Mô hình ARMA(p,q) : là mô hình h n h p c a AR và M bao g m nh ng quan sát d ng quá kh và nh ng sai s d báo :
y(t) = a0 + a1y(t-1) + a2y(t-2) +... + apy(t-p) + e(t) + b1e(t-1) +b2e(t-2) + ...+ bqe(t-q)
Trong đó :
y(t) : quan sát d ng hi n t i
y(t-p), và e(t-q) : quan sát d ng và sai s d báo quá kh . a0, a1, a2, ..., b1, b2, ... : các h s phân tích h i quy
Ví d : ARMA(1,2) là mô hình h n h p c a AR(1) và MA(2)
i v i mô hình h n h p thì d ng (p,q) = (1,1) là ph bi n. Tuy nhiên, giá tr p và q đ c xem là nh ng đ tr cho ACF và PACF quan tr ng sau cùng. C hai đi u ki n bình quơn di đ ng vƠ đi u ki n d ng ph i đ c th a mãn trong mô hình h n h p ARMA. Mô hình ARIMA(p,d,q) : Do mô hình Box-Jenkins ch mô t chu i d ng ho c nh ng chu i đư sai phơn hóa, nên mô hình ARIMA(p,d,q) th hi n nh ng chu i d li u không d ng, đư đ c sai phân ( đơy, d ch m c đ sai phân).
Khi chu i th i gian d ng đ c l a ch n (hàm t t ng quan ACF gi m đ t ng t ho c gi m đ u nhanh), chúng ta có th ch ra m t mô hình d đnh b ng cách nghiên c u xu h ng c a hàm t t ng quan ACF vƠ hƠm t t ng quan t ng ph n PACF. Theo lý thuy t, n u hàm t t ng quan ACF gi m đ t bi n và hàm t t ng quan t ng ph n PACF gi m m nh thì chúng ta có mô hình t t ng quan. N u hàm t t ng quan ACF và hàm t t ng quan t ng ph n PACF đ u gi m đ t ng t thì chúng ta có mô hình h n h p.
V m t lý thuy t, không có tr ng h p hàm t t ng quan ACF vƠ hƠm t t ng quan t ng ph n cùng gi m đ t ng t. Trong th c t , hàm t t ng quan ACF vƠ hƠm t t ng quan t ng ph n PACF gi m đ t bi n khá nhanh. Trong tr ng h p này, chúng ta nên phân bi t hàm nào gi m đ t bi n nhanh h n, hƠm còn l i đ c xem là gi m đ u. Do đôi lúc s có tr ng h p gi m đ t bi n đ ng th i khi quan sát bi u đ hàm t t ng quan ACF và hàm t t ng quan t ng ph n PACF, bi n pháp kh c ph c là tìm vài d ng hàm d đnh khác nhau cho chu i th i gian d ng. Sau đó, ki m tra đ chính xác mô hình t t nh t.
Mô hình ARIMA (1, 1, 1): y(t) ậ y(t-1) = a0 + a0(y(t-1) ậ y(t-2) + e(t) + b1e(t-1). Ho c z(t) = a0 + a1z(t-1) + e(t) + b1e(t-1),
V i z(t) = y(t) ậ y(t-1) sai phơn đ u tiên: d = 1.
T ng t mô hình ARIMA(1,2,1): h(t) = a0 + a1z(t-1) + e(t) + b1e(t-1), V i h(t) = z(t) ậ z(t-1) sai phân th hai: d = 2.
Trong th c hành d l n h n 2 r t ít đ c s d ng.