hñp
Cho c¡c ¡nh x¤ F, G :K ×D×D → 2Y v C : D →2Y l ¡nh x¤ nân. Ta x²t b i to¡n sau: t¼m (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y);y ∈ T(x, y);
F(y, x, t) ⊆F(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ S(x, y);
G(y, x, t) ⊆ G(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ P(x), y ∈ Q(x, t).
B i to¡n n y ÷ñc gåi l b i to¡n bao h m thùc bi¸n ph¥n hén hñp tr¶n - tr¶n.
H» qu£ 2.4.1. Cho c¡c ¡nh x¤ S, T, P, Q x¡c ành nh÷ trong ành lþ 2.2.3. Gi£ sû r¬ng:
i) C l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà l nân lçi, âng kh¡c réng; ii) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D × K, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
F(z, x, t) ⊆ F(y, x, x) +C(x) vîi måi t∈ S(x, y);
iii) F l (-C) - li¶n töc d÷îi v C - li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà compact kh¡c réng;
v) Vîi méi t ∈ D cè ành, G(.,.,t) l (- C) - li¶n töc d÷îi v G l C - li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà compact kh¡c réng;
vi) G l (Q, - C) - tüa gièng nh÷ lçi tr¶n theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba.
Khi â bao h m thùc kº tr¶n câ nghi»m. Chùng minh: ành ngh¾a c¡c ¡nh x¤ M : D × K → 2K,F∼: K × K × D × D → 2Z N : K ×D →2D v G∼ : K ×D ×D →2X bði M(x, y) =z ∈ T (x, y) |F (z, x, t) ⊆ F (y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ S(x, y) ; ∼ F (y, z, x, t) = z−M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K ×K ×D×D; N(y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) ⊆G(y, x, x) +C(x)}; ∼ G(y, x, t) =t−N (y, x), (y, x, t) ∈ K ×D×D.
Tø i·u ki»n iii) n¶n vîi méi iºm (x, y) ∈ D ×K, tçn t¤i z ∈ T(x, y)
sao cho 0∈F∼ (y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y).
Ta chùng minh F∼ l ¡nh x¤ âng. Gi£ sû xβ → x, yβ → y, zβ ∈ M(xβ, yβ), zβ → z. V¼zβ ∈ M(xβ, yβ), n¶nzβ ∈ T(xβ, yβ), v F(zβ, xβ, t) ⊆ F(yβ, xβ, xβ) +C(xβ), vîi måi t ∈ S(xβ, yβ).
Tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa S n¶n vîi méi t ∈ S(x, y), tçn t¤i tβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho tβ →t. Do â
F(zβ, xβ, tβ) ⊆F(yβ, xβ, xβ) +C(xβ), vîi måi tβ ∈ S(xβ, yβ). (2.18) Tø zβ ∈ T(xβ, yβ) v T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà âng n¶n
z ∈ T(x, y). Do F l (-C) - li¶n töc d÷îi v C - li¶n töc tr¶n, n¶n vîi méi l¥n cªn tòy þ V cõa gèc trong Y, tçn t¤i β0, β1 sao cho
F (z, x, t) ⊆F (zβ, xβ, tβ) +V +C(x), vîi måi β ≥ β0 (2.19)
F (yβ, xβ, xβ) ⊆F (y, x, x) +V + C(x), vîi måi β ≥ β1 (2.20) K¸t hñp (2.18), (2.19) v (2.20), ta câ
M°t kh¡c, do C l nûa li¶n töc tr¶n n¶n C(xβ) ⊆C (x) +V. Do â,
F(z, x, t) ⊆F(y, x, x) + 3V + C(x). (2.21) V¼ C(x) l tªp âng v F(y, x, x) compact v tø (??) ta câ
F(z, x, t) ⊆ F(y, x, x) +C(x),
v¼ vªy z ∈ M(x, y) v M l ¡nh x¤ âng n¶n F∼ l ¡nh x¤ âng. °t A = n z ∈ T (x, y) |0 ∈F∼ (y, z, x, t), vîi måi t∈ S(x, y) o = z ∈ T (x, y) |F (z, x, t) ⊆ F (y, x, x) + C(x), vîi måi t∈ S(x, y) .
L§y tòy þ z1, z2 ∈ A, khi â z1, z2 ∈ T(x, y) v
F(z1, x, t) ⊆F(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ S(x, y),
F(z2, x, t) ⊆F(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ S(x, y). Tø â suy ra
λF(z1, x, t) + (1−λ)F(z2, x, t) ⊆ F(y, x, x) +C(x), vîi måi t ∈ S(x, y).
(2.22) Do T(x, y) l tªp lçi n¶n λz1+ (1−λ)z2 ∈ T(x, y), vîi måi λ ∈ [0,1]. Vîi méi x, t ∈ D cè ành, v¼ F(., x, t) l (- C(x)) - lçi d÷îi n¶n câ
F(λz1 + (1−λ)z2, x, t) ⊆ λF(z1, x, t) + (1−λ)F(z2, x, t) +C(x). (2.23) K¸t hñp (2.22) v (2.23) ta câ F(λz1 + (1 − λ)z2, x, t) ⊆ F(y, x, x) + (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C(x), vîi måi t ∈ S(x, y). i·u n y chùng tä λz1 + (1 − λ)z2 ∈ A. Do â A l tªp lçi.
Ti¸p theo, ta chùng minh tªp
B =
n
x ∈ D|0 ∈ G∼(y, x, t), vîi måi y ∈ Q(x, t)
o
= x ∈ D|G(y, x, t) ⊆G(y, x, x) +C(x), vîi måi y ∈ Q(x, t)
l tªp mð trong D. Thªt vªy, gi£ sû xβ ∈ B, xβ →x, khi â
Tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa Q(., t) n¶n vîi méi y ∈ Q(x, t), tçn t¤i
yβ ∈ Q(xβ, t) sao cho yβ → t. V¼ vªy, G(yβ, xβ, t) ⊆ G(yβ, xβ, xβ) +
C(xβ), vîi måi yβ ∈ Q(xβ, t). Do G(., ., t) l (- C)- li¶n töc d÷îi, G l C - li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà compact v C l nûa li¶n töc tr¶n, chùng minh t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ
G(y, x, t) ⊆ G(y, x, x) +C(x), vîi måi y ∈ Q(x, t).
V¼ vªy x ∈ B vªy B l tªp âng.
Cuèi còng, ta chùng minh G∼ l ¡nh x¤ Q - KKM. L§y tòy þ tªp con húu h¤n {t1, . . . , tn} trong D v x = n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1. Gi£ sû
0 ∈/G∼ (y, x, ti) vîi måi y ∈ Q(x, ti) v i = 1, . . . , n. Khi â
G(y, x, ti) * G(y, x, x) +C(x), vîi måi y ∈ Q(x, ti), v i = 1, . . . , n.
(2.24) Theo gi£ thi¸t G l (Q,-C) - tüa gièng nh÷ lçi tr¶n theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba, n¶n tçn t¤i ch¿ sè j ∈ {1, . . . , n} thäa m¢n
G(y, x, tj) ⊆ G(y, x, x)−C(x), vîi måi y ∈ Q(x, tj). (2.25) Tø (2.24) v (2.25) suy ra (G(y, x, x) − C(x)) * G(y, x, x) + C(x), suy ra G(y, x, x) * G(y, x, x) + C(x). Ta câ m¥u thu¨n, v¼ vªy tçn t¤i ch¿ sè
j ∈ {1, . . . , n} sao cho 0 ∈G∼ (y, x, tj) vîi måi y ∈ Q(x, tj) v ta câ G∼ l ¡nh x¤ Q - KKM.
Theo ành lþ 2.2.3 v c¡ch x¡c ành cõa c¡c ¡nh x¤ F ,∼ G∼, ta th§y b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n câ nghi»m.
Chùng minh t÷ìng tü nh÷ H» qu£ 2.4.1 ta thu ÷ñc mët sè b i to¡n mîi nh÷ sau:
1) B i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n hén hñp tr¶n, d÷îi lo¤i 1.2 lþ t÷ðng: T¼m (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y);y ∈ T(x, y);
F(y, x, t) ⊆F(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ S(x, y);
2) B i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n hén hñp d÷îi, tr¶n lo¤i 1.2 lþ t÷ðng: T¼m (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y);y ∈ T(x, y);
F(y, x, t)∩(F(y, x, x) +C(x)) 6= ∅, vîi måi t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ⊆ G(y, x, x) +C(x), vîi måi t∈ P(x), y ∈ Q(x, t).
3) B i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n hén hñp d÷îi, d÷îi lo¤i 1.2 lþ t÷ðng: T¼m (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y);y ∈ T(x, y); (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
F(y, x, t)∩(F(y, x, x) +C(x)) 6= ∅, vîi måi t ∈ S(x, y);
G(y, x, t)∩(G(y, x, x) +C(x)) =6 ∅, vîi måi t ∈ P(x), y ∈ Q(x, t).