểm trên AB, AD, SC sao cho : AM 1 AN 1 SP 2; ;AB 3 AD 2 SC 5 . AB 3 AD 2 SC 5 . Mặt phẳng (MNP) chia hình chóp th{nh hai phần có thể tích V ; V . Tìm tỷ số : 1 2 1
2
V V