Ph¦n n y ta tªp trung nghi¶n cùu i·u ki»n tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (MGQEP), vîi gi£ thi¸t D, K l c¡c tªp con compact cõa c¡c khæng gian
v²ctì tæpæ lçi àa ph÷ìng Hausdorff X, Y v S, T, P, F, G l c¡c ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà kh¡c réng. Tr÷îc h¸t ta x²t bê · sau.
Bê · 2.2.1. Gi£ sû D, K l c¡c tªp con kh¡c réng, lçi v compact trong khæng gian v²ctì tæpæ lçi àa ph÷ìng Hausdorff X, Y. Cho c¡c ¡nh x¤ a trà S : D ×K → 2D, H : D ×K →2K; M : D →2D. Gi£ sû r¬ng
i) S l ¡nh x¤ câ gi¡ trà lçi, kh¡c réng v nghàch £nh mð;
ii) H l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng v tªp
A = {(x, y) |x ∈ S(x, y), y ∈ H (x, y)} l tªp âng; iii) M câ nghàch £nh mð v vîi måi x ∈ D, x /∈ coM (x).
Khi â, tçn t¤i iºm (x, y) ∈ D ×K sao cho x ∈ S(x, y) ;y ∈ H (x, y) v
S(x, y)∩M (x) = ∅.
ành lþ 2.2.2. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:
i) S l ¡nh x¤ câ gi¡ trà lçi, kh¡c réng v S câ nghàch £nh mð;
ii) T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng v tªp
A = {(x, y) |x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} l tªp âng;
iii) P câ nghàch £nh mð v P(x) ⊆ S(x, y) vîi måi x∈ D, y ∈ K;
iv) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D × K, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
0 ∈ F(y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y);
va) F l ¡nh x¤ âng;
vb) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D ×K, tªp
{z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t),∀t ∈ S(x, y)} l tªp lçi; vi) Vîi méi iºm cè ành t∈ D, tªp
B = x ∈ D|0 ∈/ G(y, x, t), vîi mët v i y ∈ Q(x, t) mð trong D v
Khi â, b i to¡n (MGQEP) câ nghi»m. Chùng minh:
Ta ành ngh¾a c¡c ¡nh x¤ H : D ×K → 2K, M : D → 2D bði
H (x, y) =z ∈ T (x, y) |0 ∈ F (y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y) ,
M(x) = t∈ P (x) |0∈/ G(y, x, t) vîi mët v i y ∈ Q(x, t) ,∀x ∈ D. Tø c¡c i·u ki»n (iv) v (vb ) ta th§y H(x, y) l tªp lçi kh¡c réng. Vîi méi (x, y) ∈ D × K, chùng tä H(x, y) l tªp âng. Thªt vªy, l§y d¢y
zβ ∈ H(x, y) sao cho zβ → z, khi â zβ ∈ T(x, y) v 0 ∈ F(y, zβ, x, t) vîi måi t ∈ S(x, y). Do T l nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà âng v F l ¡nh x¤ âng do vªy z ∈ T(x, y) v 0 ∈ F(y, z, x, t). Do â, z ∈ H(x, y) v H(x, y)
l tªp âng.
Ta chùng minh H l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n.
Gi£ sû xβ → x, zβ ∈ H(xβ, yβ), zβ →z. ta ch¿ ra z ∈ T(x, y).
Tø zβ ∈ H(xβ, yβ), ta câ zβ ∈ T(xβ, yβ) v 0 ∈ F(yβ, zβ, xβ, t), vîi måi
t ∈ S(xβ, yβ). Do T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà âng, suy ra
z ∈ T(x, y). Do S câ nghàch £nh mð cho n¶n S l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi, ta câ vîi méi t∈ S(x, y), tçn t¤i tβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho tβ →t. V¼ vªy,
0∈ F(yβ, zβ, xβ, tβ), vîi måi tβ ∈ S(xβ, yβ). (2.1) M°t kh¡c, tø (yβ, zβ, xβ, tβ) → (y, z, x, t) v F l ¡nh x¤ âng ta câ 0 ∈ F(y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y). Ngh¾a l z ∈ H(x, y) v H l ¡nh x¤ âng. K¸t hñp vîi t½nh compact cõa tªp K v t½nh âng cõa H, ta k¸t luªn H
l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n.
Theo c¡ch x¡c ành cõa M ta câ
M−1(t) = x ∈ D|0∈/ G(y, x, t) vîi méi y ∈ Q (x, t) n o â ∩P−1(t).
V¼ tªp B mð v P−1(t) mð k²o theo M−1(t) l tªp mð.
Cuèi còng, ta ch¿ ra vîi måi x ∈ D, x /∈ coM(x). Gi£ sû tçn t¤i x ∈ D
n P i=1 αiti, αi ≥0, n P i=1 αi = 1, ngh¾a l ,
0 ∈/ G(y, x, ti), vîi méi y ∈ Q (x, ti), vîi måi i = 1,...,n (2.2) V¼ G l Q - KKM, n¶n tçn t¤i j ∈ {1, . . . , n} sao cho
0∈ G(y, x, tj), vîi måi y ∈ Q (x, tj),
i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.2). V¼ vªy, x ∈ D, x /∈ coM(x).
Theo Bê · 2.2.1, tçn t¤i (x, y) ∈ D×K sao cho x ∈ S(x, y) ; y ∈ H (x, y)
v S(x, y)∩M (x) =∅. V¼ y ∈ H(x, y), n¶n y ∈ T (x, y) v 0 ∈ F (y, y, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y). V¼ S(x, y) ∩M (x) = ∅, vîi måi t ∈ P (x) ⊆ S(x, y),t ∈/ M (x), n¶n 0∈ G(y, x, t), vîi måi t ∈ P (x),y ∈ Q (x, t). ành lþ ÷ñc chùng minh.
Nhªn x²t: Tø ành lþ 2.2.2 v n¸u c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: i) Vîi måi t∈ D cè ành, ¡nh x¤ G(., ., t) l âng;
ii) Q l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n theo bi¸n thù nh§t vîi gi¡ trà compact, th¼ tªp B = x ∈ D|0∈/ G(y, x, t) vîi måi y ∈ Q (x, t) mð trong D. Thªt vªy, °t A = x∈ D| tçn t¤i y ∈ Q (x, t),0 ∈ G(y, x, t) . L§y d¢y b§t ký xβ ∈ A, xβ → x, khi â vîi méi β, tçn t¤i yβ ∈ Q(xβ, t) sao cho 0 ∈ G(yβ, xβ, t). V¼ Q nûa li¶n töc tr¶n theo bi¸n thù nh§t vîi gi¡ trà compact, cho n¶n tçn t¤i d¢y con {yβα} cõa {yβ} v iºm y ∈ Q(x, t) sao cho yβα → y. T½nh âng cõa G(., ., t) k²o theo 0∈ G(y, x, t). Vªy x ∈ A v
A l tªp âng, suy ra B l tªp mð.
ành lþ 2.2.3. Gi£ sû t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa ành lþ 2.2.2 ·u thäa m¢n, trø c¡c i·u ki»n i) v iii) t÷ìng ùng ÷ñc thay bði
iii') P l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi v P(x) ⊆ S(x, y), vîi måix ∈ D, y ∈ K. Khi â b i to¡n (MGQEP) câ nghi»m.
Chùng minh:
L§y U l cì sð l¥n cªn lçi, âng cõa gèc trong X. Vîi méi U ∈ U, x²t c¡c ¡nh x¤ a trà SU : D×K →2D, PU : D →2D x¡c ành bði
SU (x, y) = (S(x, y) +U)∩D, PU (x) = (P (x) +U)∩D,x ∈ D, y ∈ K.
D¹ th§y SU−1(t), PU−1(t) l c¡c tªp mð trong D vîi méi t ∈ D. Tªp A =
{(x, y) |x ∈ Su(x, y), y ∈ T (x, y)} l tªp âng trong tªp compact v U
âng, ta suy ra A = {(x, y) |x ∈ Su(x, y), y ∈ T (x, y)} l tªp âng. V¼ vªy c¡c i·u ki»n cõa inh lþ 2.2.2 cho c¡c ¡nh x¤ SU, PU, T, Q v F, G
÷ñc thäa m¢n. Vªy tçn t¤i (xU, yU) ∈ D ×K sao cho
xU ∈ S(xU, yU), yU ∈ T (xU, yU) ;
0∈ F (yU, yU, xU, t), vîi måi t ∈ S(xU, yU) ; 0∈ G(y, xU, t), vîi måi t ∈ P (xU) v y ∈ Q(xU, t).
Tø t½nh compact cõa tªp D v K, n¶n gi£ sû xU →x, yU → y. Do t½nh âng cõa c¡c ¡nh x¤ S v T k²o theo x¯ ∈ S(¯x,y¯) v y¯∈ T (¯x,y¯).
Tuy nhi¶n, do yU ∈ H (xU, yU) vîi tªp
H (x, y) =z ∈ T (x, y) |0 ∈ F (y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y) , x ∈ D, y ∈ K.
Düa v o ành lþ 2.2.2, H l ¡nh x¤ âng, do â y ∈ H (x, y) ngh¾a l 0 ∈ F (y, y, x, t) vîi måi t ∈ S(x, y).
L§y tòy þ iºm t∈ P(x). Tªp
B = x ∈ D|0∈/ G(y, x, t), mët v i y ∈ Q (x, t)
mð trong D do â tªp
l âng trong D. ta th§y xU ∈ A, xU → x n¶n x ∈ A. Ngh¾a l 0 ∈ G(y, x, t), vîi måi t ∈ P (x) v y ∈ Q(x, t).
ành lþ ÷ñc chùng minh.
Tø nhªn x²t v t÷ìng tü nh÷ chùng minh ành lþ 2.2.2 v ành lþ 2.2.3 ta thu ÷ñc k¸t qu£ cõa b i to¡n sau:
ành lþ 2.2.4. Gi£ thi¸t c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: i) S l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi vîi gi¡ trà lçi kh¡c réng;
ii) T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng v tªp
A = {(x, y) |x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} âng;
iii) P l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi v P(x) ⊆S(x, y) vîi måi x ∈ D, y ∈ K; iv) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D × K, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
0 ∈ F(y, z, x, t) vîi måi t∈ S(x, y);
va) F l ¡nh x¤ âng;
vb) Vîi méi iºm cè ành (y, x) ∈ K ×D, tªp
z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t) vîi måi t ∈ S (x, y) l lçi;
vi) Q l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n theo bi¸n thù nh§t, vîi méi iºm t ∈ D, G(., ., t) l ¡nh x¤ âng v G l Q - KKM.
Khi â tçn t¤i iºm (x, y) sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
0 ∈ F (y, y, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y) ;
tçn t¤i y ∈ Q (x, t),0 ∈ G(y, x, t), vîi måi t ∈ P (x).
ành lþ 2.2.5. Gi£ thi¸t c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: i) S l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi vîi gi¡ trà lçi kh¡c réng;
ii) T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng v tªp
A = {(x, y) |x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} l âng;
iii) P l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi v P(x) ⊆S(x, y) vîi måi x ∈ D, y ∈ K; iv) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D × K, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
0 ∈/ F(y, z, x, t) vîi måi t∈ S(x, y);
vb) Vîi méi iºm cè ành (y, x) ∈ K ×D, tªp
z ∈ T (x, y)|0 ∈/ F (y, z, x, t), vîi måi t ∈ S (x, y) l lçi; vi) Vîi méi iºm cè ành t∈ D, tªp
B = x ∈ D|0∈/ G(y, x, t), vîi måi y ∈ Q (x, t) l tªp mð trong D
v G l ¡nh x¤ Q - KKM. Khi â tçn t¤i iºm (x, y) sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
0 ∈/ F (y, y, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y) ;
0 ∈ G(y, x, t), vîi måi t ∈ P (x), vîi måi y ∈ Q (x, t),
Chùng minh: Ta ành ngh¾a ¡nh x¤ F :K ×K ×D ×D → 2Y x¡c ành bði
F(y, z, x, t) = Y\F(y, z, x, t). T÷ìng tü nh÷ chùng minh cõa ành lþ 2.2.2 2.3 Mët sè v§n · li¶n quan
Trong [4], c¡c t¡c gi£ L.J.Lin v Nguy¹n Xu¥n T§n ¢ ch¿ ra r¬ng câ t¡m lo¤i b i to¡n tüa c¥n b¬ng kh¡c nhau cõa Blum v Oettli, nh÷ tüa c¥n b¬ng lþ t÷ðng tr¶n (d÷îi), y¸u tr¶n (d÷îi), Pareto tr¶n (d÷îi), thüc sü tr¶n (d÷îi). Tuy nhi¶n hå mîi ch¿ x²t b i to¡n tüa c¥n b¬ng lo¤i I. Trong ph¦n n y ta ¡p döng ành lþ 2.2.3 º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c b i to¡n tüa c¥n b¬ng k¸t hñp lo¤i I v lo¤i II. Tr÷îc h¸t ta chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng hén hñp:
Trong c¡c k¸t qu£ d÷îi ¥y ta gi£ thi¸t Q l ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc d÷îi.
H» qu£ 2.3.1. Cho c¡c ¡nh x¤ S, T, P, Q x¡c ành nh÷ trong ành lþ 2.2.3. N¸u c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:
i) C : D →2Y l ¡nh x¤ nân vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng, sao cho vîi méi
x ∈ D, ¡nh x¤ a tràC∼: D → 2Y x¡c ành bði C∼ (x) = Y\(−intC(x))
l ¡nh x¤ âng.
ii) F l ¡nh x¤ a trà âng vîi gi¡ trà compact, lçi v kh¡c réng;
iiia) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D ×K , tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
F(z, x, t) * −intC(x), vîi måi t ∈ S(x, y);
iiib) Vîi måi (x, t) ∈ D ×D, F(., x, t) : K → 2Y l (−C(x)) - tüa gièng nh÷ lçi tr¶n.
iva) Vîi måi t∈ D, G(., ., t) l ¡nh x¤ âng v G câ gi¡ trà compact, lçi v kh¡c réng, v G(y, x, x) * −intC(x) vîi måi (x, y) ∈ D ×K;
ivb) G l (Q, C) - lçi d÷îi theo ÷íng ch²o (ho°c, (Q,C) - tüa gièng nh÷ lçi d÷îi theo ÷íng ch²o) theo bi¸n thù ba.
Khi â tçn t¤i (x, y) ∈ D×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
F (y, x, t) *−intC (x), vîi måi t∈ S(x, y) ;
G(y, x, t) *−intC (x), vîi måi t∈ P (x) ;y ∈ Q(x, t). Chùng minh
ành ngh¾a c¡c ¡nh x¤ a tràM : D×K →2K,F∼: K×K×D×D →2Z
N : K ×D →2D v G∼ : K ×D ×D →2X bði
M(x, y) =z ∈ T (x, y) |F (z, x, t) * −intC(x), vîi måi t ∈ S(x, y) ;
∼
N(y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) 6⊆ −intC(x)}.
∼
G(y, x, t) =t−N (y, x), (y, x, t) ∈ K ×D×D;
D¹ th§y i·u ki»n iiia) thäa m¢n vîi i·u ki»n iv) cõa ành lþ 2.2.3 . Gi£ sû xβ → x, yβ → y, zβ ∈ M(xβ, yβ), zβ → z, ta ch¿ ra z ∈ M(x, y).
Tø zβ ∈ M(xβ, yβ), cho n¶n zβ ∈ T(xβ, yβ), F(zβ, xβ, tβ) * −intC(xβ), vîi måi t ∈ S(xβ, yβ).
Tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa S v xβ → x, yβ → y, vîi méi t ∈ S(x, y), tçn t¤i tβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho tβ →t. N¶n
F(yβ, xβ, tβ)∩ C∼ (xβ) 6= ∅, vîi måi tβ ∈ S(xβ, yβ). (2.3) V¼ zβ ∈ T(xβ, yβ) v T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà âng, k²o theo z ∈ T(x, y).
Tø (2.3), ta câ vîi méi β, tçn t¤i uβ ∈ F(yβ, zβ, xβ, tβ)∩ C∼ (xβ). Do F
l ¡nh x¤ âng vîi gi¡ trà compact, n¶n tçn t¤i iºm u ∈ F(z, x, t) v d¢y con nuβ
α
o
cõa {uβ} sao cho uβ
α →u. Hìn núa uβ
α ∈C∼ (uβ
α) v C∼ l ¡nh x¤ âng n¶n u ∈C∼ (x). V¼ vªy, u ∈ F(z, x, t)∩ C∼ (x) = F(z, x, t) ∩(Y\ − intC(x)). Suy ra F(z, x, t) * −intC(x) . Ngh¾a l z ∈ M(x, y) v do â
M l ¡nh x¤ âng, k²o theo F∼ công l ¡nh x¤ âng. °t
A=
n
z ∈ T (x, y) |0∈F∼ (y, z, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y)
o
= z ∈ T (x, y) |F (z, x, t) * −intC(x), vîi måi t ∈ S(x, y) .
L§y tòy þ z1, z2 ∈ A, khi â z1, z2 ∈ T(x, y) v
F(z1, x, t) * −intC(x), (2.4)
F(z2, x, t) * −intC(x). (2.5) V¼ T(x, y) l tªp lçi, n¶n λz1+ (1−λ)z2 ∈ T(x, y). Gi£ sû tçn t¤i λ0 ∈ [0,1]
sao cho
F(λ0z1 + (1−λ0)z2, x, t) ⊆ −intC(x). (2.6) V¼ F l (−C(x)) - tüa gièng nh÷ lçi tr¶n theo z cõa F v (2.6), ta suy ÷ñc ho°c
ho°c
F (z2, x, t) ⊆F (λ0z1 + (1−λ0)z2)−C(x) ⊆ −intC(x),
i·u n y m¥u thu¨n vîi (2.4) v (2.5). Vªy F(λz1+ (1−λ)z2) * −intC(x). Do â, λz1 + (1−λ)z2 ∈ A. Ngh¾a l A l tªp lçi.
Ti¸p theo, ta chùng minhG∼ thäa m¢n i·u ki»n (vi) trong ành lþ 2.2.3. °t B =
n
x ∈ D|0 ∈ G∼(y, x, t), vîi måi y ∈ Q(x, t)
o
= x ∈ D|G(y, x, t) * −intC (x), vîi måi y ∈ Q(x, t) .
Ta ch¿ ra B l tªp âng. Gi£ sû xβ ∈ B, xβ →x, khi §y
G(y, xβ, t) * −intC(xβ), vîi måi y ∈ Q(xβ, t).
Tø Q l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi, k²o theo r¬ng vîi måi y ∈ Q(x, t), tçn t¤i yβ ∈ Q(xβ, t) sao choyβ →y. Do â, G(yβ, xβ, t) * −intC(xβ), vîi måi
yβ ∈ Q(xβ, t). i·u n y d¨n ¸n
G(yβ, xβ, t)∩ C∼ (xβ) 6= ∅ (2.7) Tø (2.7) tçn t¤i uβ ∈ G(yβ, xβ, t)∩ C∼ (xβ). Ta câ G(., ., t) l ¡nh x¤ âng vîi gi¡ trà compact, n¶n tçn t¤i u ∈ G(y, x, t) v d¢y con {uβα} ⊆ {uβ}
sao cho uβα → u. Tø uβα ∈C∼ (xβα) v C∼ l ¡nh x¤ âng, k²o theo u ∈C∼
(x). Khi â, u ∈ G(y, x, t)∩ C∼ (x) = G(y, x, t) ∩ (Y \ − intC(x)). Ta câ
G(y, x, t) * −intC(x). V¼ vªy x ∈ B n¶n B l tªp âng. L§y tªp con {t1, . . . , tn} tòy þ trong D v x =
n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1. Gi£ sû 0 ∈/G∼ (y, x, ti), vîi måi y ∈ Q(x, ti) v i = 1, . . . , n. Suy ra
G(y, x, ti) ⊆ −intC(x), vîi måi y ∈ Q(x, ti) v i = 1, . . . , n. N¸u G l (Q,C) - lçi d÷îi theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba, th¼
G(y, x, x) ⊆
n
P
j=1
G(y, x, tj)−C(x) ⊆ −intC(x), vîi måi y ∈ Q(x, tj). N¸u G l (Q,C) - tüa gièng nh÷ lçi d÷îi theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba, th¼ tçn t¤i j ∈ {1, . . . , n} sao cho G(y, x, x) ⊆ G(y, x, tj) − C(x) ⊆ −intC(x), i·u n y m¥u thu¨n vîi i·u ki»n iva). Vªy tçn t¤i ch¿ sè j ∈
{1, . . . , n} sao cho 0 ∈G∼ (y, x, tj) vîi måi y ∈ Q(x, tj). Vªy G∼ l ¡nh x¤ Q
- KKM.
Theo ành lþ 2.2.3 tçn t¤i iºm (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
0∈F∼ (y, y, x, t), vîi måi t ∈ S(x, y) ;
0∈G∼ (y, x, t), vîi måi t∈ P (x) ;y ∈ Q(x, t). Ngh¾a l
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
F (y, x, t) *−intC (x), vîi måi t∈ S(x, y) ;
G(y, x, t) *−intC (x), vîi måi t∈ P (x) ;y ∈ Q(x, t). H» qu£ ÷ñc chùng minh.
H» qu£ sau ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng lþ t÷ðng d÷îi hén hñp.
H» qu£ 2.3.2. Cho c¡c ¡nh x¤ S, T, P, Q x¡c ành nh÷ trong ành lþ 2.2.3. Gi£ sû:
i) C : D →2Y l ¡nh x¤ vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng; ii) F l ¡nh x¤ âng vîi gi¡ trà lçi, compact kh¡c réng;
iiia) Vîi méi iºm cè ành (x, y) ∈ D ×K, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
F(z, x, t)∩C(x) =6 ∅, vîi måi t ∈ S(x, y);
iiib) Vîi méi iºm cè ành (x, t) ∈ D ×D, F(., x, t) : K → 2Y l (−C(x))
- lçi tr¶n;
iva) Vîi méi iºm cè ành t ∈ D, G(., ., t) l ¡nh x¤ âng, G câ gi¡ trà lçi, compact kh¡c réng v G(y, x, x)∩C(x) =6 ∅ vîi måi (x, y) ∈ D ×K;
ivb) G l (Q, C)- tüa gièng nh÷ lçi d÷îi theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba. Khi â tçn t¤i (x, y) ∈ D×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ; F (y, x, t)∩C (x) 6= ∅, vîi måi t∈ S(x, y) ; G(y, x, t)∩C (x) 6= ∅, vîi måi t ∈ P (x) ;y ∈ Q(x, t). Chùng minh: ành ngh¾a c¡c ¡nh x¤ a tràM : D×K →2K,F∼: K×K×D×D →2Z N : K ×D →2D v G∼ : K ×D ×D →2X bði M(x, y) =z ∈ T (x, y) |F (z, x, t)∩C(x) 6= ∅, vîi måi t∈ S(x, y) ; ∼ F (y, z, x, t) = z−M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K ×K ×D×D; N(y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t)∩C(x) 6= ∅}; ∼ G(y, x, t) =t−N (y, x), (y, x, t) ∈ K ×D×D. Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra F∼ l ¡nh x¤ âng.Gi£ sû r¬ngxβ → x, yβ →y, zβ ∈ M(xβ, yβ), zβ → z, ta chùng minh z ∈ M(x, y). Tø zβ ∈ M(xβ, yβ), ta câ zβ ∈ T(xβ, yβ) v F(zβ, xβ, tβ)∩C(xβ) 6= ∅, vîi måi t ∈ S(xβ, yβ).
Do T l ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà âng v zβ ∈ T(xβ, yβ), n¶n
z ∈ T(x, y).
V¼ S nûa li¶n töc d÷îi v xβ → x, yβ →y n¶n vîi méi t ∈ S(x, y), tçn t¤i
tβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho tβ →t. Khi â
F(yβ, xβ, tβ)∩ C(xβ) 6= ∅, vîi måi tβ ∈ S(xβ, yβ). (2.8) Tø (2.8), n¶n vîi méi β, tçn t¤i vβ ∈ F(zβ, xβ, tβ) ∩ C(xβ). M F l ¡nh x¤ âng vîi gi¡ trà compact v C l ¡nh x¤ âng, n¶n tçn t¤i v ∈ F(z, x, t)∩C(x), khi â F(z, x, t)∩C(x) 6= ∅.
V¼ vªy z ∈ M(x, y) v M l ¡nh x¤ âng n¶n F∼ l ¡nh x¤ âng.
Tø i·u ki»n iiia) ta câ F∼ thäa m¢n i·u ki»n iv) cõa ành lþ 2.2.3 Gi£ sû A = n z ∈ T (x, y) |0∈ F∼(y, z, x, t) o = z ∈ T (x, y) |F (z, x, t)∩ C(x) 6= ∅, vîi måi t ∈ S(x, y) .
L§y tòy þ z1, z2 ∈ A, n¶n z1, z2 ∈ T(x, y) v
F(z1, x, t)∩C(x) 6= ∅, (2.9)
F(z2, x, t)∩C(x) 6= ∅. (2.10) Tø T(x, y) l tªp lçi, n¶n λz1 + (1−λ)z2 ∈ T(x, y), vîi måi λ ∈ [0,1]. Tø (2.9) v (2.10), tçn t¤i u1 ∈ F(z1, x, t)∩C(x) v u2 ∈ F(z2, x, t)∩C(x).
Do â
λu1 + (1−λ)u2 ∈ (λF (z1, x, t)∩C(x) + (1−λ)F (z2, x, t)∩C(x))
⊆ (λF (z1, x, t) + (1−λ)F (z2, x, t))∩C(x). (2.11) V¼ F l (-C(x)) - lçi tr¶n theo bi¸n z ta suy ra
λF (z1, x, t)+(1−λ)F (z2, x, t) ⊆ F (λz1 + (1−λ)z2, x, t)−C(x). (2.12) K¸t hñp (2.11) v (2.12) ta câ
λu1 + (1−λ)u2 ∈ (F (λz1 + (1−λ)z2)−C(x))∩C(x).
Do â
(F (λz1 + (1−λ)z2)−C(x))∩C(x) 6= ∅.
Ngh¾a l F (λz1 + (1−λ)z2) ∩C(x) 6= ∅ hay λz1 + (1−λ)z2 ∈ A. Vªy A
l tªp lçi.
Ti¸p theo chùng minh tªp
B =
n
x ∈ D|0∈ G∼ (y, x, t), vîi måi y ∈ Q(x, t)
o
= x ∈ D|G(y, x, t)∩C (x) 6= ∅, vîi måi y ∈ Q(x, t) l tªp âng.
Gi£ sû xβ ∈ B, xβ → x, khi â G(y, xβ, t) ∩ C(xβ) 6= ∅, vîi måi y ∈ Q(xβ, t). Tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa Q(., t) n¶n vîi méi y ∈ Q(x, t), tçn t¤i d¢y yβ ∈ Q(xβ, t) sao cho yβ → y. V¼ vªy, G(yβ, xβ, t) ∩ C(xβ) 6= ∅, vîi måi yβ ∈ Q(xβ, t). M°t kh¡c, G(., ., t) l ¡nh x¤ âng v G câ gi¡ trà compact, C l ¡nh x¤ âng, suy ra G(y, x, t)∩C(x) 6= ∅. Vªy x ∈ B v B
Cuèi còng ta ch¿ ra G∼ l Q - KKM. Thªt vªy l§y {t1, . . . , tn} l tªp con tòy þ trong D v iºmx=
n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P i=1 αi = 1. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû0 ∈/G∼
(y, x, ti) vîi måi y ∈ Q(x, ti) v i = 1, . . . , n. Khi â G(y, x, ti)∩C(x) = ∅, vîi måi y ∈ Q(x, ti) v i = 1, . . . , n. Do Gl (Q,C) - tüa gièng nh÷ lçi d÷îi theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù ba, n¶n tçn t¤i ch¿ sè j ∈ {1, . . . , n} sao cho
G(y, x, x) ⊆ G(y, x, tj)−C(x), vîi måi y ∈ Q(x, tj).
N¸u (G(y, x, tj) − C(x)) ∩ C(x) 6= ∅, vîi måi y ∈ Q(x, tj), tçn t¤i a ∈ G(y, x, tj), c, c0 ∈ C(x) º a−c = c0. Suy ra a = c+c0 v do â G(y, x, tj)∩ C(x) 6= ∅ vîi måi y ∈ Q(x, tj). i·u n y m¥u thu¨n vîi G(y, x, tj) ∩ C(x) = ∅, vîi måi i = 1, . . . , n. V¼ vªy, (G(y, x, tj) − C(x)) ∩ C(x) = ∅
v G(y, x, x)∩ C(x) = ∅, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t iva). Vªy tçn t¤i ch¿ sè
j ∈ {1, . . . , n} sao cho0 ∈G∼ (y, x, tj) vîi måi y ∈ Q(x, tj). Khi â G∼ l ¡nh x¤ Q - KKM.
Theo ành lþ 2.2.3 v theo c¡ch x¡c ành cõa F ,∼ G∼, suy ra tçn t¤i
(x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;
F (y, x, t)∩ C(x) 6= ∅, vîi måi t ∈ S(x, y) ;
G(y, x, t)∩ C(x) 6= ∅, vîi måi t ∈ P (x) ;y ∈ Q(x, t).
H» qu£ 2.3.3. Cho c¡c ¡nh x¤ S, T, P, Q x¡c ành nh÷ trong ành lþ 2.2.3. Gi£ sû r¬ng:
i) C : D → 2Y l ¡nh x¤ nân vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng v intC(x) 6=
∅. Vîi méi x ∈ D ¡nh x¤ C∼: D → 2Y x¡c ành bði C∼ (x) = Y\(−intC(x)) l nûa li¶n töc tr¶n.
ii) F l (−C) li¶n töc d÷îi vîi gi¡ trà lçi, compact kh¡c réng;
iiia) Vîi méi iºm (x, y) ∈ D ×K cè ành, tçn t¤i z ∈ T(x, y) sao cho
iiib) Vîi méi iºm cè ành (x, t) ∈ D×D, F(., x, t) l (−C(x)) - tüa gièng nh÷ lçi d÷îi;
iva) Vîi méi iºm cè ành t ∈ D, G(., ., t) l (-C) li¶n töc d÷îi, G câ gi¡ trà lçi, compact kh¡c réng, G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅ vîi måi
(x, y) ∈ D ×K;
ivb) G l (Q, C) - tüa gièng nh÷ lçi tr¶n theo ÷íng ch²o theo bi¸n thù