Cho X, Y, Z l nhúng khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh, D ⊂ X, K ⊂ Z
l nhúng tªp con khæng réng, C ⊂ Y l nân. Tªp c¡c iºm húu hi»u α
cõa tªp A èi vîi nân C ÷ñc kþ hi»u b¬ng biºu thùc αM in(A/C), vîi
α = I, α = P, α = P r, α = W,· · · (t÷ìng ùng l : lþ t÷ðng, pareto, thüc sü v y¸u...). C¡c b i to¡n tüa tèi ÷u a trà têng qu¡t ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:
1) B i to¡n tüa tèi ÷u α têng qu¡t lo¤i 1, (GV QOP1)α: Cho c¡c ¡nh x¤ a trà S : D →2D, T : D →2K, G: D ×K ×D → 2Y. T¼m (x, y) ∈ D ×K sao cho x∈ S(x), y ∈ T (x),
v G(x, y, x)∩αM in(G(x, y, S(x)))6= ∅. V½ dö: Cho D = K = Rn, C = Rn+ l mët nân, h m sè g : D ×D →R v ¡nh x¤ A : D → Rn. Cho ¡nh x¤ G : D ×D ×D → Rn. Ta x²t c¡c ¡nh x¤ a trà S :D → 2D, T :D →2D nh÷ sau: S(x) = {y ∈ D|g(x, y) ≤ 0}, T (x) ={z ∈ D| < A(z), z −x >≥ 0}, x ∈ D.
B i to¡n: T¼m x ∈ D, y ∈ D sao cho x ∈ S(x), y ∈ T(x) v G(x, y, x) ∈ IM in(G(x, y, S(x))/C).
2) B i to¡n tüa tèi ÷u α têng qu¡t lo¤i 2, (GV QOP2)α: Cho c¡c ¡nh x¤ a trà Si : D → 2D, i = 1,2, b P :D → 2K, G: K ×D ×D → 2Y. T¼m x ∈ D sao cho x ∈ S1(x), v G(y, x, x)∩αM in(G(y, S2(x), x)) 6= ∅, vîi måi y ∈ Pb(x).
iºm x ÷ñc gåi l nghi»m cõa (GV QOP2)α.
Sau ¥y ta x²t v½ dö v· b i to¡n tüa tèi ÷u a trà lo¤i 2, nh÷ b i to¡n tüa tèi ÷u lþ t÷ðng lo¤i 2:
V½ dö:
Cho D = Rn, K = Rm, C = Rp+ l mët nân. Cho h m sè g : D ×D → R
> 0 v c¡c ¡nh x¤ a trà Si : D → 2D, i = 1,2,Pb : D → 2K ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
S1(x) ={x0 ∈ D : g(x, x0) ≤ ε},
S2(x) ={x0 ∈ D : g(x, x0) ≤ ε},
b
P (x) =y ∈ K : tçn t¤i y∗ ∈ N (y, x) sao cho < y∗, z −y > ≥ 0 ,
vîi måi z ∈ N (y, x), x ∈ D.
B i to¡n: T¼mx ∈ D sao chox ∈ S1(x)v G(y, x, x) ∈ IM in(G(y, S2(x), x)/C), vîi måi y ∈ Pb(x).
KT LUN Bè cöc Luªn v«n nh÷ sau:
Ch÷ìng 1: Möc 1.1 nhc l¤i khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Hausdorff. Möc 1.2 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa nân, iºm húu hi»u trong khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh. Möc 1.3 ÷a ra mët sè kh¡i ni»m mîi v· t½nh li¶n töc theo nân ¡nh x¤ a trà. Möc 1.4 ta ÷a ra c¡c kh¡i ni»m v· t½nh lçi theo nân ¡nh x¤ a trà v i·u ki»n c¦n v õ v· t½nh C - li¶n töc tr¶n ho°c d÷îi cõa ¡nh x¤ a trà. Möc 1.5 tr¼nh b y mët sè ành lþ iºm b§t ëng cõa Ky Fan, Fan-Browder v ành lþ KKM. Ch÷ìng 2: D nh tr¼nh b y b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t hén hñp, b i to¡n lo¤i I v lo¤i II, tø â ÷a ra mët v i v½ dö v· lîp b i to¡n hén hñp. Möc 2.2 ch¿ ra i·u ki»n tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n. Möc 2.3 tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan. Möc 2.4 tr¼nh b y b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n. V möc 2.5 ÷a ra v i b i to¡n tüa c¥n b¬ng.
Vîi ph¤m vi luªn v«n v thíi gian công nh÷ kh£ n«ng cán h¤n ch¸, vi»c nghi¶n cùu b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t hén hñp cán c¦n ÷ñc nghi¶n cùu s¥u hìn º t¼m ra ÷ñc nhi·u hìn c¡c k¸t qu£ v ùng döng mîi.
T i li»u tham kh£o
[1] N.D.Yen(2007), Gi£i t½ch a trà, NXB Khoa håc tü nhi¶n v Cæng ngh».
[2] N.X.Tan v N.B.Minh(2005), Mët sè v§n · trong lþ thuy¸t tèi ÷u v²ctì a trà, NXB Gi¡o döc.
[3] Tr÷ìng Thà Thòy D÷ìng (2011), Luªn v«n ti¸n s¾, B i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì èi vîi ¡nh x¤ a trà v c¡c v§n · li¶n quan, ¤i håc Vinh. [4] Truong Thi Thuy Duong, Mixed generalized quasi-equilibrium prob-
lems, J. Global Optimization.
[5] Lin, L.J.v N. X .Tan, On quasivariational inclusion problems of type I and related problems. J. Global Optimization.39, No 3, 2007, 393-407. [6] D.T.Luc v N. X .Tan, Existence conditions in variational inclusions
with constraints. Optimization, 53, 2004, 505- 515.
[7] L. A.Tuan v P.H.Sach. Generalizations of vector quasivariational In- clusion problems with set-valued maps, J. Global Optimization, 43, No 1, 2009, 23-45.
[8] Balaj, M v D.T.Löc, On mixed variational relation problems, Com- puters and Mathematic with Applications 60(9), 2712-2722.