Gọi O l{ t}m mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu ODC 90 0 thì c|c mặt phẳng (OBD) v{ (OAD) vuông góc với nhau

cho diện tích tam gi|c ABC nhỏ nhất.

4. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . C|c điểm M, N di động trên c|c cạnh AD v{ BB1 sao cho

1

MA NB

MD NB . Gọi I, J lần lượt l{ trung điểm c|c cạnh AB, C1D1 .Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng IJ.

5. Gọi O l{ t}m của một hình tứ diện đều . Từ một điểm M bất kì trên một mặt của tứ diện , ta hạ c|c đường vuông góc tới ba mặt còn lại. Giả sử K, L v{ N l{ ch}n c|c đường vuông góc nói trên. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua tới ba mặt còn lại. Giả sử K, L v{ N l{ ch}n c|c đường vuông góc nói trên. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng t}m tam gi|c KLN.

6. Cho hình chóp S.ABC . Từ điểm O nằm trong tam gi|c ABC ta vẽ c|c đường thẳng lần lượt song song với c|c cạnh SA, SB, SC tương ứng cắt c|c mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại c|c điểm D,E,F . SA, SB, SC tương ứng cắt c|c mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại c|c điểm D,E,F .

a) Chứng minh rằng : OD DE DF 1SASB SC  SASB SC 

b) Tìm vị trí của điểm O trong tam gi|c ABC để thể tích của hình chóp ODEF đạt gi| trị lớn nhất.

7. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . H~y x|c định M thuộc đường chéo AC1 v{ điểm N thuộc đường chéo B1D1 của mặt phẳng A1B1C1D1 sao cho MN song song với A1D. phẳng A1B1C1D1 sao cho MN song song với A1D.

8. C|c điểm M, N lần lượt l{ trung điểm của c|c cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC . Trên c|c AS v{ CN ta chọn c|c điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ d{i PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1. điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ d{i PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1.

9. Gọi O l{ t}m mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu ODC 90 0 thì c|c mặt phẳng (OBD) v{ (OAD) vuông góc với nhau . vuông góc với nhau .

10. Trong hình chóp tam gi|c đều S.ABC (đỉnh S ) độ d{i c|c cạnh đ|y bằng 6 . Độ d{i đường cao SH = 15 . Qua B vẽ mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng n{y cắt SH tại O . C|c điểm P, Q tương ứng thuộc c|c cạnh AS v{ BC sao mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng n{y cắt SH tại O . C|c điểm P, Q tương ứng thuộc c|c cạnh AS v{ BC sao cho PQ tiếp xúc với mặt cầu t}m O b|n kính bằng 2

5 . H~y tính độ d{i bé nhất của đoạn PQ.

11. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a . Đường thẳng (d) đi qua D1 v{ t}m O của mặt phẳng BCC1B1 . Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC1B1) ; N thuộc mặt đ|y (ABCD) .